미분 방정식

열방정식을 풀어서 만든 펌프 케이스 내 열전달 시각화.열은 케이스 내부에서 생성되고 경계에서 냉각되어 일정한 상태의 온도 분포를 제공합니다.

수학에서, 미분 방정식은 하나 이상의 미지의 함수와 그 ^[1]도함수와 관련된 방정식이다.응용 분야에서, 함수는 일반적으로 물리량을 나타내며, 파생물은 그 변화율을 나타내며, 미분 방정식은 둘 사이의 관계를 정의한다.그러한 관계는 일반적이다. 따라서 미분 방정식은 공학, 물리학, 경제학, 그리고 생물학을 포함한 많은 분야에서 중요한 역할을 한다.

미분 방정식의 연구는 주로 그 해(각 방정식을 만족시키는 함수의 집합)와 그 해들의 특성에 대한 연구로 이루어진다.가장 간단한 미분 방정식만이 명시적 공식으로 풀 수 있지만, 주어진 미분 방정식의 해법의 많은 특성은 그것들을 정확히 계산하지 않고 결정될 수 있다.

솔루션에 대한 폐쇄형 표현식을 사용할 수 없는 경우 시스템을 사용하여 솔루션을 대략적으로 계산할 수 있습니다.동적 시스템 이론은 미분 방정식으로 기술된 시스템의 질적 분석에 중점을 두고 있으며, 주어진 정확도의 해법을 결정하기 위해 많은 수치적 방법이 개발되어 왔다.

역사

미분방정식은 뉴턴과 라이프니츠가 미적분을 발명하면서 처음 생겨났다.아이작 뉴턴은 1671년 저서 Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum의 ^[2]제2장에서 세 가지 종류의 미분 방정식을 열거했다.

{dy}&{\frac {dy}=f(x)\[5pt]=f(x,y)\[5pt]&x_{1}{\frac {\frac {\frac y}{\frac x_{1}+x_{2}}{\frac {\frac y}{\frac x_{2}}=y\end {aligned}

이 모든 경우 $y$ 는 x(또는 $x$ 와₁₂ x)의 미지 $함수$ 이며 f는 주어진 함수입니다.

그는 무한 급수를 사용하여 이러한 예와 다른 예들을 해결하고 솔루션의 비독특성에 대해 논의합니다.

야콥 베르누이는 1695년에 ^[3]베르누이 미분 방정식을 제안했다.이것은 형태의 일반적인 미분 방정식이다.

y'+P(x)y=Q(x)y^{n},

라이프니츠는 그 다음해에 그것을 ^[4]단순화함으로써 해결책을 얻었다.

역사적으로, 악기와 같은 진동 현의 문제는 장 르 론드 달랑베르, 레온하르트 오일러, 다니엘 베르누이, 그리고 조제프 루이 라그랑주에 ^[5]^[6]^[7]^[8]의해 연구되었다.1746년 달랑베르는 1차원 파동 방정식을 발견했고, 10년 안에 오일러는 3차원 파동 ^[9]방정식을 발견했습니다.

오일러-라그랑주 방정식은 1750년대에 오일러와 라그랑주에 의해 토토크로네 문제에 대한 그들의 연구와 관련하여 개발되었다.이것은 시작점과 무관하게 일정 시간 내에 가중 입자가 고정된 점으로 떨어지는 곡선을 결정하는 문제입니다.라그랑주는 1755년에 이 문제를 해결하고 그 해답을 오일러에게 보냈다.둘 다 라그랑주의 방법을 더 개발해 역학에 적용했고, 이는 라그랑주 역학의 공식화를 이끌었다.

1822년 푸리에르는 열 흐름에 대한 그의 연구를 Théori analytique de la chaleur (The Analytic Theory of Heat)^[10]에서 발표했습니다. 여기서 그는 뉴턴의 냉각 법칙, 즉 인접한 두 분자 사이의 열 흐름이 매우 작은 온도 차이에 비례한다는 논리를 기초로 합니다.이 책에는 열의 전도성 확산에 대한 푸리에의 열 방정식이 포함되어 있다.이 편미분 방정식은 현재 수리 물리학의 모든 학생들에게 가르쳐지고 있다.

예

고전역학에서 물체의 운동은 시간 값이 변함에 따라 위치와 속도로 묘사된다.뉴턴의 법칙은 이러한 변수들이 시간의 함수로서 물체의 알려지지 않은 위치에 대한 미분 방정식으로 동적으로 표현되도록 한다.

