입자물리학 및 표현이론

거짓말 그룹
클래식 그룹 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 특수직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) Simplectic Sp(n)
단순 리 그룹 고전적인 A을n Bn Cn Dn 예외적인 G2 F4 E6 E7 E8
기타 Lie 그룹 원 로렌츠 푸앵카레 등각군 차이점형성 루프 유클리드 주
리알헤브라스 리 그룹-리 대수 통신 지수지도 부선 표현 킬링폼 색인 누점대칭 심플리 리 대수
Semisimple Lie 대수 딘킨 도표 카르탄 아발지브라 루트 시스템 웨일 그룹 실물형태 복합화 스플릿 리 대수 콤팩트 리 대수
표현 이론 리 그룹 표현 리 대수 표현 반실현 리알헤브라의 표현 이론 고전적 거짓말 집단 표현 최고중량의 정리 보렐-윌-보트 정리
물리학에서 거짓말 집단 입자물리학 및 표현이론 로렌츠 그룹 표현 푸앵카레 집단 표현 갈릴레이 집단 표현
과학자들 소푸스 리 앙리 푸앵카레 빌헬름 킬링 엘리 카탄 헤르만 바일 클로드 슈발리 하리시찬드라 아르망 보렐
용어집 거짓말 그룹 표
v t

유진 위너가 1930년대에 처음 지적한 바와 같이 입자 물리학과 표현 이론 사이에는 자연스러운 연관성이 있다.^[1] 그것은 기초 입자의 성질을 Lie 그룹과 Lie Algebras의 구조와 연결시킨다. 이 연결에 따르면, 기초 입자의 서로 다른 양자 상태는 푸앵카레 집단의 불가해한 표현을 낳는다. 더욱이 스펙트럼을 포함한 다양한 입자의 특성은 우주의 "거의 대칭"에 해당하는 리 알헤브라의 표현과 관련될 수 있다.

일반 사진

양자 시스템의 대칭

양자역학에서 특정 원입자 상태는 힐버트 공간 $H{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에서 벡터로 표현된다$.$ 어떤 유형의 입자가 존재할 수 있는지 이해하기 위해서는 대칭에 의해$$ $허용$되는 H ${\${\$mathcal {H}$의 가능성과 그 특성을 분류하는 것이 중요하다. $H{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$을(를) 특정 양자 시스템을 설명하는 힐버트 공간으로 하고$$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$을(를) 양자 시스템의 대칭 집합으로 한다$$. 예를 들어 상대론적 양자 시스템에서 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$은(는) 푸앵카레 그룹일 수 있고$$, 수소 원자의 경우 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$은(는) 회전 그룹 SO(3)일$$ 수 있다. 입자 상태는 0이 아닌 스칼라 인수로 다른 두 벡터가 힐버트 공간의 한 광선으로 대표되는 동일한 물리적 양자 상태에 대응하므로$,$ Ray Space라고도 불리는 연관된 Hilbert ${\displaystyle space\mathcal{}}$ P$H$ {\$displaystyle \mathrm}{\mathcal{$H}}에 의해 더욱 정밀하게 특징지어진다.s in $H{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ 및$$ 자연 투영 지도 아래 P → ${\displaystyle P\mathrm{}}$H ${\$mathcal ${$H}\$오른쪽$ 화살표 \${\displaystyle mathrm\mathcal{}}$ {$P}$ ${\$$mathcal {H}$의 요소$.$

By definition of a symmetry of a quantum system, there is a group action on ${\displaystyle \mathrm {P} {\mathcal {H}}}$. For each ${\displaystyle g\in G}$, there is a corresponding transformation ${\displaystyle V(g)}$ of ${\displaystyle \mathrm {P} {\mathcal {H}}}$. More specifically, if $$${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$은(예: x 축을 12°만큼 회전) 시스템의 어떤 대칭이며, P ${\displaystyle H\mathcal{}}$ ${\$ {$P} {\mathcal {H}$의 해당 $변환{\displaystyle }$ V$){\displaystystyle V(g)}$은 광 공간 지도입니다$$. 예를 들어, 정지(제로 모멘텀) 스핀-5 입자를 중심에서 회전시킬 때 g ${\displaystyle g}$은(는) ${\displaystyle \mathrm{3D}}$ 공간($S{\displaystyle \mathrm{}}$ O${\displaystyle }$( 3$$) {\$displaystyle$ \$mathrm {SO$(3$)} }}$의 요소)의 회전이며$$,$$ $V{\displaystyle }$($g)$는 이 양자 상태의 영역과 범위가 각각인 연산자다. 입자, 이 예에서 11차원 복합 Hilbert 공간 $H{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$$displaystyle \mathrm}$ {$P}${\$mathcal {H$$}$과(와) 연관된 투사 $공간{\displaystyle \mathrm{}}$ P ${\displaystyle H\mathcal{}}$ ${\$$displaystyle${\$mathcal {H$

