표준(수학)

수학에서 규범은 실제 또는 복잡한 벡터 공간에서 출발지로부터의 거리처럼 특정한 방식으로 작용하는 비부정 실수에 이르는 함수로서 스케일링에 통근하고 삼각불평등의 형태를 준수하며 출발지에서만 0이다. 특히 원점으로부터의 벡터의 유클리드 거리는 유클리드 규범 또는 2-규범이라고 하는 규범으로서, 그 자체로 벡터의 내적 산출물의 제곱근으로도 정의할 수 있다.

유사수어나 세미몬은 표준의 처음 두 특성을 만족시키지만, 원점이 아닌 다른 벡터에 대해서는 0일 수 있다.^[1] 규범이 지정된 벡터 공간을 규범 벡터 공간이라고 한다. 비슷한 방식으로 세미노름과 함께 벡터 공간을 세미노름 벡터 공간이라고 부른다.

정의

Given a vector space ${\displaystyle X}$ over a subfield F of the complex numbers ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ a norm on ${\displaystyle X}$ is a real-valued function ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ with the following properties, where ${\displaystyle s }$ denotes the usual ab$스칼라{\displaystyle }$ s ${\displaystyle s}$의 solute 값$:$^[2]

1. 하위additivity/${\displaystyle \mathrm{Triangle}}$ 불평등: $p{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$+ y${\displaystyle }$)${\displaystyle p}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle p}$ (${\displaystyle y}$) ${\displaystyle p(x+y)\leq$ p$(x)+p(y)}$ 모든 $x{\displaystyle ,}$ y${\displaystyle \mathrm{y<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; p(x+y)\backslash leq\; p(x)+p(y)\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/b4c62346e0a4a5625be6fcc47ae8c7183de5041f"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; margin-left:\; -0.089ex;\; width:22.775ex;\; height:2.843ex;">}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaysty$x$,y\in X.}$
2. 절대 동질성: $p{\displaystyle }$( ${\displaystyle s}$ x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle s}$p ( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle p(sx)=\왼쪽$ s\오른쪽 p$(x)}$ ${\displaystyle \mathrm{모든<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; p(sx)=\backslash left|s\backslash right|p(x)\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/e848fc078b4ffbbf9982f98aac7596e868578295"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; margin-left:\; -0.089ex;\; width:15.666ex;\; height:2.843ex;">}}$ $x{\displaystyle }$∈ X ${\displaystyle x\in X}$ 및$$ $모든{\displaystyle }$ 스칼라 .${\displaysty s.}$
3. 양의 정의/점 구분: 모든 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle x\in$ X$,}$에 대해 p${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle p(x)=0}$이면 $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle$ x$=0.$$}$
   • 속성 (2)는 p${\displaystyle }$( ${\displaystyle 0}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0,}$ ${\$$displaystyle$ p$(0$$)=0$$,}$을(를$)$ 의미하므로, $일부$ 저자는 속성 (3)을 모든 $x{\displaystyle }$$$${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$, ${\$$displaysty x$$\$$in$ $X,}$$x$)${\displaystyle }$=${\displaystyle 0}$인 경우에만$$ 동일한 조건으로 대체한다$.$$}$

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 세미놈은 $p{\displaystyle }$: ${\displaystyle X\mathbb{}}$→ R ${\$ 함수로서, 특성$$$$ (1)과 ^[3](2)를 가지고 있으므로 특히 모든 규범도 세미놈(따라서 하위선형 기능)이 된다. 그러나 규범이 아닌 세미몬이 존재한다. 속성 (1)과 (2)는 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$이(또는 더 일반적으로는 세미노름)이면$$ $p{\displaystyle }$( ${\displaystyle 0}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$ p($0)=0$$}$이며 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$도 다음과 같은 속성을 가지고 있음을 의미한다.

4. 비부정성: $p{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle p(x)\geq 0}$ 모든$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \in }$ X${\displaystyle }$. ${\displaystyle$ x$\in$ X$.}$

일부 저자들은 "보통"의 정의의 일부로 비부정성을 포함하지만, 이것은 필요하지 않다.

