단위구

1-스페어 몇 개.

\|{\boldsymbol {x}}\|_{2}

\|{\boldsymbol {x}}\|_{2}

\|{\boldsymbol {x}}\|_{2}

\|{\boldsymbol {x}}\|_{2}

{\

}}: 이하 제1절에서 논의된 유클리드 공간의 표준이다

\|{\boldsymbol {x}}\|_{2}

.

수학에서 단위 구는 단순히 주어진 중심을 중심으로 한 반지름의 구이다. 보다 일반적으로는 고정된 중심점으로부터의 거리 1의 점 집합으로, 다른 규범을 "거리"의 일반적인 개념으로 사용할 수 있다. 단위 공은 고정된 중앙점으로부터 1 이하 거리의 닫힌 점 집합이다. 보통 중심은 공간의 기원에 있으므로, 「단위구」나 「단위구」를 말한다. 특별한 경우는 유닛 서클과 유닛 디스크가 있다.

단위 구의 중요성은 번역과 스케일링의 조합에 의해 어떤 구체도 단위 구로 변형될 수 있다는 것이다. 이렇게 하면 일반적으로 구들의 성질을 단위 구에 대한 연구로 줄일 수 있다.

유클리드 공간의 단위 구와 공

n차원의 유클리드 공간에서 $(n-1)$ 차원 단위 구는 방정식을 만족하는 모든 $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ 점 $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ , $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ … $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ , x $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ ) ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})$ 의 집합이다.

x_{1}^{2}+x_{2}}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1.

n차원 오픈 유닛 볼은 불평등을 만족시키는 모든 포인트의 세트다.

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}<1,

그리고 n차원 폐쇄 유닛 볼은 불평등을 만족시키는 모든 포인트의 집합이다.

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\leq 1.

일반 영역 및 볼륨 공식

단위 구형의 고전적 방정식은 반지름이 1이고 x축, y축 또는 z축이 변경되지 않는 타원형 방정식이다.

f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}=1

n차원 유클리드 공간의 단위 공의 부피와 단위 구의 표면적은 많은 중요한 분석 공식에 나타난다. 우리가 V를_n 나타내는 n차원 단위 공의 부피는 감마함수를 이용하여 표현할 수 있다. 그렇다

V_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma(1+n/2)}}}={\cHB{case}{\pi^{n/2}}/{(n/2)!}}&\mathrm {if~} n\geq 0\mathrm {~is~even,}\\\\{\pi^{\lllloor n/2\rceil }}}/{n!!}}&\mathrm {if~} n\geq 0\mathrm {~is~mathrm,} \end{case}}

where n!! 이중 요인이다.

우리가 A를_n 나타내는 (n-1)차원 단위구(즉, n-차원 단위구경의 "면적")의 하이퍼볼륨은 다음과 같이 표현할 수 있다.

A_{n}=nV_{n}={\frac {n\pi ^{n/2}}{\Gamma(1+n/2)}}}={\frac {2\pi ^{n/2}}{\감마(n/2)}}

여기서 마지막 평등은 n > 0에 대해서만 유지된다. 예를 들어 $A_{1}=2$ $A_{1}=2$ = 2 ${\displaystyle A_{1}=$ 2}은 $($ 는) $[-1,1]\subset \mathbb {R}$ 공 경계 $[-1,1]\subset \mathbb {R}$ [ $[-1,1]\subset \mathbb {R}$ - $[-1,1]\subset \mathbb {R}$ , $[-1,1]\subset \mathbb {R}$ ⊂ R ${\$ 의 "면적"이며 $A_{1}=2$ , 이는 단순히 두 점을 세는 것이다 $[-1,1]\subset \mathbb {R}$ 그러면 $A_{2}=2\pi$ $A_{2}=2\pi$ = $A_{2}=2\pi$ $A_{2}=2\pi$ $A_{2}=2\pi$ 이(가) 단위 원주의 단위 디스크 경계의 "면적"이 $A_{2}=2\pi$ 된다. $A_{3}=4\pi$ $A_{3}=4\pi$ = $A_{3}=4\pi$ $A_{3}=4\pi$ $A_{3}=4\pi$ 은 $A_{3}=4\pi$ (는) 단위 공 $\{x\in \mathbb {R} ^{3}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\leq 1\}$ { $\{x\in \mathbb {R} ^{3}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\leq 1\}$ : $\{x\in \mathbb {R} ^{3}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\leq 1\}$ $\{x\in \mathbb {R} ^{3}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\leq 1\}$ $\{x\in \mathbb {R} ^{3}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\leq 1\}$ + $\{x\in \mathbb {R} ^{3}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\leq 1\}$ 2 $\{x\in \mathbb {R} ^{3}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\leq 1\}$ + x $\{x\in \mathbb {R} ^{3}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\leq 1\}$ $\{x\in \mathbb {R} ^{3}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\leq 1\}$ $\{x\in \mathbb {R} ^{3}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\leq 1\}$ ≤ 1 $\{x\in \mathbb {R} ^{3}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\leq 1\}$ ${\displaystyle \{x\in \mathb {R} ^{3$ }:x_{ $1}^{2}x_{$ 2}{2}{2}{2}x_{2x_{2}{2}{2}{ $2$ }{2}}}}{2}{2}}}}{2}의 경계 "{2}} $}^{2}+x_{3$ $}^{2}\leq$ 1 $\{x\in \mathbb {R} ^{3}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\leq 1\}$ 단위 구면 $\{x\in \mathbb {R} ^{3}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1\}$ { $\{x\in \mathbb {R} ^{3}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1\}$ : $\{x\in \mathbb {R} ^{3}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1\}$ 2 $\{x\in \mathbb {R} ^{3}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1\}$ + $\{x\in \mathbb {R} ^{3}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1\}$ $\{x\in \mathbb {R} ^{3}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1\}$ + x $\{x\in \mathbb {R} ^{3}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1\}$ 2 $\{x\in \mathbb {R} ^{3}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1\}$ = $\{x\in \mathbb {R} ^{3}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1\}$ $\{x\in \mathbb {R} ^{3}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1\}$ ${\displaystyle \{x\in \mathb$ {R $} ^{3$ }:x_ ${1}^{2$ }+x_ ${2$ }} $}^{2}+x_{3$ $}^{2}=1\}}$ .