Each map ${\displaystyle V(g)}$ preserves, by definition of symmetry, the ray product on ${\displaystyle \mathrm {P} {\mathcal {H}}}$ induced by the inner product on ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$; according to Wigner's theorem, this transformation of ${\displaystyle \mathrm {P} {\mathcal {$$H}}}$ comes from a unitary or anti-unitary transformation ${\displaystyle U(g)}$ of ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$. Note, however, that the ${\displaystyle U(g)}$ associated to a given ${\displaystyle V(g)}$ is not unique, but only unique up to a phase factor. 따라서 연산자 $U{\displaystyle }$( ${\displaystyle g}$) ${\displaystyle U(g)}$의 구성은 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G$의 구성 법칙을 반영해야 하지만$$ 위상 인자까지만 반영되어야 한다.

${\displaystyle U}$( ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\theta }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle g}$) ${\displaystyle U}$( ${\displaystyle h}$ ) ${\displaystyle$ U$(gh)=e^{i\theta }U($g)$U(h$

$여기$서 $【\displaystyle \theta }$은(는) g ${\displaystyle g$$}$과($와$) $h{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $h$$}$에 따라 달라진다$$$.$ 따라서 $지도{\displaystyle }$ $전송$은${\displaystyle }$G ${\displaystystyle G}$을$($는$)$ 또는 G {\$displaysty$)일 경우 단일 및 반-유일 수 있다.$yle G}$이(가) 분리됨. 실제로 반독점 운영자는 항상 시간 역대칭과 연관되어 있다.

일반적 표현 대 투영적 표현

일반적으로 $U{\displaystyle }$ (${\displaystyle \cdot }$ ) ${\displaystyle$ U$(\cdot )}$이(가) $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 일반적인 표현일 필요는$$ 없으며$,$ 구성법에서 위상 요인을 제거하기 위해$$ $U{\displaystyle }$( g${\displaystyle }$) ${\displaystyle U(g)$의 정의에서 위상 요인을 선택할 수 없을 수도 있다. 예를 들어 전자는 스핀 1/2 입자로, 힐버트 공간은 ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ $3{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$의 파동 함수로 구성되어 있으며 2차원 스피너 공간에 값이 있다$$. 스피너 공간에 대한$$ ${\displaystyle \mathrm{S}}$ O${\displaystyle }$(${\displaystyle 3}$ ) ${\$ {$SO$(3$)} }$의 작업은 단지 투영적이다. S ${\displaystyle \mathrm{O}}$( ${\displaystyle 3}$) ${\$의 일반적인 표현에서 오는 것이 아니다$.$ 그러나 Spinor $공간$에는 S${\displaystyle \mathrm{O}}$ ( ${\displaystyle 3}$) ${\$$displaysty \mathrm$$${$SU($2$)}}$의 범용 $표지{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{S}}$U ( ${\displaystyle 2}$) {\$displaystystystyle \mathrmathrmeter$ {$SO(3$)의 연관된 일반적인 표현이 있다.^[2]

그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 많은 흥미로운 클래스에 대해, 바그만의 정리에서는 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 모든 투사적 단일 표현은 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G$}의$$ 범용 $표지{\displaystyle \stackrel{}{}}$ G${\displaystyle \stackrel{}{}}$~$${\$displaysty {G}$의 일반적인 표현에서 나온다는$$ 것을 알 수 있다$.$ $실제로{\displaystyle \mathcal{}}$ H ${\$.E{{H\mathcal}}}유한, 그 상관 없이 G,{G\displaystyle}그룹의 G{G\displaystyle}의 모든 투영 법의 일원화된 표현 G일{\displaystyle{\tilde{G}의 평범한 일원화된 표현으로부터}이 오}차원은 .[3]만약 H{\displaystyle{{H\mathcal}}}무한하며 그때 치수 있다. 로 원하는 결론을 얻으려면 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$에 대해 일부 대수적 가정을 해야 한다($$아래 참조). 이 설정에서 결과는 바그만의 정리다.^[4] 다행히 푸앵카레 집단의 결정적인 경우에는 바르그만의 정리가 적용된다.^[5] (Poincaré 그룹의 범용 커버에 대한 표기에 대한 Wigner의 분류 참조)

