중첩 원리

중첩 특성으로도 알려진 중첩 ^[1]원리는 모든 선형 시스템에 대해, 두 개 이상의 자극에 의해 야기된 순 반응은 각 자극에 의해 개별적으로 야기되었을 반응의 합이라고 명시한다.따라서 입력 A가 반응 X를 생성하고 입력 B가 반응 Y를 생성하면 입력(A + B)이 반응(X + Y)을 생성합니다.

중첩 원리를 만족시키는 $함수{\displaystyle }$ F$)$ {$displaystyle$ F$(x)}$를 선형 함수라고 한다.중첩은 두 가지 단순한 속성, 즉 가감성으로 정의할 수 있습니다.

및 균질성 scalara를 위해.

이 원리는 많은 물리적 시스템을 선형 시스템으로 모델링할 수 있기 때문에 물리학과 공학 분야에서 많이 사용됩니다.예를 들어 빔은 입력 자극이 빔에 대한 부하이고 출력 응답이 빔의 편향인 선형 시스템으로 모델링할 수 있습니다.선형 시스템의 중요성은 수학적으로 분석하기가 더 쉽다는 것입니다. 적용 가능한 수학 기술, 푸리에 변환과 라플라스 변환과 같은 주파수 영역 선형 변환 방법, 선형 연산자 이론이 많이 있습니다.물리적 시스템은 일반적으로 거의 선형이기 때문에 중첩 원리는 실제 물리적 행동의 근사치일 뿐입니다.

중첩 원리는 대수 방정식, 선형 미분 방정식 및 이러한 형태의 방정식 시스템을 포함한 모든 선형 시스템에 적용됩니다.자극과 반응은 숫자, 함수, 벡터, 벡터장, 시간 변동 신호 또는 특정 공리를 만족시키는 다른 물체일 수 있습니다.벡터 또는 벡터 필드가 포함된 경우 중첩은 벡터 합계로 해석됩니다.중첩이 유지되면 구배, 미분 또는 적분(존재하는 경우)과 같이 정의에 따라 이러한 함수에 적용된 모든 선형 연산에도 자동으로 유지됩니다.

어원학

중첩이라는 단어는 위의 라틴어 "super"와 장소를 뜻하는 "position"에서 유래했다.

푸리에 분석 및 유사한 방법과의 관계

매우 일반적인 자극(선형 시스템에서)을 특정하고 단순한 형태의 자극의 중첩으로 작성함으로써, 종종 반응을 계산하기가 쉬워집니다.

예를 들어, 푸리에 분석에서 자극은 무한히 많은 사인파의 중첩으로 쓰여진다.중첩 원리에 의해 이들 사인파 각각을 개별적으로 해석할 수 있어 개별 응답을 계산할 수 있다.(반응 자체는 자극과 주파수는 같지만 일반적으로 진폭과 위상은 다르다.)중첩 원리에 따르면, 원래 자극에 대한 반응은 모든 개별 사인파 반응의 합계(또는 적분)이다.

또 다른 일반적인 예로서, 그린의 함수 분석에서 자극은 무한히 많은 임펄스 함수의 중첩으로 쓰여지고, 그 후 반응은 임펄스 반응의 중첩이다.

푸리에 분석은 특히 파형의 경우 일반적입니다.예를 들어, 전자파 이론에서, 일반 빛은 평면파(고정 주파수, 편파 및 방향의 파동)의 중첩으로 설명됩니다.중첩 원리가 유지되는 한(흔히 그렇지만 항상 비선형 광학 참조), 모든 광파의 동작은 이러한 단순한 평면파의 동작의 중첩으로 이해될 수 있다.

파동 중첩

파동은 일반적으로 물결의 높이, 음파의 압력, 광파의 전자장 등 시공간과 시간에 따른 일부 매개변수의 변화로 설명됩니다.이 파라미터의 값을 파형의 진폭이라고 하며, 파형 자체는 각 포인트의 진폭을 지정하는 함수입니다.

