극과 극

수학에서 부분 순서가 지정된 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ P$}$의 $부분{\displaystyle }$ 집합 S$${\$displaystyle$ S$}$의 최소값(약칭 inf; 복수 infima)은 그러한 요소가 존재한다면$$ $S{\displaystyle }$, ${\displaystyle S}$의 모든 요소보다 작거나 같은$$ $P{\displaystyle }$ ${\displaystystyle P}$에서 가장 큰 요소다.^[1] 따라서 최대 하한(약칭 GLB)이라는 용어도 일반적으로 사용된다.^[1]

부분 순서가 지정된 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$의 부분 $집합{\displaystyle }$ S ${\displaystyle S}$의 우월성(약칭 supp; 복수 우월성)은 그러한 요소가 존재할 경우$$ $S{\displaystyle }$, ${\displaystyle S}$의 모든 요소보다 크거나 같은$$ $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ P$}$의 최소 요소다.^[1] 결과적으로, 우월성을 최소 상한(또는 LUB)이라고도 한다.^[1]

최소치는 정밀하게 말하면 우월주의 개념과 이중적이다. 실수의 인피마와 우월성은 분석에서, 특히 르베그 통합에서 중요한 일반적인 특수 사례다. 그러나 일반적 정의는 임의의 부분 순서 집합을 고려하는 보다 추상적인 순서 이론의 설정에서 유효하다.

최소와 우월성의 개념은 최소와 최대와 유사하지만, 최소나 최대가 없을 수 있는 특수 세트를 더 잘 특성화하기 때문에 분석에 더 유용하다. 예를 들어, $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$+$$${\$ $\$$mathb {R} ^+}($$0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\$$displaystyle$ $0$$}$ 포함 안 함$)$의 어떤 주어진 요소가 단순히 절반으로 분할되어${\displaystyle {}^{}}R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ +${\displaystyle {}^{}}$. .$${$di$$}$에 남아 있는 더 작은 숫자가 될 수 있기$$ 때문에 양의 실수 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$+ {\$mathb$ {R}{}{+}}의 집합은 최소값이 없다.그러나 $splaystyle \mathb {R} ^{+}}$ 양수 실수의 최소치인 $0{\displaystyle \mathrm{},}$ ${\displaystyle 0}$이(가) 정확히 하나 있는데$$, 이는$$ 모든 양의 실수보다 작고 하한으로 사용될 수 있는 다른 실수보다 큰 것이다.

형식 정의

부분 순서가 $지정$된${\displaystyle \mathrm{집합}(}$P ,$≤$)의$$ $하위$ 집합 S {\$displaystyle$S$}$의 하한은 $다음$과 같은$$ P {\$displaystyle$ P}의 $요소{\displaystyle }$a {\$displaystyle$$$a$}$이다.

• ${\displaystyle }$$모든$ $x{\displaystyle x}$에 대한$$ ${\displaystyle \le }$ x ${\displaystyle a$$leq x$$}$

$S{\displaystyle }$$$ ${\displaystyle S}$의 하한 $a{\displaystyle }$ ${\displaystyle a}$을(를) $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 최소값(또는 최대 하한값 또는 충족)이라고 한다$$.

• $P{\displaystyle }$, ${\displaystyle P,}$ $y$${\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$의 S ${\$displaystyle $y$$}$ 모든 하한 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ a}에 대해($$ ${\displaystyle a}$은 다른 하한보다 크거나 같음).

마찬가지로 $부분적$으로 순서가 지정된 집합$({\displaystyle P}$,$$)의$$부분 $집합$ S {\$displaystyle S$}의$$상한은 다음과 같은 $P{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $P}$의 요소$$$$ b ${\$$displaystyle$ $b$$}$이다$.$

• ${\displaystyle }$$b$${\displaystyle }$모든 ${\displaystyle x}$에 대한${\displaystyle }$${\displaystyle \mathrm{for}}$ x ${\displaystyle b$ $x$$}$

$S{\displaystyle }$$$ ${\displaystyle S}$의 상한 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$을(를) $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ S}의 $우월($또는 최소 상한 또는 결합)이라고 한다$$.

