상존 논리학

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상존하는 논리는 모순을 차별적으로 다루기 위한 논리적 시스템의 시도다. 대안적으로, 상존적 논리는 폭발의 원리를 거부하는 논리학의 "불일관성" 시스템을 연구하고 개발하는 것과 관련된 논리의 하위 영역이다.

일관성이 결여된 논리학은 적어도 1910년(예: 아리스토텔레스의 저술에서)부터 논의되어 왔지만,^[1] "일관성을 넘어서"라는 용어는 1976년에 페루의 철학자 프란시스코 미로 케사다 칸투아리아스에 의해 처음 만들어졌다.^[2]

정의

고전적 논리학(직관적 논리학 및 대부분의 다른 논리학)에서는 모순이 모든 것을 수반한다. 폭발의 원리 또는 ex reconsiste sequitur quodlibet(라틴어, "reconsibility로부터, 어떤 것이든 뒤따른다)"^[3]로 알려진 이 특징은 다음과 같이 공식적으로 표현할 수 있다.

1	$\displaystyle P\land \neg P}$	전제
2	$'P\displaystyle P\,}$	접속사 제거	1부터
3	$P\lor A}$	분리 소개	2시부터
4	$\displaystyle \neg P\,}$	접속사 제거	1부터
5	$A\,}$	이절 삼단논법	3시부터 4시까지

즉, P와 그 부정 pP가 둘 다 참이라고 가정할 경우, 두 주장 중 P와 (일부 임의적) A, 적어도 하나는 참이다. 따라서 P나 A는 참이다. 그러나 P나 A 중 어느 한 쪽이 사실이고, P도 거짓(pP가 사실이라는 것)이라는 것을 안다면, 우리는 무엇이든지 될 수 있는 A가 사실이라고 단정할 수 있다. 따라서 어떤 이론이 하나의 모순을 포함한다면 그것은 사소한 것이다. 즉, 그것은 모든 문장을 하나의 정리로서 가지고 있다.

상존하는 논리의 특징이나 정의되는 특징은 폭발의 원리를 거부한다는 것이다. 그 결과, 상존하는 논리학은 고전적 논리학이나 다른 논리학과는 달리 일관되지 않지만 비종교적인 이론을 공식화하는 데 사용될 수 있다.

고전적 논리와의 비교

상존적 논리학은 고전적 논리학보다 명제적으로 약하다. 즉, 명제적 추론이 타당하다고 생각하는 경우가 적다는 것이다. 요점은 편협한 논리는 결코 고전적 논리의 명제적 확장, 즉 고전적 논리가 하는 모든 것을 명제적으로 검증할 수 없다는 것이다. 그렇다면 어떤 의미에서는 상존적 논리가 고전적 논리보다 보수적이거나 신중한 논리다. 알프레드 타르스키 등으로 인한 금속어의 서열화 등 기존의 언어보다 상존하는 언어들이 더 표현될 수 있는 것은 이런 보수성 때문이다. 솔로몬 페퍼만[1984년]에 따르면: "...자연어는 직간접적으로 자기 연민적이면서도 분명히 무해한 표현이 풍부하다. 이 표현들은 모두 타르스키아의 틀에서 제외된다." 이러한 표현상의 한계는 상존하는 논리에서 극복할 수 있다.

동기

상존하는 논리의 일차적인 동기는 일관성 없는 정보를 통제되고 차별적인 방법으로 추론할 수 있어야 한다는 확신이다. 폭발의 원리는 이것을 배제하고, 따라서 버려야 한다. 비파라콘 논리학에서는 모든 문장을 정리하는 사소한 이론, 즉 일관성이 없는 이론이 하나 있을 뿐이다. 상존하는 논리는 일관되지 않은 이론을 구별하고 그것들과 함께 추론하는 것을 가능하게 한다.

상존하는 논리에 대한 연구는 또한 현실에서 참된 모순이 존재한다고 주장하는 투석증의 철학적 학파(가장 두드러지게 강조되는 것은 그레이엄 프리스트가 주창하는 것)의 설립을 이끌어내기도 했다. 예를 들어, 다양한 도덕적 문제에 대해 반대 견해를 갖고 있는 사람들의 집단이 그것이다.^[4] 이성적으로 변태주의자가 되는 것은 어떤 형태의 상투적인 논리에 하나를 맡긴다, 그렇지 않으면 사소한 것을 포용하는 고통, 즉 모든 모순(그리고 동등하게 모든 진술)이 진실이라는 것을 받아들이는 것이다.^[5] 그러나 상존 로직의 연구가 반드시 투석론적 관점을 수반하는 것은 아니다. 예를 들어 진정한 이론의 존재나 참된 모순에 전념할 필요가 없고 오히려 바스 반 프라센이 제안한 것처럼 경험적 적정성과 같은 약한 기준을 선호할 것이다.^[6]

