기능 통합

함수 통합은 수학과 물리학에서 적분의 영역이 더 이상 공간의 영역이 아닌 함수의 공간인 결과의 집합입니다.함수 적분은 확률, 편미분 방정식의 연구 및 입자 및 필드의 양자 역학에 대한 경로 적분 접근에서 발생합니다.

일반적인 적분(르베그 적분의 의미)에는 적분해야 할 함수와 적분해야 할 공간 영역(적분 영역)이 있다.통합 프로세스는 통합 영역의 각 지점에 대한 통합의 값을 합산하는 것으로 구성됩니다.이 절차를 엄격하게 하려면 제한 절차가 필요하며, 통합 영역은 점점 더 작은 영역으로 분할됩니다.작은 영역마다 integration과 integration의 값은 크게 다를 수 없으므로 단일 값으로 대체할 수 있습니다.기능 적분에서 통합의 영역은 기능의 공간이다.각 함수에 대해 integrand는 가산할 값을 반환합니다.이 절차를 엄격하게 하는 것은 현재 연구의 주제가 되고 있는 과제를 계속 제기한다.

기능 통합은 1919년^[1] 퍼시 존 다니엘과 1921년 브라운 운동에 관한 그의 기사에서 절정에 이르는 일련의 연구에서 개발되었습니다.그들은 입자의 무작위 경로에 확률을 할당하기 위한 엄격한 방법(현재는 위너 측정으로 알려져 있음)을 개발했다.리처드 파인만은 시스템의 양자 특성을 계산하는 데 유용한 또 다른 함수 적분인 경로 적분을 개발했습니다.파인만의 경로 적분에서는 입자에 대한 고유 궤적의 고전적 개념이 고전적 특성에 따라 가중치가 다른 고전적 경로의 무한합으로 대체된다.

기능 통합은 이론 물리학에서 양자화 기술의 핵심입니다.함수 적분의 대수적 특성은 양자 전기역학 및 입자 물리학의 표준 모델을 계산하는 데 사용되는 열을 개발하기 위해 사용됩니다.

기능 통합

표준 리만 적분은 함수 f(x)를 x의 연속 범위에 걸쳐 합산하는 반면, 함수 적분은 함수 f의 연속 범위에 걸쳐 "함수의 함수"라고 생각할 수 있는 함수 G[f]를 합산한다.대부분의 기능 적분은 정확하게 평가할 수 없지만 섭동 방법을 사용하여 평가해야 합니다.함수 적분의 공식 정의는 다음과 같다.

\displaystyle \int G[f][Df]\equiv \int \limits _{-\infty}^{\infty}\cdots \int \limits _{-\infty}^{\infty}G[f]\prod _{x}df(x)}

그러나 대부분의 경우 함수 f(x)는 f $f(x)=f_{n}H_{n}(x)$ $=$ $f(x)=f_{n}H_{n}(x)$ n $f(x)=f_{n}H_{n}(x)$ n $)$ { $style$ f $(x$ )= $f_{n}$ 와 $f(x)=f_{n}H_{n}(x)$ 무한 직교 함수의 관점에서 쓸 수 있습니다. $H_{n}(x$ 그 후 정의가

\displaystyle \int G[f][Df]\equiv \int \limits _{-\infty }^{-\infty }\cdots \int \limits _{-\infty }^{\infty }G(f_{1},f_{2},\ldots)\prodf_n}{n}

조금 더 이해하기 쉽죠.적분은 대문자 D와 함수 적분으로 나타납니다.f가 함수임을 나타내기 위해 대괄호 [Df] 또는 D[f]로 쓰이기도 합니다.

예

대부분의 함수 적분은 실제로 무한하지만, 관련된 두 함수 적분의 몫의 한계는 여전히 유한할 수 있습니다.정확하게 평가할 수 있는 기능 적분은 일반적으로 다음과 같은 가우스 적분으로 시작합니다.

{\frac {i}{2}}\int f(x)\cdot K(x,y)\cdot f(y)\dy+\int J(x)\cdot f(x){Df}{\int e^{-{\f}{\fraci}\cdot f(x)

이를 J(x)에 대해 기능적으로 미분하고 0으로 설정하면 f의 다항식 곱셈이 됩니다. $K(x,y)=\Box \delta (x-y)$ 를 들어 $K(x,y)=\Box \delta (x-y)$ $K(x,y)=\Box \delta (x-y)$ ( x $K(x,y)=\Box \delta (x-y)$ , y ) $K(x,y)=\Box \delta (x-y)$ ◻ $K(x,y)=\Box \delta (x-y)$ ( $K(x,y)=\Box \delta (x-y)$ - y $K(x,y)=\Box \delta (x-y)$ ){ $displaystyle$ K ( $x$ , y $)=\Box \back$ ( x - $K(x,y)=\Box \delta (x-y)$ y $K(x,y)=\Box \delta (x-y)$ 를 $K(x,y)=\Box \delta (x-y)$ 하면 다음과 같이 됩니다.

(\displaystyle\frac\int f(a) f(b) e^{i\int f(x)박스 f(x),dx^{4}[Df]}{\int e^{i\int f(x)\박스 f(x),dx^{4}[Df]}=K^{-1}(a,b)=paramfrac {1}{a-b^{2}}}}

여기서 a, b, x는 4차원 벡터입니다.이것은 양자 전기역학에서 광자의 전파 공식에서 유래한다.또 하나의 유용한 요소는 기능 델타 함수입니다.

