십진수 표현

비음수 실수 $r$ 의 십진수 표시는 전통적으로 단일 구분 기호로 작성된 십진수 형식의 식이다.

r=b_{k}b_{k-1}\ldots b_{0}a_{1}a_{1}a_{2}\ldots \...

여기서 $k$ 는 음이 아닌 정수이고 $b_{0},\ldots ,b_{k},a_{1},a_{2},\ldots$ 0 , $b_{0},\ldots ,b_{k},a_{1},a_{2},\ldots$ $b_{0},\ldots ,b_{k},a_{1},a_{2},\ldots$ , $b_{0},\ldots ,b_{k},a_{1},a_{2},\ldots$ $b_{0},\ldots ,b_{k},a_{1},a_{2},\ldots$ , a $b_{0},\ldots ,b_{k},a_{1},a_{2},\ldots$ , … $b_{0},\ldots ,b_{k},a_{1},a_{2},\ldots$ 는 0, ..., 9 범위의 정수인데, 이를 $b_{0},\ldots ,b_{k},a_{1},a_{2},\ldots$ 표현 숫자라고 한다.

이 표현식은 무한대의 합을 나타낸다.

r=\sum _{i=0}^{k}b_{i}10^{i}+\sum _{i=1}^{{i}}{\frac {a_{i}{10^{i}}}}}.

$a_{i}$ 뒤의 숫자인 $a_{i}$ ${\$ 의 순서는 유한할 수 있으며, 이 경우 부족한 자릿수는 0으로 가정한다.

모든 비음수 실수는 적어도 하나의 그러한 표현을 가지고 있다. 0의 후행 무한 시퀀스를 가진 경우와 0의 후행 무한 시퀀스를 가진 경우, 그리고 다른 숫자는 후행의 무한 시퀀스를 가진 경우 두 개의 그러한 표현을 가지고 있다.일부 저자들은 무한히 이어지는 네인의 순서가 있는 십진수 표현을 금지하는데, 이는 비음성 실수와 십진수 표시 사이에 일대일 일치성을 허용하기 때문이다.^[1]

이 글의 나머지 부분에 와 $표시$ 된₀ 정수 $\sum _{i=0}^{k}b_{i}10^{i}$ = $\sum _{i=0}^{k}b_{i}10^{i}$ b $\sum _{i=0}^{k}b_{i}10^{i}$ $\sum _{i=0}^{k}b_{i}10^{i}$ i ${\$ _ ${i=0}^{k_{i}10^{i$ 을(를) $r$ 의 정수 부분이라고 하며, $a_{i}$ ${\$ 의 순서는 숫자를 $a_{i}$ 나타낸다.

0.a_{1}a_{2}\ldots =\sum _{i=1}^{\inflt }{\frac {a_{i}}{10^{i}}}}

$이$ 를 r의 분수 부분이라고 한다.

유한 소수점 근사

소수점 표시가 유한한 합리적인 숫자로 원하는 정확도에 근사치를 구할 수 있다.

$x\geq 0$ $x\geq 0$ $x\geq 0$ ${\displaystyle x\geq$ 0 $}$ 을(를) 가정하십시오 $x\geq 0$ 그러면 모든 정수 $n\geq 1$ ≥ $n\geq 1$ ${\displaystyle n\\geq$ 1 $}$ 에 대해 유한 소수 $r_{n}=a_{0}.a_{1}a_{2}\cdots a_{n}$ = $r_{n}=a_{0}.a_{1}a_{2}\cdots a_{n}$ $r_{n}=a_{0}.a_{1}a_{2}\cdots a_{n}$ $r_{n}=a_{0}.a_{1}a_{2}\cdots a_{n}$ $r_{n}=a_{0}.a_{1}a_{2}\cdots a_{n}$ $r_{n}=a_{0}.a_{1}a_{2}\cdots a_{n}$ $r_{n}=a_{0}.a_{1}a_{2}\cdots a_{n}$ ${\$ {1} $a_{$ 2} $a_\cdodots$ a_{ $n}},$ $r_{n}=a_{0}.a_{1}a_{2}\cdots a_{n}$ 과 같은 $r_{n}=a_{0}.a_{1}a_{2}\cdots a_{n}$ 것이 있다 $n\geq 1$ .

r_{n}\leq x<r_{n}+{\frac {1}{10^{n}}}.

