다중값 함수

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함수
x ↦ f (x)
도메인 및 코도메인의 예
$(\displaystyle X}$ → ${\displaystyle \mathbb{B}}$ ${\$ $\},$ $\displaystyle \mathb {B} }$ → ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle$ X$\},$ ${\displaystyle \mathb{B} ^{n}}$ → $(\displaystyle X}$ $(\displaystyle X}$ → ${\displaystyle \mathbb{Z}}$ ${\$ $\displaystyle \mathb {Z} }$ → $(\displaystyle X}$ $(\displaystyle X}$ → ${\displaystyle \mathbb{R}}$ ${\$ $\},$ ${\displaystyle \mathb {R} }$ → ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle$ X$\},$ ${\displaystyle \mathb{R} ^{n}}$ → $(\displaystyle X}$ $(\displaystyle X}$ → ${\displaystyle \mathbb{C}}$ ${\$ ${\displaystyle \mathb {C} }$ → ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle$ X$\},$ ${\displaystyle \mathb{C} ^{n}}$ → $(\displaystyle X}$
클래스/속성
상수 아이덴티티 선형 다항식 이성적 대수학 분석적 부드러움 연속 측정 가능 주입식 굴욕적인 비주사적
시공
제한 구성 λ 반비례
일반화
부분적 다중값 암묵적
v t

수학에서 다기능, 다가치함수, 설정값함수라고도 하는 다중값 함수는 함수와 유사하지만 여러 값을 각 입력에 연관시킬 수도 있다. 더 정확히 말하면, 도메인 X에서 코도메인 Y까지의 다중값 함수는 X의 각 x를 Y의 하나 이상의 값 y에 연관시킨다. 따라서 그것은 직렬 이진수 관계다.^{[citation needed]} 일부 저자는 다중값 함수가 일부 입력에 대한 값을 갖지 않도록 허용한다(이 경우 다중값 함수는 단순한 이진 관계임).^{[citation needed]}

그러나 복잡한 분석(X = Y = C)에서와 같은 일부 맥락에서 저자들은 일반적인 (단일 가치) 함수의 개념을 확장하면서 함수 이론을 모방하는 것을 선호한다. 이런 맥락에서 통상적인 함수를 혼동을 피하기 위해 단일값 함수로 부르는 경우가 많다.

다중값 함수라는 용어는 분석적 연속성에서 비롯되었다. 점 $z{\displaystyle }$= ${\displaystyle z=a}$의 일부 인접 지역에서$$ 복합 분석 $함수{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$( z${\displaystyle }$) ${\displaystyle f(z)}$의 값을 알고 있는 경우가 종종 발생한다$.$ 암묵적 함수 정리나 taylor series${\displaystyle \mathrm{around}}$z = {\$displaystyle$z=a}에 의해 정의된 함수의 경우$.$ 이러한 상황에서는 ${\displaystyle a}$에서 시작하는 복잡한 평면의 곡선을 따라$$ 단일 값 함수 $f{\displaystyle (}$ z$){\displaysty f(z)$의 영역을 확장할 수 있다$.$ 그렇게 함으로써 t를 발견하게 된다.점 $z{\displaystyle }$= ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle z=b}$에서 확장함수의 값은 ${\displaystyle a}$에서 b ${\displaystyle b}($으)로 선택한$$ 곡선에 따라 달라진다$.$ 새로운 값 중 어느 것도 다른 값보다 자연스럽지 않기 때문에 이들 값 모두 다중값 함수에 통합된다.

예를 들어 ${\displaystyle f\sqrt{}}$( ${\displaystyle z}$)${\displaystyle }$= z $displaystyle f(z)={\sqrt{z}\,}$를 양의 실수에 대한 일반적인 제곱근 함수로 한다$$. 하나는 그 영역을 복잡한 평면에서 $z$${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle z=1}$의 인접 영역으로 확장한 다음$,$ ${\displaystyle \mathrm{z}}$= 1 ${\displaystyle$ z$=1}$에서 시작하는 곡선을 따라 더 나아가서 주어진 곡선을 따라 ${\displaystyle 1}$= 1 ${\displaystyle {\sqrt{1}$에서 연속적으로 변화시킬 수 있다$.$ 음의 실제 숫자로 확장하면 두 개의 반대되는 것이다. 제곱근 값(예: –1의 ±i)은 복잡한 평면의 위쪽 또는 아래쪽을 통해 도메인이 확장되었는지 여부를 결정한다. 이 현상은 n번째 뿌리, 로그, 역삼각계 함수에 대해 매우 빈번하게 발생한다.