\displaystyle \int e^{i\int f(x)g(x),dx}[Df]=\delta [g]=\display _{x}\displays {big (}g(x){\big}}}},

이것은 제약 조건을 지정하는 데 유용합니다.함수 적분도 그래스만 값 $\psi (x)$ $\psi (x)$ ( $\psi (x)$ ) { $displaystyle \psi ( x$ ) $\psi (x)$ $\psi (x)\psi (y)=-\psi (y)\psi (x)$ - $\psi (x)\psi (y)=-\psi (y)\psi (x)$ ( $\psi (x)\psi (y)=-\psi (y)\psi (x)$ ) $\psi (x)\psi (y)=-\psi (y)\psi (x)$ ( $\psi (x)\psi (y)=-\psi (y)\psi (x)$ x $\psi (x)\psi (y)=-\psi (y)\psi (x)$ ) { $displaystyle \psi ( x$ ) \ $psi$ ( x ) = - psi ( y ) （ y $\psi (x)\psi (y)=-\psi (y)\psi (x)$ ） ψ ( x $\psi (x)\psi (y)=-\psi (y)\psi (x)$ ） ψ ) ions ψ ψ ψ $\psi (x)\psi (y)=-\psi (y)\psi (x)$ ψ ψ ψ ψ ψ ψ 、 display display （ x ) $\psi (x)\psi (y)=-\psi (y)\psi (x)$ 、 \ displaysty \psi \psi \psi ( x ) - - - - - -

경로 통합에 대한 접근법

통합 공간이 경로로 구성된 기능 적분(functional integration)은 여러 가지 방법으로 정의할 수 있습니다.정의는 두 가지 다른 클래스로 분류된다: 비너 이론에서 파생된 구성은 측정치에 기초한 적분을 산출하는 반면, 파인만의 경로 적분을 따르는 구성은 그렇지 않다.이 두 개의 큰 분할 내에서도 적분은 동일하지 않다.즉, 기능 클래스에 따라 다르게 정의된다.

위너 적분

위너 적분에서는 브라운 운동 경로의 클래스에 확률이 할당된다.클래스는 특정 시간에 작은 공간 영역을 통과하는 것으로 알려진 경로 w로 구성됩니다.공간의 다른 영역을 통과하는 통로는 서로 독립적으로 가정되며, 브라운 경로의 두 지점 간 거리는 시간 t와 확산 상수 D에 따라 달라지는 분산으로 가우스 분포로 가정된다.

\displaystyle \Pr ( s + t ) , t \ mid w ( s ) , s \ big } = scfrac {1} { \ exp \ frac { \ w ( s + t ) - w ( s ) \ ^ { 2 Dt } \ right } 。}

경로 클래스에 대한 확률은 한 영역에서 시작하여 다음 영역에서 시작하는 확률을 곱하여 찾을 수 있습니다.위너 측정은 많은 작은 지역의 한계를 고려하여 개발할 수 있습니다.

이토 스트라토노비치 미적분

파인만 적분

트로터 공식 또는 라이 제품 공식.
윅 회전의 카크 아이디어.
x-점-제곱 또는 i S[x] + x-점-제곱 사용.
Cartier DeWitt – Morette는 측정이 아닌 통합업체에 의존합니다.

Levy 적분

「」를 참조해 주세요.

파인만 경로 적분
분할 함수(양자장 이론)
안장점 근사
Minlos, R. A. (2001) [1994], "Integral over trajectories", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

레퍼런스

^ Daniell, P. J. (July 1919). "Integrals in An Infinite Number of Dimensions". The Annals of Mathematics. Second Series. 20 (4): 281–288. doi:10.2307/1967122. JSTOR 1967122.

추가 정보

Jean Zinn-Justin (2009), Scholarpedia 4 (2): 8674.
Kleinert, Hagen, 양자역학, 통계, 고분자물리학 및 금융시장의 경로적분, 제4판, 월드사이언티픽(싱가포르, 2004년), Paperback ISBN 981-238-107-4(온라인: PDF 파일도 이용 가능)
Laskin, Nick (2000). "Fractional quantum mechanics". Physical Review E. 62 (3): 3135. arXiv:0811.1769. Bibcode:2000PhRvE..62.3135L. doi:10.1103/PhysRevE.62.3135.
Laskin, Nick (2002). "Fractional Schrödinger equation". Physical Review E. 66 (5): 056108. arXiv:quant-ph/0206098. Bibcode:2002PhRvE..66e6108L. doi:10.1103/PhysRevE.66.056108. PMID 12513557.
O. G. 스몰랴노프, E. T. 샤브굴리제지속적인 통합모스크바, 모스크바 주립 대학 출판부, 1990년.(러시아어)http://lib.mexmat.ru/books/5132
Victor Popov, 양자장 이론 및 통계물리 함수적분학, Springer 1983
Sergio Albeverio, Sonia Mazzucchi, 무한 차원 통합 접근법, 수리 물리학 리뷰, 28, 1650005 (2016)

[1] Daniell, P. J. (July 1919). "Integrals in An Infinite Number of Dimensions". The Annals of Mathematics. Second Series. 20 (4): 281–288. doi:10.2307/1967122. JSTOR 1967122.

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