철학

고전 논리학에서는 아리스토텔레스의 세 가지 법칙 즉, 제외된 중간(p 또는 ¬p), 비대조성 ¬(p ¬) ¬(p ¬ pp), 정체성(piff p)은 커넥티브의 상호 정의 때문에 동일한 것으로 간주된다. 더욱이 전통적으로 모순(이론이나 지식의 본체에 모순의 존재)과 사소함(그런 이론이 가능한 모든 결과를 수반한다는 사실)은 부정의 여지가 있다고 가정한다면 불가분의 관계에 있다고 가정한다. 이러한 견해들은 정확히 모순과 다른 형태의 모순을 구분하지 못한다는 이유로 철학적으로 도전받을 수 있다.

한편, 이러한 관념이 적절히 구분되면, 일관성과 모순의 '분쟁'에서 사소한 것을 도출할 수 있다. 일관성과 불일치에 대한 바로 그 개념은 더 나아가 개체 언어 수준에서 내면화될 수 있다.

트레이드오프

파라콘시스트에는 트레이드오프가 수반된다. 특히 폭발의 원리를 포기하려면 다음 두 가지 원리 중 적어도 하나를 포기해야 한다.^[7]

분리 소개	$A\vdash A\lor B}$
이절 삼단논법	$A\lor B,\neg A\vdash B}$

이 두 원칙은 모두 도전받아 왔다.

한 가지 접근방법은 분리 도입을 거부하되 분리 삼단논법과 과도성을 유지하는 것이다. 이 접근법에서 자연공제의 규칙은 분리 도입과 제외된 중간을 제외하고 유지된다. 더욱이 A⊢B를 추론한다고 해서 반드시 A entB를 수반하는 것은 아니다. 또한, 다음과 같은 일반적인 부울 속성은 관련성, 공통성, 분배성, De Morgan 및 특이점 추론(연결 및 분리에 대한)뿐만 아니라 이중 부정을 포함한다. 더욱이 모순-거부 증명은 다음을 수반한다: (A⇒(B∧B))⊢¬A.

또 다른 접근법은 이분법적 삼단논법을 거부하는 것이다. 투석증의 관점에서 보면, 이분법적 삼단논법이 실패해야 한다는 것은 완전히 이치에 맞는다. 이 삼단논법의 이면에 있는 생각은 만약 ¬ A가 제외된다면, A는 제외되고 B는 A ∨ B로부터 추론할 수 있다는 것이다. 그러나 A가 ¬A만큼 잘 들고 있을 수 있다면 추론에 대한 주장은 약해진다.

그러나 또 다른 접근법은 동시에 두 가지를 하는 것이다. 선형 논리뿐만 아니라 관련 논리의 많은 시스템에는 두 개의 분리된 이격 연결부가 있다. 하나는 절연 서론을 허용하고, 하나는 절연 삼단논법을 허용한다. 물론, 이것은 그것들 사이의 혼란과 그것들과 관련된 복잡성을 포함한 분리된 이분법적 연결체들에 의해 수반되는 단점들을 가지고 있다.

더욱이 모순에 의한 증거의 법칙(아래) 그 자체만으로도 모든 명제의 부정은 모순으로부터 증명될 수 있다는 점에서 모순이 없는 것이다.

모순에 의한 증거	$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle ⊢}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\vdash B\land \neg$ B$}$인 경우$,$ ⊢${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ A ${\displaystyle \vdash \neg A}$

엄밀히 말하면, 위의 규칙만 가지고 있는 것은 모순으로부터 모든 명제를 증명할 수 있는 경우가 아니기 때문에 상존하는 것이다. 그러나 규칙 이중 부정 제거( ( ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle ⊢}$ ${\displaystyle A}$ ⊢ A ${\displaystyle \neg$ \neg $\ng A\vdash A}$)도 추가된다면, 모든 명제는 모순에서 증명될 수 있다. 이중 부정 제거는 직관적 논리에 맞지 않는다.

