Gowers norm

수학에서, 첨가 결합학 분야에서, Gowers norm 또는 균일성 규범은 존재하는 구조의 양, 또는 반대로 임의성의 양을 정량화하는 유한 집단이나 집단 유사 물체의 함수에 관한 규범의 한 종류다.^[1]그것들은 집단의 산술 진행에 관한 연구에 사용된다.이들은 티모시 고워스의 이름을 따서 지었는데, 그는 스제메레디의 정리 작업에 그것을 소개했다.^[2]

정의

$f$ $f$ 을(를) 유한 아벨 $그룹$ G $G$ 에 대한 복합 값 함수가 되게 $f$ $G$ $하고$ J {\ $displaystyle$ J $}$ 이(가) 복합적 결합을 나타내도록 $J$ 한다. $Gowers$ d $d$ -norm은 $d$

\Vert f\Vert _{U^{d}(G)}^{2^{d}}=\mathbf {E} _{x,h_{1},\ldots ,h_{d}\in G}\prod _{\omega _{1},\ldots ,\omega _{d}\in \{0,1\}}J^{\omega _{1}+\cdots +\omega _{d}}f\left({x+h_{1}\omega _{1}+\cdots +h_{d}\omega _{d}\i1}\{d}\right)\.

Gowers 규범도 세그먼트 $[N]={0,1,2,...,N-1}$ [ $[N]={0,1,2,...,N-1}$ $[N]={0,1,2,...,N-1}$ = $[N]={0,1,2,...,N-1}$ 1, $[N]={0,1,2,...,N-1}$ , $[N]={0,1,2,...,N-1}$ - 1 ${\$ 에서 정의된다 $[N]={0,1,2,...,N-1}$ 여기서 N은 양의 정수다.In this context, the uniformity norm is given as ${\displaystyle \Vert f\Vert _{U^{d}[N]}=\Vert {\tilde {f}}\Vert _{U^{d}(\mathbb {Z} /{\tilde {N}}\mathbb {Z} )}/\Vert 1_{[N]}\Vert _{U^{d}(\mathbb {Z} /{\tild$ $e {N}}\mathbb {Z} )}}$ , where ${\tilde {N}}$ is a large integer, $1_{[N]}$ denotes the indicator function of [N], and ${\tilde {f}}(x)$ is equal to $f(x)$ for $x\in [N]$ and $0$ $0$ 다른 모든 $x$ 에 $대한$ ${\displaystyle$ 0 $x$ ${\tilde {N}}>2^{d}N$ 정의는 ${\tilde {N}}$ ~ ${\$ 에 의존하지 않으며 ${\tilde {N}}$ N ~ ${\tilde {N}}>2^{d}N$ > ${\tilde {N}}>2^{d}N$ ${\tilde {N}}>2^{d}N$ ${\tilde {N}}>2^{d}N$ ${\tilde{N}}2^{d}N$ 만큼 ${\tilde {N}}>2^{d}N$

역추측

이러한 규범에 대한 역추측은 경계함수 f가 큰 Gowers d-norm을 갖는 경우 f가 다항식 d - 1 또는 다항식 행동(예: (d - 1)-단계 nilsequence)과 상관한다고 주장하는 진술이다.정확한 진술은 고려중인 Gowers 규범에 달려있다.

그 InverseConjecture 벡터 공간에 대한 유한 체 F{\displaystyle \mathbb{F}에}어떤δ 을, 0{\displaystyle \delta>0}지속적인 c의 존재하고;어떤 유한 차원의. 벡터 공간을 F0개 이상의{\displaystyle c>0}가 V{\displaystyle \mathbb{F}}과 어떤 complex-val하다.ued 기능 $f$ on $V$ , bounded by 1, such that $\Vert f\Vert _{U^{d}[V]}\geq \delta$ , there exists a polynomial sequence $P\colon V\to \mathbb {R} /\mathbb {Z}$ such that

\왼쪽 {\frac {1}{V }}\sum _{x\in V}f(x)e\left(-P(x)\오른쪽)\geq c,

여기서 $e(x):=e^{2\pi ix}$ $e(x):=e^{2\pi ix}$ ) $e(x):=e^{2\pi ix}$ $e(x):=e^{2\pi ix}$ $e(x):=e^{2\pi ix}$ $e(x):=e^{2\pi ix}$ $e(x):=e^{2\pi ix}$ x ${\$ $=e^{2\pi ix$ 이 추측이 베르겔슨, 타오, 지글러에 의해 사실로 증명되었다.^[3]^[4]^[5]

그 InverseConjecture Gowers U에 d({\displaystyle U^{d}[N]}규범며는;0{\displaystyle \delta>0},(d− 1)-step nilmanifolds Mδ{\displaystyle{{M\mathcal}}_{\delta}유한한 컬렉션}어떤δ하고 상수 cC{\displaystyle c,C}발견될 수 있어서, 그 다음.진실의If $N$ is a positive integer and $f\colon [N]\to \mathbb {C}$ is bounded in absolute value by 1 and $\Vert f\Vert _{U^{d}[N]}\geq \delta$ , then there exists a nilmanifold ${\displaystyle G/\Gamma \in {\mathca$ $l {M}}_{\delta }}$ and a nilsequence $F(g^{n}x)$ where $g\in G,\ x\in G/\Gamma$ and $F\colon G/\Gamma \to \mathbb {C}$ bounded by 1 in absolute value and with Lipschitz constant bounded by $C$ such that: