일반 미분방정식의 수치적 방법

일반 미분방정식에 대한 수치적 방법은 일반 미분방정식(oDE)의 해법에 대한 수치적 근사를 찾는 데 사용되는 방법이다. 이 용어는 통합 계산을 지칭할 수도 있지만, 이들의 용어는 "수리적 통합"이라고도 한다.

많은 미분 방정식은 기호 연산("분석")을 사용하여 해결할 수 없다. 그러나 엔지니어링과 같이 실용적 목적을 위해서는 종종 솔루션에 대한 수치적 근사치가 충분하다. 여기서 연구한 알고리즘은 그러한 근사치를 계산하는 데 사용될 수 있다. 다른 방법은 미적분학의 기술을 사용하여 용액의 연속적인 확장을 얻는 것이다.

보통의 미분 방정식은 물리학, 화학, 생물학, 경제학을 포함한 많은 과학 분야에서 발생한다.^[1] 또한, 수치 부분 미분 방정식의 일부 방법은 부분 미분 방정식을 일반적인 미분 방정식으로 변환하며, 이는 반드시 해결되어야 한다.

문제

1차 미분 방정식은 형식의 초기값 문제(IVP)이다.^[2]

${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t),\qquad y(t_{0})=y_{0},}$

(1)

where ${\displaystyle f}$ is a function ${\displaystyle f:[t_{0},\infty )\times \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ^{d}}$, and the initial condition ${\displaystyle y_{0}\in \mathbb {R} ^{d}}$ is a given vector. 1차분석은 y의 첫 번째 파생상품만 방정식에 나타나고 상위 파생상품은 없다는 것을 의미한다.

고차방정식에 대한 일반성을 상실하지 않는 한, 고차방정식을 1차방정식으로 제한하는데, 그 이유는 고차방정식은 추가 변수를 도입함으로써 1차방정식의 더 큰 시스템으로 변환될 수 있기 때문이다. 예를 들어, 2차 방정식 y′ = = -y는 두 개의 1차 방정식으로 다시 쓸 수 있다: y′ = z, z′ = -y.

이 절에서는 IVP에 대한 수치적 방법을 설명하고 경계 값 문제(BVP)에는 다른 도구 세트가 필요하다고 언급한다. BVP에서 한 개 이상의 지점에서 솔루션 y의 값 또는 구성요소를 정의한다. 이 때문에 BVP를 풀기 위해서는 다른 방법을 사용할 필요가 있다. 예를 들어 사격법(및 그 변형법)이나 유한차이,^[3] 갤러킨법,^[4] 콜러레이션법 등과 같은 범지구적 방법이 해당 등급의 문제에 적합하다.

피카르-린델뢰프 정리는 f가 립스키츠-연속이라면 독특한 해결책이 있다고 명시하고 있다.

방법들

1차 IVP를 풀기 위한 수치적 방법은 종종 선형 다단계 방법 또는 런지-쿠타 방법의 ^[5]두 가지 큰 범주 중 하나로 분류된다. 방법을 명시적인 방법과 암묵적인 방법으로 나누면 추가적인 분열이 실현될 수 있다. For example, implicit linear multistep methods include Adams-Moulton methods, and backward differentiation methods (BDF), whereas implicit Runge–Kutta methods^[6] include diagonally implicit Runge–Kutta (DIRK),^[7][8] singly diagonally implicit Runge–Kutta (SDIRK),^[9] and Gauss–Radau^[10] (based on Gaussian quadrature^[11]) numerical methods. 선형 다단계 제품군의 명시적 예로는 아담스-바시포스 방법을 들 수 있으며, 대각선 푸에르토 테이블라우가 낮은 모든 런지-쿠타 방법이 명시적이다. 느슨한 경험 법칙은 뻣뻣한 미분방정식이 암묵적인 계략의 사용을 필요로 하는 반면, 비관적인 문제는 명시적인 계략으로 더 효율적으로 해결될 수 있다는 것을 지시한다.

이른바 일반 선형법(GLM)은 위의 두 가지 큰 등급의 방법을 일반화한 것이다.^[12]

오일러법

곡선의 어느 지점에서나 곡선에 접하는 선을 따라 짧은 거리를 이동하면 곡선에서 가까운 점의 근사치를 찾을 수 있다.