예

현존하는 논리학의 잘 알려진 시스템 중 하나는 LP("역설의 논리학")로 알려진 시스템으로, 1966년 아르헨티나의 논리학자 플로렌시오 곤살레스 아센조가 처음 제안하고 후에 프리스트 등이 대중화했다.^[8]

LP에 대한 의미론을 제시하는 한 가지 방법은 일반적인 기능적 가치평가를 관계적 가치평가로 대체하는 것이다.^[9] The binary relation ${\displaystyle V\,}$ relates a formula to a truth value: ${\displaystyle V(A,1)\,}$ means that ${\displaystyle A\,}$ is true, and ${\displaystyle V(A,0)\,}$ means that ${\displaystyle A\,}$ is false. 수식은 적어도 하나의 진리 값을 할당해야 하지만, 진리 값을 하나 이상 할당해야 한다는 요구사항은 없다. 부정과 분리를 위한 의미 조항은 다음과 같이 주어진다.

• ${\displaystyle V(\neg A,1)\왼쪽 화살표 V(A,0)}$
• ${\displaystyle V(\neg A,0)\왼쪽 화살표 V(A,1)}$
• ${\displaystyle V(A\lor B,1)\왼쪽 오른쪽 화살표 V(A,1){\text{ 또는 }V(B,1)}$
• ${\displaystyle V(A\lor B,0)\왼쪽 오른쪽 화살표 V(A,0){\text{ 및 }V(B,0)}$

(다른 논리적 연결은 부정과 분리라는 관점에서 정의된다.) 또는 같은 점을 덜 상징적으로 표현하려면:

• A가 거짓인 경우에만 A가 진실이 아니다.
• A가 진실이라면 A가 거짓이 아니다.
• A가 참이거나 B가 참일 경우에만 A 또는 B가 참이다.
• A 또는 B는 A가 거짓이고 B가 거짓인 경우에만 거짓이다.

그런 다음 (대서양) 논리적 결과는 진실 보존으로 정의된다.

${\displaystyle \Gamma \vDash$ A$} 만약$ {\$displaystyle A\,}$이(가$)$ $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\$의 모든 요소가 참일$$ 경우에만 해당됨$$

Now consider a valuation ${\displaystyle V\,}$ such that ${\displaystyle V(A,1)\,}$ and ${\displaystyle V(A,0)\,}$ but it is not the case that ${\displaystyle V(B,1)\,}$. It is easy to check that this valuation constitutes a counterexample to both explosion and disjunctive syllogism. 그러나, LP의 재료를 조건으로 하는 것은 모더스 폰에 대한 counterrexample이기도 하다. 이러한 이유로, LP의 지지자들은 일반적으로 부정과 분리라는 관점에서 정의할 수 없는 더 강한 조건부 결합체를 포함하도록 시스템을 확장하는 것을 지지한다.^[10]

검증할 수 있듯이, LP는 De Morgan의 법칙과 부정, 접속사 및 분리에 대한 일반적인 도입 및 제거 규칙과 같이 타당할 것으로 예상할 수 있는 다른 대부분의 추론 패턴을 보존한다. 놀랍게도, LP의 논리적인 진실(또는 tautology)^[11]은 정확히 고전적인 명제적 논리의 그것들이다. (LP와 고전적 논리는 그들이 타당하다고 생각하는 추론에서만 다르다.) 모든 공식은 참 또는 거짓이어야 한다는 요구사항을 완화하면 흔히 1급 포함(FDE)으로 알려진 약한 상존 논리를 산출한다. FDE는 LP와 달리 논리적인 진리가 없다.

LP는 제안된 많은 상존 로직들 중 하나일 뿐이다.^[12] 그것은 단지 상존하는 논리가 어떻게 작동할 수 있는지를 보여주는 예로서 여기에 제시되어 있다.

기타 로직과의 관계

상존 논리학의 중요한 유형 중 하나는 목적적합성 논리학이다. 논리는 다음과 같은 조건을 만족하는 경우에 목적적합하다.

A → B가 정리라면 A와 B는 비논리적 상수를 공유한다.

관련 논리는 (p ∧ ¬p) → q를 정리로서 가질 수 없으므로, 따라서 (합리적인 가정에서는) {p, ¬p}에서 q까지의 추론을 검증할 수 없다.

상존하는 논리는 많은 가치가 있는 논리와 상당히 중복된다. 그러나 모든 상존하는 로직들이 많은 가치를 갖는 것은 아니다(물론, 모든 상존하는 로직들이 상존하는 것은 아니다). 또한 많은 가치가 있는 투석기 로직은 상극성이 있지만, 그 반전은 유지되지 않는다.

