하위additivity

수학에서 하위additivity는 대략적으로 도메인의 두 원소 합계에 대한 함수를 평가하는 것이 항상 각 원소에서 함수의 값의 합보다 작거나 같은 것을 반환한다고 말하는 함수의 속성이다. 수학의 다양한 영역, 특히 규범과 제곱근에 아첨함수의 예는 수없이 많다. 가법 지도는 부가법 함수의 특별한 경우다.

정의들

하위 추가 함수는 $f\colon A\to B$ : $f\colon A\to B$ → $f\colon A\to B$ $f\colon A\to B$ 함수로서 $f\colon A\to B$ 도메인 A와 순서가 지정된 코도메인 B가 있으며, 다음 속성이 있다.

\displaystyle \f,y\in A,f(x+y)\leq f(x)+f(y)}

$\forall x,y\geq 0$ 를 들어 $\forall x,y\geq 0$ root x $\forall x,y\geq 0$ , $\forall x,y\geq 0$ 0 ${\displaystyle \forall$ x $,y\geq$ 0 $}$ 이래 $\forall x,y\geq 0$ 음수가 아닌 실제 숫자를 도메인과 코도메인으로 갖는 제곱근 함수를 들 수 있다.

{\sqrt {x+y}\leq {\sqrt {x}+{\sqrt {y}}.

시퀀스 $\left\{a_{n}\right\},n\geq 1$ { $\left\{a_{n}\right\},n\geq 1$ $\left\{a_{n}\right\},n\geq 1$ n $\left\{a_{n}\right\},n\geq 1$ $\left\{a_{n}\right\},n\geq 1$ $\left\{a_{n}\right\},n\geq 1$ 은 $\left\{a_{n}\right\},n\geq 1$ 는) 불평등을 만족하면 하위첨가라고 불린다.

a_{n+m}\leq a_{n}+a_{m}

어느 모로 보나 시퀀스가 자연수 집합에 대한 함수로 해석되는 경우, 이것은 하위 가산함수의 특별한 경우다.

특성.

시퀀스

부가적인 시퀀스에 관련된 유용한 결과는 Michael Fekete로 인해 다음과 같은 보조정리 입니다.^[1]

Fekete's Subadditive Lemma — For every subadditive sequence ${\left\{a_{n}\right\}}_{n=1}^{\infty }$ , the limit $\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{n}}$ exists and is equal to the infimum ${\displaystyle \inf$ ${\frac {a_{n}}{n$ (한계는 - $-\infty$ ${\displaystyle$ - $\inflit }$ 일 수 있다.) $-\infty$

페케테의 보조정리(lemma)의 아날로그는 $a_{n+m}\geq a_{n}+a_{m}.$ 시퀀스( $a_{n+m}\geq a_{n}+a_{m}.$ + m $a_{n+m}\geq a_{n}+a_{m}.$ $a_{n+m}\geq a_{n}+a_{m}.$ . $.$ {\ $displaystyle a_{n+m}\geq a_{n}+a_{m}}}}}}}($ 그렇다면 한계는 양의 무한대일 수 있음: $a_{n}=\log n!$ = $a_{n}=\log n!$ ${\displaystystylease$ stylease stylean={ $n}).$

There are extensions of Fekete's lemma that do not require the inequality $a_{n+m}\leq a_{n}+a_{m}$ to hold for all m and n, but only for m and n such that ${\textstyle {\frac {1}{2}}\leq {\frac {m}{n}}\leq 2.}$ Moreover, the condition $a_{n+m}\leq a_{n}+a_{m}$ $a_{n+m}\leq a_{n}+a_{m}$ may be weakened as follows: $a_{n+m}\leq a_{n}+a_{m}+\phi (n+m)$ provided that $\phi$ is an increasing function such that the integral ${\textstyle \int \phi (t)t^{-2}\,dt}$ con버지(무한도 가까이)^[2]

초가성과 하위가 모두 존재하는 경우 페케트의 보조정리부에 존재하는 한계까지 수렴 속도를 추론할 수 있는 결과도 있다.^[3]^[4]

게다가, 페케트의 보조기구의 유사점은 어메니블 그룹의 유한 부분 집합으로부터 서브 부가적 리얼 맵(추가 가정과 함께)에 대해 입증되었고,^[6]^[7] 나아가 취소되는 좌-아메네블 세미그룹에 대해서도 입증되었다.^[8]

기능들

정리:모든 측정 가능한 저가 산적 기능은 6.2.1f[9]—:(0, ∞)→ R,{\displaystyle f:(0,\infty)\to \mathbb{R},}은 제한 lim t→ ∞ f(t)t{\displaystyle \lim_{t\to\infty}{\frac{f(t)}{t}}}과 inf t을 같습니다;0f(t).{\displaystyle \inf_{t>0}{\frac{f(t)}{t}}.}존재한다. (limit는 - $-\infty .$ . ${\displaystyle$ - $\inful.}$ 일 수 있음 $-\infty .$