등가규범

p와 q가 벡터 공간 $X$에 대한 두 가지 규범(또는 세미노름)이라고 가정해 보자.$${\$displaystyle X$. {\displaystyle X$.}$ 그러면$$ p와 q는 모든 $벡터{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \in }$ X${\displaystyle ,}$ ${\displaysty x\in X,}$과 같은 c > 0의 두 개의 실제 상수 c와 C가 존재하는 경우 등가 동등하다고 한다.

규범 p와 q는 만약 $그것들$이${\displaystyle }$X$.$ {\$displaystyle$ X$.}$에서 동일한 위상을 유도하는 경우에만 동등하다. 유한한 차원 공간에 대한 어떤 두$$^[4] 가지 규범도 동등하지만 이것은 무한 차원 공간으로 확장되지 않는다.^[4]

표기법

${\displaystyle \mathrm{표준}}$ p : X → R ${\$ X$\to \mathb$ {$R} }이($가) 벡터 z${\displaystyle x}$ X$${\$displaysty$ z$\in$X}에 주어진 경우$$, ${\displaystyle \mathrm{벡터}}$ z ${\displaystyle =}$ = ${\displaystyle p}$.${\style \z(z$의 규범은 일반적으로$$ 두 개의 수직선 안에 감싸 표시된다$.$$}}$ 이러한 표기법은 p가 세미노름에 불과한 경우에도 가끔 사용된다. 유클리드 공간에서의 벡터 길이(아래 설명과 같이 규범의 예)에 대해서도 하나의 수직선을$$ 갖는 표기법 ${\displaystyle x}$ $displaystyle$ x $}$이 널리 퍼져 있다.

LaTeX 및 관련 마크업 언어에서는 표준 표기법의 이중 막대가 매크로와 함께 입력된다. \ , 이 렌더링은 ${\displaystyle \Vert .}$ ${\displaystyle$\ $.}$ 평행선, 평행 연산자 및 평행 추가를 나타내는 데 사용되는$$ 이중 수직선은 다음과 같이 입력된다. \parallel 그리고 ∥.{\parallel\displaystyle.}로 렌더링된다.유사해 보이지만 이 두 매크로는 다음과 같이 혼동해서는 안 된다. \ 괄호를 나타내며 \parallel 연산자를 가리킴 따라서 이들의 크기와 주변의 공간은 같은 방식으로 계산되지 않는다. 마찬가지로, 단일 세로 막대는 다음과 같이 코딩된다. 브라켓으로 사용할 때, 그리고 로 사용할 때. \mid 연산자로 사용할 때

유니코드에서 "더블 수직선" 문자의 표현은 U+2016 ‖ DUBLE 수직선이다. "이중 수직선"기호는 평행선과 병렬 연산자를 나타내는"병렬"기호 U+2225 ∥ PARLY TO와 안 된다 혼동해서는. 또한 이중 수직선은 언어학에서 횡방향 클릭을 나타내기 위해 U+01C1 편지 라틴 문자 LATER면서 RANGELATORY CLICK과 혼동해서는안 된다.

단일 수직선은 유니코드 표현 U+007C 수직선을 가진다.

예

Every (real or complex) vector space admits a norm: If ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ is a Hamel basis for a vector space X then the real-valued map that sends x = Σ_{i ∈ I} s_ix_i ∈ X (where all but finitely many of the scalars s_i are 0) to Σ_{i ∈ I} s_i is a norm on X.^[5] 특정한 문제에 유용하게 만드는 추가적인 속성을 보여주는 규범도 많다.

절대값규범

절대값

실제 또는 복잡한 숫자에 의해 형성된 1차원 벡터 공간의 표준이다.

Any norm p on a one-dimensional vector space X is equivalent (up to scaling) to the absolute value norm, meaning that there is a norm-preserving isomorphism of vector spaces ${\displaystyle f:\mathbb {F} \to X,}$ where ${\displaystyle \mathbb {F} }$ is either ${\displaystyle \mathbb {R} }$ or ${\di$$splaystyle \mathb {C},}$ 및$$ ${\displaystyle norm-preservation}$은 x${\displaystyle }$= ${\displaystyle p}$( f${\displaystyle }$)${\displaystyle }$.${\displaystyle$ x $=p(f(x$)를 의미한다$.$$}}$ 이러한$$ 이형성은 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle F\mathbb{}}$ ${\$을(를) 노르말 1의 벡터에 보내$$ 주어지는데, 이는 그러한 벡터가 0이 아닌 벡터에 그 표준의 역수를 곱하여 얻으므로 존재하는 것이다.