• ${\displaystyle P}$${\displaystyle }$, ${\displaystyle P,}$ $z$${\displaystyle }$$$${\displaystyle \ge }$ b ${\displaystyle z\geq$ b$}($${\displaystyle }$ ${\\displaystyle b}$은($$는$$) 다른 $상한$보다 작거나 같음)의 S {\$displaystystyle S}$의$$모든 상한 z {\$displaystystystyle z}$에 대해

존재와 고유성

인피마와 우월성이 반드시 존재하는 것은 아니다. $P{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $P}$의 하위 집합 S {\displaystyle S}이(가) 하한이 전혀 없거나$$ 하한 집합에 가장 큰 요소가 포함되어 있지 않은 경우 최소 $S{\displaystyle }${\$displaystyle$ $S}$의 존재는 실패할 수 있다$$. 그러나, 만약 최소나 우월성이 존재한다면, 그것은 독특하다.

따라서 특정 인피마가 존재하는 것으로 알려진 부분 순서 집합이 특히 흥미로워진다. 예를 들어 격자는 비어 있지 않은 모든 유한 부분 집합이 우월성과 최소값을 모두 갖는 부분 순서 집합이며, 완전한 격자는 모든 부분 집합이 우월성과 최소값을 모두 갖는 부분 순서 집합이다. 이러한 고려사항에서 발생하는 부분 순서 집합의 다양한 클래스에 대한 자세한 내용은 완전성 속성에 대한 기사를 참조하십시오.

부분 집합 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 우월성이 존재한다면$$ 그것은 독특하다. $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$이(가) 가장 큰 요소를 포함하는$$ 경우 해당 요소가 우월함이고, $그렇지{\displaystyle }$ 않으면 S ${\displaystyle S}($또는 존재하지 않음)에 속하지 않는다.$$ 마찬가지로, 최소치가 존재한다면, 그것은 독특하다. $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$이(가) 최소 요소를 포함하는$$ 경우 해당 요소가 최소값이고, 그렇지 않으면 $최소값$이 S ${\displaystyle S}($또는 존재하지 않음)에 속하지 않는다.$$

최대 및 최소 요소와의 관계

부분$$ 순서가 정해진 $P{\displaystyle }$, ${\displaystyle P}$의 부분 $집합{\displaystyle }$ S ${\displaystyle S}$의 최소값도 $반드시{\displaystyle }$ S${\displaystyle }$. ${\displaystyle$ $S$$}$에 속하지는 않는다. 만일$$ 그렇다면 $S{\displaystyle }$ .${\displaystyle$ S$}$의 최소 또는 최소 요소도 $마찬가지$로 $S{\displaystyle }$ ${\displaystystystyle S$${\displaystyle \}}$에 속한다$$.$최대$ 또는 최대 S. {\$displaystyle$ S$.}$

예를 들어, 음수 실수 집합(0은 제외)을 고려하십시오. 이 집합에는 가장 큰 요소가 없다. 집합의 모든 요소에는 더 큰 다른 요소가 있기 때문이다. 예를 들어, 음수 실수 $x{\displaystyle }$, ${\displaystyle$ x$,}$의 경우 더 큰$$ 음수 실수 $x{\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$,${\displaystyle {\tfrac$ {$x}{2}},}$이(가) 있다. 반면에, 0보다 크거나 같은 모든 실제 숫자는 확실히 이 집합의 상한이다. 따라서 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 0}$은(는) 음수 실수의 최소 상한이므로$$ 우월성은 0이다. 이 세트에는 우월감이 있지만 가장 큰 요소는 없다.

그러나 최대와 최소 원소의 정의는 더 일반적이다. 특히, 한 세트는 많은 최대적이고 최소한의 요소들을 가질 수 있는 반면, 인피마와 슈프리마는 독특하다.

maxima와 minima는 고려 중인 하위 집합의 구성원이어야 하는 반면에, 하위 집합의 최소와 우월성은 하위 집합 자체의 구성원이 될 필요가 없다.

최소 상한

마지막으로, 부분적으로 정렬된 집합은 최소 상한 없이 많은 최소 상한을 가질 수 있다. 최소 상한은 상한이기도 한 엄격히 작은 요소가 없는 상한이다. 이것은 각각의 최소 상한선이 다른 모든 상한보다 작다고 말하는 것이 아니라 단지 더 크지 않다. "최소"와 "최소"의 구분은 주어진 순서가 전체 순서가 아닐 때에만 가능하다. 실제 숫자와 같이 완전히 순서가 정해진 세트에서, 개념은 같다.