If f is a subadditive function, and if 0 is in its domain, then f(0) ≥ 0. To see this, take the inequality at the top. $f(x)\geq f(x+y)-f(y)$ . Hence $f(0)\geq f(0+y)-f(y)=0$

오목함수 $f:[0,\infty )\to \mathbb {R}$ : $f:[0,\infty )\to \mathbb {R}$ [ 0 , $f:[0,\infty )\to \mathbb {R}$ ) $f:[0,\infty )\to \mathbb {R}$ → $f:[0,\infty )\to \mathbb {R}$ ${\$ f $:[0,\inflt )\$ $f(0)\geq 0$ ( $f(0)\geq 0$ ) $f(0)\geq 0$ $f(0)\geq 0$ 을 가진 $f:[0,\infty )\to \mathbb {R}$ $\mathb$ { $R$ $} }$ 에 대한 $\mathb$ { $R}$ 도 부첨가적이다 $f(0)\geq 0$ . 이를 확인하기 위해 $f(x)\geq \textstyle {\frac {y}{x+y}}f(0)+\textstyle {\frac {x}{x+y}}f(x+y)$ f $f(x)\geq \textstyle {\frac {y}{x+y}}f(0)+\textstyle {\frac {x}{x+y}}f(x+y)$ ( $f(x)\geq \textstyle {\frac {y}{x+y}}f(0)+\textstyle {\frac {x}{x+y}}f(x+y)$ x ) $f(x)\geq \textstyle {\frac {y}{x+y}}f(0)+\textstyle {\frac {x}{x+y}}f(x+y)$ y $f(x)\geq \textstyle {\frac {y}{x+y}}f(0)+\textstyle {\frac {x}{x+y}}f(x+y)$ + $f(x)\geq \textstyle {\frac {y}{x+y}}f(0)+\textstyle {\frac {x}{x+y}}f(x+y)$ f $f(x)\geq \textstyle {\frac {y}{x+y}}f(0)+\textstyle {\frac {x}{x+y}}f(x+y)$ ( $f(x)\geq \textstyle {\frac {y}{x+y}}f(0)+\textstyle {\frac {x}{x+y}}f(x+y)$ 0 ) $f(x)\geq \textstyle {\frac {y}{x+y}}f(0)+\textstyle {\frac {x}{x+y}}f(x+y)$ + $f(x)\geq \textstyle {\frac {y}{x+y}}f(0)+\textstyle {\frac {x}{x+y}}f(x+y)$ $f(x)\geq \textstyle {\frac {y}{x+y}}f(0)+\textstyle {\frac {x}{x+y}}f(x+y)$ + $f(x)\geq \textstyle {\frac {y}{x+y}}f(0)+\textstyle {\frac {x}{x+y}}f(x+y)$ $f(x)\geq \textstyle {\frac {y}{x+y}}f(0)+\textstyle {\frac {x}{x+y}}f(x+y)$ ( $f(x)\geq \textstyle {\frac {y}{x+y}}f(0)+\textstyle {\frac {x}{x+y}}f(x+y)$ + y $){\$ frac ${x+y}}}f(0)+\frac$ {x $}{x+}f(x+y)$ 를 관찰한다 $f(x)\geq \textstyle {\frac {y}{x+y}}f(0)+\textstyle {\frac {x}{x+y}}f(x+y)$ 그런 다음 $f(x)$ ( $f(x)$ ) $f(x)$ 및 $f(x)$ $f(y)$ ( $f(y)$ $f(y)$ 에 대한 이 바운드의 합계를 보면 마침내 f가 하위첨가성이라는 것을 확인할 것이다 $f(y)$ ^[10]

아첨함수의 음은 초첨함수다.

다양한 도메인의 예

엔트로피

엔트로피는 폰 노이만(Von Neumann)으로 인해 일반화된 제형에서 양자역학은 물론 정보이론과 통계물리학에서도 근본적인 역할을 한다. 엔트로피는 모든 제형에서 항상 하위 첨가 수량으로 나타나며, 즉, 슈퍼시스템 또는 무작위 변수의 집합 조합의 엔트로피는 항상 개별 구성요소의 엔트로피의 합보다 작거나 같다는 것을 의미한다. 또한, 물리학의 엔트로피는 고전적 통계 역학에서 엔트로피의 강한 하위애독성 및 양자 아날로그와 같은 몇 가지 엄격한 불평등을 충족시킨다.