미분 방정식(1)부터 파생 Y difference를 유한차 근사치로 대체한다.

${\displaystyle y'(t)\약간 {\frac {y(t+h)-y(t)}{h},}$

(2)

다시 배열하면 다음과 같은 공식이 나온다.

${\displaystyle y(t+h)\cHB(t)\cHB(t)+h'(t)}$

(1)을 사용하면 다음과 같은 이점을 얻을 수 있다.

$[\displaystyle y(t+h)\ 관련 y(t)+hf(t,y(t))]}$

(3)

이 공식은 보통 다음과 같은 방법으로 적용된다. 스텝 사이즈 h를 선택하고, 시퀀스 $t{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ = ${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle h,}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$= t ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$+ ${\displaystyle 2}$ h${\displaystyle }$,${\displaystyle }$.${\displaystyle }$. . . . . . . . . $.\displaystyle t_{0}, t_{1}=t_{$0}+$h, t_{2}=t_{0}+}+2h,$ .$}$ ${\displaystyle y_{}}$ ${\$를 기준으로 정확한$$ $솔루션{\displaystyle }$ y${\displaystyle }$( ${\displaystyle t_{}}$) ${\displaystyle$ y$(t_{n})$의 수치 추정치$.$ (3)에 의해 동기 부여된 다음 반복적 방법으로 이러한 추정치를 계산한다.

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n}).}$

(4)

이것은 오일러 방법(또는 아래 설명해야 할 후방 오일러 방법과 대조적으로 전방 오일러 방법)이다. 이 방법은 1768년 그것을 설명한 레온하르트 오일러의 이름을 따서 명명되었다.

오일러 방법은 명시적 방법의 예다. 이는 새로운 가치 y가_n+1 y와_n 같이 이미 알려진 것들의 관점에서 정의된다는 것을 의미한다.

백워드 오일러법

만약, (2) 대신에, 우리는 근사치를 사용한다.

${\displaystyle y'(t)\약 {\frac {y(t)-y(t-h)}{h},}$

(5)

우리는 후진 오일러 방법을 얻는다:

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n+1},y_{n+1}).}$

(6)

후진 오일러 방법은 암묵적인 방법인데, 우리가 방정식을 풀어야 y를_n+1 찾을 수 있다는 뜻이다. 이를 달성하기 위해 고정점 반복이나 뉴턴-랩슨 방법을 (일부 수정) 사용하는 경우가 많다.

명시적 방법보다 이 방정식을 푸는 데 더 많은 시간이 소요된다. 이 비용은 사용할 방법을 선택할 때 고려해야 한다. (6)와 같은 암묵적 방법의 장점은 경직된 방정식을 푸는 데 있어서 대개 더 안정적이기 때문에 더 큰 스텝 사이즈 h를 사용할 수 있다는 것이다.

1차 지수 통합 방법

기하급수적인 통합업체들은 최근에 많은 발전을 경험한 대규모 통합업체를 설명한다.^[13] 그들은 적어도 1960년대로 거슬러 올라간다.

(1) 대신에, 우리는 미분 방정식이 형태 중 하나라고 가정한다.

${\displaystyle y'(t)=-A\,y+{\mathcal{N}(y),}$

(7)

또는${\displaystyle }$A ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle -Ay}$ 및$$ 비선형 용어 $){\displaystyle {\mathcal{N}(y)}$을(를) 생성하기 위해 배경 상태에 대해 국소적으로 선형화되었다$.$

지수 통합자는 (7)에 e A $t^{}$ ${\$ e$^{At}$를 곱한 후$,$ 시간 간격$[{\displaystyle t_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{n}}_{}}$+ 1${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle t_{}}$+ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [t_},t},{n+1}=t_{n}+}=$t}+$h]$를 정확히 통합하여 구성된다$.$

${\displaystyle y_{n+1}=e^{-Ah}y_{n}+\int_{0}^{h}e^{-(h-\tau )A}{\mathcal{N}\좌(y\좌)(t_{n}+\tau \우)\,d\tau .}$

이 적분 방정식은 정확하지만 적분을 정의하지는 않는다.

1차 지수 통합자는 다음 전체 간격에 걸쳐 $($ ( y${\displaystyle }$( ${\displaystyle t_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$+${\displaystyle \tau }$ $))$ {\$displaystyle$ {\$mathcal {N}(y_{n$}+\tau )}을(를$$) 일정하게 유지함으로써 실현할 수 있다.

${\displaystyle y_{n+1}=e^{-Ah}y_{n}+A^{-1}(1-e^{-Ah}){\mathcal{N}}(y_{n})\ .}$

(8)

일반화

오일러 방법은 종종 충분히 정확하지 않다. 좀 더 정밀한 용어로, 순서 1만 가지고 있다(순서의 개념은 아래에서 설명한다). 이것은 수학자들이 고차적인 방법을 찾도록 만들었다.

한 가지 가능성은 이전에 계산된 값 y를_n 사용하여 y를_n+1 결정할 뿐만 아니라 솔루션이 더 많은 과거 값에 의존하도록 하는 것이다. 이것은 이른바 다단계 방법을 산출한다. 아마도 가장 간단한 방법은 두 번째 순서인 비약적인 방법이고 (거의 말로) 두 개의 시간 값에 의존한다.

거의 모든 실용적인 다단계 방법은 형태를 갖는 선형 다단계 방법의 패밀리에 속한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\alpha _{k}y_{n+k}+\alpha _{k-1}y_{n+k-1}+\cdots +\alpha _{0}y_{n}\\&{}\quad =h\left[\beta _{k}f(t_{n+k},y_{n+k})+\beta _{k-1}f(t_{n+k-1},y_{n+k-1})+\cdots +\beta _{0}f(t_{n},y_{n})\right].\end{정렬}}}$

또 다른 가능성은${\displaystyle }$[${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle [t_{n},t_{n+1}]}$ 간격에 더 많은 포인트를 사용하는 것이다$.$ 이것은 칼 룬게와 마틴 쿠타의 이름을 딴 룬게-쿠타 방법의 가족으로 이어진다. 그들의 4차 방식 중 하나는 특히 인기가 있다.

고급 기능

ODE를 해결하기 위해 이러한 방법들 중 하나를 잘 구현하는 것은 타임 스텝 공식보다 더 많은 것을 수반한다.

항상 같은 스텝 사이즈를 사용하는 것은 비효율적인 경우가 많기 때문에, 스텝 사이즈의 가변적인 방법이 개발되었다. 일반적으로 단계 크기는 단계당 (로컬) 오류가 일부 허용오차 수준 이하가 되도록 선택된다. 즉, 방법은 오류 표시기, 즉 로컬 오류의 추정치도 계산해야 한다.

이 아이디어의 확장자는 서로 다른 순서의 방법들 사이에서 동적으로 선택하는 것이다(이를 가변 순서 방법이라고 한다). Bulirsch-Stoer 알고리즘과 [14]같은 리처드슨 외삽에 기초한 방법들은 종종 서로 다른 주문의 다양한 방법들을 구성하기 위해 사용된다.^[15][16]

기타 바람직한 특징은 다음과 같다.

• 밀도 출력: 전체₀ 통합 간격에 대한 값싼 수치 근사치 및 t, t₁₂, t, ... 지점에서만 사용할 수 있는 것은 아니다.
• 이벤트 위치: 특정 기능이 소멸되는 시간 찾기. 이것은 일반적으로 뿌리 찾기 알고리즘을 사용해야 한다.
• 병렬 컴퓨팅 지원
• 시간 가역성, 시간 가역성과 관련하여 통합을 위해 사용할 경우

대체 방법

많은 방법들이 여기서 논의된 틀 안에 들어가지 않는다. 대체 방법의 일부 클래스는 다음과 같다.

• 함수 f뿐만 아니라 파생 모델도 사용하는 다변형 방법. 이 세분류는 Hermite-Obreschkoff 방법 및 Fehlberg 방법뿐만 아니라 솔루션 y의 테일러 시리즈의 계수를 반복적으로 계산하는 Parker-Sochaki 방법^[17] 또는 Bychkov-Sherbakov 방법과 같은 방법을 포함한다.
• 두 번째 순서 ODE에 대한 방법. 우리는 모든 고차 ODE가 (1) 형태의 1차 주문 ODE로 변환될 수 있다고 말했다. 이것이 확실히 사실이지만, 그것이 진행하기에 가장 좋은 방법은 아닐 수도 있다. 특히 니스트룀 방법은 2차 방정식과 직접 작용한다.
• 기하학적 통합 방법은^[18][19] 특히 특수 등급의 ODE를 위해 설계된다(예를 들어, 해밀턴 방정식의 해답을 위한 복합적 통합자). 그들은 숫자 솔루션이 이러한 등급의 기초적인 구조나 기하학을 존중하도록 주의한다.
• 정량화된 상태 시스템 방법은 상태 정량화 아이디어에 기초한 ODE 통합 방법의 한 계열이다. 그것들은 빈번한 불연속성을 가진 희박한 시스템을 시뮬레이션할 때 효율적이다.

병렬 처리 방법

슈퍼컴퓨터의 병렬 컴퓨팅이 필요한 어플리케이션의 경우, 수치적 방법에 의해 제공되는 동시성의 정도는 관련성이 있다. 엑사스케일 컴퓨팅 시스템의 도전을 고려하여, 동시성을 시간적 방향으로 제공할 수 있는 초기 가치 문제에 대한 수치적 방법이 연구되고 있다.^[20] 파라알은 이와 같은 병렬적 시간 통합 방법의 비교적 잘 알려진 예지만, 초기 아이디어는 1960년대로 거슬러 올라간다.^[21] 엑사스케일 컴퓨팅의 등장에서, 시간 병렬 통합 방법은 다시 증가된 관심을 받는다. 지수 통합자를 위한 알고리즘은 예를 들어 병렬 통합자를 쉽고 효율적으로 구현할 수 있는 표준화된 Batched BLAS 기능을 활용할 수 있다.^[22]

분석

수치해석은 수치적 방법의 설계일 뿐만 아니라 그들의 분석이기도 하다. 이 분석의 세 가지 중심 개념은 다음과 같다.

• 수렴: 방법이 솔루션에 근접한지 여부,
• 순서: 용액에 근접한 정도 및
• 안정성: 오류가 감쇠되는지 여부.^[23]

수렴

단계 h가 0으로 가면서 수치용액이 정확한 용액에 접근하면 수치방법이 수렴된다고 한다. 더 정확히 말하면, 우리는 Lipschitz 함수 f를 가진 모든 ODE(1)와 매^* t > 0을 필요로 한다.

${\displaystyle \lim _{h\to 0^{+}\max _{n=0,1,\floor t^{*}/h\floor }\{n,}-y(t_{n})\right\0.}$

위에서 언급한 모든 방법들이 수렴된다.

일관성 및 순서

숫자 방법이 다음과 같다고 가정합시다.

${\displaystyle y_{n+k}=\psi(t_{n+k};y_{n};y_{n},y_{n+1},\dots,y_{n+k-1};h).\,}$

메소드의 로컬(truncation) 오류는 메소드의 한 단계에 의해 커밋된 오류다. 즉, 이전 단계에서 오류가 발생하지 않았다고 가정하여 방법에 의해 주어진 결과와 정확한 해결책의 차이점이다.

${\displaystyle \delta _{n+k}^{h}=\PSI \left(t_{n+k};y(t_{n}), y(t_{n+1}), y(t_{n+1})-y(오른쪽)-y(t_{n+k}).}$

이 방법은 다음과 같은 경우에 일관된다고 한다.

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\frac {\reason_{n+k}^{h}}}{h}}}=0.}$

다음 경우 메소드에 주문$$ $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$이(가) 있음

${\displaystyle \delta _{n+k}^{h}=O(h^{p+1})\quad {\mbox{as}}h~0.}$

따라서 방법이 0보다 큰 주문을 갖는 경우 일관성이 있다. 위에서 소개한 (전진) 오일러 방식(4)과 후진 오일러 방식(6)은 모두 순서 1이 있으므로 일관성이 있다. 실제로 사용되는 대부분의 방법은 더 높은 질서에 도달한다. 일관성은 수렴을^{[citation needed]} 위해 필요한 조건이지만 충분하지는 않다. 어떤 방법이 수렴되려면 일관성이 있어야 하고 안정성이 있어야 한다.