예를 들어, $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$을(를) 자연수의 모든 유한 부분 집합으로 하고$$ $정수{\displaystyle \mathbb{}}$ Z ${\$과(와)${\displaystyle {}^{}}양$의${\displaystyle {}^{}}$실수 R$$+ , {\$displaysty \mathb$의 $집합$과 함께$$S {\\$displaystystyle S}$의 모든 집합을 취함으로써 얻은 부분 순서 집합을 고려한다.$b {R} ^{+}}$은(는) 위와 같이 부분집합에 의해 정렬됨$$. 그렇다면 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ {$Z}$과(와$$) $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$+ ${\$ 둘 다 모든 유한한 자연수 집합보다 클 것이 분명하다$$. 그러나 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$+ ${\$$displaystyle \mathb$$${$R}$$^{+}}$보다 작거나$$ 반대로 true도 아니다$.$ 두 집합 모두 최소 상한이지만 상위 집합은 없다.

최소 상한 속성

최소 상한 속성은 앞서 언급한 완전성 속성의 예로서 실수의 집합에 전형적이다. 이 성질을 데데킨드 완전성이라고 부르기도 한다.

순서 집합 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$이(가) 상한$$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 모든 비어 있지 않은 부분 집합이 최소 상한도 갖는 속성을 가지고$$ 있는 경우$,$ S {\$displaystyle$ S$}$이(가) 최소 상한 값을 갖는다고 한다$$. 위에서 언급한 바와 같이, 모든 실수의 $집합$ R$${\$displaystyle \mathb {R}$은(는) 최소 상한 속성을 갖는다. 마찬가지로, $정수$의 Z$${\$displaystyle \mathb {Z}$ 집합은 최소 상한 속성을 가지고 $있다{\displaystyle }$. $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S$}이(가) Z$${\$displaystyle \mathb {Z}$의 비어 있지 않은 부분 집합이고$,$ S {\$displaystystyle S}$의 모든$$ $요소{\displaystyle }$ ${\\displaystystystytype$s}이$$ 더$$ 적은 숫자 n$}$이(으)가 있다$.$ $,$ {\$displaystyle n,}$보다 크거나 같은 경우 $S{\displaystyle ,}$ ${\$$displaystyle S$$}$에 대한 상한 $u {\displaystyle$ S}에$$ 대한 상한이고 $S{\displaystyle .}$ ${\displaystyle S}$에 대한 다른 모든 상한보다 작거나 같은 정수$$ {\displaystyled 집합도 최소 상한 p를 가진다.로퍼티, 그리고 빈 부분집합도 최소 상한, 즉 전체 집합의 최소값을 가진다.

최소 상한 속성이 없는 집합의 예로는 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$, ${\displaystyle \mathb {Q}이($가) 합리적 숫자 집합이다$$. q가 q2<{\displaystyle q}모든 합리적인 숫자;2S{S\displaystyle}세트.{\displaystyle q^{2}<2자.}그리고 S{S\displaystyle} 없지만 적어도 위 Q에{\mathbb{\displaystyle 향한 위 마련(1000,{1000,}\displaystyle 예를 들어, 그리고 6{\displaystyle 6})을 가지고 있다.$Q} }}$: p${\displaystyle p\mathbb{}}$ Q ${\$ \$mathb${$Q$$}}이($가$)$ 최소 상한이라고$$ 가정할 경우, 두 $개$의 reals $x{\displaystyle }$$${\$displaystyle$ $x$$}$ 및 $y{\displaystyle }$ ${\displaystysty$ $y$$\}$ $$$사이$에 일부 $합리적$인 r이 존재하므로 모순이 즉시 추론된다${\displaystyle .}$${\displaystyle r,}$ 그 자체는$$ 최소 상한이어야 한다(> 2 ${\$p$}$보다 큰 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $S}$의 멤버(< ${\$2}). 또 다른 예로는 초회전이 있다; 긍정적인 인피니티멀 집합의 최소 상한은 없다.

그에 상응하는 최대 하한 속성이 있다. 순서 집합은 최소 상한 속성이 있는 경우에만 최대 하한 속성을 소유한다. 집합의 하한 집합의 하한 집합은 최대 하한 값이며, 집합의 상한 값 집합의 최대 하한 값은 최소 상한 값이다.세트 바운드.