$n$ ${\displaystylen}$ 의 일부 값에 대한 표면적 영역과 볼륨은 다음과 $n$ 같다.

$n$	$A_{n}$ n ${\$ 표면 면적)		$V_{n}$ n ${\$ 볼륨)
0	$0(1/0!)\pi ^{0}$	0	$(1/0!)\pi ^{0}$	1
1	$1(2^{1}/1!!)\pi ^{0}$	2	${\displaystyle(2^{1}/1!!)\pi ^{0}}$	2
2	$2(1/1!)\pi ^{1}=2\pi$	6.283	$(1/1!)\pi ^{1}=\pi$	3.141
3	$3(2^{2}/3!!)\pi ^{1}=4\pi$	12.57	${\displaystyle(2^{2}/3!!)\pi ^{1}=(4/3)\pi }$	4.189
4	$4(1/2!)\pi ^{2}=2\pi ^{2}$	19.74	$(1/2!)\pi ^{2}=(1/2)\pi ^{2}$	4.935
5	$5(2^{3}/5!!)\pi ^{2}=(8/3)\pi ^{2}$	26.32	${\displaystyle(2^{3}/5!!)\pi ^{2}=(8/15)\pi ^{2}}$	5.264
6	$6(1/3!)\pi ^{3}=\pi ^{3}}$	31.01	$(1/3!)\pi ^{3}=(1/6)\pi ^{3}$	5.168
7	$7(2^{4}/7!!)\pi ^{3}=(16/15)\pi ^{3}}$	33.07	$(2^{4}/7!!)\pi ^{3}=(16/16/16)\pi ^{3}}$	4.725
8	$8(1/4!)\pi ^{4}=(1/3)\pi ^{4}$	32.47	$(1/4!)\pi ^{4}=(1/24)\pi ^{4}$	4.059
9	$9(2^{5}/9!!)\pi ^{4}=(32/320)\pi ^{4}}$	29.69	${\displaystyle(2^{5}/9!!)\pi ^{4}=(32/945)\pi ^{4}}}$	3.299
10	$10(1/5!)\pi ^{5}=(1/12)\pi ^{5}$	25.50	$(1/5!)\pi ^{5}=(1/120)\pi ^{5}$	2.550

여기서 n ≥ 2에 대한 소수점 확장 값은 표시된 정밀도로 반올림된다.

재귀

A_n 값은 다음 반복을 만족한다.

A_{0}=0

A_{1}=2

A_{2}=2\pi

A_{n}={\frac {2\pi }{n-2}}A_{n-2}

n>2

A_{n}={\frac {2\pi }{n-2}}A_{n-2}

>

A_{n}={\frac {2\pi }{n-2}}A_{n-2}

A_{n}={\frac {2\pi }{n-2}}A_{n-2}

n > 2 {\

displaystyle A_{n}={\frac {2

\pi

}{n-2

n>2

n>2

> 2 {\

displaystyle n>2}

의

A_n = \frac{2 \pi}{n-2} A_{n-2}

경우

n>2

V_n 값은 재귀 조건을 만족한다.

V_{0}=1

V_{1}=2

V_{n}={\frac {2\pi }{n}}V_{n-2}

n>1

V_{n}={\frac {2\pi }{n}}V_{n-2}

=

V_{n}={\frac {2\pi }{n}}V_{n-2}

V_{n}={\frac {2\pi }{n}}V_{n-2}

V_{n}={\frac {2\pi }{n}}V_{n-2}

V_{n}={\frac {2\pi }{n}}V_{n-2}

- 2

{\

}}{n

}V_{n-2}}:

n

n>1

> 1

{\displaystyle n>1

분수 치수

A와_n V의_n 공식은 임의의 실수 n ≥ 0에 대해 계산할 수 있으며, n이 음이 아닌 정수가 아닐 때 구면이나 볼 볼륨을 구하는 것이 적절한 상황이 있다.