A related concept is the global (truncation) error, the error sustained in all the steps one needs to reach a fixed time ${\displaystyle t}$. Explicitly, the global error at time ${\displaystyle t}$ is ${\displaystyle y_{N}-y(t)}$ where ${\displaystyle N=(t-t_{0})/h}$. The glob$p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$의 al error th order 1-step $method$는 O${\displaystyle }$( ${\displaystyle h^{}}$) ${\displaystyle O(h^{p}})$이다$.$ 특히 이러한 방법은 수렴된다. 이 진술은 다단계 방법에서 반드시 맞는 것은 아니다.

안정성 및 강성

일부 미분 방정식의 경우, 오일러 방법, 명시적 런지-쿠타 방법 또는 다단계 방법(예: Adams-Bashforth 방법)과 같은 표준 방법의 적용은 다른 방법들이 안정적인 해결책을 산출할 수 있지만 솔루션의 불안정성을 나타낸다. 방정식에서 이러한 "어려운 행동"(필요하게 복잡할 필요는 없을 수도 있음)은 경직성이라고 설명되며, 종종 근본적인 문제에 다른 시간 척도가 존재하기 때문에 발생한다.^[24] 예를 들어 충격 오실레이터와 같은 기계적 시스템에서 충돌은 일반적으로 물체의 움직임 시간보다 훨씬 작은 시간 척도로 발생한다. 이 불일치는 상태 매개변수의 곡선에서 매우 "흔들린 회전"을 만든다.

화학 운동학, 제어 이론, 고체 역학, 일기 예보, 생물학, 플라즈마 물리학, 전자공학에서 뻣뻣한 문제들이 어디에나 있다. 강성을 극복하는 한 가지 방법은 미분방정식의 개념을 미분방정식의 개념을 미분방정식의 포함으로 확장하는 것이다.^[25][26]

역사

아래는 이 분야의 몇 가지 중요한 발전의 연대표다.^[27][28]

• 1768년 - Leonhard Euler는 그의 방법을 발표한다.
• 1824 - 어거스틴 루이 코치는 오일러 방법의 정합성을 증명한다. 이 증거에서 코치는 암시적인 오일러 방법을 사용한다.
• 1855 - Francis Bashforth가 쓴 편지에서 John Couch Adams의 다단계 방법에 대한 첫 언급.
• 1895 - Carl Runge가 첫 번째 Runge-Kutta 방법을 발표한다.
• 1901 - 마틴 쿠타(Martin Kutta)는 인기 있는 4차 룬지-쿠타(Runge-Kutta) 방법을 설명한다.
• 1910 - Lewis Fry Richardson은 자신의 외삽법인 Richardson 외삽법을 발표한다.
• 1952 - 찰스 F. 커티스와 조셉 오클랜드 허쉬펠더는 뻣뻣한 방정식이라는 용어에 동전을 던진다.
• 1963 - Germund Dahlquist가 통합 방법의 A-안정성을 소개한다.

2차원의 1차원 경계값 문제에 대한 수치해법

경계 값 문제(BVP)는 대개 원래 BVP를 탈바꿈하여 얻은 대략 동등한 매트릭스 문제를 해결함으로써 수적으로 해결된다.^[29] BVP를 하나의 차원으로 수치적으로 해결하기 위해 가장 일반적으로 사용되는 방법을 유한차이법이라고 한다.^[3] 이 방법은 점 값의 선형 조합을 이용하여 함수의 파생상품을 설명하는 유한 차이 계수를 구성한다. 예를 들어, 첫 번째 파생상품에 대한 2차 중심차이의 근사치는 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {u_{i+1}-u_{i-1}-{2h}=u'(x_{i})+{\mathcal {O}(h^{2}),}$

두 번째 파생상품의 2차 중심차이는 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {u_{i+1}-2u_{i-1}+{i-1}+{h^{2}}=u"(x_{i}}+{\mathcal {O}(h^{2})}$

이 두 공식에서 $h{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$- ${\displaystyle {\mathrm{x}}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$- 1 ${\$은(는) 디스코트된 도메인에서 인접한 x 값 사이의 거리다$$. 그런 다음 표준 매트릭스 방법으로 해결할 수 있는 선형 시스템을 구축한다. 예를 들어, 해결할 방정식은 다음과 같다고 가정합시다.