부분 순서 집합 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$에서 모든$$ 경계 부분 집합에 우월성이 있는 경우, 이는 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$에서 P${\displaystyle }$, ${\displaystyle P}$까지의 모든 기능을 포함하는 기능 공간의 모든 $집합$ X${\displaystyle }$, ${\displaystyle X}$에 대해서도 적용된다. 여기서$$ $f{\displaystyle }$${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystystyleq g}$은 (${\displaystyle x)}$인 경우에만 적용된다.예${\displaystyle :}$ 모든$$ x${\displaystyle x}$ $X{\displaystyle }$${\displaystyle }$. ${\displaystyle$ x$\in X.}$에 대한 ${\displaystyle$ x\$in$.}에 대한$${\$displaystyle$ g$(x$$$$)}.$

가장 위쪽으로 향하는 부동산은 우월주의자들의 지표다.

인피마와 실수의 우월성

분석에서 하위 집합 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 인피마와 우월성이 특히 중요하다. 예를 들어, 음의 실수는 가장 큰 요소를 가지고 있지 않으며, 그 우월성은 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$ 0$}($음의 실수는 아니다)이다.^[1] 실제 숫자의 완전성은 경계된 비빈 부분 집합 $[\displaystyle$ S$]$가 최소값과$$ 우월성을 가지고 있음을 암시한다(그리고 동등하다). $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$이(가) 아래 경계가 없으면$$ 정식으로 ${\displaystyle \underset{}{inf}}$ S${\displaystyle }$= -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$. ${\displaystyle \inf _{}S=-\ft .}$ $S{\displaystyle }$ ${\displaysty S}$이(가) 비어 있으면$$$$ ${\displaystyle \underset{}{inf}}$ ${\displaystyle \underset{}{S}}$= +${\displaystyle \mathrm{\infty }}$. ${\displaystysty \inf _}$을 쓰는 경우가 많다.

특성.

다음 공식은 집합에서 산술 연산을 편리하게 일반화하는 표기법에 따라 달라진다. $A{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle R\mathbb{},}$ ${\displaystyle A,B\subseteq \mathb {R},}$ 및$$ 스칼라 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$. ${\displaystyle r\$in \$mathb {R}.}$을(를) 정의하십시오.

• ${\displaystyle }$${\displaystyle Supp}$ ${\displaystyle A\inf }$ inf A$,$ {\$displaystyle \neq \$$varnote \$$inf A,}$ 및$$$$ 기타 -= < > infinf = \$display$ style -$\inft$=$\barnothing.$
• ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle A}$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle a}$ :${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle rA=\{r\cdot$ a$:a\in A$ 세트의 스칼라 제품은 세트의 모든 원소에 곱한 스칼라일 뿐이다.
• ${\displaystyle A}$+ ${\displaystyle B}$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle a}$+ b${\displaystyle }$: ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle B\}}$ ${\displaystyle$ A+$B=\{a+b:a:a\in$ A$,b\$in B\}}}$$; 민코스키 합이라고 하는 2 세트의 산술 합은 각 집합에서 하나씩 가능한 모든 수의 쌍의 합이다.
• ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle B}$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \cdot }$ b${\displaystyle }$: ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle$ A$\cdot$ B$=\{a\cdot b:a\in$ A$,b\in$ B$\backslash \}\}\}$의 산술 곱은 원소 쌍의 모든 곱으로, 각 세트마다 하나씩이다.
• If ${\displaystyle \varnothing \neq S\subseteq \mathbb {R} }$ then there exists a sequence ${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ in ${\displaystyle S}$ such that ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=\sup S.}$ Similarly, there will exist a (possibly different) sequence ${\displaystyle s_{\bullet }}$ in ${\displaystyle S}$ such that ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=\inf S.}$ Consequently, if the limit ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=\sup S}$ $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle R}$→ X ${\displaystyle$ f$:\mathb {R}\to$ X$}$이(가) 연속 함수라면$$ $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle \mathrm{Sup}}$ S${\displaystyle }$) ${\$은 반드시 $f{\displaystyle }$( S${\displaystyle }$)${\displaystyle }$. ${\displaysty f(S$)의 일관성 있는 지점이다$.$$}$

세트 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ $및$ B$${\$displaystyle B}$의 infima와 suprema가 존재하는$$ 경우, 다음과 같은 정체성이 유지된다.

