클리포드 분석

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클리포드 분석은 윌리엄 킹돈 클리포드의 이름을 딴 클리포드 알헤브라를 이용한 것으로, 디락 연산자와 그 응용과 함께 분석과 기하학에서 디락 연산자를 연구하는 학문이다. Examples of Dirac type operators include, but are not limited to, the Hodge–Dirac operator, ${\displaystyle d+{\star }d{\star }}$ on a Riemannian manifold, the Dirac operator in euclidean space and its inverse on ${\displaystyle C_{0}^{\infty }(\mathbf {R} ^{n})}$ and their conformal equivalents on the sphere, the Laplacian in euclidean n-space and the Atiyah–Singer–Dirac operator on a spin manifold, Rarita–Schwinger/Stein–Weiss type operators, conformal Laplacians, spinorial Laplacians and Dirac operators on Spin^C manifolds, systems of Dirac operators, the Paneitz operator, Dirac operators on hyperbolic space, the hyperbolic Laplacian and 와인스타인 방정식.

유클리드 공간

유클리드 우주에서 디락 연산자는 그 형태를 가지고 있다.

${\displaystyle D=\sum _{j=1}^{n}e_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}}}}}}}$

여기서 e₁, ...e는_n R에ⁿ 대한 정형외과적 기준이며ⁿ_j², e = -1이 되도록 R은 복잡한 클리포드 대수학, Cl_n(C)에 내장된 것으로 간주된다.

이것으로 알 수 있다.

${\displaystyle D^{2}=-\Delta _{n}}$

여기서 Δ는_n n-유클리드 공간에 있는 라플라시안이다.

유클리드 디락 운영자에 대한 근본적인 해결책은

$[\displaystyle G(x-y):={\frac {1}{\omega _{n}}{\frac {x-y}{\x-y\ ^{n}}}}:{\frac {x-y}}}}}}}}$

여기서 Ω은_n 단위 구 S의ⁿ⁻¹ 표면적이다.

참고:

${\displaystyle D{\frac {1}{(n-2)\오메가_{n}\x-y\^{n-2}}=G(x-y)}$

어디에

${\displaystyle {\frac {1}{(n-2)\;\omega _{n}\;\ x-y\ ^{n-2}}$

n ≥ 3에 대한 라플레이스의 방정식의 근본적인 해결책이다.

Dirac 연산자의 가장 기본적인 예는 Cauchy-Remann 연산자다.

${\displaystyle {\frac {\preason }{\preason x}+i{\frac {\preason }{\preason y}}}}$

복잡한 평면에서 실제로 1차 주문 Dirac 유형 운영자의 경우 하나의 변수 복합 분석의 많은 기본 특성이 그 뒤를 따른다. 유클리드 공간에서 이것은 카우치 정리, 카우치 적분 공식, 모레라의 정리, 테일러 시리즈, 로랑 시리즈, 리우빌 정리를 포함한다. 이 경우 Cauchy 낟알은 G(x-y)이다. Cauchy 적분 공식의 증명은 하나의 복잡한 변수에서와 동일하며, 유클리드 공간의 각 0이 아닌 벡터 x가 클리포드 대수학에서 승법 역수를 갖는다는 사실을 이용한다.

$\displaystyle -{\frac {x}{\x\{2}}\in \mathbf {R} ^{n}.}$

이 역행은 x의 켈빈 역행이다. 유클리드 디락 방정식 Df = 0에 대한 해법은 (왼쪽) 단생 함수라고 불린다. 모노제닉 기능은 스핀 다지관의 고조파 스피너의 특별한 경우다.

3차원 및 4차원에서는 클리포드 분석을 쿼터니온 분석이라고 부르기도 한다. n = 4일 때 Dirac 연산자를 Cauchy-Remann-라고 부르기도 한다.퓨터 연산자. 또한 클리포드 분석의 일부 측면을 하이퍼 복합 분석이라고 한다.

