메로모르픽 함수

복잡한 분석의 수학적 분야에서 복잡한 평면의 열린 부분집합 D에 대한 공형 함수는 함수의 극인 고립된 점 집합을 제외한 모든 D에 대해 홀형 함수를 의미한다.^[1] 이 용어는 고대 그리스 메로스(μέος, μ fromος, μέος)에서 따온 말로, '부분'이라는 뜻이다.^[a]

D의 모든 용적함수는 D에 정의된 두 개의 홀모형함수(분모가 0이 아닌 분모) 사이의 비율로 표현할 수 있다: 어떤 극은 분모의 0과 일치해야 한다.

휴리스틱한 묘사

직관적으로, meromorphic 함수는 두 개의 잘 행동된 (홀로모르픽) 함수의 비율이다. 그러한 기능은 분수의 분모가 0인 지점을 제외하고는 여전히 얌전하게 행동할 것이다. 분모가 z에 0을 가지고 있고 분자가 0을 가지고 있지 않으면 함수의 값이 무한에 근접하게 되며, 두 부분 모두 z에 0을 가지고 있다면 이 0의 다중성을 비교해야 한다.

대수학적 관점에서 볼 때, 함수의 영역이 연결되면, 공형함수의 집합은 홀형함수 집합의 적분영역의 분수 영역이다. 이것은 합리적인 숫자와 정수 사이의 관계와 유사하다.

이전, 대체 사용

용어가 사용되는 연구 분야와 용어의 정확한 의미는 모두 20세기에 바뀌었다. 1930년대에, 그룹 이론에서, 메로모르프 함수(또는 메로모르프)는 그룹 G에서 그 자체로 그 제품을 보존하는 함수였다. 이 함수의 이미지는 G의 자동형성이라고 불렸다.^[2] 유사하게 동형성(또는 동형성)은 제품을 보존하는 그룹간의 함수인 반면 동형성은 동형성의 이미지였다. 이 용어의 형태는 이제 구식이고, 관련 용어는 더 이상 집단 이론에서 사용되지 않는다. 내형성이라는 용어는 이제 함수의 이미지에 특별한 이름이 주어지지 않고 함수 자체에 사용되고 있다.

용적함수는 그것의 극에 있는 복잡한 점들이 그것의 영역에 있는 것이 아니라 그것의 범위에 있을 수 있기 때문에 반드시 내형함수일 필요는 없다.

특성.

용적함수의 극은 고립되어 있기 때문에, 기껏해야 셀 수 없이 많다.^[3] 폴 세트는 함수에 의해 예시된 것처럼 무한할 수 있다.

${\displaystyle f(z)=\csc z={\frac {1}{\sin z}}.}$

탈착 가능한 특이점을 제거하기 위해 분석적 연속성을 사용함으로써 d의 연결된 구성요소에 $g{\displaystyle }$( z${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle g(z)=0}$이 아닌 한 meromorphic 함수를 더하고 빼고 곱할 수 있으며, quitient $f{\displaystyle }$/ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f/g}$을 형성할 수 있다$$. 따라서 D가 연결되면, 용적함수는 필드를 형성하는데, 사실 복잡한 숫자의 필드 확장이다.

상위 치수

몇 가지 복잡한 변수에서, 용적함수는 두 개의 단일함수의 인수로 정의된다. 예를 들어 $f{\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{z\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {z\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$/ ${\displaystyle {z\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$}}은 2차원 복합 아핀 공간에서의 meromorphic 함수다$$. 여기서 모든 용적함수를 리만 구에 값을 가진 홀로모르프 함수로 간주할 수 있다는 것은 더 이상 사실이 아니다. 코드션 2의 "지적소성" 집합이 있다(주어진 예에서 이 집합은 원점${\displaystyle }$(${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle (0,0)}$으로 구성된다).$$

차원 1에서와 달리, 더 높은 차원에서는 예를 들어 가장 복잡한 토리처럼 비정규적인 용적함수가 없는 소형 복합 다지관이 존재한다.

예

• 예를 들어 ^[3]모든 합리적인 기능
  $${\displaystyle f(z)={\frac {z^{3}-2z+10}{z^{5}+3z-1},}$$

  
  복잡한 비행기에서 용혈성인 것 같아
• 기능
  $${\displaystyle f(z)={\frac{e^{z}}}{z}}}\descript{\text{and}}\f(z)={\frac{z}{z-1)^{2}}:$$

  
  감마 함수와 리만 제타 함수는 전체 복잡한 평면에서 공상동형이다.^[3]
• 함수
  $${\displaystyle f(z)=e^{\frac {1}{z}}$$

  
  원점, 0을 제외한 전체 복합 평면에서 정의된다. 그러나 0은 이 함수의 극이 아니라 본질적인 특이점이다. 따라서, 이 기능은 전체 복잡한 평면에서 용형적이지 않다. 단, $C{\displaystyle \mathbb{}\setminus \{0\backslash \}}$ ${\displaystyle \mathb{C}$ $\setminus$\{$0$에 meromorphic (짝수형)이다.
• 복합 로그 함수
  $${\displaystyle f(z)=\ln(z)}$$

  
  격리된 점 집합만 제외하고 전체 복잡한 평면에서 정의할 수 없기 때문에 전체 복합 평면에서 공형성이 아니다.^[3]
• 함수
  $${\displaystyle f(z)=\csc {\frac {1}{z}={\frac {1}{{1}{\sin \left({\frac {1}{z}\오른쪽)}}}$$

  
  점 $z{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle z=0}$은 극의 누적점이며 따라서 고립된 특이점이 아니기 때문에 전체 평면에서 공형성이 아니다.^[3]
• 함수
  $${\displaystyle f(z)=\sin {\frac {1}{z}}$$

  
  0에서 본질적인 특이점을 가지고 있기 때문에, 또한 meromorphic도 아니다.

Riemann 표면에서

리만 표면에서, 모든 지점은 복잡한 평면의 열린 부분집합에 생체모형인 열린 이웃을 허용한다. 따라서 모든 리만 표면에 대해 용적함수의 개념을 정의할 수 있다.

D가 리만 전체 구면일 때, 구면상의 어떤 메로모르픽 함수가 이성적이라는 것을 증명할 수 있기 때문에, 메로모르픽 함수의 장은 단지 복잡한 구면 위에 있는 하나의 변수에 있는 합리적 함수의 장일 뿐이다. (이것은 이른바 GAGA 원리의 특수한 경우다.)

모든 리만 표면에서 메로모르프 함수는 리만 구에 매핑되는 홀로모르프 함수와 동일하며, which과 동일한 상수 함수가 아니다. 극은 ∞에 매핑된 복잡한 숫자에 해당한다.

비 컴팩트 리만 표면에서 모든 용적함수는 두 개의 (광택적으로 정의된) 홀모형 함수의 몫으로 실현될 수 있다. 이와는 대조적으로, 콤팩트한 리만 표면에서는 모든 홀로모르프 함수는 일정하지만, 비정규적인 메로모르프 함수는 항상 존재한다.

각주

참조