위에서 언급한 요구 사항은 Lie 대수 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$이(가) 비독점적인 1차원 중앙 확장을 허용하지 않는다는$$ 것이다. $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 두 번째 코호몰로지 그룹이 사소한 경우에만$$ 그렇다. 이 경우, 집단이 별개의 집단에 의한 중앙연장을 인정하는 것은 여전히 사실일 수 있다. But extensions of ${\displaystyle G}$ by discrete groups are covers of ${\displaystyle G}$. For instance, the universal cover ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ is related to ${\displaystyle G}$ through the quotient ${\displaystyle G\approx {\tilde {G}}/\Gamma }$ with the central subgro업 ${\displaystyle \Gamma}$ 그$$ $자체$가${\displaystyle \stackrel{}{}}$G ~ ${\${\$tilde{G}}$의 중심인$$ covered{\displaysty}은(는) 커버된 그룹의 기본 그룹과 이형화되어 있다.

따라서 유리한 경우, 양자 시스템은 대칭 $그룹{\displaystyle }$ G ${\displaystyle G}$의 범용 $커버{\displaystyle \stackrel{}{}}$ G${\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\${$G$$}}$을(를) 단일하게 표현한다$.$ 이는 비 벡터 공간 ${\displaystyle P\mathcal{}}$ $H{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\$$}$보다 $H{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\display$}과(와) 작업하기 훨씬 쉽기$$ 때문에 바람직하다.$aystyle \mathrm{P} {\mathcal{H$ $G{\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\$의 표현을 분류할 수 있다면$$ H ${\$ {$H}$의 가능성과 속성에 대한 훨씬 더 많은 정보를 얻을 수 있다$$.

하이젠베르크 사건

바그만의 정리가 적용되지 않는 예는 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에서 이동하는 양자 입자에서 비롯된다$.$ The group of translational symmetries of the associated phase space, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$, is the commutative group ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$. In the usual quantum mechanical picture, the ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ symmetry is not implemented by a unitary repre$R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{2n}}^{}}$ ${\$의 전송$.$ 결국 양자 설정에서는 위치 공간의 번역과 모멘텀 공간의 번역은 통근하지 않는다. 이러한 통근 실패는 각각 모멘텀 공간과 위치 공간의 번역의 극소수 생성자인 위치 운영자가 통근하지 못한 것을 반영한다. 그럼에도 불구하고, 위치 공간의 번역과 운동 공간의 번역은 위상 요인으로 통근한다. 따라서 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{2n}}^{}}$ ${\$에 대한 투영적 표현이 잘 정의되어 있지만, $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{2n}}^{}}$ ${\$의 $일반적$인 표현에서 오는 것은 아니다$.$

이 경우 통상적인 대표성을 얻기 위해서는 하이젠베르크 그룹으로 넘어가야 하는데, 이는 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{2n}}^{}}$ ${\$의 비독점적인 1차원 중앙 확장이다$.$

푸앵카레 군

번역과 로렌츠 변환의 집단은 푸앵카레 집단을 형성하며, 이 집단은 상대론적 양자 시스템의 대칭이어야 한다(일반 상대성 효과, 즉 평탄한 공간에서). 푸앵카레 집단의 표현은 많은 경우에 음이 아닌 질량과 반정수의 스핀(Wigner의 분류 참조)으로 특징지어진다. 이는 입자들이 스핀을 정량화한 이유로 생각할 수 있다. (실제로 타키온, 인프라파티클 등과 같은 다른 가능한 표현이 있으며, 경우에 따라 스핀이나 고정 질량을 정량화하지 않은 경우도 있다는 점에 유의하십시오.