${\displaystyle {\signified}&{}{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}-u=0,\&}u(0)=0,\&}{}u(1)=1\end{정렬}}}$

다음 단계는 문제를 확인하고 다음과 같은 선형 파생 모델 근사치를 사용하는 것이다.

${\displaystyle u'_{i}={\frac {u_{i+1}-2u_{i}+u_{h^{2}}:$

그리고 선형 방정식의 결과 시스템을 해결한다. 이는 다음과 같은 방정식을 초래할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {u_{i+1}-2u_{i-1}+u_{i-1}{h^{2}}-u_{i}=0,\filename \fall i={1,2,3,...,n-1}}$

처음 봤을 때 이 방정식 체계는 방정식이 변수에 곱하지 않은 항을 포함하지 않는다는 사실과 연관되는 어려움을 가지고 있는 것으로 보이지만, 사실 이것은 거짓이다. i = 1과 n - 1에서 경계 값 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle (0}$ ${\displaystyle )}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$u$(0)=u_{0}$ 및$$ $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle (1}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle u_{}}$n {\$displaysty u(1)=u_{n}}$을 포함하는 용어가 있으며$$, 이 두 값이 알려져 있기 때문에 단순히 이 방정식으로 대체할 수 있고 그 결과 비동종 선형 시스템을 갖게 된다. 해결책

참고 항목

• 쿠랑-프리드리히스-루이 상태
• 에너지 드리프트
• 일반 선형 방법
• 수치해석 항목#일반 미분방정식에 대한 수학적 방법 목록
• 가역 기준 시스템 전파 알고리즘
• Modelica 언어 및 OpenModelica 소프트웨어

메모들

References

• Bradie, Brian (2006). A Friendly Introduction to Numerical Analysis. Upper Saddle River, New Jersey: Pearson Prentice Hall. ISBN 978-0-13-013054-9.
• J. C. Butcher, Numerical methods for ordinary differential equations, ISBN 0-471-96758-0
• Ernst Hairer, Syvert Paul Nørsett and Gerhard Wanner, Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, second edition, Springer Verlag, Berlin, 1993. ISBN 3-540-56670-8.
• Ernst Hairer and Gerhard Wanner, Solving ordinary differential equations II: Stiff and differential-algebraic problems, second edition, Springer Verlag, Berlin, 1996. ISBN3-540-60452-9.
  (This two-volume monograph systematically covers all aspects of the field.)
• Hochbruck, Marlis; Ostermann, Alexander (May 2010). "Exponential integrators". Acta Numerica. 19: 209–286. Bibcode:2010AcNum..19..209H. CiteSeerX 10.1.1.187.6794. doi:10.1017/S0962492910000048.
• Arieh Iserles, A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations, Cambridge University Press, 1996. ISBN0-521-55376-8 (hardback), ISBN0-521-55655-4 (paperback).
  (Textbook, targeting advanced undergraduate and postgraduate students in mathematics, which also discusses numerical partial differential equations.)
• John Denholm Lambert, Numerical Methods for Ordinary Differential Systems, John Wiley & Sons, Chichester, 1991. ISBN0-471-92990-5.
  (Textbook, slightly more demanding than the book by Iserles.)

External links

• Joseph W. Rudmin, Application of the Parker–Sochacki Method to Celestial Mechanics, 1998.
• Dominique Tournès, L'intégration approchée des équations différentielles ordinaires (1671-1914), thèse de doctorat de l'université Paris 7 - Denis Diderot, juin 1996. Réimp. Villeneuve d'Ascq : Presses universitaires du Septentrion, 1997, 468 p. (Extensive online material on ODE numerical analysis history, for English-language material on the history of ODE numerical analysis, see, for example, the paper books by Chabert and Goldstine quoted by him.)
• Pchelintsev, A.N. (2020). "An accurate numerical method and algorithm for constructing solutions of chaotic systems" (PDF). Journal of Applied Nonlinear Dynamics. 9 (2): 207–221. doi:10.5890/JAND.2020.06.004.
• kv on GitHub(엄격한 ODE 해결기가 있는 C++ 라이브러리)
• INTLAB(엄격한 ODE 해결사를 포함하는 MATLAB/GNU 옥타브에서 만든 라이브러리)