증명:

)p10n{\displaystyle r_{n}=\textstyle{\frac{p}{10^{n}}}}, p)⌊ 10nx⌋{p=\lfloor 10^{n\displaystyle}x\rfloor}. 그리고 p ≤ 10nx<>p+1{p\leq 10^{n\displaystyle}x<, p+1} 하게 되었고, 결과 10n{\displaystyle 10^{n}에 의해 모든 면을 가르는}다음과 같습니다.(사실 그 rn자.t $r_{n}$ $r_{n}$ ${\$ 은 $r_{n}$ (는) 유한한 소수점 표현을 쉽게 확립할 수 있다.)

십진수 표현 및 공칭 규칙의 고유하지 않음

일부 실수 $x$ $x$ 에는 두 개의 무한 소수 표현이 있다 $x$ .예를 들어, 숫자 1은 똑같이 1.000으로 표현될 수 있다.0.999까지...(각각 0 또는 9의 무한 시퀀스가…."으로 표현되는 곳).통상적으로 9의 뒤에 붙지 않는 십진법을 선호한다.더욱이 $x$ $x$ 의 표준 십진수 표시에서, $x$ $x$ 이 정수일 $x$ 경우 소수점 그 자체와 함께 소수점 뒤에 나타나는 0의 무한 시퀀스를 생략한다 $x$

$x$ $x$ 의 십진 확장 구성을 위한 특정 절차는 9의 후행 문제를 피할 것이다 $x$ .예를 들어 다음과 같은 알고리즘 절차는 표준 십진법 $x\geq 0$ 을 제공한다: $x\geq 0$ $x\geq 0$ 0 ${\displaystyle$ x $\\geq$ 0 $x\geq 0$ 우리는 먼저 0 ${\$ $x$ $x$ 의 정수 부분 $x$ 을 $a_{0}\leq x$ $a_{0}\leq x$ $a_{0}\leq x$ ${\displaystystyle_{0}\leq$ x $}$ 과 같은 최대 정수( $a_{0}=\lfloor x\rfloor$ 0)로 정의한다. $a_{0}=\lfloor x\rfloor$ $a_{0}=\lfloor x\rfloor$ $a_{0}=\lfloor x\rfloor$ $a_{0}=\lfloor x\rfloor$ ${\displaystyle a_{0}=\lfloor x\\loor }.$ $x=a_{0}$ = $x=a_{0}$ ${\$ 인 경우 절차가 $x=a_{0}$ 종료된다. ${\textstyle (a_{i})_{i=0}^{k-1}}$ 않으면 ${\textstyle (a_{i})_{i=0}^{k-1}}$ 발견된 ${\textstyle (a_{i})_{i=0}^{k-1}}$ ${\textstyle (a_{i})_{i=0}^{k-1}}$ ( $i$ ) ${\textstyle (a_{i})_{i=0}^{k-1}}$ = ${\textstyle (a_{i})_{i=0}^{k-1}}$ k - ${\textstyle (a_{i})_{i=0}^{k-1}}$ 1 {\ $textstyle$ (a_ ${i}_{i=0}^{k-1}$ 에 대해 k ${\$ 귀납적으로 $a_{k}$ 다음과 같은 최대 정수로 정의한다.