기타 대칭

푸앵카레 그룹의 스팩타임 대칭은 특히 시각화 및 믿기가 쉽지만, 내부 대칭이라고 하는 다른 종류의 대칭도 있다. 세 쿼크 색상의 연속적 교환에 해당하는 정확한 대칭인 색상 SU(3)가 한 예다.

리알헤브라스 대 리 그룹

많은 (전부는 아니지만) 대칭 또는 근사 대칭은 Lie 그룹을 형성한다. 이들 리 집단들의 대표이론을 연구하기보다는 대개 계산이 간단한 해당 리 알헤브라의 밀접하게 연관된 대표이론을 연구하는 것이 더 바람직한 경우가 많다.

이제, 리 대수학의 표현은 원래의 집단의 보편적 표지의 표현에 해당한다.^[6] 유한 차원 사례와 무한 차원 사례에서, 바르그만의 정리가 적용되는 경우, 원래의 집단의 불확실한 투영적 표현은 보편적 커버의 일반적인 단일 표현에 해당한다. 그러한 경우, 리 대수 수준의 계산이 적절하다. 특히 회전군 SO(3)의 수정 불가능한 투영적 표현을 연구한 경우가 이에 해당한다. 이는 SO(3)의 범용 커버 SU(2)의 일반적인 표현과 일대일 일치한다. 그런 다음 SU(2)의 표현은 SO(3)의 리 대수 so(3)와 이형인 리 대수 su(2)의 표현과 일대일 일치한다.

따라서 요약하자면 SO(3)의 불가역적 투영적 표현은 그 리 대수학의 불가역적 통상적 표현과 일대일 일치한다. 리 대수학의 2차원 "스핀 1/2" 표현으로, 예를 들어, 그룹 SO(3)의 통상적인 (단일치) 표현과 일치하지 않는다.(이 사실은 "전자의 파동함수를 360도 회전시키면 본래의 파동함수의 음을 얻는다"는 효과에 대한 진술의 기원이 된다.) 네그럼에도 불구하고, 스핀 1/2 표현은 신체적으로 필요한 모든 SO(3)의 잘 정의된 투영적 표현을 낳는다.

근사 대칭

위의 대칭은 정확하다고 생각되지만, 다른 대칭은 근사치일 뿐이다.

가상의 예

대칭 근사치가 무엇을 의미하는지 예를 들어, 실험자가 어떤 특정한 방향으로 자성을 가지고 무한의 페로마그넷 안에 살았다고 가정해보자. 이 상황에서 실험자는 한 가지가 아니라 두 가지 뚜렷한 유형의 전자를 발견할 것이다. 하나는 자석화 방향을 따라 회전하는 것이고, 다른 하나는 에너지(그리고 결과적으로 질량이 낮음)가 약간 낮은 것이고, 다른 하나는 질량이 더 높은 스핀 반정렬을 가진 전자를 발견할 것이다. 일반적으로 스핀업 전자와 스핀다운 전자를 연결하는 우리의 통상적인 SO(3) 회전 대칭은 이 가상의 경우 서로 다른 유형의 입자를 서로 연관시키는 근사 대칭에 불과하다.

일반적 정의

일반적으로, 근사 대칭은 그 대칭을 따르는 매우 강한 상호작용과 그렇지 않은 약한 상호작용이 있을 때 발생한다. 위의 전자 예에서 전자의 두 "형식"은 강한 힘과 약한 힘에서는 동일하게 작용하지만 전자기력에서는 다르게 작용한다.

예: isospin 대칭

현실 세계의 예는 위 쿼크와 아래 쿼크의 유사성에 해당하는 SU(2) 그룹인 isospin 대칭이다. 이것은 대략적인 대칭이다. 위 쿼크와 아래 쿼크는 강한 힘 아래에서 상호작용하는 방식에서는 동일하지만, 서로 다른 질량과 서로 다른 전기와크 상호작용을 가진다. 수학적으로 추상적인 2차원 벡터 공간이 있다.

