모든 비음수 실수는 적어도 하나의 그러한 표현을 가지고 있다. 0의 후행 무한 시퀀스를 가진 경우와 0의 후행 무한 시퀀스를 가진 경우, 그리고 다른 숫자는 후행의 무한 시퀀스를 가진 경우 두 개의 그러한 표현을 가지고 있다.일부 저자들은 무한히 이어지는 네인의 순서가 있는 십진수 표현을 금지하는데, 이는 비음성 실수와 십진수 표시 사이에 일대일 일치성을 허용하기 때문이다.[1]
이 글의 나머지 부분에 와 표시된0 정수 = b i _을(를) r의 정수 부분이라고 하며, 의 순서는 숫자를 나타낸다.
0을(를) 가정하십시오그러면 모든 정수 ≥ 1에 대해 유한 소수 = {1}2}a_{과 같은 것이 있다.
증명:
)p10n{\displaystyle r_{n}=\textstyle{\frac{p}{10^{n}}}}, p)⌊ 10nx⌋{p=\lfloor 10^{n\displaystyle}x\rfloor}. 그리고 p ≤ 10nx<>p+1{p\leq 10^{n\displaystyle}x<, p+1} 하게 되었고, 결과 10n{\displaystyle 10^{n}에 의해 모든 면을 가르는}다음과 같습니다.(사실 그 rn자.t은(는) 유한한 소수점 표현을 쉽게 확립할 수 있다.)
일부 실수 에는 두 개의 무한 소수 표현이 있다.예를 들어, 숫자 1은 똑같이 1.000으로 표현될 수 있다.0.999까지...(각각 0 또는 9의 무한 시퀀스가…."으로 표현되는 곳).통상적으로 9의 뒤에 붙지 않는 십진법을 선호한다.더욱이 의 표준 십진수 표시에서, 이 정수일 경우 소수점 그 자체와 함께 소수점 뒤에 나타나는 0의 무한 시퀀스를 생략한다
의 십진 확장 구성을 위한 특정 절차는 9의 후행 문제를 피할 것이다.예를 들어 다음과 같은 알고리즘 절차는 표준 십진법 을 제공한다: 0 x 0 우리는 먼저 0 의 정수 부분을 x과 같은 최대 정수( 0)로 정의한다.= 인 경우 절차가 종료된다. 않으면 발견된() = k -1 {\ (a_에 대해 k 귀납적으로 다음과 같은 최대 정수로 정의한다.
절차는 평등이 ( ) 을(를) 유지하도록 k 이 발견될 때마다 종료되며 그렇지 않으면 무한히 지속되어 소수 자릿수의 무한 순서를 부여한다.그것은 x)저녁밥을 먹다 k({\textstyle x=\sup_{k}\{\sum_{i=0}^{k}{\frac{a_{나는}}{10^{나는}이 1}}년}}[2](전통적으로 x = 0에는 123⋯{\displaystyle x=a_{0}일 경우 .a_{1}a_{2}a_{3}\cdots}), 2,3…∈{0,1,2,…, 9},{\di 표시할 수 있다.s 0의 음이 아닌 정수는 소수 표기법으로 표시된다.위의 절차를- > }에 적용하고 결과적인 10진수 확장을 - a 2 a 2 2 a 3에 적용함으로써 이 은x <
유한소수표현황
비 음수 실수 x의 십진수 확장은 0(또는 nines)으로 끝나는데, 만약 x가 분모가 25형이고nm, 여기서 m과 n은 비 음수 정수인 경우다.
증명:
If the decimal expansion of x will end in zeros, or for some n, then the denominator of x is of the form 10n = 2n5n.
Conversely, if the denominator of x is of the form 2n5m, for some p.x가 p k=0 By , x will end in zeros.