파형이 있는 시스템에서 주어진 시간의 파형은 소스(즉, 파동을 생성하거나 영향을 미치는 외부 힘)와 시스템의 초기 조건의 함수입니다.많은 경우(예: 고전파 방정식)에서 파동을 설명하는 방정식은 선형입니다.이것이 참일 경우 중첩 원리를 적용할 수 있습니다.즉, 두 개 이상의 파동이 같은 공간을 통과하여 발생하는 순진폭은 개별 파동에 의해 개별적으로 생성되었을 진폭의 합계입니다.예를 들어, 서로를 향해 이동하는 두 개의 파형은 반대쪽에서 왜곡 없이 서로를 통과합니다.(상단의 이미지를 참조해 주세요).

파동 회절 대 파동 간섭

웨이브 중첩과 관련하여 리처드 파인만은 다음과 같이 썼다.^[2]

아무도 간섭과 회절의 차이를 만족스럽게 정의할 수 없었다.그것은 단지 용도의 문제일 뿐, 그들 사이에 구체적이고 중요한 신체적 차이는 없다.우리가 할 수 있는 최선의 방법은, 대략적으로 말해서, 몇 개의 소스가 있을 때, 예를 들어 두 개의 간섭이 있을 때, 그 결과는 보통 간섭이라고 불리는데, 그 수가 많으면 회절이라는 단어가 더 자주 사용되는 것 같습니다.

다른 저자는 다음과 같이 설명한다.^[3]

그 차이는 편리함과 관습의 차이입니다.겹치는 파동이 몇 개의 일관된 소스, 예를 들어 두 개에서 발생하는 경우, 그 효과를 간섭이라고 합니다.한편, 중첩되는 파형이 파면을 극소량의 간섭성 웨이브릿(소스)으로 세분함으로써 발생하는 경우, 그 효과를 회절이라고 한다.두 현상의 차이는 정도의 문제일 뿐이고 기본적으로는 중첩 효과를 제한하는 두 가지 경우입니다.

또 다른 소식통은 다음과 같이 말한다.^[4]

Young에 의해 관찰된 간섭 프링들이 이중 슬릿의 회절 패턴이었던 것처럼, 이 장 [Fraunhofer 회절]은 따라서 8장 [간섭]의 연속입니다.반면에, Michelson 간섭계를 회절의 예로 간주하는 안경가는 거의 없을 것이다.회절의 중요한 카테고리 중 일부는 파면의 분할을 수반하는 간섭과 관련이 있기 때문에 파인만의 관찰은 진폭의 분할과 파면의 분할을 구별하는 데 어느 정도 어려움을 반영합니다.

파동 간섭

파동간 간섭 현상은 이 아이디어에 기초하고 있다.두 개 이상의 파형이 동일한 공간을 통과할 때 각 포인트의 순 진폭은 개별 파형의 진폭 합계가 됩니다.노이즈 캔슬링 헤드폰 등 경우에 따라서는 컴포넌트 변동보다 합산된 변동폭이 작습니다.이를 파괴적 간섭이라고 합니다.라인 어레이와 같은 다른 경우에는 합산된 변동의 진폭이 구성 요소 중 개별적으로보다 큽니다. 이를 구성 간섭이라고 합니다.

합쳐진 파형
웨이브 1
웨이브 2
	2개의 위상파	180° 바깥쪽으로 2개의 파도 동상의

선형성으로부터의 이탈

대부분의 현실적 물리적 상황에서 파동을 지배하는 방정식은 단지 대략적인 선형일 뿐입니다.이러한 상황에서 중첩 원리는 대략적으로만 유지됩니다.일반적으로 파형의 진폭이 작아질수록 근사 정밀도가 향상되는 경향이 있습니다.중첩 원리가 정확하게 유지되지 않을 때 발생하는 현상의 예는 비선형 광학 및 비선형 음향학 기사를 참조하십시오.