Clifford 분석은 Cauchy 변환, Bergman 커널, Szegő 커널, Plelmelj 연산자, Hardy 공간, Kerzman-Stein 공식과 π 또는 Beurling–의 유사성을 가지고 있다.알프스, 변신하라. 이들은 모두 이동 경계 값 문제, 단수 통합 및 고전적 조화 분석을 포함한 경계 값 문제를 해결하는 데 응용 프로그램을 찾았다. 특히 Clifford 분석은 특정 Sobolev 공간에서 3D로 전체 물파 문제를 해결하기 위해 사용되어 왔다. 이 방법은 2보다 큰 모든 차원에 적용된다.

복잡한 클리포드 대수학을 실제 클리포드 대수학, Cl로_n 대체한다면 많은 클리포드 분석이 효과가 있다. Dirac 연산자와 푸리에 변환 사이의 상호작용을 다루어야 할 때는 그렇지 않다.

푸리에 변환

경계 R이ⁿ⁻¹ 있는 위쪽 절반 공간 R을^n,+ 고려할 때, e₁, ..., e의_n−1 범위는 푸리에 아래 Dirac 연산자의 기호를 변환한다.

${\displaystyle D_{n-1}=\sum _{j=1}^{n-1}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}}}}}}}$

어디인가?

${\displaystyle \zeta =\jeta _{1}e_{1}+\cdots +\zeta _{n-1}}$

이 설정에서 플레멜지 공식은

${\displaystyle \pm {\tfrac {1}{1}:{2}}+G(x-y) _{\mathbf {R} ^{n-1}}$

그리고 이 연산자들을 위한 기호는, 표지판까지,

${\displaystyle {\frac {1}{1}:{2}}\왼쪽(1\pm i{\frac {\zeta }{\\\\zeta \}{\\\zeta \}}\오른쪽).}$

이들은_n R에ⁿ⁻¹ 대한 Cl(C)의 가치 있는 정사각형 통합 함수의 공간에 상호 섬멸하는 공증물질로 알려져 있는 투영 연산자다.

참고:

${\displaystyle G _{\mathbf {R}^{n}=\sum _{j=1}^{n-1}e_{j}R_{j}}}}}}}$

여기서 R은_j J-th Riesz 잠재력이다.

${\displaystyle {\frac {x_{j}{\x\ ^{n}}.}$

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{{\mathbf{}}^{}}}$ ${\displaystyle {{}^{}}_{}}$ ${\$G$_{\mathbf {R} ^{n}}$의 기호가 다음과$$ 같으므로

${\displaystyle {\frac {i\zeta }{\\\\zeta \}}}$

it is easily determined from the Clifford multiplication that

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n-1}R_{j}^{2}=1.}$

So the convolution operator ${\displaystyle G _{\mathbf {R} ^{n}}}$ is a natural generalization to euclidean space of the Hilbert transform.

Suppose U′ is a domain in Rⁿ⁻¹ and g(x) is a Cl_n(C) valued real analytic function. Then g has a Cauchy–Kovalevskaia extension to the Dirac equation on some neighborhood of U′ in Rⁿ. The extension is explicitly given by

${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }\left(x_{n}e_{n}^{-1}D_{n-1}\right)^{j}g(x).}$

When this extension is applied to the variable x in

${\displaystyle e^{-i\langle x,\zeta \rangle }\left({\tfrac {1}{2}}\left(1\pm i{\frac {\zeta }{\ \zeta \ }}\right)\right)}$

we get that

${\displaystyle e^{-i\langle x,\zeta \rangle }}$

is the restriction to Rⁿ⁻¹ of E₊ + E₋ where E₊ is a monogenic function in upper half space and E₋ is a monogenic function in lower half space.

There is also a Paley–Wiener theorem in n-Euclidean space arising in Clifford analysis.

Conformal structure

Many Dirac type operators have a covariance under conformal change in metric. This is true for the Dirac operator in euclidean space, and the Dirac operator on the sphere under Möbius transformations. Consequently, this holds true for Dirac operators on conformally flat manifolds and conformal manifolds which are simultaneously spin manifolds.