직관적 논리는 A ∨ aA가 참과 같지 않게 하는 반면, 상존적 논리는 A ∧ ¬ ¬A가 거짓과 같지 않게 한다. 따라서 상존하는 논리를 직관적 논리의 "이중"으로 보는 것은 당연해 보인다. 그러나, 직관적 논리는 특정한 논리 체계인 반면, 상존적 논리는 많은 종류의 시스템을 포괄한다. 따라서 파라콘시스트에 대한 이중 개념을 파라컴퍼니시즘이라고 하며, 직관논리(특정 파라컴퍼니 논리)의 "이중"은 반인시즘적 또는 이중인시즘적 논리(때로는 역사적 이유로 브라질 논리라고도 한다)라고 하는 특정한 파라콘시스트적 시스템이다.^[13] 두 시스템 사이의 이중성은 연속된 미적분학 틀 안에서 가장 잘 나타난다. 직감적 논리에 있는 동안 그 속편은

$\displaystyle \vdash A\lor \neg A}$

이원론적 논리에서는 파생할 수 없다.

$\displaystyle A\land \neg A\vdash }$

파생할^{[citation needed]} 수 없다. 마찬가지로, 직감론적 논리학에서 그 속편은

$\displaystyle \neg \neg A\vdash A}$

이중 패리티 논리에 있는 동안 파생할 수

$\displaystyle A\vdash \neg \neg A}$

파생할 수 없다. 이중직관론적 논리는 직관적 함의 이중인 의사차이로 알려진 결합적 #를 포함한다. 매우 느슨하게, A # B는 "A는 되고 B는 아니다"로 읽힐 수 있다. 그러나 #은 '하지만 그렇지 않은' 연산자를 예상할 수 있는 것처럼 진실하게 기능하지 않는다. 마찬가지로 직관적 함축적 함축 연산자는 '상호 (A ∧ ∧B)'처럼 취급될 수 없다. 이중직관론적 논리도 직관의 이중인 기본적 결합적 ⊤을 특징으로 한다: 부정은 =A = (⊤ # # A)로 정의할 수 있다.

상투적 논리와 상투적 논리가 일치하지 않는 이유에 대한 설명을 포함하여 상투적 논리와 직관적 논리 사이의 이중성에 대한 전체 설명은 브런너와 카니엘리(2005)에서 찾을 수 있다.

이러한 다른 논리학들은 관계적 명제 미적분학, 양성 명제 미적분학, 등가성 미적분 및 최소 논리학 등 폭발을 피한다. 후자, 미니멀한 논리는 상투적 논리와 상완적(직관적 논리의 하위 시스템)이다. 다른 세 가지는 부정의 형성이 결여되어 있기 때문에 처음부터 모순을 표현하는 것을 용납하지 않는다.

이상적인 3-값 편협성 논리

여기에 O의 "이상적인 편협성 로직"에서 정의한 바와 같이 상존적이고 이상적인 3가지 가치 논리의 예가 있다. 아리엘리, A. 에이브론, 그리고 A. 자만스키, 특히 22-23페이지.^[14] 세 가지 진리 값은 t(참만), b(참과 거짓 모두), f(허위만 해당)이다.

P ¬P t f b b f t

P → Q Q t b f P t t b f b t b f f t t t

P ∨ Q Q t b f P t t t t b t b b f t b f

P ∧ Q Q t b f P t t b f b b b f f f f f

공식이 사용 중인 가치평가에 대해 t 또는 b인 경우 공식이 참이다. 공식은 원자 제안을 {t, b, f}에 매핑하는 모든 가치평가에 그것이 사실이라면 상존하는 논리의 상호관계학이다. 상존하는 논리의 모든 상호 작용도 고전 논리의 상호 작용이다. 평가의 경우, 진정한 공식의 집합은 모드 폰과 공제 정리에 따라 닫힌다. 부정이 없는 고전적 논리의 어떤 상호관계도 상존적 논리의 상호관계(b를 t로 병합함)이다. 이 논리를 "Pac" 또는 "LFI1"이라고도 한다.

포함된

상존하는 논리의 일부 상투적인 내용은 다음과 같다.

• 상존적 논리에 대한 모든 공리 스키마:

${\displaystyle P}$→${\displaystyle }$(${\displaystyle Q}$→ ${\displaystyle P}$) ${\displaystyle P\to (Q\to$ P$)}$ **$$ 공제 정리 및 ?→{t,b} = {t,b}

${\displaystyle (P}$→${\displaystyle }$( Q${\displaystyle }$→ ${\displaystyle R}$)${\displaystyle }$→${\displaystyle }$(${\displaystyle P}$→ Q${\displaystyle }$) → ( ${\displaystyle P}$ → ${\displaystyle Q}$ )${\displaystyle }$→${\displaystyle }$(${\displaystyle P}$→ ${\displaystyle R}$)${\displaystyle }$) ${\displaystyle (P\to (Q\to$ R$)\to (P\to$ Q$)\to (P\to$ R$)})}$ **($$참고: {t,b}→{f} = {f})는 공제 정리에서 따른다.