유클리드 규범

On the ${\displaystyle n}$-dimensional Euclidean space ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ the intuitive notion of length of the vector ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)}$ is captured by the formula^[6]

이것이 유클리드 규범인데, 이것은 피타고라스 정리의 결과인 X점까지의 일반적인 거리를 제공한다. 이 연산은 제곱합 제곱근의 약자인 "SRSS"라고도 할 수 있다.^[7]

유클리드 규범은 R ${\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle \mathb {R} ^{n}}$에서 단연코 가장 일반적으로 사용되는 규범이지만, 이$$^[6] 벡터 공간에는 다음과 같이 다른 규범이 있다. 그러나 이 모든 규범들은 모두 같은 위상을 정의한다는 점에서 동등하다.

유클리드 벡터 공간의 두 벡터 내측 생산물은 직교 기준에서 좌표 벡터의 점 생산물이다. 따라서 유클리드 규범은 다음과 같이 좌표가 없는 방법으로 쓰여질 수 있다.

유클리드 표준은 L ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ L$^{2}}$ norm$$, ^[8]${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ 2$${\$displaystyle \ell ^{$2$$}} norm, 2-norm 또는 square norm이라고도 한다. $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$ ${\$ L$^{p}}$ 공간 참조$$. 유클리드 길이, ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$ 또는$$ $\ell {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 거리라고 하는 거리 함수를 정의한다.

유클리드 규범이 주어진$$ 양의 상수인 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{n}}^{}}$+ 1 ${\$의 벡터 $집합$은 n ${\displaystyle n}$ -sphere를 형성한다.

복합수의 유클리드 규범

복합수의 유클리드 규범은 복합 평면이 유클리드 평면 R${\displaystyle {}^{}}$로 식별되는 경우 이의 절대값(계수라고도 함). ${\displaystyle \mathb {R} ^{2}.}$$$ 유클리드 평면에서 벡터로서$$ 콤플렉스 $번호{\displaystyle }$ x${\displaystyle }$+ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle$ x$+iy}$을(를) 식별하면 수량 $x\sqrt{{}^{}}$ $\sqrt{{2\mathrm{}}^{}}$+ $\sqrt{{}^{}}$ $\sqrt{{2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ {$x^{2}+y^{2$}{2}$}}}}}($유엘러가 처음 제시한 바와 같이) 복합수와 관련된 유클리드 규범.

쿼터니온과 옥토니언

실제 숫자보다 정확히 4개의 유클리드 후르비츠 알헤브라가 있다. These are the real numbers ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ the complex numbers ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ the quaternions ${\displaystyle \mathbb {H} ,}$ and lastly the octonions ${\displaystyle \mathbb {O} ,}$ where the dimensions of these spaces over the real numbers are ${\displaystyle 1,2,4,\text{and}}$${\displaystyle \mathrm{각각}}$${\displaystyle }$8 , ${\displaystyle$ 1,2$,4,{\text{, }}}.$ 앞에서 설명한 $바$와 같이 R ${\$ {$R}$과$($와) C {\$displaystyle$\mathb {$C}$에 대한 표준규범은 절대값 함수다$$.

쿼터니온의 $H{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ {$H} }$에 대한 표준 규범은 다음과 같이 정의된다.

for every quaternion ${\displaystyle q=a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} }$ in ${\displaystyle \mathbb {H} .}$ This is the same as the Euclidean norm on ${\displaystyle \mathbb {H} }$ considered as the vector space ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$ Simi거의, 옥토니언의 표준규범은 R ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \mathb {R} ^{8}$의 유클리드 규범일 뿐이다.$}$

유한차원 복합규범공간

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ -차원$$ 복합 공간 ${\displaystyle {}^{}}$ $n{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$, ${\displaystyle \mathb {C} ^{n}}$에서 가장$$ 일반적인 표준은

이 경우 규범은 벡터와 그 자체의 내생물의 제곱근으로 표현할 수 있다.

where ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ is represented as a column vector${\displaystyle \left(\left[x_{1};x_{2};\ldots ,x_{n}\right]\right),}$ and ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}^{H}}$ denotes its conjugate transpose.