양자 중첩

양자역학에서 주요 과제는 특정 유형의 파동이 어떻게 전파되고 움직이는지를 계산하는 것입니다.파동은 파동 함수에 의해 설명되며, 그 동작을 지배하는 방정식은 슈뢰딩거 방정식이라고 불립니다.파동함수의 동작을 계산하는 주요 접근법은 특정 유형의 (아마도 무한히 많은) 다른 파동함수의 중첩(양자 중첩)으로 쓰는 것이다. 즉, 동작이 특히 단순한 정지상태이다.슈뢰딩거 방정식은 선형이기 때문에 원래 파동 함수의 거동은 중첩 원리를 통해 계산될 수 있습니다.^[5]

양자역학적 상태 공간의 투영적 특성은 중요한 차이를 만든다: 그것은 본 기사의 주제인 종류의 중첩을 허용하지 않는다.양자역학적 상태는 벡터가 아닌 투영 힐버트 공간의 광선이다.두 개의 광선의 합은 정의되어 있지 않다.상대상을 얻으려면 광선을 분해하거나 성분으로 분할해야 합니다.

${\displaystyle {여기}_{}}$서 C j${\displaystyle {}_{}c}$C { $style$ C _ { $j$} \$in$ \ $textbf$ { C $}$ the$$ the ${\displaystyle {the}_{}}$ the j the the belongs the the j j$$belongs belongs 、 { $displaystyle \phi$_ {$j}$ \ $rangle }$는 직교 정규 기본 세트에 속합니다.등가 클래스 「$」$에서는, ${\displaystyle C_{}}j$의 상대적인 위상(「$displaystyle$ $\psi$ _${i}\$$rangle$$\})$^[6]에 명확한 의미를 부여할 수 있습니다.

이 페이지의 메인에 나타나는 중첩과 양자 중첩 사이에는 몇 가지 유사점이 있습니다.그럼에도 불구하고, 양자 중첩의 주제에 대해 크래머스는 다음과 같이 쓰고 있다: "[양자] 중첩의 원리...고전물리학에서는 유추할 수 없습니다.디랙에 따르면: "양자역학에서 일어나는 중첩은 고전 이론에서 일어나는 어떤 것과 본질적으로 다른 성질의 것이다."^[7]

경계값 문제

경계값 문제의 일반적인 유형은 (추상적으로 말하면) 어떤 방정식을 만족시키는 함수 y를 찾는 것이다.

어느 정도 경계 사양이 있는예를 들어 디리클레 경계 조건을 갖는 라플라스 방정식에서 F는 영역 R의 라플라스 연산자, G는 R의 경계로 y를 제한하는 연산자, z는 R의 경계에서 y가 같아야 하는 함수이다.

F와 G가 둘 다 선형 연산자인 경우, 중첩 원리는 첫 번째 방정식에 대한 솔루션의 중첩이 첫 번째 방정식에 대한 또 다른 해라고 말합니다.

경계값이 겹치는 동안:이러한 사실을 이용하여, 만약 첫 번째 방정식에 대한 해들의 목록을 작성할 수 있다면, 이 해들은 두 번째 방정식을 만족시킬 수 있도록 조심스럽게 중첩될 수 있다.이것은 경계값 문제에 접근하는 일반적인 방법 중 하나입니다.

가법 상태 분해

단순한 선형 시스템을 고려합니다.

중첩 원리에 따라 시스템은 다음과 같이 분해될 수 있습니다.

와 함께

중첩 원리는 선형 시스템에만 사용할 수 있습니다.그러나 Additive 상태 분해는 선형 시스템뿐만 아니라 비선형 시스템에도 적용할 수 있습니다.다음으로, 비선형 시스템을 고려합니다.
${\displaystyle {x}=Ax+B(u_{1}+u_{2})+\phi(c^{T}x),x(0)=x_{0}.}$
$여기$서 ${\$ { $displaystyle \phi }$는 비선형 함수입니다.첨가 상태 분해에 의해 시스템을 첨가 분해할 수 있다.

