단위구

수학에서 단위 구는 단순히 주어진 중심을 중심으로 한 반지름의 구이다. 보다 일반적으로는 고정된 중심점으로부터의 거리 1의 점 집합으로, 다른 규범을 "거리"의 일반적인 개념으로 사용할 수 있다. 단위 공은 고정된 중앙점으로부터 1 이하 거리의 닫힌 점 집합이다. 보통 중심은 공간의 기원에 있으므로, 「단위구」나 「단위구」를 말한다. 특별한 경우는 유닛 서클과 유닛 디스크가 있다.

단위 구의 중요성은 번역과 스케일링의 조합에 의해 어떤 구체도 단위 구로 변형될 수 있다는 것이다. 이렇게 하면 일반적으로 구들의 성질을 단위 구에 대한 연구로 줄일 수 있다.

유클리드 공간의 단위 구와 공

n차원의 유클리드 공간에서 (n-1)차원 단위 구는 방정식을 만족하는 모든$$ 점$({\displaystyle {x1\mathrm{}}_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}}$…${\displaystyle }$, x ${\displaystyle n_{}}$ )${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})$의 집합이다.

${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1.}$

n차원 오픈 유닛 볼은 불평등을 만족시키는 모든 포인트의 세트다.

${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}<1,}$

그리고 n차원 폐쇄 유닛 볼은 불평등을 만족시키는 모든 포인트의 집합이다.

${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\leq 1.}$

일반 영역 및 볼륨 공식

단위 구형의 고전적 방정식은 반지름이 1이고 x축, y축 또는 z축이 변경되지 않는 타원형 방정식이다.

${\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}$

n차원 유클리드 공간의 단위 공의 부피와 단위 구의 표면적은 많은 중요한 분석 공식에 나타난다. 우리가 V를_n 나타내는 n차원 단위 공의 부피는 감마함수를 이용하여 표현할 수 있다. 그렇다

${\displaystyle V_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma(1+n/2)}}}={\cHB{case}{\pi^{n/2}}/{(n/2)!}}&\mathrm {if~} n\geq 0\mathrm {~is~even,}\\\\{\pi^{\lllloor n/2\rceil }}}/{n!!}}&\mathrm {if~} n\geq 0\mathrm {~is~mathrm,} \end{case}}}$

where n!! 이중 요인이다.

우리가 A를_n 나타내는 (n-1)차원 단위구(즉, n-차원 단위구경의 "면적")의 하이퍼볼륨은 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle A_{n}=nV_{n}={\frac {n\pi ^{n/2}}{\Gamma(1+n/2)}}}={\frac {2\pi ^{n/2}}{\감마(n/2)}}}$

여기서 마지막 평등은 n > 0에 대해서만 유지된다. 예를 들어 $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1{}_{}}$= 2 ${\displaystyle A_{1}=$2}은$($는) ${\displaystyle 단위\mathbb{}}$ 공 경계${\displaystyle }$[${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 1]}$⊂ R ${\$의 "면적"이며$$, 이는 단순히 두 점을 세는 것이다$.$ 그러면 $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle A_{2}=2\pi }$이(가) 단위 원주의 단위 디스크 경계의 "면적"이$$ 된다. ${\displaystyle A_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle A_{3}=4\pi }$은(는) 단위 공${\displaystyle }${${\displaystyle x{}^{}}$: ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}^{}}$+ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 2${\displaystyle {}_{}^{}}$+ x ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle 1}$ ≤ 1${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{x\in \mathb {R} ^{3$}:x_{$1}^{2}x_{$2}{2}{2}{2}x_{2x_{2}{2}{2}{$2$}{2}}}}{2}{2}}}}{2}의 경계 "{2}}$}^{2}+x_{3$$}^{2}\leq$ 1$\backslash \}\},$ 단위 구면${\displaystyle }${${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}{}^{}}$ : ${\displaystyle {}_{}^{}}$ 2${\displaystyle {}_{}^{}}$+ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$+ x ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 2${\displaystyle {}_{}^{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{x\in \mathb$ {R$} ^{3$}:x_${1}^{2$}+x_${2$}}$}^{2}+x_{3$$}^{2}=1\}}$.

$n{\displaystyle }$ ${\displaystylen}$의 일부 값에 대한 표면적 영역과 볼륨은 다음과$$ 같다.

여기서 n ≥ 2에 대한 소수점 확장 값은 표시된 정밀도로 반올림된다.

재귀

A_n 값은 다음 반복을 만족한다.

${\displaystyle A_{0}=0}$

${\displaystyle A_{1}=2}$

${\displaystyle A_{2}=2\pi }$

${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle {}_{}}$> ${\displaystyle 2\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle {\{\backslash \mathrm{displaystyle}}_{}}$ n > 2 {\$displaystyle A_{n}={\frac {2$\pi$}{n-2$ > 2 {\$displaystyle n>2}$의 경우

V_n 값은 재귀 조건을 만족한다.

${\displaystyle V_{0}=1}$

${\displaystyle V_{1}=2}$

${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$= ${\displaystyle 2\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle V{}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{n}}_{}}$- 2 ${\$}}{n$}V_{n-2}}:$ n> 1 ${\displaystyle n>1$

분수 치수

A와_n V의_n 공식은 임의의 실수 n ≥ 0에 대해 계산할 수 있으며, n이 음이 아닌 정수가 아닐 때 구면이나 볼 볼륨을 구하는 것이 적절한 상황이 있다.