이 공식은 유클리드 및 복잡한 공간을 포함한 모든 내부 제품 공간에 유효하다. 복잡한 공간의 경우 내부 제품은 복합 도트 제품과 동등하다. 따라서 이 경우 공식은 다음과 같은 표기법을 사용하여 작성할 수도 있다.

택시 표준 또는 맨해튼 표준

그 이름은 택시가 출발지에서 x 지점까지 가기 위해 직사각형 도로망에서 운전해야 하는 거리와 관련이 있다.

1-규범이 주어진 상수인 벡터 집합은 표준 마이너스 1과 동등한 차원의 교차 폴리토프 표면을 형성한다. Taxicab 표준은 $\ell {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\$표준이라고도 한다. 이 규범에서 도출된 거리를 맨해튼 거리 또는 ℓ₁ 거리라고 한다.

1-규격은 단순히 열의 절대값의 합이다.

그에 반해서

부정적인 결과를 낳을 수 있기 때문에 규범이 아니다.

p-norm

p ≥ 1을 실제 숫자로 하자. $벡터{\displaystyle {}_{}}$ $x{\displaystyle \mathbf{}}$=${\displaystyle }$($$${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, x ${\displaystyle n_{}}$) ${\$$displaystyle \ell _{p}$ -norm이라고도$$ 함 \$displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})$의 p-norm은 다음과$$^[6] 같다.

p = 1의 경우 택시카브 규범을 얻고, p = 2의 경우 유클리드 규범을 얻으며, p가$\$ {\$displaystyle \infort}$에 근접함에 따라 p-규범은 무한 규범 또는 최대 규범에 접근한다. p-표준은 일반화된 평균 또는 검정력 평균과 관련이 있다.

이 정의는 0 < p < 1에 대해서는 여전히 어느 정도 관심이 있지만, 결과 함수는 삼각 불평등을 위반하기 때문에 규범을 정의하지 않는다.^[9] 이 0 < p < 1의 경우, 측정 가능한 아날로그에서도 참인 것은 해당 L 등급이^p 벡터 공간이며, 함수 또한 사실이다.

(pth 루트 미포함)은^p L(X)을 완전한 미터법 위상 벡터 공간으로 만드는 거리를 정의한다. 이들 공간은 기능분석, 확률론, 조화분석에 큰 관심이 있다. 그러나 이 위상 벡터 공간은 사소한 경우를 제외하고는 국소적으로 볼록하지 않으며, 연속적으로 0이 아닌 선형 형태를 가지고 있지 않다. 따라서 위상학적 이중 공간은 0 기능만 포함한다.

p-norm의 부분적 파생상품은 다음과 같다.

따라서 x에 관한 파생상품은 다음과 같다.

여기서 ∘은 Hadamard 제품을 나타내며 ${\displaystyle \cdot }$ $displaystyle \cdot }$은 벡터의 각 성분의 절대값에 사용된다.

p = 2의 특별한 경우, 이것은

또는

최대 규범(특정 사례: 무한 규범, 균일한 규범 또는 우월 규범)

$x{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$${\displaystyle \}}$이(${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$x${\displaystyle }$= ( x${\displaystyle {}_{}{}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$, ,$$, $displaystyle \mathbf {x} =(x_{$1},$x_{2},\ldots$,x_${n})$와 같은 벡터인 경우$$:

무한정 규범이 주어진 상수인 벡터 집합 c는 에지 길이가 2c인 하이퍼큐브 표면을 형성한다.

