기하학적 해석
Geometric analysis
기하학적 분석은 미분방정식의 도구, 특히 타원 부분미분방정식(PDE)을 사용하여 미분 기하학 및 미분위상에서의 새로운 결과를 확립하는 수학적 학문이다. 선형 타원형 PDE의 사용은 적어도 호지 이론만큼 오래 전에 시작되었다. 보다 최근에는 주로 유클리드 공간의 서브매니폴드, 리만 다지관, 공감 다지관 등 공간의 기하학적, 위상학적 특성을 연구하기 위해 비선형 부분 미분 방정식을 사용하는 것을 언급하고 있다. This approach dates back to the work by Tibor Radó and Jesse Douglas on minimal surfaces, John Forbes Nash Jr. on isometric embeddings of Riemannian manifolds into Euclidean space, work by Louis Nirenberg on the Minkowski problem and the Weyl problem, and work by Aleksandr Danilovich Aleksandrov and Aleksei Pogorelov on convex hypersurfaces. 1980년대 카렌 울렌벡,[1] 클리포드 타우베, 싱퉁 야우, 리처드 쇤, 리처드 해밀턴의 근본적인 공헌은 오늘날까지 이어지는 특히 흥미진진하고 생산적인 기하학적 분석의 시대를 열었다. 유명한 업적은 그리가리 페렐만의 푸앵카레 추측에 대한 해결책으로, 리차드 해밀턴에 의해 시작되었고 주로 수행된 프로그램을 완성했다.
범위
기하학적 분석의 범위는 부분 미분 방정식의 연구("기하학 PDE"라고도 하는 경우)에서 기하학적 방법의 사용과 부분 미분 방정식의 이론을 기하학에 적용하는 것을 모두 포함한다. 그것은 곡선과 표면, 또는 경계가 곡선인 도메인과 관련된 문제들뿐만 아니라 임의의 차원에서 리만 다지관에 대한 연구도 포함하고 있다. 변동 원리에서 발생하는 미분방정식은 기하학적 내용이 강하기 때문에 변동의 미적분은 기하학적 분석의 일부로 간주되기도 한다. 기하학적 분석에는 다지관의 미분방정식 연구와 미분방정식과 위상과의 관계에 관한 글로벌 분석도 포함된다.
The following is a partial list of major topics within geometric analysis:
- Gauge theory
- Harmonic maps
- Kähler–Einstein metrics
- Mean curvature flow
- Minimal submanifolds
- Positive energy theorems
- Pseudoholomorphic curves
- Ricci flow
- Yamabe problem
- Yang–Mills equations
References
- ^ Jackson, Allyn. (2019). Founder of geometric analysis honored with Abel Prize Retrieved 20 March 2019.
Further reading
- Schoen, Richard; Yau, Shing Tung (2010). Lectures on Differential Geometry. International Press of Boston. ISBN 978-1-571-46198-8.
- Andrews, Ben (2010). The Ricci Flow in Riemannian Geometry: A Complete Proof of the Differentiable 1/4-Pinching Sphere Theorem (1st ed.). Springer. ISBN 978-3-642-16285-5.
- Jost, Jürgen (2005). Riemannian geometry and Geometric Analysis (4th ed.). Springer. ISBN 978-3-540-25907-7.
- Lee, Jeffrey M. (2009). Manifolds and Differential Geometry. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4815-9.
- Helgason, Sigurdur (2000). Groups and Geometric Analysis (Integral Geometry, Invariant Differential Operators and Spherical Functions) (2nd ed.). American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2673-7.
- Helgason, Sigurdur (2008). Geometric Analysis on Symmetric Spaces (2nd ed.). American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4530-1.
