텐서

수학에서 텐서(tensor)는 벡터 공간과 관련된 대수적 대상들의 집합들 사이의 다중선 관계를 설명하는 대수적 대상입니다.텐서는 벡터, 스칼라 그리고 심지어 다른 텐서들과 같은 다른 물체들 사이를 매핑할 수도 있습니다.가장 단순한 텐서인 스칼라와 벡터, 이중 벡터, 벡터 공간 사이의 다중선 지도, 그리고 심지어 점 곱과 같은 일부 연산을 포함한 많은 종류의 텐서가 있습니다.텐서는 어떤 기저에도 관계없이 정의되지만, 특정 좌표계와 관련된 기저에서 구성 요소에 의해 언급되는 경우가 많습니다. 이러한 구성 요소는 고차원 행렬로 간주될 수 있는 배열을 형성합니다.

텐서는 역학(응력, 탄성, 유체역학, 관성 모멘트, ...), 전기역학(전자기 텐서, 맥스웰 텐서, 유전율, 자기 민감도, ...), 일반 상대성 이론과 같은 분야에서 물리학 문제를 공식화하고 해결하기 위한 간결한 수학적 틀을 제공하기 때문에 물리학에서 중요하게 되었습니다.(원자 에너지 텐서, 곡률 텐서, ...) 등이 있습니다.응용 프로그램에서는 물체의 각 지점에서 다른 텐서가 발생할 수 있는 상황을 연구하는 것이 일반적입니다. 예를 들어 물체 내의 응력은 한 위치에 따라 다를 수 있습니다.이것은 텐서 장의 개념으로 이어집니다.일부 영역에서는 텐서 필드가 매우 편재하기 때문에 종종 단순히 "텐서"라고 불립니다.

툴리오 레비-시비타와 그레고리오 리치-커바스트로는 1900년 텐서를 대중화시켜 베른하르트 리만, 엘윈 브루노 크리스토펠 등의 초기 연구를 계속하여 절대미분학의 일부로 사용했습니다.이 개념은 리만 곡률 ^[1]텐서의 형태로 다양체의 고유 미분 기하학의 대안적인 공식화를 가능하게 했습니다.

정의.

겉보기에는 다르지만 텐서를 정의하는 다양한 접근법은 다른 언어와 다른 추상화 수준을 사용하여 동일한 기하학적 개념을 설명합니다.

다차원 배열로서

텐서는 (잠재적으로 다차원적인) 배열로 표현될 수 있습니다.n차원 공간의 벡터가 주어진 기저에 대해 n개의 성분을 갖는 1차원 배열로 표현되는 것처럼 기저에 대한 모든 텐서는 다차원 배열로 표현됩니다.예를 들어 선형 연산자는 2차원 제곱 n × n 배열로 기저로 표현됩니다.다차원 배열의 숫자는 텐서의 성분으로 알려져 있습니다.이들은 텐서의 기호 이름 뒤에 첨자와 위첨자로 배열에서 위치를 제공하는 인덱스로 표시됩니다.예를 들어, 차수 2 텐서 T의 성분은 T로 표시될_ij 수 있으며, 여기서 i와 j는 1부터 n까지 실행되는 인덱스이거나 T로 표시될 수도 있습니다. 인덱스가 위첨자로 표시되는지 첨자로 표시되는지 여부는 아래에 설명된 텐서의 변환 속성에 따라 달라집니다.따라서 T와 T는 모두 n개 단위의 행렬로 표현될 수 있으며 인덱스 저글링을 통해 수치적으로 연관되어 있지만_ij 변환 법칙의 차이는 이들을 더하는 것이 부적절하다는 것을 나타냅니다.

각 구성 요소를 고유하게 식별하는 데 필요한 총 인덱스 수(m)는 어레이의 치수 또는 웨이 수와 동일하므로 어레이를 m-차원 어레이 또는 m-웨이 어레이라고 부르기도 합니다.전체 지수의 수는 ^[2][3][4]텐서의 순서, 정도 또는 순위라고도 불리지만, "순위"라는 용어는 일반적으로 행렬과 텐서의 맥락에서 다른 의미를 갖습니다.

우리가 벡터 공간의 기저를 바꿀 때 벡터의 성분이 변하는 것처럼, 텐서의 성분도 그러한 변환 하에서 변합니다.텐서의 각 유형에는 텐서의 구성 요소가 기저의 변화에 어떻게 반응하는지를 자세히 설명하는 변환 법칙이 포함되어 있습니다.벡터의 구성 요소는 기저의 변화에 대해 두 가지 다른 방식으로 반응할 수 있습니다(벡터의 공분산 및 반변성 참조). 여기서 새로운 기저 $벡터{\displaystyle {\stackrel{}{\mathbf{}}}_{}}$ ${\displaystyle e_{}}$ i ${\$ \$mathbf {\hat {e}} _{$i$$}는 이전 $기저{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ej$${\$displaystyle$ \$mathbf {e} _{$j$$}로 표현되며,

${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}=\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}R_{i}^{j}=\mathbf {e}_{j}R_{i}^{j}}}$

여기 ^j_i R은 기저 행렬의 변화의 항목이고, 가장 오른쪽 표현에서 합산 기호는 억제되었습니다: 이것은 이 ^{[Note 1]}글을 통해 사용될 아인슈타인 합산 규약입니다.열 벡터 v의 성분ⁱ v는 행렬 R의 역으로 변환됩니다.

${\displaystyle {\hat {v}}^{i}=\left(R^{-1}\right)_{j}^{i}v^{j}}$

여기서 모자는 새로운 기준의 구성요소를 나타냅니다.벡터 성분들이 기저의 변화의 역에 의해 변환되기 때문에 이것은 반변형 변환 법칙이라고 불립니다.반대로 코벡터(또는 행 벡터)의 성분 w, w는_i 행렬 R 자체와 함께 변환됩니다.

${\displaystyle {\hat {w}}_{i}=w_{j}R_{i}^{j}}$

코벡터 성분이 기저 행렬의 변화와 동일한 행렬로 변환되기 때문에 이를 공변 변환 법칙이라고 합니다.보다 일반적인 텐서의 구성 요소는 각 인덱스에 대해 하나의 변환 법칙을 사용하여 공변 및 반변 변환의 일부 조합에 의해 변환됩니다.인덱스의 변환 행렬이 기본 변환의 역행렬이면 인덱스를 반변수라고 하며 일반적으로 상위 인덱스(윗첨자)로 표시합니다.인덱스의 변환 행렬이 기본 변환 그 자체인 경우, 인덱스는 공변(vocant)이라고 불리며 하위 인덱스(subscript)로 표시됩니다.