제로 노름

확률과 기능 분석에서, 제로 규범은 측정 가능한 함수의 공간과 F–orm ($x_{}$ n${}_{}$) $\underset{}{}$ $\underset{}{n}$ ${}^{}{}_{}{}^{}$2 - n${}_{}{x}_{}\mathrm{n}$ /$$( ${}_{}$ +${}_{}$x $n_{}$)$$. {\$textyle$ (x_${n$}}\$mapsto \sum \{n$}{n^{$n}x_${n$}/(1+_{n}}}})$에 대한 전체 메트릭 위상을 유도한다.$}$ 여기서$$^[10] 우리는 ${\displaystyle \mathrm{거리}}$ d의 F-space에서 일부$$ 실제 값 함수${\displaystyle }$‖ { ${\displaystyle \Vert }$ { ${ display$ {\$displaystyle \lcdot$\rVert }을(를) 뜻하며, $\Vert {\displaystyle }$ x${\displaystyle }$(${\displaystyle }$, ${\displaystyle 0}$)${\displaystyle }$. ${\displaysty \lVert x\rVert =d(x,0})$를 의미한다.$$ 위에서 설명한 F-표준은 요구되는 동질성 특성이 결여되어 있기 때문에 통상적인 의미에서 표준이 아니다.

벡터 0에서 해밍 거리

메트릭 기하학에서 이산형 메트릭은 구별되는 점에 대해 값을 1로 사용하고 그렇지 않으면 0을 취한다. 벡터 공간의 요소에 좌표적으로 적용할 때 이산 거리는 해밍 거리를 규정하는데, 해밍 거리는 코딩과 정보 이론에서 중요하다. 실제 또는 복잡한 숫자의 분야에서, 0에서 분리된 메트릭의 거리는 0이 아닌 지점에서 균일하지 않다. 실제로 0이 아닌 인수가 0에 근접할 때 0에서 거리는 1로 유지된다. 그러나 숫자 0에서 분리된 거리는 표준의 다른 특성, 즉 삼각형 불평등과 양의 확정성을 만족시킨다. 벡터에 구성요소를 현명하게 적용하면, 0으로부터의 이산 거리는 벡터 인수의 비 0 성분 수를 계산하는 비 동종 "규범"처럼 작용한다. 다시, 이 비 동종 "규범"은 불연속적이다.

신호 처리와 통계에서 데이비드 도노호는 0 "norm"을 따옴표로 가리켰다. 도노호의 표기법에 따라 x의 0 "norm"은 단순히 x의 0이 아닌 좌표수 또는 0에서 벡터의 해밍 거리이다. 이 "일반"이 경계 집합으로 국부화되었을 때, p가 0에 가까워짐에 따라 p-표준의 한계치가 된다. 물론, 0 "규범"은 양의 동질성이 아니기 때문에 진정한 표준은 아니다. 실제로, 스칼라-벡터 곱셈의 스칼라 논거와 벡터 논거에 관해서, 그리고 그 벡터 논거에 관해서, 그것은 불연속적이고, 공동적이며, 절연적이기 때문에, 위에서 설명한 의미에서는 F-규범도 아니다. 용어를 남용하여 일부 엔지니어는^[who?] 도노호의 인용 부호를 생략하고 비제로스 수 함수를 L규범이라고⁰ 부적절하게 부르면서 측정 가능한 함수의 르베그 공간 표기법을 반향한다.

무한치수

위의 규범을 무한한 수의 구성요소로 일반화하면 규범과 함께 ℓ과^p L의^p 공간이 생긴다.

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$^{$n}$에 대한 복합 값 시퀀스와 함수에 대해서는 더 일반화할 수 있다(Haar 측정 참조).

어떤 내부 제품이라도 자연적인 방법으로 표준 $\Vert$ x $:$ $:=$ $\sqrt{x}$⟩, $\sqrt{x}$ $\sqrt{⟩}$. ${\textstyle \x\={\sqrt {\langle x,x\angle }}$을 유도한다.$}$

무한 차원 규범 벡터 공간의 다른 예는 바나흐 공간 기사에서 찾을 수 있다.

복합규범

${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 다른 규범들은 위와 같은 것을 조합하여 구성할 수 있다$$.

$R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$. ${\displaystyle \mathb {R} ^{4}$의 표준이다.$}$

모든 규범과 주입 선형 변환 A에 대해 우리는 x의 새로운 규범을 정의할 수 있다.