와 함께

이 분해는 컨트롤러 설계를 단순화하는 데 도움이 됩니다.

기타 응용 프로그램 예시

• 전기공학에서 선형회로에서 입력(적용된 시변전압신호)은 선형변환에 의해 출력(회로 내 임의의 전류 또는 전압)과 관련된다.따라서, 입력 신호의 중첩(즉, 합)은 응답의 중첩을 생성합니다.이러한 기초에 대한 푸리에 분석의 사용은 특히 일반적입니다.또 다른 방법은 회로 분석의 관련 기술인 중첩 정리를 참조하십시오.
• 물리학에서 맥스웰 방정식(Maxwell's 방정식)은 전하와 전류의 (가능성이 있는) 분포가 선형 변환에 의해 전기장과 자기장과 관련이 있다는 것을 의미한다.따라서 중첩 원리를 사용하여 주어진 전하 및 전류 분포에서 발생하는 필드의 계산을 단순화할 수 있습니다.이 원리는 열 방정식과 같은 물리학에서 발생하는 다른 선형 미분 방정식에도 적용됩니다.
• 공학에서 중첩은 효과가 선형일 때 결합된 하중의 빔 및 구조편향을 해결하기 위해 사용된다(즉, 각 하중은 다른 하중의 결과에 영향을 주지 않으며 각 하중의 효과는 구조 시스템의 ^[8]형상을 크게 변화시키지 않는다).모드 중첩 방법은 고유 주파수와 모드 형태를 사용하여 선형 ^[9]구조의 동적 응답을 특성화합니다.
• 수문지질학에서 중첩원리는 이상적인 대수층 중 2개 이상의 수정이 펌핑되는 수정에 적용된다.이 원리는 단일 모델에서 결합할 수 있는 분석 요소를 개발하기 위해 분석 요소 방법에 사용됩니다.
• 프로세스 제어에서 중첩 원리는 모델 예측 제어에 사용된다.
• 중첩 원리는 알려진 솔루션에서 비선형 시스템으로의 작은 편차가 선형화에 의해 분석될 때 적용될 수 있다.
• 음악에서, 이론가 조셉 실링거는 그의 실링거 작곡 체계에서 리듬 이론의 하나의 기초로서 중첩 원리의 형태를 사용했습니다.
• 컴퓨팅에서는 공유 메모리, 팻 바이너리, 고도로 최적화된 자기 수정 코드와 실행 가능한 텍스트의 중복 명령에서 여러 코드 경로, 코드와 데이터 또는 여러 데이터 구조의 중첩이 종종 볼 수 있습니다.

역사

레옹 브릴루인에 따르면, 중첩의 원리는 1753년 다니엘 베르누이에 의해 처음 언급되었습니다: "진동계의 일반적인 움직임은 적절한 진동의 중첩에 의해 주어진다."그 원리는 레온하르트 오일러에 의해 거부되었고 조셉 라그랑쥬에 의해 거부되었다.베르누이는 잘 정의된 진동 주파수를 가진 일련의 간단한 모드에서 어떤 소리나는 물체도 진동할 수 있다고 주장했다.앞서 그가 지적한 바와 같이, 이러한 모드는 더 복잡한 진동을 발생시키기 위해 중첩될 수 있다.베르누이의 회고록에 대한 그의 반응에서, 오일러는 그의 동료가 진동하는 현의 문제의 물리적 부분을 가장 잘 발전시켰다고 칭찬했지만, 다중 모드 ^[10]솔루션의 일반성과 우수성은 부정했다.

나중에 그것은 주로 조셉 ^[11]푸리에의 작품을 통해 받아들여졌다.

「 」를 참조해 주세요.

• 가법 상태 분해
• 비트(음향)
• 일관성(물리학)
• 컨볼루션
• 그린의 함수
• 임펄스 응답
• 방해다
• 양자 중첩

레퍼런스

추가 정보

외부 링크

• Wikimedia Commons의 중첩 원칙 관련 매체
• Wiktionary에서의 간섭에 대한 사전 정의