• ${\displaystyle p=\inf A}$ if and only ${\displaystyle p}$ is a lower bound and for every ${\displaystyle \epsilon >0}$ there is an ${\displaystyle a_{\epsilon }\in A}$ with ${\displaystyle a_{\epsilon }<p+\epsilon .}$
• ${\displaystyle p=\sup A}$ if and only ${\displaystyle p}$ is an upper bound and if for every ${\displaystyle \epsilon >0}$ there is an ${\displaystyle a_{\epsilon }\in A}$ with ${\displaystyle a_{\epsilon }>p-\epsilon }$
• $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\subseteq$ B$}$을(를$)$ ${\displaystyle 입력}$한 다음 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle inf}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \inf B}$ 및$$ ${\displaystyle Supp}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Supp}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle \sup$B.$}$

• > 0 ${\$$displaystyle$ $r>0}$이면 ${\displaystyle inf}$ (${\displaystyle r}$⋅ A${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle r}$( ${\displaystyle \inf }$ A )${\$ A$)=r$$\$${\displaystyle inf}$ A$\right}$ 및 ${\displaystyle sup}$ (${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle A}$)${\displaystyle }$= ${\displaystystystyley \sup (\$cdown$A)=r.$$}$
• If ${\displaystyle r\leq 0}$ then ${\displaystyle \inf(r\cdot A)=r\left(\sup A\right)}$ and ${\displaystyle \sup(r\cdot A)=r\left(\inf A\right).$$}$
• ${\displaystyle \inf(A+B)=\left(\inf A\right)+\left(\inf B\right)}$ and ${\displaystyle \sup(A+B)=\left(\sup A\right)+\left(\sup B\right).$$}$
• If ${\displaystyle A}$ and ${\displaystyle B}$ are nonempty sets of positive real numbers then ${\displaystyle \inf(A\cdot B)=\left(\inf A\right)\cdot \left(\inf B\right)}$ and similarly for suprema ${\displaystyle \sup(A\cdot B)$$=\좌(\supp A\우)\cdot \좌(\supp B\우)$$}$^[3]
• If ${\displaystyle S\subseteq (0,\infty )}$ is non-empty and if ${\displaystyle {\frac {1}{S}}:=\left\{{\frac {1}{s}}:s\in S\right\},}$ then ${\displaystyle {\frac {1}{\sup _{}$$S}=\inf _{}{\frac{1}{S}$ 여기서도$$ ${\displaystyle \underset{}{supp}}$ =${{\displaystyle \sup _{}S=\inflt }$ 정의 $1{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{\infty }}{}}$ :${\displaystystyle {\1}{\frac}:0}$이 사용되는 경우$$$$ 이 방정식이 유지된다.^{[note 1]} 이 동등성은 $1{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{\displaystyle \underset{}{}}}{}}$ S${\displaystyle \frac{}{}}$= ${\displaystyle \underset{}{inf}}$ s${\displaystyle \underset{}{}\frac{\mathrm{}}{}}$ S ${\displaystyle \frac{1}{}}$ s .${\displaystyle {$1}{\$frac{1}{\displaystyle \sup _{s\s\in S}}=\inf _{s\$in S$}{\frac$ {1$}{s}}$로 대신 기록될 수 있다.$}$ Moreover, ${\displaystyle \inf _{}S=0}$ if and only if ${\displaystyle \sup _{}{\frac {1}{S}}=\infty ,}$ where if^{[note 1]} ${\displaystyle \inf _{}S>0,}$ then ${\displaystyle {\frac {1}{\inf _{}$$S}}=\sup _{}{\frac {1}{S}}.$$}$

이중성

$P{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{op}}^{}}$ ${\$ P$^{\operatorname {op}}}}}$을(를) 나타내는 경우, 모든 x ${\displaystyle \text{및}}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle$ x${\text{}, }y$}와(를) 비교하여$$ 부분 순서가 지정된 $집합$ P ${\displaystyle$ $p$$}$을(를)로 나타내는 경우 다음을$$ 선언하십시오$.$

그런 다음 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$에서 부분 $집합{\displaystyle }$ S ${\displaystyle S}$의 최소값은 $P{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{op}}^{}}$ ${\$ P$^{\op}}}}$에서 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 우월성과 같으며$$ 그 반대의$$ 경우도 마찬가지다.