간단한 예로, 기저에 대한 선형 연산자의 행렬은 기저 $행렬$ R = (${\displaystyle {}_{}^{}}${\$displaystyle$ T$}$ {\$displaystyle$ R =$\left(R_{i}^{j}\$right)}에서 T^${\displaystyle \stackrel{}{}}$= ${\displaystyle {\mathrm{R}}^{}}$ - ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle T}$R {\$displaystyle {\hat$ {T}} = $R^{-1}TR$ 개별 행렬 항목에 대해,이 변환 법칙은 $형식$ ${\displaystyle {T\stackrel{}{}}_{}^{}}$^ j${\displaystyle {{\text{'}}^{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle i_{{}^{}}^{}}$′ i${\displaystyle {}_{}^{}}$= (${\displaystyle {{\mathrm{R}}^{}}_{}^{}}$ - ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ) ${\displaystyle {}_{}^{}}$ i${\displaystyle {{\text{'}}^{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle T_{}^{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {r{}^{}}_{}^{}}$j$${\$displaystyle${\$hat {T}}_{j'}^{i$'}=\$left(R^{-1}\right)_{i}^{i'}$$T_{j}^{i}R_{j'}^{j}$이므로 선형 연산자의 행렬에 해당하는 텐서는 하나의 공변과 하나의 반변 지수를 갖습니다. 유형 (1,1)입니다.

같은 지수를 가진 공변 성분과 반변 성분의 조합으로 기하학적 불변량을 표현할 수 있습니다.예를 들어, 벡터가 서로 다른 좌표계에 있는 동일한 물체라는 사실은 위에 정의된 공식을 사용하여 다음 방정식으로 나타낼 수 있습니다.

$=$$}=\mathbf$ _${j}^{k}{v}^{j}\mathbf {e} _{$k}$=${$v}^{k}\,\mathbf$ {$e} _{$k}$=${$v}^{i}\,\mathbf {e} _{i$

여기서 δ j ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle \delta$ _${j}^{k}}$는 항등 행렬과 유사하게 기능하는 크로네커 델타이며 인덱스 이름을 k로 변경하는 효과를 갖습니다.이것은 성분 표기법의 몇 가지 특징을 보여줍니다. 항을 마음대로 다시 정렬할 수 있는 기능(호환성), 동일한 식에서 여러 객체를 사용할 때 다른 인덱스를 사용할 필요성, 인덱스 이름을 바꾸는 기능, 변환의 모든 인스턴스가 사용되도록 반변형 텐서와 공변형 텐서가 결합하는 방식 등입니다.행렬과 그 역순으로 취소하므로, ${\displaystyle {}_{}}$ i$${\$displaystyle {v}^{i}\,\mathbf {e}$ _${i}}$와 같은 $표현$은 모든 좌표계에서 기하학적으로 동일한 것을 즉시 볼 수 있습니다.

마찬가지로 기하학적 객체로 간주되는 선형 연산자는 실제로 기저에 의존하지 않습니다. 벡터를 인수로 받아들이고 다른 벡터를 생성하는 선형 맵일 뿐입니다.선형 연산자의 성분 행렬이 기저에 따라 어떻게 변하는지에 대한 변환 법칙은 변형 벡터에 대한 변환 법칙과 일치하므로 변형 벡터에 대한 선형 연산자의 작용은 좌표로 각각의 좌표 표현의 행렬 곱으로 표현됩니다.즉$,$ ($)$ i ${\displaystyle$ (tv$)^{i$}} 구성요소는 (${\displaystyle \mathrm{tv}{}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ = ${\displaystyle {Tjv}^{}}$ j$${\$displaystyle (tv)^{i$}=$T_{j}^{i}v^{j$다음과 같이 구성 요소가 변형됩니다.

${\displaystyle \left({\widehat {Tv}}\right)^{i'}={\hat {T}}_{j'}^{i'}{\hat {v}}^{j'}=\left[\left(R^{-1}\right)_{i}^{i'}T_{j}^{i}R_{j'}^{j}\right]\left[\left(R^{-1}\right)_{k}^{j'}v^{k}\right]=\left(R^{-1}\right)_{i}^{i'}(Tv)^{i}}}$

따라서 p개의 반변 지수와 q개의 공변 지수를 갖는 차수 p + q 텐서에 대한 변환 법칙은 다음과 같이 주어집니다.

${\displaystyle {\hat {T}}_{j'_{1},\ldots,j'_{q}^{i'_{1},\ldots,i'_{p}=\left(R^{-1}\right)_{i_{1}^{i'_{1}\cdots \left(R^{-1}\right)_{i_{p}^{i'_{p}}$ ${\displaystyle T_{j_{1},\ldots,j_{q}}^{i_{1},\ldots,i_{p}}$ ${\displaystyle R_{j'_{1}}^{j_{1}}\cdots R_{j'_{q}}^{j_{q}}}$

여기서 primed index는 새 좌표의 성분을 나타내고, primed index는 이전 좌표의 성분을 나타냅니다.이러한 텐서는 순서 또는 유형(p, q)이라고 합니다."order", "type", "rank", "valence", 그리고 "degree"라는 용어들은 모두 같은 개념에 사용됩니다.여기서 "차수" 또는 "총차수"라는 용어는 배열의 전체 차원(또는 다른 정의에서의 일반화), 앞의 예제에서 p + q, 그리고 반변 및 공변 지수의 수를 제공하는 쌍에 대한 "유형"이라는 용어를 사용합니다.유형 (p, q)의 텐서는 줄여서 (p, q)-텐서라고도 불립니다.

이 논의는 다음과 같은 공식적인 ^[5][6]정의에 동기를 부여합니다.

정의.유형 (p, q)의 텐서는 다차원 배열의 할당입니다.

${\displaystyle T_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}[\mathbf {f} ]}$

기저의 변화를 적용하면 다음과 같은 n차원 벡터 공간의 각 기저 f = (e, ..., e)에

${\displaystyle \mathbf {f} \maps to \mathbf {f} \cdot R=\left(\mathbf {e} _{i}R_{1}^{i},\dots,\mathbf {e} _{i}R_{n}^{i}\right)}$

그러면 다차원 배열은 변환 법칙을 따릅니다.

${\displaystyle T_{j'_{1}\dots j'_{q}^{i'_{1}\dots i'_{p}[\mathbf {f}\cdot R]=\left(R^{1}\right)_{i_{1}}^{i'_{1}}\cdots \left(R^{-1}\right)_{i_{p}^{i'_{p}}$ ${\displaystyle T_{j_{1},\ldots,j_{q}}^{i_{1},\ldots,i_{p}}[\mathbf {f} ]}$ ${\displaystyle R_{j'_{1}}^{j_{1}}\cdots R_{j'_{q}}^{j_{q}}}$

변환 법칙을 만족시키는 다차원 배열로서의 텐서의 정의는 ^[1]리치의 연구로 거슬러 올라갑니다.