${\displaystyle \mathrm{\neg }}$(${\displaystyle P}$→ ${\displaystyle Q}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \lnot (P\to Q)\to P}$ **$$ {f}→? = {t}

${\displaystyle \mathrm{\neg }}$(${\displaystyle P}$→ Q${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ Q ${\displaystyle \lnot (P\to$ Q$)\to \lnot Q}$ **$$ ?→{t} = {t}

${\displaystyle P}$→ (${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle Q}$→${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ (${\displaystyle P}$→ ${\displaystyle Q}$)${\displaystyle P\to (\lnot$ Q$\to \lnot (P\to$ Q$)}$ **$$ {t,b}→{b,f} = {b,f}

${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle P}$→ P ${\displaystyle \lnot \lnot P\to P}$ **$$ ~{f} = {t}

${\displaystyle P}$→ ${\displaystyle \mathrm{▼}}$ P {\$displaystyle P\to \lnot$ \lnot $\lnot P}$ **$$ ~{t,b} = {b,f} = {f}(참고: ~{t} = {f} 및 ~{b,f} = {t,b})는 진실 값이 인코딩되는 방식에서 따옴)

${\displaystyle P}$→${\displaystyle }$( ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \vee }$ Q${\displaystyle }$) ${\displaystyle P\to (P\lor Q)}$ **$$ {t,b}v? = {t,b}

${\displaystyle Q}$→${\displaystyle }$( ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \vee }$ Q${\displaystyle }$) ${\displaystyle Q\to (P\lor Q)}$ **$$ ?v{t,b} = {t,b}

${\displaystyle \mathrm{\neg }}$( ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \vee }$ Q${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ P ${\displaystyle \lnot (P\lor Q)\to \lnot P}$ **$$ {t}v? = {t}

${\displaystyle \mathrm{\neg }}$( ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle Q}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ Q ${\displaystyle \lnot (P\lor Q)\to \lnot Q}$ **$$ ?v{t} = {t}

${\displaystyle (P}$→ ${\displaystyle R}$)${\displaystyle }$→${\displaystyle }$(${\displaystyle Q}$→ R${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→${\displaystyle }$(${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \vee }$ Q${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ ( ${\displaystyle P}$ ∨ ${\displaystyle Q}$ ) → R${\displaystyle }$)${\displaystyle (P\to R)\to ((Q\to$ R$)\to ((P\lor Q)\to$R))}} $**$ $${f}v{f} = {f}

${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ P${\displaystyle }$→ (${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle Q}$→ ${\displaystyle \neg }$ ${\displaystyle Q}$)${\displaystyle \lnot P\to (\lnot Q\to \lnot$ ($P\lor$ $)}$ **$$ {b,f}v{b,f} = {b,f}

${\displaystyle (P}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle Q}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (P\land Q)\to P}$ **$$ {f}&? = {f}

${\displaystyle (P}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle Q}$)${\displaystyle }$→ Q ${\displaystyle (P\land Q)\to Q}$ **$$ ?&{f} = {f}

${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle P}$→ ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$(${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \wedge }$ Q${\displaystyle }$) ${\displaystyle \lnot$ P$\to \lnot (P\land$ Q$)}$ **$$ {b,f}&? = {b.f}

${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle Q}$→ ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle (P}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle Q}$) ${\displaystyle \lnot Q\to \lnot (P\land Q)}$ **$$ ?&{b,f} = {b,f}

${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle P}$→ R${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ (${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ Q${\displaystyle }$→ ${\displaystyle R}$) → ( ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle Q}$ (P ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle Q}$) →${\displaystyle )}$( ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \wedge }$ Q ) → ${\displaystyle R}$ ) ${\displaystyle (\lnot P\to R)\to (\lnot$ ($P\land$ Q$)\$to R$)}}}**{t}$ $$= {t}

${\displaystyle P}$→${\displaystyle }$( ${\displaystyle Q}$→${\displaystyle }$( ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \wedge }$ Q${\displaystyle }$)${\displaystyle$ P$\to (P\to (P\land$ Q$)}$ **$$ {t,b}&{t,b} = {t,b}

${\displaystyle (P}$→ Q${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→${\displaystyle }$( (${\displaystyle \mathrm{\neg }}$P → ${\displaystyle Q}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle Q}$) ${\displaystyle (P\to$ Q$)\to (\lnot P\to$ Q$)\$to (\lot P\to Q)\$to$ Q$)}$ **?$$는 {t,b}와 {b,f}의 결합이다.

