LB-공간

수학에서 LB-공간(LB)-공간은 위상 벡터 $공간{\displaystyle }$ X ${\displaystyle$ X$}$이며, 이는$$ 바나흐 공간의 카운트 가능한 유도 시스템$({\displaystyle {Xn}_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}{\mathrm{in}}_{}}$ m${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle (X_{n}i_{nm})$의 국소적으로 볼록한 유도 한계다.이는 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X}이$($가) 로컬 볼록한 위상 벡터 공간 범주에 있는$$ 직접 시스템$({\displaystyle {Xn}_{}}$, ${\displaystyle {\mathrm{in}}_{}}$ m${\displaystyle {}_{}}$) ${\$의 직접 한계임을 의미하며, 각 ${\displaystyle {Xn}_{}}$ {\$displaystyty X_{$n$$}은 바나흐 공간이다.

각각의 본딩 맵 ${\displaystyle {in}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$ ${\$이 TVs가 내장된 경우$$ LB-공간은 엄격한 LB-공간이라고 불린다.이것은 n는 위상 Xn{\displaystyle X_{n}에}X에 의해 야기되는+1{\displaystyle X_{n+1}}Xn.{\displaystyle X_{n}에 있는 원본 토폴로지에는 동일한 것을 뜻한다.}[1]어떤 저자들(예를 들어 Schaefer)"LB-space"때 수학적 문학을 읽는 그렇게"엄격한 LB-space,"의미하기 위해서 용어 정의 것은 위원회가 추천하기 위해서는o 항상 LB-공간이 어떻게 정의되는지 확인한다.

정의

$X{\displaystyle }$$$ ${\displaystyle X}$의 토폴로지는 ${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle {볼록}_{}}$ 부분 $집합{\displaystyle }$ U$${\$displaystyle$ $U}$이(가) X$$ $n$ ${\$ $U\cap$ $X_$${$n$}$의 절대 $볼록{\displaystyle \mathrm{}}$ 영역인 경우에만 0 ${\displaystystyle$ 0}의$영역임$을 지정하여$$ 설명할 수 있다$$.매 $n{\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ n$.}$마다${n}$

특성.

엄격한 LB-공간은 완전하고,^[2] 금지되며,^[2] 선천적이다^[2](따라서 울트라본학).

예

$D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$이(가) 무한대에서 카운트할 수 있는 로컬 컴팩트 위상학적 공간(즉, 콤팩트 서브스페이스의 카운트 가능한 결합과 동일)인 경우, 콤팩트 지원을 받는$$ $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$의 모든 연속적이고 복잡한 값 함수 $중{\displaystyle {}_{}}$ 공간$$ C$D)$은 엄격한 LB-공간이다.^[3]모든 콤팩트 $서브셋{\displaystyle }$ K${\displaystyle d}$D , ${\displaystyle$ K$\subseteq$ D$,}$의 경우, $C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}K}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle C_{c}(K)$는 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$이(가) 지원하는$$ 복합 값 함수의 Banach 공간을 나타내며$$, $D{\displaystyle }$ ${\displaysty D}$의 컴팩트 하위 집합 패밀을 포함하여$$ 정렬한다.^[3]

유한차원 유클리드 공간의 직접적 한계에 관한 최종 위상

내버려두다

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\mathbb {R} ^{\infty }~&:=~\left\{\left(x_{1},x_{2},\ldots \right)\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }~:~{\text{ all but finitely many }}x_{i}{\text{ are equal to 0 }}\right\},\end{alignedat}}}$

유한 시퀀스의 공간을 나타내며, $여기$서 R ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$은 모든 실제 시퀀스의 공간을 나타낸다.For every natural number ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ let ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ denote the usual Euclidean space endowed with the Euclidean topology and let ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{\in$$fty }}$은$($${\displaystyle {In{\mathbb{}}^{}}_{}}$ R ${\displaystyle {{}^{}}_{}}$ ${\displaystyle ,{x\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$… , ${\displaystyle {}_{}{n}_{}}$ ) ${\displaystyle :=(}$ ${\displaystyle x{}_{}{1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}{n}_{}}$ , ${\displaystyle 0}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$) ${\$$=\left(x_{$1},\$ldots ,x_{n},0,$0,\$ldots \right)}$을(를) 클릭하여 해당 이미지를 표시하십시오.

${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)=\left\{\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right)~:~x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} \right\}=\mathbb {R} ^{n}\times \left\{(0,0,\ldots )\right\}}$

그리고 결과적으로,

${\displaystyle \mathb {R} ^{\infit }=\bigcup _{n\in \mathb {N}\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathb {R} ^{n}\rig}\right)}$

Endow the set ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ with the final topology ${\displaystyle \tau ^{\infty }}$ induced by the family ${\displaystyle {\mathcal {F}}:=\left\{\;\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}~:~n\in \mathbb {N} \;\right\}}$ of all canonical 포함이 위상과 함께 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$은(는) Frechet-Uryson 공간이 아닌 로컬로 볼록한 순차 위상 벡터 공간이 된다$$.The topology ${\displaystyle \tau ^{\infty }}$ is strictly finer than the subspace topology induced on ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ by ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} },}$ where ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ is endowed with its usual product 위상Endow the image ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$ with the final topology induced on it by the bijection ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}:\mathbb {R} ^{n}\to \operatorname$${Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right);}$ that is, it is endowed with the Euclidean topology transferred to it from ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ via ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}.$$}$ This topology on ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$ is equal to the subspace topology induced on it by ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right).$$}$ A subset ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{\infty }}$ is open (resp. closed) in ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right)}$ if and only if for every ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ the set ${\displays$$tyle S\cap \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$ is an open (resp. closed) subset of ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right).$$}$ The topology ${\displaystyle \tau ^{\infty }}$ is coherent with family of subspaces ${\displaystyle \mathbb {S} :=\left\{\;\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)~:~n\in \mathbb {N} \;\right\}.}$$$ 이렇게${\displaystyle }$하면 (${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$, )${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ )$${\$displaystyle \left(\mathb {R} ^{\inflt },\tau$^{\$infult }\right)}$이(가) LB-space로 만들어진다$$.Consequently, if ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{\infty }}$ and ${\displaystyle v_{\bullet }}$ is a sequence in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ then ${\displaystyle v_{\bullet }\to v}$ in ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\t$$au ^{\infty }\right)}$ if and only if there exists some ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ such that both ${\displaystyle v}$ and ${\displaystyle v_{\bullet }}$ are contained in ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$ and ${\displaystyle v_{}}$${\displaystyle {}_{}}$ → ${\displaystyle \mathrm{Im}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle ({In{\mathbb{}}^{}}_{}}$ R ${\displaystyle {{}^{}}_{}}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle \operatorname${$Im}$$\left(\operatorname {In} _{\mathb {R} ^{n}\right)$에 v$}$ {\$displaystysty$ \operatorname}.$}$

Often, for every ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ the canonical inclusion ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}}$ is used to identify ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ with its image ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {I$$n} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$ in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty };}$ explicitly, the elements ${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{n}}$ and ${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,0,\ldots$$\right)}$을(를) 함께 식별한다$$.Under this identification, ${\displaystyle \left(\left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right),\left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }\right)}$ becomes a direct limit of the direct system ${\displaystyle ({\left({\mathbb{R}}^n\right)}_{n\in \mathbb{N}},{({}_{}^{}}_{}}$${\displaystyle \left(\left(\mathbb {R} ^{n}\right)_{n\in \mathbb {N} },\left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{m}}^{\mathbb {R} ^{n}}\right)_{m\leq n{\text{ in }}\mathbb {N} },\mathbb {N} \right),}$ where for every ${\displaystyle m\leq n,}$ the map ${\displaystyle {\mathrm{In}}_{{\mathbb{R}}^m}^{}}$${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{m}}^{\mathbb {R} ^{n}}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$ is the canonical inclusion defined by ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {$$R} ^{m}^{{m}^{\mathb {R}^{n}}\{n}\왼쪽(x_{1},\ldots,x_{m}\right):$$=\좌측(x_{1},\ldots,x_{m},0,\ldots,0\오른쪽)$이며, $여기$서 n${\displaystyle }$- ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n-m}$ 후행$$ 0이 있다.

반대 예시

강한 비데올로기가 아닌 선천적 LB-공간이 존재한다.^[4]준완전하지 않은 LB-공간이 존재한다.^[4]

참고 항목

• DF-공간
• 직접 한계 – 범주 이론에서 콜리밋의 특별한 경우
• 최종 위상 – 일부 기능을 연속적으로 만드는 가장 우수한 위상
• F-공간 – 완전한 변환 변이성 메트릭을 갖는 위상 벡터 공간
• LF-공간

인용구

참조

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