2D에서는 A가 45° 회전하고 적절한 스케일링으로 택사브 규범을 최대 표준으로 변경한다. 각 A는 축의 반전 및 상호교체까지 택스캡 규범에 적용되며, 다른 단위 공(특정 형태, 크기, 방향의 평행도)을 부여한다.

3D에서 이것은 1-규범(옥타헤드론)과 최대규범(평행형문자 기반이 있는 프리즘)에 대해서는 비슷하지만 다르다.

"입문적" 공식으로 정의되지 않은 규범의 예가 있다. 예를 들어, ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$중심 0)의 중심대칭 볼록체 민코스키 기능은 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$^{n$}}}$에 규범을 정의한다(§ 세미놈 분류: 아래 절대 볼록 흡수 집합 참조).

위의 모든 공식은 수정 없이$$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에 대한 규범도 산출한다.

행렬의 공간(실제 또는 복잡한 항목 포함), 이른바 행렬 규범에도 규범이 있다.

추상대수학에서

E는 분리할 수 없는 정도 p의^μ 필드 k의 유한한 확장이 되고, k는 대수학적 폐쇄 K를 갖도록 한다. If the distinct embeddings of E are {σ_j}_j, then the Galois-theoretic norm of an element α ∈ E is the value ${\textstyle \left(\prod _{j}{\sigma _{k}(\alpha )}\right)^{p^{\mu }}.}$ As that function is homogenous of degree [E:k], the Galois-theoretic norm is not a norm in the sense of this article. 그러나 (그 개념이 타당하다고 가정할 때) 규범의 [E:k]-throot는 규범이다.^[11]

구성 알헤브라스

The concept of norm ${\displaystyle N(z)}$ in composition algebras does not share the usual properties of a norm as it may be negative or zero for z ≠ 0. A composition algebra (A, *, N) consists of an algebra over a field A, an involution *, and a quadratic form ${\displaystyle N(z)=zz^{*},}$ which is called "정상"

The characteristic feature of composition algebras is the homomorphism property of N: for the product wz of two elements w and z of the composition algebra, its norm satisfies ${\displaystyle N(wz)=N(w)N(z).}$ For ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \mathbb{H},}$\$displaystyle \mathb {H},$} 및$$ o 구성 대수 규범은 위에서 설명한 표준의 제곱이다$.$ 그러한 경우에 규범은 확실한 이차적 형식이다. 다른 구성에서 알헤브라는 등방성 이차형이다.

특성.

${\displaystyle \mathrm{모든}}$ ${\displaystyle 표준\mathbb{}}$p :${\displaystyle }$X ${\displaystyle \to }$ R {\$displaystyle p:X\to \mathb {R}$에서 벡터 공간 $X{\displaystyle }$ , ${\displaystyle X}$에 대해 역삼각형 불평등은 다음을$$ 유지한다.

$u{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u:X\to Y}$이(가) 정규화된 공간 사이의 연속 선형 지도인 경우 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$의 표준과 $u{\displaystyle }${\$displaysty u}$의 전치 표준은 동일하다$$.^[12]

L^p 규범을 위해 핼더 부등식을^[13] 가지고 있다.

이것의 특별한 경우는 카우치-슈바르츠 불평등이다.^[13]

등가성

단위 원의 개념(규범 1의 모든 벡터 집합)은 다른 규범에서 다르다: 1-규범에 대해서는 단위 원이 사각형이고, 2-규범(유클리드 규범)에 대해서는 잘 알려진 단위 원이고, 무한규범에 대해서는 다른 제곱이다. 모든 p-norm의 경우, 결합 축이 있는 supperellipse이다(동반 그림 참조). 표준의 정의로 인해 단위 원은 볼록하고 중심 대칭이어야 한다(따라서, 예를 들어 단위 공은 직사각형일 수 있지만 삼각형이 될 수 없으며, p-표준의 경우$$ $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 1}$ $[\displaystyle p\geq 1}).$