• 일부 다른 정리 스키마:

$P\to P}$

$(\displaystyle(\lnot P\to P)\to P}\to P}$

$[\displaystyle ((P\to Q)\to P)\to P}$

$\displaystyle P\lor \lnot P}$

$[\displaystyle \lnot(P\land \lnot P)}$

${\displaystyle(\lnot P\to Q)\to(P\lor Q)}$

${\displaystyle ((\lnot P\to Q)\to Q)\to (((P\land \lnot P)\to Q)\to (P\to Q))}$ ** every truth-value is either t, b, or f.

${\displaystyle ((P\to Q)\to R)\to(Q\to R)}$

제외됨

상존하는 논리의 tautology가 아닌 고전적 논리의 일부 tautology는 다음과 같다.

${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle P}$→${\displaystyle }$(${\displaystyle P}$→ Q${\displaystyle }$) ${\displaystyle \lnot P\to (P\to Q)}$ **$$ 상존 논리 폭발 없음

${\displaystyle(\lnot P\to Q)\to(\lnot P\to Q)\to P)}$

${\displaystyle (P\to Q)\to ((P\to Q)\to \lot P)}$

${\displaystyle (P}$ ${\displaystyle \vee }$ Q${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ (${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle P}$→ ${\displaystyle Q}$) ${\displaystyle (P\lor Q)\to (\lot P\to Q)}$ **$$ 이분법적 삼단논리는 상존적 논리에서 실패함

${\displaystyle (P}$→ ${\displaystyle Q}$)${\displaystyle }$→ (${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ Q${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle P}$) ${\displaystyle (P\to Q)\to (\lnot Q\to \lnot P)}$ **$$ 경쟁은 상존적 논리에서 실패함

${\displaystyle(\lnot P\to \lnot Q)\to (Q\to P)}$

$(\displaystyle)((\lnot P\to Q)\to Q)\to(P\to Q)}$

${\displaystyle (P}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ¬ ${\displaystyle P}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle (Q}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ $)$ Q$$) {\$displaystyle ($P\land $\lnot P)\to ($Q\land $\lnot$Q)} ** 모든 모순이 상존적 논리에서 동등하지는 않다.

${\displaystyle(P\to Q)\to(P\to R)}$

${\displaystyle ((P\to Q)\to R)\to(\lnot P\to R)}$

${\displaystyle ((\lnot P\to R)\to R)\to (((P\to Q)\to R)\to R)}$ ** counter-factual for {b,f}→? = {t,b} (inconsistent with b→f = f)

전략

우리가 모순된 전제 Ⅱ에 직면하고 있으며 사소한 일로 전락하는 것을 피하고 싶다고 가정해 보자. 고전적 논리에서는 one에 있는 하나 이상의 전제를 거부하는 방법밖에 없다. 상존하는 논리학에서는 모순을 구획하려고 할 수도 있다. 즉, 명제 변수 X가 γ에 나타나지 않는다면 γ→X가 더 이상 자동학이 되지 않도록 논리를 약화시킨다. 그러나 우리는 그 목적을 위해 필요 이상으로 논리를 약화시키고 싶지 않다. 그래서 우리는 (가능한 경우) 논리 결합체에 대한 도입과 제거 규칙인 공리뿐만 아니라 모드 폰과 공제 정리를 유지하고 싶다.

이를 위해, 우리는 모순을 포함하는 구획 내에 채택될 세 번째 진실 가치 b를 추가한다. 우리는 b를 모든 논리적 결합의 고정된 지점으로 삼는다.

$(b\displaystyle b=\lnot b=(b\to b)=(b\lor b)=(b\land b)}$

그렇지 않으면 tautology가 전혀 없을 것이기 때문에 우리는 b를 일종의 진리로 만들어야 한다.

모두스 폰이 작동하도록 하기 위해서, 우리는 반드시

${\displaystyle(b\to f)=f,}$

즉, 참된 가설과 참된 암시가 참된 결론으로 이어지도록 하기 위해서는 참이 아닌 (f) 결론과 참이 아닌 (t 또는 b) 가설이 참이 아닌 암시를 산출하도록 해야 한다.

만약 γ의 모든 명제 변수가 b값을 할당받으면, γ 자체는 b값을 가질 것이다. 만약 X에게 값 f를 준다면,

${\displaystyle (}$ ${\displaystyle \gamma }$→ X${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( b${\displaystyle }$→ ${\displaystyle f}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (\Gamma \to$ X$)=(b\to$ f$)=f$

그래서 γ→X는 tautology가 되지 않을 것이다.