Cayley transform (stereographic projection)

The Cayley transform or stereographic projection from Rⁿ to the unit sphere Sⁿ transforms the euclidean Dirac operator to a spherical Dirac operator D_S. Explicitly

${\displaystyle D_{S}=x\left(\Gamma _{n}+{\frac {n}{2}}\right)}$

where Γ_n is the spherical Beltrami–Dirac operator

${\displaystyle \sum \nolimits _{1\leq i<j\leq n+1}e_{i}e_{j}\left(x_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}-x_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\right)}$

그리고 s는ⁿ x이다.

N-space에 대한 Cayley 변환은

${\displaystyle y=C(x)=(e_{n+1}x+1)^(x+e_{n+1}^{1}^{1},\qquad x\in \mathbf {R} ^{n}.}$

그것의 역은

${\displaystyle x=(-e_{n+1}+1)+1)(y-e_{n+1}^{-1}.}$

n-유클리드 공간의 도메인 U에 정의된 함수 f(x)와 Dirac 방정식에 대한 해결책에 대해, 다음

${\displaystyle J(C^{-1},y)f(C^{-1})(y)}$

C_S(U)에서 D에 의해 전멸된다.

${\displaystyle J(C^{-1}y)={\frac {y-e_{n+1}:{n+1}{\n}}.}$

더 멀리

${\displaystyle D_{S}(D_{S}-x)=\삼각 _{S}}$

Sⁿ.의 정합 라플라시안 또는 야마베 운영자. 명시적으로

${\displaystyle \triangle _{S}=-\triangle _{LB}+{\tfrac {1}{4}n(n-2)}$

여기서 ;${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$L ${\displaystyle B_{}}$ ${\$LB$}$는 S의ⁿ Laplace-Beltami 연산자다. 운영자$({\displaystyle {\mathrm{}}_S}$ ${\$는 케이리 변환을 통해 유클리드 라플라시안(유클리드)과 일치한다. 또한

${\displaystyle D_{s}(D_{S}-x)(D_{S}-x)(D_{S}-2x)}$

파니츠 운영자야

${\displaystyle -\triangle _{S}(\triangle _{S}+2),}$

n-sphere에 Cayley 변환을 통해 이 연산자는 양Laplacian${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$(${\displaystyle n_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$ 이것들은 모두 디락 타입의 운영자들의 예들이다.

뫼비우스 변환

뫼비우스 변환은 n-유클리드 공간에 대한 것으로 표현될 수 있다.

${\displaystyle {\frac+b}{cx+d},}$

여기서 a, b, c 및 d ∈ Cl이며_n 특정 제약 조건을 충족한다. 연관된 2 × 2 행렬을 알프스-발렌 행렬이라고 한다. 만약

${\displaystyle y=M(x)+{\frac {ax+b}{cx+d}}}}$

및 Df(y) = 0, $J{\displaystyle (M}$, x${\displaystyle }$) ${\displaystyle f(}$ X${\displaystyle }$) ${\displaystyle J(M,x)f(M(x))}$은 다음과 같은 Dirac 방정식의 솔루션이다$$.

${\displaystyle J(M,x)={\frac {\widetilde {cx+d}}{\ cx+d\ ^{n}}}}$

and ~ is a basic antiautomorphism acting on the Clifford algebra. The operators D^k, or Δ_n^k/2 when k is even, exhibit similar covariances under Möbius transform including the Cayley transform.

When ax+b and cx+d are non-zero they are both members of the Clifford group.

As

${\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d}}={\frac {-ax-b}{-cx-d}}}$

then we have a choice in sign in defining J(M, x). This means that for a conformally flat manifold M we need a spin structure on M in order to define a spinor bundle on whose sections we can allow a Dirac operator to act. Explicit simple examples include the n-cylinder, the Hopf manifold obtained from n-euclidean space minus the origin, and generalizations of k-handled toruses obtained from upper half space by factoring it out by actions of generalized modular groups acting on upper half space totally discontinuously. A Dirac operator can be introduced in these contexts. These Dirac operators are special examples of Atiyah–Singer–Dirac operators.