${\displaystyle {\text{quark}}\rightarrow {\pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\qquad {\text{down Quark}\rightarrow {\pmatrix}0\1\end{pmatrix}}}}}}}}}$

그리고 물리 법칙은 이 공간에 결정 요인-1 단일 변환을 적용하면 대략적으로 불변한다.^[7]

${\displaystyle {\begin}x\\y\end{pmatrix}\mapsto A{\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}},\quad {\text{}{}{{}text{}}}는 }}}}}에 있음$

예를 들어,= ( - 10 ){\$displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1\-1&0\end{pmatrix}}}}}$은(는) 우주의 모든 쿼크를 하향 쿼크로, 그 반대의 쿼크로 만든다. 일부 예는 이러한 변환의 가능한 효과를 명확히 하는 데 도움이 된다.

• 이러한 단일변형이 양성자에 적용되면 중성자로 변형되거나 양성자와 중성자의 중첩으로 변형될 수 있지만 다른 입자로 변형될 수는 없다. 그러므로, 변환은 양자 상태의 2차원 공간을 중심으로 양자를 움직인다. 양성자와 중성자는 "이소스핀 더블트"라고 불리며, 수학적으로 스핀-분자 입자가 보통 회전 시 어떻게 작용하는지와 유사하다.
• 이러한 단일변형이 세 개의 피온(
  π⁰
  , π⁺
  , π⁻
  ) 중 어느 것에나 적용될 때, 그것은 그 어떤 피온도 다른 것으로 변화시킬 수 있지만, 어떤 비피온 입자로 변화시킬 수는 없다. 따라서, 그 변환은 양자 상태의 3차원 공간을 중심으로 피온을 이동시킨다. 이 피온은 "이소스핀 트리플트"라고 불리며, 수학적으로 스핀-1 입자가 보통 회전할 때 어떻게 동작하는지와 유사하다.
• 위 쿼크도 아래 쿼크도 포함하지 않기 때문에 이러한 변환은 전자에 전혀 영향을 미치지 않는다. 전자는 이소스핀 싱글렛이라고 불리며, 수학적으로 스핀-0 입자가 보통 회전하는 동안 어떻게 동작하는지와 유사하다.

일반적으로 입자는 Isospin multiplets를 형성하며, 이는 리 대수 SU(2)의 불가해한 표현에 해당한다. Isospin 멀티플릿의 입자는 매우 유사하지만 동일한 질량을 가지지 않는다. 위 쿼크와 아래 쿼크는 매우 유사하지만 동일하지는 않기 때문이다.

예: 향미 대칭

Isospin 대칭은 up 쿼크, down 쿼크, 이상한 쿼크의 유사성에 해당하는 SU(3) 그룹의 향미 대칭으로 일반화될 수 있다.^[7] 이것은 쿼크 질량 차이와 전기 약품 상호작용에 의해 위반된 근사 대칭이다. 사실, 이것은 이상한 쿼크의 질량이 눈에 띄게 높기 때문에 이소핀보다 더 빈약한 근사치다.

그럼에도 불구하고, 입자는 실제로 Murray Gell-Mann이 처음 지적하고 Yuval Ne'eman이 독자적으로 언급한 것처럼, 리 대수 SU(3)의 불가해한 표현을 형성하는 그룹으로 깔끔하게 나눌 수 있다.

참고 항목

• 충전(물리학)
• 표현 이론:
  • 리알헤브라의 국가
  • Of Lie 그룹
• 투영적 표현
• 특수 단일군

메모들

참조

• 콜먼, 시드니(1985) 대칭성의 측면: 시드니 콜먼의 선별된 에리스 강의. 케임브리지 유니브 프레스. ISBN 0-521-26706-4.
• 게오르기, 하워드(1999) 입자물리학의 리 알헤브라스. 매사추세츠 주의 독서: 페르세우스 북스. ISBN 0-7382-0233-9.
• Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians, Graduate Texts in Mathematics, 267, Springer, ISBN 978-1461471158.
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666.
• 스턴버그, 슐로모(1994) 그룹 이론과 물리학. 케임브리지 유니브 프레스. ISBN 0-521-24870-1. 특히 148~150쪽.
• Weinberg, Steven (1995). The Quantum Theory of Fields, Volume 1: Foundations. Cambridge Univ. Press. ISBN 0-521-55001-7. 특히 2장의 부록 A와 B.

외부 링크

• Baez, John C.; Huerta, John (2010). "The Algebra of Grand Unified Theories". Bull. Am. Math. Soc. 47 (3): 483–552. arXiv:0904.1556. doi:10.1090/S0273-0979-10-01294-2. S2CID 2941843.