실제 숫자의 하위 집합의 경우, 다른 종류의 이중성이 유지된다: ${\displaystyle \inf }$S =${\displaystyle }$- ${\displaystyle sup}$( -${\displaystyle S}$ )${\displaystyle }$, ${\displaystyle \inf$ S$=-\sup(-S),$ ${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 $-{\displaystyle }$ S :${\displaystyle }${ -${\displaystyle }$s : { - ${\displaystyle s}$ : ${\displaystyle \text{s}}$ :${\displaystyle }$: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \}}$. ${\displaystyle -S:=\-s$ ~$s\}.$$}$

예

인피마

• $숫자$ 집합${\displaystyle }${ 2,${\displaystyle 3}$,${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{2,3,4\}}$ ${\displaystyle 2.}$ 숫자$$ $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 1.}$은 하한이지만$$ 최대 하한은 아니므로 최소값은 아니다.
• 보다 일반적으로 세트에 가장 작은 요소가 있으면 가장 작은 요소가 세트에 대한 최소값이다. 이 경우 세트의 최소값이라고도 한다.
• ${\displaystyle \inf\{1,2,3,\ldots \}=1.}$
• $\displaystyle \inf\{x\in \mathb {R} :0<x<1\}=0.}$
• ${\displaystyle \inf \left\{x\in \mathb {Q} :x^{3}>2\right\}={\sqrt[{3}]{2}.}$
• ${\displaystyle \inf \left\{(-1)^{n}+{\tfrac {1}{n}:n=1,2,3,\ldots \right\}=-1.}$
• $({\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {n_{}}_{}^{}}$)${\displaystyle {}_{}^{}}$= ${\displaystyle 1_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$n1},{$nfty }}}}$이(가) ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x{}_{}}$$${\$displaystystyle$ x$, {\inf_{n}=x.}}}$을(으)로 하는 감소 순서인 경우

슈프리마

• 숫자 집합$\{{\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{1,2,3$$\}}{\displaystyle 3.}$ 숫자 $4{\displaystyle \mathrm{}}$ {\$displaystyle 4}$는 상한은 $되지만$$$, 최소 상한은 아니므로 우월성은 아니다.
• ${\displaystyle \sup\{x\in \mathb {R} :0<x<1\}=\supp\{x\in \mathb {R} :0\leq x\leq 1\}=1.}$
• ${\displaystyle \sup \left\{(-1)^{n}-{\tfrac {1}{n}:n=1,2,3,\ldots \right\}=1.}$
• $\displaystyle \sup\{a+b:a\in A,b\in B\}=\supp A+\sup B.}$
• ${\displaystyle \sup \left\{x\in \mathb {Q} :x^{2}<2\right\}={\sqrt {2}.}$

마지막 예에서 이성 집합의 우월성은 비이성적이며, 이는 이성 집합이 불완전하다는 것을 의미한다.

이 우월감의 한 가지 기본 속성은

모든 기능 ${\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ 및 $g$ . ${\displaystyle$ g$.}$에 대해

${\displaystyle n\mathbb{}\{\backslash }$$displaystyle$ $\,\displaystyle$ $S}$의 부분 집합 S {\displaystyle$$$\,\mid \}이($가) "divides"를 나타내는$$ 경우$$$,{\displaystyle }$ $S{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ S$.}$의 부분 집합 $S{\displaystyle }$ ${\\displaystystyled$.

The supremum of a subset ${\displaystyle S}$ of ${\displaystyle (P,\subseteq ),}$ where ${\displaystyle P}$ is the power set of some set, is the supremum with respect to ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ (subset) of a subset ${\displaystyle S}$ of ${\displaystyle P}$ is the union of the ele$S{\displaystyle }$. ${\displaystyle S}$의 ments

참고 항목

위키미디어 커먼즈에는 인피미티엄과 우월성과 관련된 미디어가 있다.

• 필수우월성과 필수최소성
• 최대 원소 및 최소 원소 – 원소 ≥(또는 )) 서로 원소
• 최대 및 최소 요소 – ≤(또는 ≥)이 아닌 다른 요소
• 상한 및 하한(최소 한도)
• 상한 및 하한 – 수학 전공 및 부전공

메모들

참조

• Rockafellar, R. Tyrrell; Wets, Roger J.-B. (26 June 2009). Variational Analysis. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 317. Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 9783642024313. OCLC 883392544.

외부 링크

• "Upper and lower bounds", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Breitenbach, Jerome R. & Weisstein, Eric W. "Infimum and supremum". MathWorld.