Atiyah–Singer–Dirac operator

Given a spin manifold M with a spinor bundle S and a smooth section s(x) in S then, in terms of a local orthonormal basis e₁(x), ..., e_n(x) of the tangent bundle of M, the Atiyah–Singer–Dirac operator acting on s is defined to be

${\displaystyle Ds(x)=\sum _{j=1}^{n}e_{j}(x){\tilde {\Gamma }}_{e_{j}(x)}s(x),}$

where ${\displaystyle {\widetilde {\Gamma }}}$ is the spin connection, the lifting to S of the Levi-Civita connection on M. When M is n-euclidean space we return to the euclidean Dirac operator.

From an Atiyah–Singer–Dirac operator D we have the Lichnerowicz formula

${\displaystyle D^{2}=\Gamma ^{*}\Gamma +{\tfrac {\tau }{4}},}$

where τ is the scalar curvature on the manifold, and Γ^∗ is the adjoint of Γ. The operator D² is known as the spinorial Laplacian.

M이 콤팩트하고 τ ≥ 0 및 τ > 0 어디선가 있다면 다지관에는 비견상 고조파 스피너가 없다. 이것은 리흐네로위츠 정리다. 리히네로비츠의 정리가 하나의 가변적 복합 분석에서 나온 리우빌의 정리의 일반화임을 쉽게 알 수 있다. 이를 통해 매끄러운 스피너 섹션의 공간 전체에 걸쳐 조작자 D는 그러한 다지관(다지관)을 회전할 수 없다는 것을 알 수 있다.

아티야-싱어-디락 운영자가 콤팩트한 지지로 부드러운 스피너 섹션의 공간에 변위할 수 없는 경우

$C(x,y):=D^{-1}*\delta _{y},\qquad x\neq y\in M,}$

여기서 Δ는_y y에서 평가된 Dirac 델타 함수다. 이것은 이 디락 연산자에 대한 근본적인 해결책인 카우치 커널을 낳는다. 이것으로부터 조화 스피너에 대한 Cauchy 적분 공식을 얻을 수 있다. 이 항목의 첫 번째 절에서 설명하는 대부분의 커널은 변환 불가능한 아티야-싱어-디락 연산자를 통해 전달된다.

스톡스의 정리를 사용하거나, 그렇지 않으면, 각 측정지표와 연관된 디락 연산자가 서로 비례한다는 것을 추가로 판단할 수 있으며, 따라서 그 반대도 존재한다면 그 반대도 서로 비례한다는 것을 알 수 있다.

이 모든 것은 Atiyah-Singer 지수 이론 및 Dirac 유형 연산자와 관련된 기하학적 분석의 다른 측면에 대한 잠재적 링크를 제공한다.

쌍곡선 디락 유형 연산자

클리포드 분석에서는 또한 쌍곡선 또는 푸앵카레 메트릭과 관련하여 위쪽 절반 공간, 디스크 또는 하이퍼볼라의 미분 연산자를 고려한다.

위쪽 절반 공간에 대해 클리포드 대수학, Cl을_n Cl_n−1 + Cle로_n−1n 나눈다. 따라서 a in Cl의_n 경우 a b + ce를_n a, b in Cl로_n−1 표현할 수 있다. 그 다음 하나는 P(a) = b, Q(a) = c로 정의된다. Hodge-Dirac 연산자는 현재 상반부 공간의 쌍곡선 메트릭과 관련하여 함수 f에 작용한다.

${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$= ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f}$+ ${\displaystyle n\frac{}{}}$- ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\displaystyle \frac{x_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$( ${\displaystyle f}$) ${\displaystyle Mf=Df+{\frac$ {$n-2}{x_{n}}Q(f$ .