벡터 공간의 관점에서 세미놈은 공간의 위상을 정의하는데, 이것은 세미놈들이 구별되는 벡터를 구별할 수 있을 때 정확하게 하우스도르프 위상인데, 이것은 다시 세미놈은 표준인 것과 동등하다. 따라서 정의된 위상은 (규범 또는 세미노름으로) 시퀀스 또는 오픈 세트로 이해할 수 있다. A sequence of vectors ${\displaystyle \{v_{n}\}}$ is said to converge in norm to ${\displaystyle v,}$ if ${\displaystyle \left\ v_{n}-v\right\ \to 0}$ as ${\displaystyle n\to \infty .}$ Equivalently, the topology consists of all sets that can be represented as a union of open balls. If ${\displaystyle (X,\ \cdot \ )}$ is a normed space then^[14] ${\displaystyle \ x-y\ =\ x-z\ +\ z-y\ {\text{ for all }}x,y\in X{\text{ and }}z\in [x,y].$$}$

만약 그들이 만일 모든 x∈ X{\displaystyle x\에서 C와 D은 그러한 긍정적인 실수를 존재하는 일이 일어나면 같은 topology,[4]이 높아지면 두 규범}과‖⋅‖ β{\displaystyle\와 같이 \cdot\_{\beta}}는 벡터 공간 X{X\displaystyle}등가라고 불린다에 ⋅‖ α{\displaystyle\와 같이 \cdot\_{\alpha}‖.에서$X}$

예를 들어, $C{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle \mathb {C} ^{n}$의 > ≥ ${\displaystyle$p$>r\geq$ 1$}$이(가) 있는 경우$$^[15],

특히.

그것은 벡터 공간이 유한차원의 실제 공간이나 복잡한 공간이라면 모든 규범은 동등하다. 반면 무한 차원 벡터 공간의 경우 모든 규범이 동등하지는 않다.

등가 규범은 연속성과 수렴의 동일한 개념을 정의하며 많은 목적을 위해 구별할 필요가 없다. 좀 더 정밀하게 말하면 벡터 공간의 등가 규범에 의해 정의된 균일 구조는 균일하게 이형성이다.

세미노름의 분류: 절대 볼록 흡수 세트

벡터 공간 $X{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $X}$의 모든 세미놈은 $X$의 절대대류 흡수 $서브셋$ A의 관점에서 분류될 수 있다$$$.$ 이러한$$ 서브셋은 각각 다음과 같이 정의된 A의 게이지라고 불리는 세미놈 p에_A 해당한다.

여기서 'inf'는 최소값이며, 그 속성은 다음과 같다. 반대로:

국소 볼록한 위상 벡터 공간은 절대 볼록한 집합으로 구성된 국소적 기초를 가지고 있다. 그러한 기초를 구성하는 일반적인 방법은 점을 구분하는 세미놈 p의 패밀리(p)를 사용하는 것이다: 집합 {p < 1/n}의 모든 유한 교차로 수집은 공간을 국소적으로 볼록한 위상 벡터 공간으로 바꾸어 모든 p가 연속되게 한다.

이러한 방법은 약하고 약한* 토폴로지를 설계하는 데 사용된다.

표준 사례:

이제 (p)가 단일 p를 포함한다고 가정하자: (p)가 분리되고 있기 때문에 p는 이고 ={ < 1$}$ {\$displaystyle A=\{p<$1\}}}는 열린 단위 공이다. 그러면 A는 0의 절대 볼록한 경계선인 이웃이고, $p{\displaystyle }$= ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$$A}$은(는) 연속이다$$.

그 반대는 안드레이 콜모고로프 때문이다: 국부적으로 볼록하고 국부적으로 경계된 위상학적 벡터 공간은 규범 가능하다. 정확히:

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 0의 절대 볼록한 인접 지역이라면 게이지 G ${\displaystyle X_{}}$ ${\$그러므로 X ={< ${\displaystyle$ X$=\{g_{X}\}\}}}$이() 표준이다.$$

참고 항목

• 비대칭 표준 – 표준 개념의 일반화
• F-세미놈
• Gowers norm
• 카데크 노먼
• 마할라노비스 거리
• 규모(수학)
• 행렬 정규 – 행렬의 벡터 공간에 대한 정규 분포
• 민코프스키 거리
• 민코스키 기능
• 측정 시스템 표준 – 선형 측정 시스템의 "크기" 측정
• 파라노름
• 규범과 지표의 관계
• 세미놈
• 하위선형함수

참조

참고 문헌 목록

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