복잡한 다중값 함수와 단일 값 함수를 정의하기 위해, 특정 경계 곡선을 따라 불연속적인 전체 평면에 단일 값 함수를 생성하면서 다중 값 중 하나를 주 값으로 구별할 수 있다. 또는, 다중값 함수를 처리하면 닫힌 경로(단조)를 따라갈 때 가능한 가치 변동에 대한 비용으로 어디에나 연속적인 무언가를 가질 수 있다. 이러한 문제는 Riemann 표면 이론에서 해결된다: 값을 전혀 삭제하지 않고 다변량 ${\displaystyle \mathrm{함수}}$ f${\displaystyle }$( z$){\displaystyle$ f$(z)}$를 일반 함수로$$ 간주하면, 도메인을 다층 피복 공간으로 증식하는 다변량, 즉 $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle z}$) ${\displaysty f(z)}$과 연관된 Riemann 표면이다$.$

예

• 0보다 큰 모든 실제 숫자는 두 개의 실제 제곱근을 가지므로 제곱근은 다중값 함수로 간주될 수 있다. 예를 들어, $우리$는 ${\displaystyle 4}$ =${\displaystyle }$± 2${\displaystyle }$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$- ${\displaystyle 2}$} ${\displaystyle {\sqrt {4}=\pm 2=\{2,-2$ 0 =${\displaystyle 0\}}$ ${\displaystyle {\sqrt{0}=\0\}}$라고 쓸 수 있다$.$
• 각 nonzero 콤플렉스 수는 두 개의 제곱근, 세 개의 입방근, 그리고 일반적으로 n번째 뿌리를 가지고 있다. 0의 유일한 n번째 루트는 0이다.
• 복합 로그 함수는 다중값이다. $실제{\displaystyle }$ 번호 a ${\$$displaystyle$ $a}$ 및$$$b{\displaystyle }$ ${\$displaystyle$$$\log(a+bi$)로 가정하는 값은 ${\displaystyle \mathrm{로그}\sqrt{{a\mathrm{}}^{}}}$ a${\displaystyle \sqrt{{}^{}}}$2 + ${\displaystyle \sqrt{{}^{}}\sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}$ + ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \arg }$ $⁡$(${\displaystyle a}$ + ${\displaystyle bi}$) + ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystystyle \log$ {\sqrt${2$}+b^{$2}{2$}{2}{2}이다$$.$}}}+i\arg(a+bi)+2\pi 니}$ 모든 $정수$ n ${\displaystyle n$
• 역삼각함수는 삼각함수가 주기 때문에 다중값이다. 우리는 가지고 있다.
  $${\displaystyle \tan \left({\tfrac {\pi }{4}}\right)=\tan \left({\tfrac {5\pi }{4}}\right)=\tan \left({\tfrac {-3\pi }{4}}\right)=\tan \left({\tfrac {(2n+1)\pi }{4}}\right)=\cdots =1.}$$

  
  따라서 아크탄(1)은 several/4, 5 5/4, -3π/4 등의 몇 가지 값과 직관적으로 관련되어 있다. 우리는 탠x의 영역을 - -/2 < x < π/2>로 제한함으로써 아크탄을 단조롭게 증가시키는 도메인으로 취급할 수 있다. 따라서 아크탄(x)의 범위는 -π/2 < y < π/2가 된다. 제한된 영역의 이러한 값을 주체 값이라고 한다.
• 해독제는 다변량 함수로 간주할 수 있다. 함수의 해독제는 파생상품이 그 함수인 함수의 집합이다. 통합의 상수는 상수함수의 파생상품이 0이라는 사실에서 비롯된다.
• 쌍곡선 함수는 상상의 축을 따라 주기 때문에 복잡한 영역에 대한 역 쌍곡선 함수는 다중 값이 된다. 현실보다 더 많은 것은 아르코쉬와 아르세치를 제외하고는 단일값이다.
• argmax는 다중값으로 ${\displaystyle \mathrm{구성}}$되는데, 예를 ${\displaystyle {\mathrm{들어}}_{}}$ ${\displaystyle {argmax\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ R cos${\displaystyle \cos }$(x${\displaystyle }$) =${\displaystyle }${${\displaystyle }$2${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle Z\mathbb{}\}}$ ${\displaystyle \operatorname {argmax} _{x\in \r}\cos(x)=\{2\pi k\mid k\in \$mathb {Z$}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\mathb$.

이것들은 모두 비주사함수에서 나오는 다중값 함수의 예들이다. 원래 함수는 입력의 모든 정보를 보존하지 않기 때문에 되돌릴 수 없다. 종종 다변수 함수의 제한은 원래 함수의 부분적인 역이다.

복합 변수의 다중값 함수에는 분기점이 있다. 예를 들어 n번째 루트 및 로그 함수의 경우 0은 분기점이고 아크탄젠트 함수의 경우 가상 단위 i와 -i는 분기점이다. 분기점을 사용하여 범위를 제한하여 이러한 함수를 단일 값 함수로 재정의할 수 있다. 분기점 쌍을 연결하는 곡선의 일종인 분기 컷을 사용하면 적절한 간격을 찾을 수 있으므로 함수의 다층 리만 표면을 단일 레이어로 줄일 수 있다. 실제 기능이 있는 경우처럼 제한범위를 기능의 주된 분기라고 할 수 있다.

설정값 분석

설정값 분석은 수학적 분석의 정신과 일반 위상에서의 집합에 대한 연구다.

설정값 분석에서는 점 집합만 고려하는 대신 집합 집합을 고려한다. 집합 집합 집합이 토폴로지를 부여받거나 기초 위상학 공간에서 적절한 위상을 상속받으면 집합의 수렴을 연구할 수 있다.