이 경우

${\displaystyle M^{2}f=-\triangle _{n}P(f)+{\frac {n-2}{x_{n}}}{\frac {\partial P(f)}{\partial x_{n}}}-\left(\triangle _{n}Q(f)-{\frac {n-2}{x_{n}}$$}}{\frac${\$partial$ Q$(f)}{\partial x_{n}}}+{\frac {n-2}{x_{n}^{2$}}$Q(f)\right)e_{$n}}}}}}{$n$

오퍼레이터

${\displaystyle \property_{n}-{n}{x_{n}}{\frac {\properties }{\frac x_{n}}}}}}}}$

다른 운영자는 와인스타인 운영자의 예인 반면, 푸앵카레 메트릭에 관한 라플라시안이다.

쌍곡선 라플라크 연산자는 등정 그룹의 작용에 따라 불변하는 반면 쌍곡선 디락 연산자는 그러한 작용에 따라 공변한다.

라리타-슈윙거/슈타인-와이스 연산자

Rarita-Schwinger 연산자는 Stein-Weiss 연산자로도 알려져 있으며 Spin 및 Pin 그룹의 대표이론에서 발생한다. 연산자 R은_k 순응 공변량 1차 차등 연산자다. 여기서 k = 0, 1, 2, .... k = 0일 때 라리타-슈윙거 연산자는 디락 연산자일 뿐이다. 직교 그룹에 대한 표현 이론에서 O(n)는 균일한 조화 다항식의 공간에서 값을 취하는 함수를 고려하는 것이 일반적이다. 이 표현 이론을 O(n)의 이중 덮개 핀(n)에 재조정한 경우, 균일한 조화 다항식의 공간을 k 동종 다항식의 공간(k monogenic polyomials)으로 대체한다(k 단항식이라고도 한다. 하나는 함수 f(x, u)를 고려하는데, 여기서 x in U, domain in Rⁿ, u는 R에ⁿ 따라 달라진다. Forest f(x, u)는 u에서 k-monogenic 다항식이다. 이제 x의 Dirac 연산자_x D를 f(x, u)에 적용하십시오. 이제 클리포드 대수학이 역행_x Df(x, u)가 아니기 때문에 이 함수는 더 이상 k 단일성이 아니라 u에서 균일한 고조파 다항식이 된다. 이제 각 고조파 다항식 h_k 도 k 균일성에 대해 알만시-피셔 분해가 있다.

${\displaystyle h_{k}(x)=p_{k}(x)+{k-1}(x)}$

여기서 p와_k p는_k−1 각각 k와 k-1의 모노제닉 다항식이다. P를 h에서_k p까지의_k 투영으로 하고, Rarita-Schwinger 연산자는_k PD로 정의하며, R에_k 의해 표시된다. 오일러의 보조정리기를 사용하면

${\displaystyle D_{u}up_{k-1}(u)=(-n-2k+2)p_{k-1}.}$

그렇게

${\displaystyle R_{k}=\왼쪽(I+{\frac {1}{n+2k-2}}uD_{u}\오른쪽)D_{x}.}$

컨퍼런스 및 저널

클리포드와 기하학적 알제브라를 중심으로 응용 범위가 넓은 활기차고 학제적인 공동체가 형성되어 있다. 이 과목의 주요 컨퍼런스로는 클리포드 알헤브라스 국제회의와 수학물리학 응용(ICCA) 시리즈와 컴퓨터공학 기하대수학 응용(AGACSE) 시리즈가 있다. 주요 출판물은 응용 클리퍼드 알제브라스에서의 스프링거 저널 진보다.

참고 항목

• 클리포드 대수
• 복잡한 스핀 구조
• 등각 다지관
• 평탄 다지관
• 디락 연산자
• 푸앵카레 미터법
• 스핀 그룹
• 스핀 구조
• 스피너 번들

참조

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외부 링크

• Dirac 연산자에 대한 분석 및 기하학 강의 노트
• Calderbank, David M.J. (1997-12-19), Dirac operators and Clifford analysis on manifolds with boundary, Danish Mathematical Society, DMF-1997-12-007 PP-1997-53, archived from the original on 2009-08-13