기타 반지름

반경 r이 있는 (n–1)차원 구의 표면적은 A_n r이고ⁿ⁻¹, 반경 r이 있는 n차원 공의 부피는_n V r이다ⁿ. 예를 들어 반지름 r의 3차원 공 표면의 면적은 A = 4㎛ r이다 ². 반경 r의 3차원 볼에 대한 부피는 V = 4㎛ r / 3이다 ³.

표준 벡터 공간의 단위 볼

보다 정확히 말하면, 규범 ‖ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \{}$ { ${\displaystyle \cdot \$\cdot \}이$($가) 있는$$표준 $벡터$ 공간 V {\displaystyle $V$의 오픈 유닛 볼은

${\displaystyle \{x\in V:\ x\ <1\}}$

(V, · )의 닫힌 유닛 볼의 내부:

${\displaystyle \{x\in V:\ x\ \leq 1\}}$

후자는 전자와 그들의 공통 경계인 (V, · )의 단위 영역인 분리 결합이다.

${\displaystyle \{x\in V:\ x\ =1\}$

단위 공의 '모양'은 전적으로 선택된 표준에 의존한다. 단위는 '코너'가 있을 수 있으며, 예를 들어 R의ⁿ 최대 표준의 경우 [-1,1]ⁿ처럼 보일 수 있다. 유클리드 거리의 유한한 치수의 경우에 기초하여 일반적인 힐버트 공간 규범에 관련된 단위 공으로서 자연적으로 둥근 공을 얻는다. 그것의 경계는 보통 단위 구가 의미하는 것이다.

x${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$.${\displaystyle }$. . . ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ )${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$. ${\displaystyle$ x$=(x_{1},...$$x_{n}\in \mathb {R} ^{n}}}$에서 p ≥ 1에 대한 일반적인 norm ${\displaystyle p_{}}$ ${\$ -norm을$$ 다음과 같이 정의하십시오$$.

${\displaystyle \ _{p}=(\sum _{k=1}^{n} x_{k}^{p}^{p}}^{1/p}}}}}}}}$

그러면 $\Vert {\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$\$x\ _{2$}}은 일반적인$$ 힐버트 공간규범이다. ${\displaystyle \Vert }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$\$x\ _{1}}$을 해밍 노먼이라고 부르거나, ${\displaystyle {\ell \mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$-norm이라고$$ 한다$$. 조건 p ≥ 1은 norm ${\displaystyle p_{}}$ ${\$ 규범의$$ 정의에서 필요하며, 규범화된 공간의 단위 공은 삼각 불평등의 결과로 볼록해야 하기 때문이다. $\Vert {\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\Vert \mathrm{}}_{}}$ ${{\$은(는) x의 최대 표준 또는$\ell {\displaystyle {}_{}}$ {\$displaystyle \ell_{\flotty }-$norm을$$ 나타낸다$$.

참고: 2차원 단위 공(n=2)의$$ ${\displaystyle {원곡선}_{}}$C p {\$displaystyle C_{$p}에 대해서는 다음과 같이 한다.

${\displaystyle C_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 2\sqrt{\mathrm{}}}$ ${\$가 최소값이다$$.

${\displaystyle C_{2}=2\pi \,}$

${\displaystyle C_{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 8}$ ${\displaystyle C_{\inflt }=8}$이(가) 최대값이다$$.

일반화

미터법 공간

위의 세 가지 정의는 모두 선택한 기원에 대해 미터법으로 쉽게 일반화할 수 있다. 단, 위상학적 고려사항(내부, 폐쇄, 경계)을 동일한 방식으로 적용할 필요는 없으며(예: 초경량 공간에서는 세 가지 모두 동시에 열려 있는 집합과 닫힌 집합) 일부 메트릭 공간에서는 단위 구가 비어 있을 수도 있다.

2차 형태

V가 실제 2차 형태 F:V → R을 갖는 선형 공간이라면, {p ∈ V : F(p) = 1 }을(를) V의 단위 구면^[1][2] 또는 단위 준 sphere라고 할 수 있다. 예를 들어, ${\displaystyle {2차\mathrm{}}^{}}$ 형태 $x{\displaystyle {}^{}}$ 2 -${\displaystyle {}^{}{y\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ x$^{2}-y^{2$ 1과 같을 때 분할 복합수 평면에서 "단위원"의 역할을 하는 단위 하이퍼볼라를 생성한다. 마찬가지로, 2차 형태² x는 이중 숫자 평면에서 단위 구에 대한 한 쌍의 선을 산출한다.

참고 항목

• 공을 던지다
• 초밥의
• 구면
• 초벌립스
• 유닛 서클
• 단위 디스크
• 단위 구체 묶음
• 단위 정사각형

참고 및 참조

• 말론 M. 일(1958) 표준 선형 공간, 24페이지, 스프링거-버락.
• Deza, E.; Deza, M. (2006), Dictionary of Distances, Elsevier, ISBN 0-444-52087-2. 유럽수학학회 소식지 64(2007년 6월), 페이지 57. 이 책은 여러 종류의 거리 목록으로 구성되어 있으며, 각각 간략한 설명이 있다.

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Unit sphere". MathWorld.