텐서의 동등한 정의는 일반 선형 그룹의 표현을 사용합니다.n차원 벡터 공간의 모든 순서 기저들의 집합에 대한 일반 선형 그룹의 작용이 있습니다.$f$ = ( ${\displaystyle {}_{}}$ 1${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \dots ,}$ f${\displaystyle {}_{}}$ )$${\$displaystyle \mathbf {f}$ =(\$mathbf {f}$_{$1},\csv,\mathbf {f}$ _{n}}}이(${\displaystyle {가}_{}^{}}$) 순서 기반이고$$ =${\displaystyle {}_{}^{}}$($Rji$) {\$displaystyle R$=\$left(R_{j}^{i}\$$right$)}이$($가) $가역적$ n × n {\$displaystyle$ n$}$ 행렬이면 동작은 다음과 같이 주어집니다.

${\displaystyle \mathbf {f} R=\left(\mathbf {f} _{i}R_{1}^{i},\dots,\mathbf {f} _{i}R_{n}^{i}\right)}$

F를 모든 순서 기저의 집합이라 합니다.그러면 F는 GL(n)의 주동형 공간입니다.W를 벡터 공간이라 하고, ρ ${\displaystyle \rho }$를 W 위의 GL(n)의 표현이라고 하자(즉, 군 동형${\displaystyle }$ρ :${\displaystyle \text{GL}}$ (${\displaystyle n}$ ) →${\displaystyle \text{GL}}$ (${\displaystyle W}$ )$${\$displaystyle \rho$ : {\$text{GL}(n)\to${\$text{GL}(W)}).$그렇다면 유형 ρ ${\displaystyle \rho}$의 텐서는 등변 $맵{\displaystyle }$T : ${\displaystyle F}$ → ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle$T :F$\toW$ 여기서 등변성은 $다음$을 의미합니다.

${\displaystyle T(FR)=\rho \left(R^{-1}\right)T(F)}$

ρ ${\displaystyle \rho }$가 일반 선형 그룹의 텐서 표현일 때, 이것은 텐서의 일반적인 정의를 다차원 배열로 제공합니다.이 정의는 ^[7]종종 다양체의 텐서를 설명하는 데 사용되며, 다른 ^[5]그룹에 쉽게 일반화됩니다.

다중선형 지도로서

다차원 배열 접근법을 사용하는 텐서 정의의 단점은 정의된 객체가 본질적으로 기하학적 객체로부터 예상되는 것처럼 실제로 기초 독립적이라는 것이 정의로부터 명백하지 않다는 것입니다.변환 법칙이 실제로 기초로부터 독립성을 보장한다는 것을 보여주는 것은 가능하지만, 때로는 보다 본질적인 정의가 선호되기도 합니다.미분기하학에서 일반적인 한 가지 접근법은 고정된(무한한) 벡터 공간 V에 상대적인 텐서를 정의하는 것이며, 이는 보통 ^[8]다양체에 대한 접선 공간과 같은 기하학적으로 중요한 벡터 공간으로 간주됩니다.이 접근법에서, 타입 (p, q) 텐서 T는 다중선형 맵으로 정의되고,

${\displaystyle T:\underbrace {V^{*}\totes \times V^{*}} _{p{\text{copies}}\times \underbrace {V\times V} _{q{text{copies}}\rightarrow \mathbf {R},}$

여기서^∗ V는 각 인수에서 선형인 대응하는 코벡터의 이중 공간입니다.위에서는 V가 실수 Ω 위의 벡터 공간이라고 가정합니다. 더 일반적으로, V는 임의의 필드 F(예: 복소수) 위에 포섭될 수 있으며, F는 다중선형 맵의 코드인 Ω을 대체합니다.

유형(p, q)의 다중 선형 맵 T를 V의 경우 기본_j {e}에 적용하고 V의 경우^∗ 표준 코베이스ⁱ {pb}을(를) 적용하면

${\displaystyle T_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}\equiv T\left({\bold 기호 {\varepsilon}}^{i_{1}},\ldots,{\bold 기호 {\varepsilon}}^{i_{p}},\mathbf {e} _{j_{1}},\ldots,\mathbf {e} _{j_{q}\right},}$

(p + q)차원 성분 배열을 얻을 수 있습니다.기준을 다르게 선택하면 다른 성분이 생성됩니다.그러나 T는 모든 인수에서 선형이기 때문에 성분은 다중 선형 배열 정의에서 사용되는 텐서 변환 법칙을 만족합니다.따라서 T의 다차원 성분 배열은 그 정의에 따라 텐서를 형성합니다.또한, 그러한 배열은 일부 다중 선형 맵 T의 구성 요소로 실현될 수 있습니다.이는 다중 선형 맵을 텐서의 기본이 되는 고유 객체로 보도록 동기를 부여합니다.

텐서를 다중 선형 맵으로 볼 때, 벡터 공간 V의 이중 이중^∗∗ 이중 V, 즉 이중 벡터 공간^∗ V 위의 선형 함수의 공간을 벡터 공간 V로 식별하는 것이 일반적입니다.V의 벡터에 대해 V의 선형 형태를 평가함으로써 주어진^∗ V에서 이중 이중으로 이어지는 자연스러운 선형 맵이 항상 존재합니다.이 선형 매핑은 유한 차원의 동형이며, V를 이중 이중 이중으로 식별하는 것은 종종 편리합니다.

텐서 제품 사용

일부 수학적 응용의 경우, 좀 더 추상적인 접근법이 때때로 유용합니다.이것은 텐서를 벡터 공간의 텐서 곱의 요소 측면에서 정의함으로써 달성될 수 있으며, 이것은 여기와 여기에서 설명되는 보편적인 특성을 통해 정의됩니다.

유형 (p, q) 텐서는 이러한 맥락에서 벡터 공간의 ^[9][10]텐서 곱의 요소로 정의됩니다.

${\displaystyle T\in \underbrace {V\otimes \dots \otimes V} _{p{\text{copies}}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes V^{*} _{q{\text{copies}}}$

V의 기저 v와 W의 기저 w는 텐서 곱 V ⊗ W의 기저 v ⊗ w를 자연스럽게 유도합니다. 텐서 T의 구성 요소는 V에 대한 기저 {e}와 그 이중 기저 {θ}로부터 얻은 기저에 대한 텐서의 계수입니다.

${\displaystyle T=T_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\mathbf {e} _{i_{1}}\otimes \otimes \mathbf {e} _{i_{p}}\otimes {\boldsymbol {\varepsilon}}^{j_{1}}\otimes \otimes {\boldsymbol {\varepsilon}}^{j_{q}}$

텐서 생성물의 특성을 이용하여, 이들 구성요소가 유형(p, q) 텐서에 대한 변환 법칙을 만족함을 알 수 있습니다.또한 텐서 제품의 보편적인 특성은 이러한 방식으로 정의된 텐서와 다중 선형 맵으로 정의된 텐서 사이에 일대일 대응을 제공합니다.

이 1 대 1 대응 관계는 다음과 같은 방식으로 보관될 수 있습니다. 왜냐하면 유한 차원의 경우 벡터 공간과 이중 이중 이중 공간 사이에 표준 동형이 존재하기 때문입니다.

${\displaystyle U\otimes V\cong \left(U^{**}\right)\otimes \left(V^{**}\right)\cong \left(U^{*}\otimes V^{*}\right)^{*}\cong \operatorname {Hom} ^{2}\left(U^{*}\times V^{*};\mathbb {F} \right)}$

마지막 줄은 텐서 곱의 보편적 속성을 사용하여 Hom ${\displaystyle 2^{}}$ ⁡ (${\displaystyle U}$ ∗ × ${\displaystyle {}^{}}$ ∗ ; ${\displaystyle F)}${\$displaystyle \operatorname {Hom} ^{2}\left(U^{*}\times$ V$^{*};\mathbb {F}$ \$right)}$와 Hom ⁡ (${\displaystyle U}$ ∗ ${\displaystyle {}^{}}$ ∗ ; ${\displaystyle F)}${\$displaystyle \operatorname {Hom}$ \$left(U^{*}\otimes$ V$^{*};\mathbb {F}$ \$right$ {\displaystyle \operatorname {Hom}

텐서 곱은 매우 일반적으로 정의될 수 있습니다. 예를 들어, 링 위에 임의의 모듈을 포함합니다.원칙적으로, 어떤 텐서 제품의 요소가 되기 위해 단순히 "텐서"를 정의할 수 있습니다.그러나 수학 문헌은 일반적으로 위와 같이 단일 벡터 공간 V와 그 이중의 임의 수의 복사본의 텐서 곱의 요소에 대한 텐서라는 용어를 보유합니다.

무한 차원의 텐서

지금까지 텐서에 대한 이 논의는 관련 공간의 유한 차원성을 가정하고 있으며, 여기서 각 구성에 의해 얻어진 텐서의 공간은 자연스럽게 ^{[Note 2]}동형입니다.텐서 곱과 다중 선형 매핑을 기반으로 한 텐서의 공간 구성은 본질적으로 수정 없이 벡터 번들 또는 일관성 있는 ^[12]쉐이브로 일반화될 수 있습니다.무한 차원 벡터 공간의 경우, 부등위 위상은 텐서의 부등위 개념을 초래하며, 이러한 다양한 동형은 텐서가 정확히 무엇을 의미하는지에 따라 성립하거나 성립하지 않을 수 있습니다(위상위 텐서 곱 참조).일부 응용 프로그램에서, 그것은 유한 차원의 경우와 가장 유사한 속성을 갖는 힐베르트 공간의 텐서 곱입니다.좀 더 현대적인 견해는 텐서의 구조가 ^[13]그 범주의 특정한 모델이 아니라 그들의 가장 중요한 특성을 부호화하는 대칭 모노이드 범주라는 것입니다.

텐서장

많은 응용 분야에서, 특히 미분 기하학과 물리학에서, 공간의 점의 함수인 성분을 가진 텐서를 고려하는 것은 당연합니다.이것이 리치의 원작의 배경이었습니다.현대 수학 용어에서 이러한 객체는 텐서 장(tensor field)이라고 불리며, 종종 단순히 ^[1]텐서(tensor)라고 불립니다.

이러한 맥락에서 접선 벡터 공간에 대해서는 종종 좌표 기저가 선택됩니다.그러면 변환법칙은 좌표함수의 부분도함수로 표현될 수 있고,

${\displaystyle {\bar {x}}^{i}\left(x^{1},\ldots,x^{n}\right),}$

좌표 ^[1]변환을 정의합니다.

${\displaystyle {\hat {T}}_{j'_{1}\dots j'_{q}}^{i'_{1}\dots i'_{p}}\left({\bar {x}^{1},\dots,{\bar {x}}^{n}\right)={\frac {\bar {x}}^{i'_{1}}}{\cdots {\cdots {\cdots {\cdots {\cdots {\bar {\x}}^{i'_{p}}{\cdots {\cdots {\cdots {\cdots {\cdots {\cdots {\cdots {\cdots {\cdots {\cdots {\cdots {\cdots {\cdots {\cdots {\cdots {\cdots {\cdots {\cdots {\cdots {\cdots {\cdots {\cdots {\bar {\x}}^{i'_{p}}}{\cdots {\cdots {\cdots {\cdots {\cdots {\cdots {\cdots {\cdots {\cdT_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}\left(x^{1},\ldots,x^{n}\right).}$

역사

나중의 텐서 해석의 개념은 미분기하학에서 칼 프리드리히 가우스의 업적에서 생겨났고, 공식화는 19세기 ^[14]중반에 발전된 대수적 형태와 불변량 이론에 의해 많은 영향을 받았습니다."텐서(tensor)"라는 단어 자체는 1846년 윌리엄 로완^[15] 해밀턴(William Rowan Hamilton)에 의해 현재 ^{[Note 3]}텐서가 의미하는 것과 다른 것을 설명하기 위해 도입되었습니다.깁스는 Dyadics와 Polyadic algebra를 소개했는데, 이들은 현대적 ^[16]의미의 텐서이기도 합니다.현대적인 용법은 ^[17]1898년에 Woldemar Voigt에 의해 소개되었습니다.

텐서 미적분학은 그레고리오 리치-커바스트로가 1890년경 절대미분학이라는 제목으로 개발했으며 1892년 ^[18]리치-커바스트로가 처음 발표했습니다.Ricci-Curbastro와 Tulio Levi-Civita의 1900년 고전 문헌 Methodes de decculate differentiel absoluer applications (절대 미분적분학의 방법과 그 응용)^[19]의 출판으로 많은 수학자들이 접근할 수 있게 되었습니다.리치의 표기법에서 그는 현대적인 의미에서 텐서장으로 알려진 공변 및 반변 성분을 가진 "시스템"을 말합니다.

20세기에, 이 주제는 텐서 분석으로 알려지게 되었고, 1915년경 아인슈타인의 일반 상대성 이론의 도입으로 더 널리 받아들여지게 되었습니다.일반 상대성 이론은 완전히 텐서의 언어로 공식화됩니다.아인슈타인은 기하학자 마르셀 ^[20]그로스만에게서 어렵게 그들에 대해 배웠습니다.레비-시비타는 아인슈타인이 텐서 분석을 사용할 때 저지른 실수를 바로잡기 위해 아인슈타인과 서신을 주고받기 시작했습니다.서신은 1915년부터 17년까지 지속되었으며, 상호 존중을 특징으로 합니다.

나는 당신의 계산 방법의 우아함을 존경합니다. 우리 같은 사람들이 힘들게 걸어서 가야 하는 동안 진정한 수학의 말을 타고 이 분야들을 통과하는 것은 분명 좋을 것입니다.

— Albert Einstein^[21]

텐서는 연속체 역학과 같은 다른 분야에서도 유용한 것으로 밝혀졌습니다.미분기하학에서 텐서의 잘 알려진 예로는 미터법 텐서와 리만 곡률 텐서와 같은 2차 형태가 있습니다.19세기 중반부터 헤르만 그라스만의 외부 대수는 그 자체로 텐서 이론이며 매우 기하학적이지만, 텐서 미적분학으로 자연스럽게 통일된 미분 형식 이론과 함께 보기까지는 시간이 좀 걸렸습니다.엘리 카르탕의 연구는 수학에서 사용되는 기본적인 텐서 종류 중 하나인 미분 형태를 만들었고, 하슬러 휘트니는 텐서 제품을 대중화시켰습니다.

1920년대 이후부터는 텐서가 대수적 위상수학에서 기본적인 역할을 한다는 것이 밝혀졌습니다.^[22]따라서 추상 대수학의 많은 분야, 특히 호몰로지 대수학과 표현 이론에서 작업 중인 텐서의 유형이 있습니다.다중선형 대수는 장에서 나오는 스칼라보다 더 일반적으로 개발될 수 있습니다.예를 들어, 스칼라는 고리에서 나올 수 있습니다.그러나 이론은 기하학적으로 덜 중요하고 계산은 더 기술적이고 알고리즘적으로 ^[23]덜 중요합니다.텐서는 1960년대부터 ^[24]모노이드 범주의 개념에 의해 범주 이론 내에서 일반화됩니다.

예

텐서로 설명될 수 있는 매핑의 기본적인 예는 두 벡터를 스칼라로 매핑하는 점 곱입니다.더 복잡한 예는 코시 응력 텐서 T인데, 방향성 단위 벡터 v를 입력으로 받아 이를 응력 벡터^(v) T에 매핑하는데, 이는 v와 직교하는 평면의 음의 면에서 물질이 평면의 양의 면에 대해 작용하는 힘(단위 면적당)을 의미하므로 이 둘 사이의 관계를 표현합니다.그림(오른쪽)에 표시된 벡터입니다.두 벡터가 세 번째 벡터와 매핑되는 교차곱은 좌표계의 방향을 변경하는 변환 하에서 부호를 변경하기 때문에 엄밀하게 텐서가 아닙니다.그럼에도 불구하고 완전한 반대칭 $기호$ ε${\displaystyle {\mathrm{ijk}}_{}}${\$displaystyle \varepsilon$ _${ijk}$는 동일한 방향의 3차원 좌표계에서 크로스 제품을 편리하게 처리할 수 있습니다.

이 표는 벡터 공간의 텐서와 다양체의 텐서 필드의 중요한 예를 보여줍니다.텐서는 유형(n, m)에 따라 분류되며, 여기서 n은 반변 지수의 수, m은 공변 지수의 수, n + m은 텐서의 총 순서를 나타냅니다.예를 들어, 이진 형태는 (0, 2)-텐서와 동일합니다. 내부 제품은 (0, 2)-텐서의 예이지만, 모든 (0, 2)-텐서가 내부 제품인 것은 아닙니다.표의 (0, M)-엔트리에서 M은 기본 벡터 공간 또는 다양체의 차원을 나타냅니다. 공간의 각 차원에 대해 최대 공변대칭 텐서를 얻기 위해 해당 차원을 선택하기 위해 별도의 인덱스가 필요하기 때문입니다.

벡터공간의 텐서 예제와 다양체의 텐서장

		m
		0	1	2	3	⋯	M	⋯
n	0	스칼라 곡률(예: 스칼라 곡률)	코벡터, 선형 함수, 1-형태(예: 쌍극자 모멘트, 스칼라 필드의 기울기)	쌍선형 형태(예: 내부곱, 4극 모멘트, 메트릭 텐서, 리치 곡률, 2-형태, 심플렉틱 형태)	예를 들어, 팔극 모멘트		예: M-폼, 즉 볼륨 폼
	1	유클리드 벡터	선형 변환,[25] 크로네커 델타	예를 들어 3차원 교차 제품	예: 리만 곡률 텐서
	2	역 메트릭 텐서, 바이벡터(bivector), 예: 포아송 구조		예를 들어 탄성 텐서
	⋮
	N	멀티벡터
	⋮

(n, m)-텐서에서 인덱스를 높이면 (n + 1, m - 1)-텐서가 생성됩니다. 이는 테이블에서 대각선으로 아래로 왼쪽으로 이동하는 것에 해당합니다.대칭적으로 인덱스를 낮추는 것은 테이블에서 대각선으로 오른쪽 위로 이동하는 것에 해당합니다.(n, m)-텐서의 지수가 낮은 상부를 수축시키면 (n - 1, m - 1)-텐서가 생성됩니다. 이는 테이블에서 대각선으로 위쪽과 왼쪽으로 이동하는 것에 해당합니다.

특성.

실제 벡터 공간의 기저, 예를 들어 주변 공간의 좌표 프레임을 가정할 때, 텐서는 이 특정 기저에 대한 수치 값의 조직화된 다차원 배열로 표현될 수 있습니다.기저를 변경하면 배열의 값이 이러한 변환 동작을 준수하는 개체로 텐서를 정의할 수 있는 특징적인 방식으로 변환됩니다.예를 들어, 기저의 변화에 따라 보존되어야 하는 텐서의 불변량이 존재하며, 따라서 특정 다차원 숫자 배열만 텐서로 만듭니다.$이것$을 텐서가 아닌 ε${\displaystyle {\mathrm{ijk}}_{}}${\$displaystyle \varepsilon$ _${ijk}$를 나타내는 배열과 비교해 보십시오. 변환 중 부호 변경이 방향을 변경하는 경우입니다.

벡터와 이중 기저의 변화에 따라 벡터의 구성 요소와 이중 기저의 변화가 다르게 변환되기 때문에, 한 기저에 대한 텐서와 다른 기저에 대한 텐서를 나타내는 배열을 연관시키는 공변 및/또는 반변 변환 법칙이 있습니다.텐서의 입력과 출력에서 각각 벡터: n(반변 지수)과 이중 벡터: m(공변 지수)의 수는 변환 법칙의 정확한 형태를 결정하는 자연수 쌍인 텐서의 유형(또는 원자가)을 결정합니다.텐서의 순서는 이 두 숫자의 합입니다.