$a_{0}+{\frac {a_{1}:{10}+{10^{2}}:{10^{2}}:}+\cdots +{\frac {a_{k}}}{10^}}}}\leq x.\cs \reason*$

$a_{k}$ 절차는 평등이 ( $(*)$ ) $(*)$ 을(를) 유지하도록 k ${\$ 이 $a_{k}$ 발견될 때마다 종료되며 $(*)$ 그렇지 않으면 무한히 지속되어 소수 자릿수의 무한 순서를 부여한다.그것은 x)저녁밥을 먹다 k({\textstyle x=\sup_{k}\{\sum_{i=0}^{k}{\frac{a_{나는}}{10^{나는}이 1}}년}}[2](전통적으로 x = 0에는 123⋯{\displaystyle x=a_{0}일 경우 .a_{1}a_{2}a_{3}\cdots}), 2,3…∈{0,1,2,…, 9},{\di 표시할 수 있다.s $playstyle a_{1},a_{2},a_{3}\ldots \in \{0,1,2,\ldots,$ $a_{0}$ $\}}},$ 0 $a_{1},a_{2},a_{3}\ldots \in \{0,1,2,\ldots ,9\},$ ${\$ 의 음이 아닌 정수는 소수 $a_{0}$ 표기법으로 표시된다.위의 절차를 $-x>0$ - $-x>0$ > $-x>0$ ${\displaystyle -x>0$ }에 $-x>0$ 적용하고 결과적인 10진수 확장을 - $-a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots$ $-a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots$ a 2 a 2 $-a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots$ 2 a 3 $-a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots$ ${\displaystyle -a_{0}a_{1}a_{2}a_{3}cdots$ $-a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots$ 에 적용함으로써 $x<0$ 이 $x<0$ 은 $x<0$ x < $x<0$ ${\displaystylevelopepansionstyleveloptionstyledata.$

유한소수표현황

비 음수 실수 x의 십진수 확장은 0(또는 nines)으로 끝나는데, 만약 x가 분모가 25형이고ⁿ^m, 여기서 m과 n은 비 음수 정수인 경우다.

증명:

If the decimal expansion of x will end in zeros, or $x=\sum _{i=0}^{n}{\frac {a_{i}}{10^{i}}}=\sum _{i=0}^{n}10^{n-i}a_{i}/10^{n}$ for some n, then the denominator of x is of the form 10ⁿ = 2ⁿ5ⁿ.

Conversely, if the denominator of x is of the form 2ⁿ5^m, $x={\frac {p}{2^{n}5^{m}}}={\frac {2^{m}5^{n}p}{2^{n+m}5^{n+m}}}={\frac {2^{m}5^{n}p}{10^{n+m}}}$ for some p.x가 $p=\sum _{i=0}^{n}10^{i}a_{i}$ p $\textstyle {\frac {p}{10^{k}}}$ $\textstyle {\frac {p}{10^{k}}}$ ${\$ k $\textstyle {\frac {p}{10^{k}}}$ $p=\sum _{i=0}^{n}10^{i}a_{i}$ = $p=\sum _{i=0}^{n}10^{i}a_{i}$ 0 $p=\sum _{i=0}^{n}10^{i}a_{i}$ $p=\sum _{i=0}^{n}10^{i}a_{i}$ $p=\sum _{i=0}^{n}10^{i}a_{i}$ $p=\sum _{i=0}^{n}10^{i}a_{i}$ ${\$ By $x=\sum _{i=0}^{n}10^{n-i}a_{i}/10^{n}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {a_{i}}{10^{i}}}$ , x will end in zeros.

십진수 표시 반복

일부 실수는 십진수 확장을 가지며, 결국 루프가 되어 한 자리 이상의 순서를 끝없이 반복한다.

¹/₃ = 0.33333...

¹/₇ = 0.142857142857...

¹³¹⁸/₁₈₅ = 7.1243243243...

매번 이런 일이 발생할 때마다 숫자는 여전히 합리적인 숫자(즉, 정수와 양의 정수의 비율로 대신 표현될 수 있다)이다.또한 그 반대의 경우도 사실이다.합리적인 숫자의 십진 확장성은 유한하거나 끝없이 반복된다.