제한사항 (1) 진리값에는 상수가 없어야 한다. 왜냐하면 그것은 상수가 존재하는 논리의 목적을 위반할 것이기 때문이다. b를 갖는 것은 고전적 논리의 그것과 언어를 바꿀 것이다. t나 f가 있으면 폭발이 다시 일어날 수 있기 때문에

${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle t}$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lnot t\to$ X$}$ 또는$$ ${\displaystyle f}$→ X ${\displaystyle f\to X}$

tautologies일거야. b ≠ t와 b ≠ f 이후 b는 이러한 상수의 고정점이 아니라는 점에 유의한다.

(2) 모순을 억제하는 이 논리의 능력은 특정 전제 사이의 모순에만 적용되며, 공리 스키마 사이의 모순에는 적용되지 않는다.

(3) 이분법적 삼단논법의 상실은 '올바른' 대안을 개발하는 데 불충분한 헌신을 초래하여 수학에 장애가 될 수 있다.

(4) 공식 γ이 Δ와 동등하다는 것을 입증하기 위해서는, 그들이 보조 공식으로 나타나는 모든 곳에서 다른 공식을 대체할 수 있다는 점에서, 반드시 보여야 한다.

${\displaystyle (\Gamma \to \Delta )\land (\Delta \to \Gamma )\land (\lnot \Gamma \to \lnot \Delta )\land (\lnot \Delta \to \lnot \Gamma )}$.

이것은 고전적 논리보다 더 어렵다. 왜냐하면 모순된 논리들이 반드시 따르는 것은 아니기 때문이다.

적용들

상존적 논리는 다음을 포함한 수많은 도메인에서 불일치를 관리하는 수단으로 적용되었다.^[15]

• 의미론: 파라콘존적 논리는 거짓말쟁이와 같은 역설의 희생물이 되지 않는 단순하고 직관적인 진실에 대한 공식적인 설명을 제공하는 수단으로 제안되었다. 그러나 그러한 시스템은 본질적으로 부정과 관련되지 않기 때문에 훨씬 더 어려운 커리의 역설도 피해야 한다.
• 이론과 수학의 기초
• 인식론과 믿음의 수정: 모순된 이론과 신념 체계를 가지고 추론하고 수정하는 수단으로서 상존하는 논리가 제안되었다.
• 지식 관리 및 인공지능: 일부 컴퓨터 과학자들은 일관성이 없거나^[16] 모순된^[17] 정보에 우아하게 대처하는 수단으로 상존하는 논리를 활용했다. 기능 근사치, 모델식별, 성공과 함께 제어하기^{[disambiguation needed]} 위한 신경망을 구축하기 위해 파라콘존 논리학의 수학적 틀과 규칙이 인공 뉴런의 활성화 기능으로 제안되었다.^[18]
• 신논리와 메타윤리: 파라콘존적 논리는 윤리적 및 기타 규범적 갈등을 다루는 수단으로 제안되어 왔다.
• 소프트웨어 엔지니어링: 상존하는 논리는 대형 소프트웨어 시스템의 문서화, 사용 사례 및 코드 사이에 만연한 불일치를 다루기 위한 수단으로 제안되었다.^[19][20][21]
• 전자 설계는 4가지 가치 논리를 일상적으로 사용하며, "하이임피던스(z)"와 "상관없음(x)"은 True와 False 외에도 각각 "모른다"와 "참과 거짓 둘 다"와 비슷한 역할을 한다. 이 논리는 철학적 논리학과는 별개로 전개되었다.
• 양자물리학
• 블랙홀 물리학
• 호킹 방사선
• 양자 컴퓨팅
• 스핀트로닉스
• 양자 얽힘
• 양자 결합
• 불확실성 원리

비판

일부 철학자들은 위의 세 가지 원칙 중 하나를 포기하는 반인정주의가 폭발의 원리가 가질 수 있는 반인정주의를 능가한다는 이유로 투석주의에 반대한다고 주장해 왔다.