따라서 텐서의 차수(정도 또는 순위)는 인수의 차수와 결과 텐서의 차수의 합입니다.이는 또한 특정 기준에 대해 텐서를 나타내는데 필요한 숫자 배열의 차원, 또는 해당 배열의 각 구성요소에 레이블을 붙이는 데 필요한 지수의 수를 동등하게 나타냅니다.예를 들어, 고정된 기준에서 벡터를 벡터에 매핑하는 표준 선형 맵은 행렬(2차원 배열)로 표시되므로 2차 텐서입니다.간단한 벡터는 1차원 배열로 표현될 수 있으므로 1차 텐서입니다.스칼라는 단순한 숫자이므로 0차 텐서입니다.이렇게 두 개의 벡터를 취하고 스칼라 결과를 나타내는 텐서는 응력 텐서와 같은 차수 2 + 0 = 2를 가지며, 한 벡터를 취하고 다른 하나 + 1 = 2를 반환합니다.$두$ 벡터를 하나의 벡터에 매핑하는 εijk$${\$displaystyle \varepsilon$ _${ijk}}$ -symbol는 순서 2 + 1 = 3이 됩니다.

벡터 공간의 텐서 모음과 그 이중성은 임의의 텐서의 곱을 허용하는 텐서 대수를 형성합니다.제곱 행렬로 표현될 수 있는 차수 2의 텐서의 단순한 응용은 전치 벡터의 교묘한 배열과 행렬 곱의 규칙을 적용함으로써 해결될 수 있지만 텐서 곱은 이것과 혼동되어서는 안 됩니다.

표기법

텐서를 설명하고 텐서와 관련된 계산을 수행하는 데 사용되는 몇 가지 표기 시스템이 있습니다.

리치 미적분학

리치 미적분학은 텐서 지수에 대한 현대적 형식주의와 표기법입니다. 내적과 외적 곱, 공분산과 반변성, 텐서 성분의 합, 대칭과 반대칭, 부분과 공변 도함수를 나타냅니다.

아인슈타인 총화 규약

아인슈타인의 총화 규약은 총화 기호를 쓰는 것을 생략하고 총화를 암시합니다.반복되는 인덱스 기호는 다음과 같이 요약됩니다. 만약 인덱스 i가 텐서 표현의 주어진 항에 두 번 사용된다면, 이 항은 모든 i에 대해 합산된다는 것을 의미합니다.여러 개의 서로 다른 인덱스 쌍을 이러한 방식으로 합산할 수 있습니다.

펜로즈 그래픽 표기법

펜로즈 그래픽 표기법은 텐서의 기호를 도형으로, 인덱스를 선과 곡선으로 바꾸는 다이어그램 표기법입니다.기본 요소와는 독립적이며 인덱스에 대한 기호가 필요하지 않습니다.

추상적 색인 표기법

추상적 지수 표기법은 지수가 더 이상 수치로 생각되지 않고 오히려 불확정적으로 생각되도록 텐서를 쓰는 방법입니다.이 표기법은 인덱스의 표현성과 인덱스 없는 표기법의 기초 독립성을 포착합니다.

무성분 표기법

텐서의 성분 없는 처리는 텐서가 어떤 기초에도 의존하지 않는다는 것을 강조하는 표기법을 사용하며 벡터 공간의 텐서 곱으로 정의됩니다.

작전

텐서에는 텐서를 생성하는 몇 가지 작업이 있습니다.텐서의 선형 성질은 같은 유형의 텐서 두 개를 함께 더할 수 있고, 텐서에 벡터의 스케일링과 유사한 결과를 가진 스칼라를 곱할 수 있음을 의미합니다.구성요소에서 이러한 작업은 단순히 구성요소 단위로 수행됩니다.이러한 연산은 텐서의 유형을 변경하지는 않지만 다른 유형의 텐서를 생성하는 연산도 있습니다.

텐서곱

텐서 곱은 두 개의 텐서 S와 T를 취하고 새로운 텐서 S ⊗ T를 생성하는데, 그 순서는 원래 텐서의 순서의 합입니다.다중 선형 맵으로 설명될 때 텐서 곱은 두 텐서를 단순히 곱하는 것, 즉,

이것은 다시 모든 인수에 선형인 지도를 생성합니다.구성 요소에 대한 효과는 두 입력 텐서의 구성 요소를 쌍으로 곱하는 것입니다. 즉,S가 (l, k) 유형이고 T가 (n, m) 유형이면 텐서곱 S ⊗ T는 (l + n, k + m) 유형입니다.

수축

텐서 수축은 유형(n, m) 텐서를 유형(n - 1, m - 1) 텐서로 축소하는 작업으로, 그 중 추적은 특수한 경우입니다.따라서 텐서의 전체 차수가 2씩 줄어듭니다.이 연산은 지정된 하나의 변동 지수가 지정된 하나의 공변 지수와 동일한 성분을 합산하여 새 성분을 생성합니다.두 지수가 서로 다른 성분은 삭제됩니다.예를 들어, (1, 1)-$텐서{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}${\$displaystyle$ T_${i}^{j}}$는 ${\displaystyle {}_{}^{}}${\$displaystyle$ T_${i}^{i$를 $통해{\displaystyle {}_{}^{}}$ 스칼라로 축약될 수 있습니다. 여기서 다시 합산이 암시됩니다.(1, 1)-텐서를 선형 맵으로 해석할 때 이 연산을 추적이라고 합니다.

수축은 각 텐서로부터 지수를 수축하기 위해 텐서 곱과 함께 종종 사용됩니다.

텐서를 먼저 단순 텐서의 선형 조합으로 분해한 다음 V의^∗ 인자를 V의 인자에 적용하여 공간^∗ V의 복사의 텐서 곱으로 텐서의 정의를 사용하여 수축을 이해할 수도 있습니다.예를 들어, ${\displaystyle \mathrm{텐서}}$ T${\displaystyle }$∈ ${\displaystyle V}$ ⊗ ${\displaystyle {}^{}}$ ∗ V ⊗ {\$displaystyle T\in V\otimes V^{*}$는 선형 조합으로 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle T=v_{1}\otimes w_{1}\otimes \alpha_{1}+v_{2}\otimes w_{2}\otimes \alpha _{2} +\cdots +v_{N}\otimes w_{N}\otimes \alpha _{N}}$

처음과 마지막 슬롯에서 T의 수축은 벡터입니다.

${\displaystyle \alpha_{1}(v_{1})w_{1}+\alpha_{2}(v_{2})w_{2}+\cdots +\alpha_{N}(v_{N})w_{N}}$

내적(미터법이라고도 함) g를 갖는 벡터 공간에서, 수축이라는 용어는 메트릭 텐서 또는 그 역으로 트레이스를 형성하여 두 개의 반변 또는 두 개의 공변 지수를 제거하는 데 사용됩니다.예를 들어, (2, 0)-$텐서{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{Tij}}^{}}${\$displaystyle$ T$^{ij}}$는 ${\displaystyle {Tij}_{}}$ {\$displaystyle T^{ij}g_{$ij}}$$를 $통해{\displaystyle {}^{}}$ 스칼라로 축약될 수 있습니다(또 다시 합산 규약을 가정합니다).