경우에 따라서는 이 미분 방정식(운동 방정식이라고 함)이 명시적으로 풀릴 수 있습니다.

미분방정식을 사용하여 실제 문제를 모델링하는 예로는 중력과 공기저항만을 고려하여 공기 중에 떨어지는 공의 속도를 결정하는 것입니다.공이 지상으로 향하는 가속도는 중력에 의한 가속도에서 공기 저항에 의한 감속도를 뺀 값이다.중력은 일정하다고 간주되며 공기 저항은 공의 속도에 비례하여 모델링될 수 있습니다.이것은 속도의 파생물인 공의 가속도가 속도에 따라 달라진다는 것을 의미합니다(그리고 속도는 시간에 따라 다릅니다).시간의 함수로서 속도를 찾는 것은 미분 방정식을 풀고 그 타당성을 검증하는 것을 포함한다.

종류들

미분방정식은 몇 가지 유형으로 나눌 수 있습니다.방정식 자체의 특성을 설명하는 것 외에도, 이러한 미분 방정식의 클래스는 해법에 대한 접근의 선택을 알리는 데 도움이 될 수 있습니다.일반적으로 사용되는 구별로는 방정식이 일반인지 부분인지, 선형인지 비선형인지, 균질인지 이종인지 등이 있습니다.이 리스트는 완전한 것은 아닙니다.특정 상황에서 매우 유용할 수 있는 미분방정식의 다른 특성과 서브클래스가 많이 있습니다.

상미분 방정식

상미분방정식(ODE)은 하나의 실수 또는 복소수 $변수$ x의 미지의 함수, 그 도함수 및 x의 $주어진$ 함수를 포함하는 방정식이다.알 수 없는 함수는 일반적으로 변수(종종 y로 $표시$ 됨)로 표시되므로 x에 $의존$ 합니다. $따라서$ x는 종종 방정식의 독립 변수라고 불립니다."일반"이라는 용어는 둘 이상의 독립 변수에 대해 사용될 수 있는 편미분 방정식이라는 용어와 대조적이다.

선형 미분 방정식은 미지의 함수와 그 도함수에서 선형인 미분 방정식입니다.그들의 이론은 잘 발달되어 있고, 많은 경우에 사람들은 그들의 해결책을 적분적인 관점에서 표현할 수 있다.

물리학에서 볼 수 있는 대부분의 ODE는 선형입니다.따라서 대부분의 특수 함수는 선형 미분 방정식의 해로 정의될 수 있습니다(홀로노믹 함수 참조).

일반적으로 미분방정식의 해는 닫힌 형식의 식으로는 표현할 수 없기 때문에 수치방법은 컴퓨터상의 미분방정식을 푸는 데 일반적으로 사용된다.

편미분 방정식

편미분방정식(PDE)은 알려지지 않은 다변수 함수와 그 부분 도함수를 포함하는 미분방정식입니다.(이것은 단일 변수의 함수와 그 도함수를 다루는 일반적인 미분방정식과는 대조적이다.) PDE는 여러 변수의 함수와 관련된 문제를 공식화하기 위해 사용되며, 닫힌 형태로 해결되거나 관련 컴퓨터 모델을 만드는 데 사용된다.

PDE는 소리, 열, 정전기학, 전기역학, 유체 흐름, 탄성 또는 양자역학 등 자연계의 다양한 현상을 설명하기 위해 사용될 수 있습니다.겉으로 보기에 서로 다른 물리적 현상은 PDE의 관점에서 유사하게 공식화될 수 있다.일반적인 미분 방정식이 종종 1차원 동적 시스템을 모델링하듯이, 편미분 방정식은 종종 다차원 시스템을 모델링합니다.확률적 편미분 방정식은 랜덤성을 모델링하기 위한 편미분 방정식을 일반화한다.

비선형 미분 방정식

비선형 미분방정식은 미지의 함수와 그 도함수에서 선형 방정식이 아닌 미분방정식이다(함수의 인수에서 선형성 또는 비선형성은 여기서 다루지 않는다).비선형 미분 방정식을 정확하게 푸는 방법은 거의 없습니다. 일반적으로 알려진 방법은 특정한 대칭을 갖는 방정식에 의존합니다.비선형 미분 방정식은 카오스의 특징인 연장된 시간 간격에 걸쳐 매우 복잡한 동작을 나타낼 수 있습니다.비선형 미분 방정식에 대한 솔루션의 존재, 고유성 및 확장성에 대한 근본적인 질문, 비선형 PDE에 대한 초기값 및 경계값 문제의 적절한 위치성조차 어려운 문제이며 특별한 경우에서의 해결은 수학 이론의 중요한 발전으로 간주된다(cf).Navier – 존재와 부드러움을 강조합니다).그러나 미분방정식이 의미 있는 물리적 과정을 올바르게 공식화한 표현이라면 ^[11]해답이 있을 것으로 예상한다.