설정값 분석의 상당 부분은 수학적 경제학과 최적 제어의 연구를 통해 발생했으며, 부분적으로는 볼록 분석의 일반화로서 "변동 분석"이라는 용어는 R과 같은 저자에 의해 사용된다. 티렐 로카펠라와 로저 J-B 웨츠, 조나단 보르웨인과 애드리안 루이스, 보리스 모덕호비치. 최적화 이론에서, 근사치 하위 차등과 하위 차등과의 수렴은 모든 최소 지점에 필요한 또는 충분한 조건을 이해하는 데 중요하다.

연속성, 분화성, 통합성,^[1] 암묵적 함수 정리, 수축 매핑, 측정 이론, 고정점 정리,^[2] 최적화, 위상학 학위 이론 등 포인트 가치 분석으로부터 다음과 같은 개념의 설정값 확장성이 존재한다.

방정식은 포함에 일반화된다.

다중값 함수의 유형

닫힌 그래프 속성과 상·하단 혈중률^[a] 등 연속성을 일반화하는 여러 개념을 구별할 수 있다. 또한 다단계에 대한 측정의 일반화도 다양하다.

적용들

멀티펑션은 최적의 제어 이론, 특히 게임 이론으로서의 미분포포함수와 관련 과목에서 발생하는데, 여기서 멀티펑션에 대한 카쿠타니 고정점 정리가 적용되어 내시 평형성의 존재를 증명(게임 이론의 맥락에서 다변함수를 보통 통신이라고 한다)했다. 이는 연속 기능을 통한 상부 혈전주치의 근사성과 느슨하게 연관된 많은 다른 특성들 중에서 왜 상부 혈전주당이 하부 혈전주문보다 더 선호되는지를 설명한다.

그럼에도 불구하고, 하위 반연속 다지형은 대개 마이클 선택 정리에서 명시한 대로 연속적인 선택을 가지고 있으며, 이것은 파라콤팩트 공간의 또 다른 특성을 제공한다.^[3][4] 브레산-콜롬보 방향 연속 선택, 쿠라토프스키와 릴-나르체프스키 측정 가능한 선택 정리, 아우만 측정 가능한 선택, 분해 가능한 지도를 위한 프리스츠코프스키 선택은 최적의 제어와 미분포함 이론에 중요하다.

물리학에서 다변화된 기능은 점점 더 중요한 역할을 한다. 그것들은 Dirac의 자기 단층, 결정의 결점 이론과 결과적인 재료의 가소성 이론, 초플루이드와 초전도체에서의 무리, 그리고 예를 들어 용해와 쿼크 구속과 같은 이들 시스템의 위상 전환에 대한 수학적 기초를 형성한다. 그것들은 물리학의 많은 분야에서 게이지장 구조의 기원이다.^{[citation needed]}

와 대조하다.

• 바이어싱
• 주입 함수
• 추체함수

참고 항목

• 일대다 하이퍼링크인 Fat 링크
• 구간 유한요소
• 부분함수
• 벡터 값 함수

참조

메모들

추가 읽기

• C. D. 알리프란티스 및 K. C. 테두리, 무한 치수 분석. 히치하이커의 가이드, 스프링거-베를라크 베를린 하이델베르크, 2006년
• J. Andres and L. Gorniewicz, 경계 가치 문제에 대한 위상학적 고정 지점 원리, Kluwer Academic Publishers, 2003
• J-P. 오빈과 A. Cellina, Differentials, Set-Value Maps and Viability 이론, Grundl. der Math. Wiss. 264, Springer - Verlag, 1984년 베를린
• J.-P. 오빈과 H. 프랑코프스카, 세트 가치 분석, 비르카호이저, 바젤, 1990
• K. 디임링, 다중값 미분 방정식, Walter de Gruyter, 1992년
• Geletu, A. (2006). "Introduction to Topological Spaces and Set-Valued Maps" (PDF). Lecture notes. Technische Universität Ilmenau.
• H. 클라인러트, 응축 물질의 다중값 필드, 전기역학 및 중력, 세계 과학(싱가포르, 2008) (또한 온라인에서 사용 가능)
• H. 클라인러트, 응축 물질의 게이지 필드, Vol. I: Superflow and Vortex Lines, 1–742, Vol. II: 스트레스 및 결함, 743–1456, 월드 사이언티픽, 싱가포르, 1989(온라인: Vol) I와 Vol. II)
• D. 레포브시와 P.V. 세메노프, Kluwer 학술출판사, Dordrecht 1998의 다변화된 매핑의 연속선정
• E. U. Tarafdar 및 M. S. R. Choudhury, 설정값 비선형 분석을 위한 위상학적 방법, 월드 사이언티픽, 싱가포르, 2008
• Mitroi, F.-C.; Nikodem, K.; Wąsowicz, S. (2013). "Hermite-Hadamard inequalities for convex set-valued functions". Demonstratio Mathematica. 46 (4): 655–662. doi:10.1515/dema-2013-0483.