인덱스 올리기 또는 내리기

벡터 공간에 퇴화되지 않은 쌍선형 형태(또는 종종 이 문맥에서 불리는 메트릭 텐서)가 장착되어 있을 때, 반변(상부) 지수를 공변(하부) 지수로 변환하는 연산을 정의할 수 있습니다.메트릭 텐서는 (대칭) (0, 2)-텐서입니다. 따라서 제품에서 메트릭 텐서의 하위 인덱스 중 하나로 텐서의 상위 인덱스를 수축할 수 있습니다.이것은 이전 텐서와 동일한 인덱스 구조를 갖지만 일반적으로 축소된 상위 인덱스의 동일한 위치에 낮은 인덱스를 갖는 새로운 텐서를 생성합니다.이 작업은 그래픽적으로 인덱스를 낮추는 작업으로 잘 알려져 있습니다.

반대로, 역연산을 정의할 수 있으며, 인덱스 올리기라고 합니다.이는 (2, 0)-텐서를 사용한 제품과 유사한 수축에 해당합니다.이 역 메트릭 텐서에는 메트릭 텐서의 행렬과 역행렬인 성분이 있습니다.

적용들

연속체역학

연속체 역학은 중요한 예를 제공합니다.고체나 유체^[28] 내부의 응력은 텐서장에 의해 설명됩니다.응력 텐서와 변형 텐서는 모두 2차 텐서 필드이며, 4차 탄성 텐서 필드에 의해 일반적인 선형 탄성 재료와 관련이 있습니다.구체적으로, 3차원 입체 물체의 텐서 정량 응력은 3×3 배열로 편리하게 표현될 수 있는 성분을 포함합니다.입체 모양의 극소 부피 부분의 세 면은 각각 어떤 주어진 힘의 영향을 받습니다.힘의 벡터 성분 또한 3개입니다.따라서 이 정육면체 모양의 극소 세그먼트에서 응력을 설명하려면 3×3 또는 9개의 성분이 필요합니다.이 고체의 경계 내에는 다양한 응력 양의 전체 질량이 있으며, 각각은 9개의 양을 설명해야 합니다.따라서 2차 텐서가 필요합니다.

재료 내부의 특정 표면 요소를 선택하면 표면의 한 쪽에 있는 재료가 다른 쪽에 힘을 가하게 됩니다.일반적으로 이 힘은 표면과 직교하지 않지만 선형 방식으로 표면의 방향에 따라 달라집니다.이는 응력이 점마다 다를 수 있기 때문에 선형 탄력성(2, 0)의 텐서 또는 더 정확하게는 유형(2, 0)의 텐서 필드에 의해 설명됩니다.

물리학의 다른 예들

일반적인 응용 프로그램은 다음과 같습니다.

• 전자기학에서의 전자기 텐서(또는 패러데이 텐서)
• 연속체 역학에서 변형을 설명하기 위한 유한 변형 텐서 및 변형을 위한 변형 텐서
• 비등방성 매체에서 유전율과 전기 민감도는 텐서입니다.
• 일반 상대성 이론에서 운동량 플럭스를 나타내는 데 사용되는 4개의 텐서(예: 응력-에너지 텐서)
• 구면 텐서 연산자는 구면 좌표에서 양자 각운동량 연산자의 고유 함수입니다.
• 확산 텐서 이미징의 기본인 확산 텐서는 생물학적 환경에서의 확산 속도를 나타냅니다.
• 양자역학과 양자 컴퓨팅은 양자 상태의 조합을 위해 텐서곱을 사용합니다.

컴퓨터 비전 및 광학

차수 2의 텐서의 개념은 종종 행렬의 개념과 혼동됩니다.그러나 높은 차수의 텐서들은 과학과 공학에서 중요한 아이디어를 포착하는데, 이는 그들이 발전하면서 여러 분야에서 연속적으로 보여진 바와 같습니다.예를 들어, 이것은 컴퓨터 비전 분야에서 발생하며, 기본 행렬을 일반화하는 삼초점 텐서와 함께 발생합니다.

비선형 광학 분야는 극한 전기장에서 물질 분극 밀도의 변화를 연구합니다.발생하는 분극파는 비선형 감수성 텐서를 통해 발생하는 전기장과 관련이 있습니다.편광 P가 전기장 E에 선형적으로 비례하지 않으면 매질을 비선형이라고 합니다.(영구 쌍극자 모멘트가 존재하지 않는다고 가정할 때 충분히 약한 필드의 경우) 양호한 근사치를 위해 계수가 비선형 민감도인 E의 테일러 급수에 의해 P가 제공됩니다.

${\displaystyle {\frac {P_{i}}{\varepsilon _{0}}=\sum _{j}\chi _{ij}^{(1)}E_{j}+\sum _{jk}\chi _{ijk}^{(2)}E_{j}E_{k}+\sum _{jk\ell}}\chi _{ijk\ell}^{(3)}E_{j}E_{k}E_{\ell}+\cdots입니다.\!}$

여기서 $①{\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle {1)}^{}}$ ${\$^{($1)}}$는 선형 민감도이고${\displaystyle {}^{}}$② (${\displaystyle {2)}^{}}${\$displaystyle \chi ^{(2)}}$는 포켈스 효과와 두 번째 고조파 발생을,${\displaystyle {}^{}}③{\displaystyle {}^{}}$ (${\displaystyle {3)}^{}}$ ${\$는 커 효과를 줍니다.이 확장은 주제에서 고차 텐서가 자연스럽게 발생하는 방식을 보여줍니다.

머신 러닝

텐서(기계 학습)의 특성, 특히 텐서 분해는 기계 학습에서 사용하여 인공 신경망에 고차원 데이터를 내장할 수 있게 했습니다.

일반화

벡터공간의 텐서곱

텐서 곱의 벡터 공간은 동일할 필요가 없으며, 때로는 더 일반적인 텐서 곱의 요소를 "텐서"라고 부릅니다.예를 들어, 텐서 곱 공간 V ≥ W의 요소는 이러한 보다 일반적인 ^[29]의미에서 2차 "텐서"이며, 차수-d 텐서도 마찬가지로 d개의 다른 벡터 ^[30]공간의 텐서 곱의 요소로 정의될 수 있습니다.앞서 정의한 의미에서 타입 (n, m) 텐서는 이러한 보다 일반적인 의미에서 차수 n + m의 텐서이기도 합니다.텐서 곱의 개념은 링 위의 임의의 모듈로 확장될 수 있습니다.

무한 차원의 텐서

텐서의 개념은 무한 차원으로 다양한 방식으로 일반화될 수 있습니다.예를 들어, 하나는 힐베르트 ^[31]공간의 텐서곱을 통해서입니다.비선형 분석에서 일반적인 텐서 개념을 일반화하는 또 다른 방법은 유한 차원 벡터 공간과 대수적 이중을 사용하는 대신 무한 차원 바나흐 공간과 연속 ^[32]이중을 사용하는 다중 선형 지도 정의를 통해입니다.따라서 텐서는 바나흐 다양체와^[33] 프레셰 다양체에 자연적으로 살고 있습니다.