선형 미분 방정식은 비선형 방정식의 근사치로 자주 나타납니다.이러한 근사치는 제한된 조건에서만 유효합니다.예를 들어, 고조파 발진기 방정식은 작은 진폭 발진에 유효한 비선형 진자 방정식의 근사치입니다(아래 참조).

방정식 순서

미분 방정식은 도함수가 가장 높은 항에 의해 결정되는 순서로 설명됩니다.제1도함수만을 포함하는 방정식은 1차 미분방정식이고, 제2도함수를 포함하는 방정식은 2차 미분방정식이다.^[12]^[13]자연현상을 설명하는 미분방정식은 거의 항상 1차 및 2차 도함수만 포함되지만 4차 편미분방정식인 박막방정식과 같은 몇 가지 예외가 있다.

예

첫 번째 예시에서 u는 x의 미지 함수이고 c와 θ는 알고 있어야 할 상수입니다.통상 미분방정식과 부분 미분방정식의 두 가지 광범위한 분류는 선형 미분방정식과 비선형 미분방정식을 구별하는 것과 동질 미분방정식과 이질 미분방정식을 구별하는 것으로 구성된다.

이기종 1차 선형 상수 계수 상미분 방정식:

{\displaystyle\frac{du}=cu+x^{2}.}

균질 2차 선형 상미분 방정식:

{d^{2}u}{flac^{2}}-xflac {du}{flac}+u=0.

고조파 발진기를 설명하는 균일한 2차 선형 상수 계수 상미분 방정식:

{d^{2}u}{frac^{2}}+\opega^{2}u=0.

이기종 1차 비선형 상미분 방정식:

(\displaystyle\frac{du}{du}}=u^{2}+4).}

길이 L의 진자의 운동을 설명하는 2차 비선형(사인 함수 때문에) 상미분 방정식:

L{\frac {d^{2}u}{display^{2}}+g\sin u=0.

다음 예제 그룹에서 알 수 없는 함수 u는 두 변수 x와 t 또는 x와 y에 의존합니다.

균질 1차 선형 편미분 방정식:

{\frac u} + tfrac {\frac x} = 0 입니다.

타원형의 균질 2차 선형 상수 계수 편미분 방정식인 라플라스 방정식:

{\frac ^{2}u}+{\frac {\frac ^{2}u}{\frac y^{2}}=0.

균질한 3차 비선형 편미분 방정식:

{\frac u} = 6ufrac {\frac u} - {\frac ^{3}u}

솔루션의 존재

미분 방정식을 푸는 것은 대수 방정식을 푸는 것과 같지 않다.솔루션이 불분명한 경우가 많을 뿐만 아니라 솔루션이 고유하거나 존재하는지 여부도 주목할 만한 주제입니다.

1차 초기값 문제의 경우, 페아노 존재 정리는 해답이 존재하는 한 세트의 상황을 제공한다.xy 평면의 임의의 점 $a,$ displaystyle (a $, b$ )}{ $displaystyle$ Z $displaystyle$ Z $=$ [ $m$ Z=[ $l,m]\times [n,p]}$ 및 $Z=[l,m]\times [n,p]$ $(a,b)$ ( $b)\style (a,b)$ 이 $(a,b)$ 표시Z의 $Z$ 가 $Z=[l,m]\times [n,p]$ 직사각형 $영역$ Z를 정의합니다. ${\frac {dy}{dx}}=g(x,y)$ y ${\frac {dy}{dx}}=g(x,y)$ ${\frac {dy}{dx}}=g(x,y)$ ${\frac {dy}{dx}}=g(x,y)$ ( ${\frac {dy}{dx}}=g(x,y)$ , ${\frac {dy}{dx}}=g(x,y)$ ) { $displaystyle$ { $dy$ } $= g$ ( $x$ , y ) = x $=$ $y=b$ $a$ }일 때 $= b$ 라는 $y=b$ $y=b$ 및 g $g(x,y)$ ( $g(x,y)$ x , $g(x,y)$ $)\$ $displaystyle$ ${\frac {\partial g}{\partial x}}$ g $($ , y ) ${\frac {\partial g}{\partial x}}$ $display style$ g ( x , $g(x,y)$ y )의 경우 ${\frac {dy}{dx}}=g(x,y)$ 이 $g(x,y)$ 에 대한 로컬 해결책이 있습니다 ${\frac {\partial g}{\partial x}}$ 이 솔루션은 Z $(\displaystyle$ Z $Z$ 에서 연속됩니다. 이 솔루션은 중앙이\ $displaystyle$ a $(\$ displaystyle a $a$ 에 있는 일정한 간격으로 존재합니다.해답이 유일하지 않을 수 있습니다.(기타 결과는 일반 미분 방정식 참조).