분수로 변환

합리적 숫자의 모든 소수 표현은 정수, 비반복, 반복 부분의 합으로 변환한 다음 그 합을 공통 분모가 있는 단일 분수로 변환하여 분수로 변환할 수 있다.

예를 들어 ${\textstyle \pm 8.123{\overline {4567}}}$ ± ${\textstyle \pm 8.123{\overline {4567}}}$ ${\textstyle \pm 8.123{\overline {4567}}}$ 의 ${\textstyle \pm 8.123{\overline {4567}}}$ {\ $textstyle \pm$ 8. $123{\overline{4567}}}$ 을(를) 보조정리 부분에 주목하는 부분으로 ${\textstyle \pm 8.123{\overline {4567}}}$ 변환하는 경우:

{\pregated}0.000{\\overline {4567}&=4567\pair 0.000{0001}\&=4567\pair 0.000{\overline 0.000}\&=4567\pair 0.{\overline {0001}}\times {\frac {1}{10^{3}}}\\&=4567\times {\frac {1}{9999}}\times {\frac {1}{10^{3}}}\\&={\frac {4567}{9999}}\times {\frac {1}{10^{3}}}\\&={\frac {4567}{(10^{4}-1)\times 10^{3}}}&{\text{지수는 소수점(3) 이후의 반복되지 않는 자릿수와 반복 자릿수(4)이다.}}}\end{정렬}

따라서 다음과 같이 변환한다.

{\displaystyle{\begin{정렬}\pm 8.123{\overline{나비}}&=\pm \left(8+{\frac{123}{10^{3}}}와{\frac{나비}{(10^{4}))\times 10^{3}}}\right)&{{위에서 \text}}\\&, =\pm{\frac{8\times(10^{4}))\times 10^{3}+123\times(10^{4}))+4567}{10^{3(10^{4}))\times}}}&{\text{공통 분모}}\\&, =\pm{\frac{81226444}{9999000}}&,{년.텍스트{, su 곱해지분자 맞추기}}\\&=\pm {\frac{2499750}{2499750}}{\text}\\ended}}}}

반복 숫자가 없는 경우, 1 $1.9=1.9{\overline {0}}$ = $1.9=1.9{\overline {0}}$ $1.9=1.9{\overline {0}}$ $"{\$ "과 같이 영구 반복 0이 있다고 가정한다 $.$ $9{\overline{0}}}$ 이 $1.9=1.9{\overline {0}}$ 가) 반복 용어를 0으로 만들기 때문에 합계가 두 용어로 단순화되며 변환이 단순화됨.

예를 들면 다음과 같다.

{\displaysty}\pm 8.1234&=\pm \왼쪽(8+{\frac {1234}{10^{4}}}\오른쪽)&\\&=\pm {\frac {8\times 10^{4}+1234}{10^{4}}}&{\text{common denominator}}\\&=\pm {\frac {81234}{10000}}&{\text{multiplying, and summing the numerator}}\\&=\pm {\frac {40617}{5000}}&{\text{reducing}}\\\end{aligned}}

참고 항목

참조

^ Knuth, Donald Ervin (1973). The Art of Computer Programming. Vol. 1: Fundamental Algorithms. Addison-Wesley. p. 21.
^ Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. New York: McGraw-Hill. p. 11. ISBN 0-07-054235-X.

추가 읽기

Apostol, Tom (1974). Mathematical analysis (Second ed.). Addison-Wesley.
Savard, John J. G. (2018) [2006]. "Decimal Representations". quadibloc. Archived from the original on 2018-07-16. Retrieved 2018-07-16.

[Knuth_1973-1] Knuth, Donald Ervin (1973). The Art of Computer Programming. Vol. 1: Fundamental Algorithms. Addison-Wesley. p. 21.

[Walter_1976-2] Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. New York: McGraw-Hill. p. 11. ISBN 0-07-054235-X.

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