경제학

Subaditivity는 몇몇 특정한 비용함수의 필수적인 속성이다. 그것은 일반적으로 자연 독점의 검증에 필요하고 충분한 조건이다. 그것은 오직 한 기업으로부터의 생산이 동일한 수의 기업에 의한 원래 수량의 일부의 생산보다 (평균 비용 측면에서) 사회적으로 덜 비싸다는 것을 의미한다.

규모의 경제는 부가적인 평균 비용 함수로 대표된다.

보완재의 경우를 제외하고 (수량의 함수로써) 상품의 가격은 부가화적이어야 한다. 그렇지 않으면, 두 품목을 묶는 데 드는 비용보다 두 품목을 합친 비용의 합계가 더 싸다면, 아무도 그 보따리를 사지 않을 것이고, 따라서 보따리 값이 두 개별 품목의 가격 합계를 "합계"하게 된다. 따라서 교환 단위가 품목의 실제 원가가 아닐 수 있기 때문에 자연 독점을 위한 충분한 조건이 아니라는 것을 증명한다. 이러한 상황은 정치무대의 모든 사람들에게 친숙하다. 그 정치무대의 일부 소수자들은 특정 수준의 정부로부터 어떤 특정한 자유가 상실되면 많은 정부가 더 낫다는 것을 의미한다고 주장하는 반면, 대다수는 다른 정확한 비용 단위가 있다고 주장한다.^{[citation needed]}

금융

하위additivity는 리스크 관리에 있어 일관성 있는 리스크 대책의 바람직한 속성 중 하나이다.^[11] 위험 측정 하위 부가성 이면의 경제적 직관은 포트폴리오 위험 노출이 포트폴리오를 구성하는 개별 포지션의 위험 노출의 합계와 최악의 경우 동일해야 한다는 것이다. 어떤 경우에든 다변화의 영향은 개별 위험 익스포저의 합계보다 낮은 포트폴리오 익스포저를 초래할 것이다. 하위 가독성의 결여는 위험 인자의 정규성에 대한 가정에 의존하지 않는 VaR 모델의 주요 비판 중 하나이다. 가우스 VaR은 하위addivity를 보장한다. 예를 들어, 신뢰 $1-p$ 1 - p ${\displaystyle$ 1-p $}$ 에서 $V$ 두 개의 단일 장기 위치 $포트폴리오$ V {\displaystyle V}의 가우스 VaR은 평균 포트폴리오 값 변동이 0이고 VaR이 음의 손실로 정의된다고 가정할 때 다음과 $1-p$ 같다.

{\text{VaR}}_{p}\equiv z_{p}\sigma _{\Delta V}=z_{p}{\sqrt {\sigma _{x}^{2}+\sigma _{y}^{2}+2\rho _{xy}\sigma _{x}\sigma _{y}}}

여기서

z_{p}

z_{p}

{\

z_

{p}

는

z_{p}

확률

수준

p

{\displaystyle

p

p

\sigma _{x}^{2},\sigma _{y}^{2}

x

\sigma _{x}^{2},\sigma _{y}^{2}

\sigma _{x}^{2},\sigma _{y}^{2}

y

\sigma _{x}^{2},\sigma _{y}^{2}

{\

displaystyle \ex}^{

2},

2

x

{\

displaystyle \rho _{xy}}}}}}}}}}}

는 개별 위치의

\sigma _{x}^{2},\sigma _{y}^{2}

\rho _{xy}

이고

\rho _{xy}

x {xy}은 선형

\rho _{xy}

c이다.두 개별 위치의 수익률 사이의 관계 측정. 분산이 항상 양이기 때문에

{\sqrt {\x}^{2}+\laima _{y}^{2}+2\rho_{xy}\la_{x}\laq \{x}+\la_{y}}}}}}}}

따라서 가우스 VaR은 포트폴리오 위험에 대한 다양화 효과가 없는 경우인

\rho _{xy}=1

\rho _{xy}\in [-1,1]

\rho _{xy}\in [-1,1]

\rho _{xy}\in [-1,1]

\rho _{xy}\in [-1,1]

-

\rho _{xy}\in [-1,1]

,

\rho _{xy}\in [-1,1]

[\displaystyle \rho _{xy}\

의

모든

값에 대해 하위첨가성이며, 특히

\rho _{xy}\in [-1,1]

\rho _{xy}=1

\rho _{xy}=1

=

\rho _{xy}=1

\rho _{xy}=1

의 개별 위험 노출의 합계와 같다.

열역학

아첨성은 과도한 어금니 부피와 혼합 열 또는 엔탈피와 같은 비이상 용액과 혼합물의 열역학적 특성에서 발생한다.