그러나 이것은 첫 번째 주문 초기값 문제에만 도움이 됩니다.n번째 차수의 선형 초기 값 문제가 있다고 가정합니다.

f_{n}(x){\frac {d^{n}y}+\cdots +f_{1}(x){\frac {dy}{dy}(x)}+f_{0}(x)y=g(x)

그렇게 해서

\displaystyle y(x_{0})=y_{0},y'(x_{0})=y'_{0},\ldots }

$f_{n}(x)$ 이 아닌 $f_{n}(x)$ n $)$ { $displaystyle f_{n}(x$ 의 경우 $\{f_{0},f_{1},\ldots \}$ { $\{f_{0},f_{1},\ldots \}$ 0 $\{f_{0},f_{1},\ldots \}$ $\{f_{0},f_{1},\ldots \}$ , $\{f_{0},f_{1},\ldots \}$ { $displaystyle \{0$ g{\ $displaystyle$ $\{f_{0},f_{1},\ldots \}$ g $}$ 는 $g$ x $x_{0}$ { $displaystyle x_0$ 을 포함하는 간격으로 연속적이며 ^[14]y ${displaystyle$ y $}$ 는 $y$ $y$ 합니다.

차분 방정식에 대한 연결

미분방정식의 이론은 차분방정식의 이론과 밀접하게 관련되어 있는데, 이 이론에서는 좌표가 이산적인 값만을 가정하고, 그 관계는 알려지지 않은 함수의 값이나 가까운 좌표에서의 함수와 값을 포함한다.미분방정식의 수치해를 계산하거나 미분방정식의 특성을 연구하기 위한 많은 방법들은 대응하는 미분방정식의 해법에 의한 미분방정식의 해법의 근사치를 포함한다.

적용들

미분방정식 연구는 순수하고 응용적인 수학, 물리학, 공학에서 광범위한 분야이다.이러한 모든 분야는 다양한 유형의 미분 방정식의 특성과 관련이 있습니다.순수 수학은 해법의 존재와 고유성에 초점을 맞추고, 응용 수학은 근사해법을 위한 방법의 엄격한 정당성을 강조한다.미분 방정식은 천체의 움직임부터 교량 설계, 뉴런 사이의 상호작용에 이르기까지 사실상 모든 물리적, 기술적 또는 생물학적 과정을 모델링하는 데 중요한 역할을 합니다.실제 문제를 푸는 데 사용되는 미분 방정식과 같은 방정식은 반드시 직접 해결할 수 있는 것은 아닐 수 있다. 즉, 닫힌 형태의 해법을 가지고 있지 않다.대신, 수치적 방법을 사용하여 해법을 근사할 수 있다.

물리학과 화학의 많은 기본 법칙은 미분 방정식으로 공식화될 수 있다.생물학과 경제학에서 미분방정식은 복잡한 시스템의 행동을 모형화하는데 사용된다.미분방정식의 수학이론은 방정식의 기원과 결과가 적용되는 과학과 함께 처음 발전했다.하지만, 때로는 상당히 다른 과학 분야에서 비롯된 다양한 문제들이 동일한 미분 방정식을 야기할 수 있습니다.이런 일이 일어날 때마다 방정식의 배후에 있는 수학 이론은 다양한 현상의 배후에 있는 통일된 원리로 볼 수 있다.예를 들어 대기 중의 빛과 소리의 전파와 연못의 수면에서의 파동을 생각해 보자.이 모든 것들은 같은 2차 편미분 방정식인 파동 방정식으로 설명될 수 있습니다. 이것은 빛과 소리를 물속에서 친숙한 파동처럼 파동의 형태로 생각할 수 있게 해줍니다.조셉 푸리에에 의해 개발된 이론인 열의 전도는 또 다른 2차 편미분 방정식인 열 방정식에 의해 제어된다.많은 확산 과정은 겉보기에는 다르지만 동일한 방정식으로 설명됩니다. 예를 들어 금융 분야의 블랙-숄즈 방정식은 열 방정식과 관련이 있습니다.