텐서 밀도

균질 매질이 R을 채워서 매질의 밀도가 kg⋅m의 단일 스칼라 값 θ로 설명된다고 가정합니다.Δ영역의 질량(kg)은 Δ에 영역 Δ의 부피를 곱하거나 상수 Δ를 영역 위에 동등하게 적분하여 구합니다.

${\displaystyle m=\int _{\Omega }\rho \,dy\,dy\,dy\,dy\,dy\,dy\,dy\,dy,dy$

여기서 데카르트 좌표 x, y, z는 m 단위로 측정됩니다.길이 단위를 cm로 변경한 경우 좌표 함수의 수치를 100배로 다시 조정해야 합니다.

${\displaystyle x'=100x,\displaystyle x'=100y,\displayz'=100z.}$

밀도 ρ의 수치 또한 100 m/cm만큼 변환하여 보정해야 합니다. 그러면 kg 단위 질량의 수치는 여전히 ρ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$ d ${\displaystyle d}$ z$${\$rho \,$dx$\,dy\,$dz$\}$의 적분으로 주어집니다. 따라서 ρ${\displaystyle {}^{}}$ρ ' = 100 ${\displaystyle {-}^{}}$ ${\displaystyle 3^{}}$ ⋅ {\$displaystyle \rho$ '= $100^{-3}\rho$}(kg cmcm 단위).

더 일반적으로, 데카르트 좌표 x, y, z가 선형 변환을 거치면, 밀도 δ의 수치 값은 적분에 대한 변수 공식의 변화에 의해 적분이 불변으로 유지되도록 좌표 변환의 행렬식의 절대값의 역수만큼 변해야 합니다.좌표 전이 지도의 행렬식의 절대값의 역수로 축척하는 그러한 양을 스칼라 밀도라고 합니다.비 상수 밀도를 모델링하기 위해 δ는 변수 x, y, z(스칼라 필드)의 함수이며, 좌표의 곡선 변화 하에서 좌표 변화의 자코비안의 역수에 의해 변환됩니다.고유 의미에 대한 자세한 내용은 다양체의 밀도를 참조하십시오.

텐서 밀도는 좌표 변화 하에서 텐서와 같이 변환되지만, 추가적으로 좌표 ^[34]전이의 행렬식의 절대값의 인자를 선택할 수 있다는 것을 제외하고는 다음과 같습니다.

${\displaystyle T_{j'_{1}\dots j'_{q}^{i'_{1}\mathbf {f}\cdot R]=\left \det R\right ^{-w}\left(R^{-1}\right)_{i'_{1}}\cdots \left(R^{-1}\right)_{i_{p}^{i'_{p}}T_{j_{1},\ldots,j_{q}}^{i_{1},\ldots,i_{p}}[\mathbf {f}]R_{j'_{1}}\cdots R_{j'_{q}^{j_{q}}}$

여기서 w는 무게라고 불립니다.일반적으로, 이 함수 또는 그 절대값의 힘을 곱한 모든 텐서를 텐서 밀도 또는 가중 ^[35][36]텐서라고 합니다.텐서 밀도의 예로는 전자기의 전류 밀도가 있습니다.

좌표의 아핀 변환 하에서 텐서는 변환 자체의 선형 부분(또는 그 역)에 의해 각 인덱스에서 변환됩니다.이것들은 일반적인 선형 그룹의 합리적인 표현에서 비롯됩니다.그러나 이것은 그러한 물체가 가질 수 있는 가장 일반적인 선형 변환 법칙이 아닙니다. 텐서 밀도는 비이성적이지만 여전히 반단순 표현입니다.변환의 추가적인 클래스는 일반 선형 그룹의 로그 표현에서 비롯되며, 축소 가능하지만 반단순 표현은 아니며, 변환 법칙이 있는 (x, y) ∈ R로 구성됩니다.

${\displaystyle (x,y)\maps to (x+y\log \left \det R\right,y)}$

기하학적 객체

텐서에 대한 변환 법칙은 일반 선형 변환(또는 국소 미분 동형과 같은 일부 클래스 내의 다른 변환) 하에서 허용 좌표계 범주의 함수로 동작합니다.이것은 기술적인 의미에서 텐서가 좌표 ^[38]변화 하에서 기능적으로 변환되는 좌표계의 함수라는 점에서 기하학적 물체의 특별한 경우로 만듭니다.더 일반적인 종류의 변환 법칙을 따르는 물체의 예로는 제트와 더 일반적으로 여전히 자연스러운 ^[39][40]묶음이 있습니다.

스피너

회전에 의해 하나의 정규 기저(프레임이라고 함)에서 다른 정규 기저로 변경될 때 텐서의 구성 요소는 동일한 회전에 의해 변환됩니다.이 변환은 프레임의 공간을 통과하는 경로에 의존하지 않습니다.그러나 프레임의 공간은 단순히 연결되어 있지 않습니다(방향 얽힘 및 플레이트 트릭 참조). 시작 및 끝 구성이 동일한 프레임의 공간에 다른 구성으로 변형되지 않는 연속적인 경로가 있습니다.이 경로 의존성을 통합하고 ±1의 ^[41]값을 가지는 (로컬) 이산 불변량을 각 프레임에 추가로 부착하는 것이 가능합니다.스피너는 이 이산 ^[42][43]불변량의 값에 의해 결정되는 가능한 부호와는 별개로 프레임의 회전에 따라 텐서처럼 변환되는 물체입니다.

간단히 말해서, 스피너는 회전 그룹의 스핀 표현의 요소이고 텐서는 텐서 표현의 요소입니다.다른 고전 그룹에는 텐서 표현이 있고, 따라서 그룹과 호환되는 텐서도 있지만, 모든 비압축 고전 그룹에는 무한 차원 단위 표현도 있습니다.

참고 항목

• Wiktionary에서 텐서의 사전적 정의
• 텐서 저장 및 조작을 위한 배열 데이터 유형

기초

• 데카르트 텐서
• 파이버 번들
• 텐서 이론 용어집
• 다중선투영
• 원폼
• 모듈 텐서곱

적용들

• 공학적 텐서이론의 응용
• 연속체역학
• 공변 도함수
• 만곡
• 확산 텐서 MRI
• 아인슈타인 장방정식
• 유체역학
• 중력
• 다중선형 부분공간 학습
• 리만 기하학
• 구조 텐서
• 텐서 수축 엔진
• 텐서 분해
• 텐서 도함수
• 텐서 소프트웨어

해설서

참고문헌

특정한

일반적

• 이 기사는 Creative Commons Attribution/Share-Alike License에 따라 라이센스가 부여된 PlanetMath의 텐서 자료를 통합합니다.

외부 링크