데이비드 루이스와 같은 다른 사람들은 진술과 그 부정이 공동으로 진실되는 것은 도저히 불가능하다는 이유로 상존하는 논리에 반대해 왔다.^[22] 관련 반대는 상존적 논리의 "부정"이 실제로 부정하는 것이 아니라 단지 부차적 형식 운영자에 불과하다는 것이다.^[23]

대안

직관적인 논리 원리를 위반하지 않고 일관되지 않은 신념을 해결할 수 있는 접근법이 존재한다. 그러한 시스템들은 대부분 베이시안 추론과 뎀스터-샤퍼 이론과 함께 다변화된 논리를 사용하며, 불완전하고, 추상화되고, 해석되어야 하고, 미확인되고, 잠재적으로 정보가 없고, 그리고 어쩌면 부정확한 지식(물론, 바로 이 가정)에 기초해야 하기 때문에 비자동적 믿음은 완전히 반박할 수 없다(100%)는 것을 허용한다. 신뢰할 수 없는 경우, "거부 가능"으로 "완전히 [100%] 반박할 수 없는" 것이 아니라면) 이들 시스템은 이론적으로 거부하지 않고 실제로 몇 가지 논리적인 원리를 효과적으로 포기한다.

주목할 만한 인물

상존적 논리의 역사 및/또는 현대적 발전에서 주목할 만한 인물은 다음과 같다.

• 앨런 로스 앤더슨(Alan Ross Anderson, 1925–1973년 미국). 관련 논리의 창시자 중 한 명, 일종의 낙하산 논리의 일종이다.
• 플로렌시오 곤살레스 아센조 (아르헨티나, 1927-2013)
• 디데릭 바텐스 (벨기에)
• 누엘 벨납(Nuel Belnap, 미국, b. 1930)은 4가지 가치 논리의 논리적 결합체를 개발했다.
• 장 이브 베지아우(프랑스/스위스랜드, b. 1965). 편협한 논리학의 일반적인 구조적 특징과 철학적인 토대를 폭넓게 썼다.
• 로스 브래디 (호주)
• 브라이슨 브라운 (캐나다)
• 월터 카니엘리(브라질). 상존하는 로직들을 적용가능하고 철학적으로 이해할 수 있도록 하는 새로운 의미론인 가능한 변환 의미론의 개발자.
• 뉴턴 다 코스타(Brazil, b. 1929). 상존하는 논리학의 공식적인 시스템을 처음으로 개발한 것 중 하나이다.
• 이탈라 M. L. 도타비아노 (브라질)
• J. Michael Dunn (미국) 목적적합성 논리의 중요한 인물.
• 칼 휴이트
• 스타니스와프 자이코프스키(폴란드) 상존하는 논리학의 공식적인 시스템을 처음으로 개발한 것 중 하나이다.
• R. E. 제닝스 (캐나다)
• 데이비드 켈로그 루이스 (미국, 1941–2001) 상존하는 논리에 대한 비판을 명확히 한다.
• 얀 우카시예비치(폴란드, 1878–1956)
• 로버트 K. 마이어(미국/호주)
• 크리스 모텐슨(호주) 편협한 수학에 대해 광범위하게 글을 썼다.
• 로렌초 페냐(스페인, b. 1944). 퍼지 논리와 유사하게 상존하는 논리, 점진적 논리(일명 전이적 논리, TL이라고도 함)의 원래 라인을 개발했다.
• 발 플럼우드 [전 루틀리] (호주, b. 1939). 실반과 자주 협력하는 사람이지
• 그레이엄 프리스트(호주). 아마도 오늘날 세계에서 가장 두드러진 상존적 논리의 옹호자일 것이다.
• 프란시스코 미로 케사다(페루). 상존하는 논리라는 용어를 만들었다.
• B. H. 슬레이터(호주). 상존하는 논리에 대한 또 다른 분명한 비판자.
• 리처드 실반 [이전의 루틀리] (뉴질랜드/호주, 1935–1996). 관련 논리의 중요한 인물이며, 플럼우드 및 프리스트와 자주 협력하는 사람.
• 니콜라이 A. 바실리예프(러시아, 1880–1940). 첫째, 모순에 대한 논리 내성을 구성한다(1910).

참고 항목

• 일탈 논리학
• 형식 논리학
• 확률 논리학
• 직감 논리학
• 논리 기호 표

메모들

자원.

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외부 링크

• "Paraconsistent Logic". Internet Encyclopedia of Philosophy.
• Zalta, Edward N. (ed.). "Paraconsistent Logic". Stanford Encyclopedia of Philosophy.
• Zalta, Edward N. (ed.). "Inconsistent Mathematics". Stanford Encyclopedia of Philosophy.
• "1997, 겐트, 주키 2000, 툴루즈, 2003, 멜버른, 콜카타, 2014년 파라콘센시 세계회의"
• 모순 LP#의 무한한 계층적 수준을 가진 상존하는 첫 번째 순서 논리. 공리학적 시스템 HST#, Hrbacek set 이론 HST의 편협성 일반화
• O. 아리엘리, A. 에이브론, A. 자만스키, "이상적인 파라콘존 로직스"