다양한 과학 분야에서 이름을 얻은 미분방정식의 수는 이 주제에 대한 중요성의 증인이다.명명된 미분 방정식 목록을 참조하십시오.

소프트웨어

일부 CAS 소프트웨어에서는 미분방정식을 풀 수 있습니다.다음 CAS 소프트웨어와 그 명령어는 언급할 가치가 있습니다.

메이플:^[15] dsolve
매스매티카:^[16] DSolve[]
SageMath:^[17] desolve()
Xcas:^[18] desolve(y'=k*y,y)

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ Dennis G. Zill (15 March 2012). A First Course in Differential Equations with Modeling Applications. Cengage Learning. ISBN 978-1-285-40110-2.
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^ Bernoulli, Jacob (1695), "Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis", Acta Eruditorum
^ Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56670-0
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^ 탄성파 방정식에 대한 de Lagrange의 기여에 대해서는 다음을 참조하십시오. 물리 원리 및 응용 소개 Allan D.Pierce, Austomical Soc of America, 1989; 18페이지. (2012년 12월 9일 취득)
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추가 정보

Abbott, P.; Neill, H. (2003). Teach Yourself Calculus. pp. 266–277.
Blanchard, P.; Devaney, R. L.; Hall, G. R. (2006). Differential Equations. Thompson.
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Coddington, E. A.; Levinson, N. (1955). Theory of Ordinary Differential Equations. McGraw-Hill.
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Teschl, Gerald (2012). Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Providence: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0.
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외부 링크

위키미디어 공용의 미분 방정식 관련 매체
미분방정식 강의 MIT Open Course
온라인 노트/미분 방정식 Paul Dawkins, Lamar 대학교
미분 방정식, S.O.S. 수학
미분방정식을 통한 모델링 입문 비평과 함께 미분방정식을 통한 모델링 입문
Mathemical Assistant on Web Symbolic ODE 도구, Maxima 사용
상미분 방정식의 정확한 해
물리 시스템 MATLAB 모델의 ODE 및 DAE 모델 컬렉션
Diffy Qs에 관한 주의: 엔지니어를 위한 미분 방정식 UIUC의 지리 르블의 미분 방정식 입문 교재
미분방정식에 관한 칸 아카데미 비디오 재생 목록 1학년 과정의 미분방정식에 관한 주제를 다룹니다.
산술미분 방정식에 대한 비디오 재생 목록 토론

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[2] 뉴턴, 아이작 (c.1671)Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum(유속과 무한 급수의 방법)은 1736년에 출판되었다[Opuscula, 1744, Vol.I. 페이지 66]

[3] Bernoulli, Jacob (1695), "Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis", Acta Eruditorum

[4] Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56670-0

[5] Frasier, Craig (July 1983). "Review of The evolution of dynamics, vibration theory from 1687 to 1742, by John T. Cannon and Sigalia Dostrovsky" (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society. New Series. 9 (1).

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[7] 3명의 저자에 의한 9개의 획기적인 논문의 특별한 수집은 파동 방정식의 첫 출현: 달랑베르, 레온하르트 오일러, 다니엘 베르누이 - 웨이백 머신에서 보관된 진동 문자열에 대한 논란(2020-02-09)을 참조한다. (2012년 11월 13일 회수)Herman HJ Lynge와 Son.

[8] 탄성파 방정식에 대한 de Lagrange의 기여에 대해서는 다음을 참조하십시오. 물리 원리 및 응용 소개 Allan D.Pierce, Austomical Soc of America, 1989; 18페이지. (2012년 12월 9일 취득)

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[10] Fourier, Joseph (1822). Théorie analytique de la chaleur (in French). Paris: Firmin Didot Père et Fils. OCLC 2688081.

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v t 수학
역사 타임라인 개요 리스트 용어집
기초	범주론 정보 이론 수리논리 수학 철학 집합론 유형 이론
대수학	추상적인 가환성 초등 군론 선형 멀티라인 유니버설 호몰로지
분석.	미적분학. 실제 분석 복잡한 분석 초복잡한 분석 미분 방정식 기능 분석 고조파 분석 측정 이론
디스크리트	조합 그래프 이론 순서론
기하학.	대수적 분석 산술 차동 디스크리트 유클리드 유한
수론	산술 대수적 수론 해석수 이론 디오판토스 기하학
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