단어 조합

요인 언어 $L$ ${\displaystyle$ L $}$ 은 $L$ $L$ 는)단어가 L {\ $displaystyle L}$ 에 있으면 해당 단어의 모든 요인이L {\ $displaystyle L}$ 에도 있다. $L$ 단어에 대한 조합어에서는 $A(n)$ 으로 A( $){\displaystystyle A(n$ $)}$ 개의 $A(n)$ $길이-n$ ${\displaysty$ n} 단어를 $n$ 결정하는 것이다.guage. Clearly $A(m+n)\leq A(m)A(n)$ , so $\log A(n)$ is subadditive, and hence Fekete's lemma can be used to estimate the growth of $A(n)$ .^[12]

참고 항목

겉보기 어금니 속성
초켓 적분
초가당성
삼각형 불평등 – 기하학의 특성, 미터법 공간의 "거리" 개념을 일반화하는 데 사용되기도 한다.

메모들

^ Fekete, M. (1923). "Über die Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten". Mathematische Zeitschrift. 17 (1): 228–249. doi:10.1007/BF01504345.
^ de Bruijn, N.G.; Erdös, P. (1952). "Some linear and some quadratic recursion formulas. II". Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A. 55: 152–163. doi:10.1016/S1385-7258(52)50021-0. (인디게이션스 수학과 동일). 스틸 1997, 정리 1.9.2도 참조한다.
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^ 힐 1948년, 정리 6.6.1 (측정가능성은 6.2장 "필리민관"에 규정되어 있다.)
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^ Rau-Bredow, H. (2019). "Bigger Is Not Always Safer: A Critical Analysis of the Subadditivity Assumption for Coherent Risk Measures". Risks. 7 (3): 91. doi:10.3390/risks7030091.
^ Shur, Arseny (2012). "Growth properties of power-free languages". Computer Science Review. 6 (5–6): 187–208. doi:10.1016/j.cosrev.2012.09.001.

참조

욜랴와 가보르 체게 "분석상의 문제와 정리, 제1권" 스프링거-베를라크, 뉴욕 (1976년). ISBN 0-387-05672-6.
에이나르 힐 "기능 분석 및 반군" 미국 수학 협회, 뉴욕 (1948년)
N.H. 빙함, A.J. 오스타체프스키. "일반적인 하위 부가 기능." 미국수학협회의 절차, 136권, 12번(2008), 페이지 4257–4266.

외부 링크

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[1] Fekete, M. (1923). "Über die Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten". Mathematische Zeitschrift. 17 (1): 228–249. doi:10.1007/BF01504345.

[2] Bruijn, N.G.; Erdös, P. (1952). "Some linear and some quadratic recursion formulas. II". Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A. 55: 152–163. doi:10.1016/S1385-7258(52)50021-0. (인디게이션스 수학과 동일). 스틸 1997, 정리 1.9.2도 참조한다.

[3] 마이클 J. 스틸. "확률 이론 및 조합 최적화". 필라델피아 SIAM(1997년). ISBN 0-89871-380-3.

[4] Michael J. Steele (2011). CBMS Lectures on Probability Theory and Combinatorial Optimization. University of Cambridge.

[5] Lindenstrauss, Elon; Weiss, Benjamin (2000). "Mean topological dimension". Israel Journal of Mathematics. 115 (1): 1–24. CiteSeerX 10.1.1.30.3552. doi:10.1007/BF02810577. ISSN 0021-2172. 정리 6.1

[6] Ornstein, Donald S.; Weiss, Benjamin (1987). "Entropy and isomorphism theorems for actions of amenable groups". Journal d'Analyse Mathématique. 48 (1): 1–141. doi:10.1007/BF02790325. ISSN 0021-7670.

[7] Gromov, Misha (1999). "Topological Invariants of Dynamical Systems and Spaces of Holomorphic Maps: I". Mathematical Physics, Analysis and Geometry. 2 (4): 323–415. doi:10.1023/A:1009841100168. ISSN 1385-0172.

[8] Ceccherini-Silberstein, Tullio; Krieger, Fabrice; Coornaert, Michel (2014). "An analogue of Fekete's lemma for subadditive functions on cancellative amenable semigroups". J. Anal. Math. 124: 59–81. arXiv:1209.6179. doi:10.1007/s11854-014-0027-4. 정리 1.1

[9] 힐 1948년, 정리 6.6.1 (측정가능성은 6.2장 "필리민관"에 규정되어 있다.)

[10] Schechter, Eric (1997). Handbook of Analysis and its Foundations. San Diego: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4., 페이지 314,12.25

[Rau-Bredow-11] Rau-Bredow, H. (2019). "Bigger Is Not Always Safer: A Critical Analysis of the Subadditivity Assumption for Coherent Risk Measures". Risks. 7 (3): 91. doi:10.3390/risks7030091.

[shur-12] Shur, Arseny (2012). "Growth properties of power-free languages". Computer Science Review. 6 (5–6): 187–208. doi:10.1016/j.cosrev.2012.09.001.

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