이것은 x의 연속 함수로서 (x–1)차원 구체(즉, x차원 단위 공 표면의 "면적")의 하이퍼볼륨을 보여준다.

이것은 x의 연속함수로서 x 치수의 공의 부피를 보여준다.

기타 반지름

반경 r이 있는 (n–1)차원 구의 표면적은 A_n r이고ⁿ⁻¹, 반경 r이 있는 n차원 공의 부피는_n V r이다ⁿ. 예를 들어 반지름 r의 3차원 공 표면의 면적은 A = 4㎛ r이다². 반경 r의 3차원 볼에 대한 부피는 V = 4㎛ r / 3이다³.

표준 벡터 공간의 단위 볼

보다 정확히 말하면, 규범 ‖ $\|\cdot \|$ $\|\cdot \|$ { ${\displaystyle \cdot \$ \cdot \}이 $\|\cdot \|$ 가) 있는표준 $벡터$ 공간 V {\displaystyle $V$ 의 오픈 유닛 볼은

\{x\in V:\ x\ <1\}

(V, · )의 닫힌 유닛 볼의 내부:

\{x\in V:\ x\ \leq 1\}

후자는 전자와 그들의 공통 경계인 (V, · )의 단위 영역인 분리 결합이다.

\{x\in V:\ x\ =1\

단위 공의 '모양'은 전적으로 선택된 표준에 의존한다. 단위는 '코너'가 있을 수 있으며, 예를 들어 R의ⁿ 최대 표준의 경우 [-1,1]ⁿ처럼 보일 수 있다. 유클리드 거리의 유한한 치수의 경우에 기초하여 일반적인 힐버트 공간 규범에 관련된 단위 공으로서 자연적으로 둥근 공을 얻는다. 그것의 경계는 보통 단위 구가 의미하는 것이다.

x $x=(x_{1},...x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}.$ = $x=(x_{1},...x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}.$ ( $x=(x_{1},...x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}.$ $x=(x_{1},...x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}.$ , $x=(x_{1},...x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}.$ . $x=(x_{1},...x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}.$ . . . $x=(x_{1},...x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}.$ $x=(x_{1},...x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}.$ ) $x=(x_{1},...x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}.$ $x=(x_{1},...x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}.$ $x=(x_{1},...x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}.$ . ${\displaystyle$ x $=(x_{1},...$ $x_{n}\in \mathb {R} ^{n}}}$ 에서 p ≥ 1에 대한 일반적인 norm $\ell _{p}$ ${\$ -norm을 $\ell _{p}$ 다음과 같이 정의하십시오 $x=(x_{1},...x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}.$ .

\ _{p}=(\sum _{k=1}^{n} x_{k}^{p}^{p}}^{1/p}}}}}}}

그러면 $\|x\|_{2}$ $\|x\|_{2}$ $\|x\|_{2}$ $\|x\|_{2}$ ${\$ \ $x\ _{2$ }}은 일반적인 $\|x\|_{2}$ 힐버트 공간규범이다. $\|x\|_{1}$ $\|x\|_{1}$ $\|x\|_{1}$ $\|x\|_{1}$ ${\$ \ $x\ _{1}}$ 을 해밍 노먼이라고 부르거나, $\ell _{1}$ 1 ${\$ -norm이라고 $\ell _{1}$ 한다 $\|x\|_{1}$ . 조건 p ≥ 1은 norm $\ell _{p}$ ${\$ 규범의 $\ell _{p}$ 정의에서 필요하며, 규범화된 공간의 단위 공은 삼각 불평등의 결과로 볼록해야 하기 때문이다. $\|x\|_{\infty }$ $\|x\|_{\infty }$ $\|x\|_{\infty }$ ${{\$ 은(는) x의 최대 표준 또는 $\ell _{\infty }$ {\ $displaystyle \ell_{\flotty }-$ norm을 $\ell _{\infty }$ 나타낸다 $\|x\|_{\infty }$ .

참고: 2차원 단위 공(n=2)의 $C_{p}$ $C_{p}$ C p {\ $displaystyle C_{$ p}에 대해서는 다음과 같이 한다.

C_{1}=4{\sqrt {2}}

C_{1}=4{\sqrt {2}}

=

C_{1}=4{\sqrt {2}}

C_{1}=4{\sqrt {2}}

{\

가 최소값이다

C_{1}=4{\sqrt {2}}

.

C_{2}=2\pi \,

C_{\infty }=8

C_{\infty }=8

=

C_{\infty }=8

C_{\inflt }=8

이(가) 최대값이다

C_{\infty }=8

.

일반화

미터법 공간

위의 세 가지 정의는 모두 선택한 기원에 대해 미터법으로 쉽게 일반화할 수 있다. 단, 위상학적 고려사항(내부, 폐쇄, 경계)을 동일한 방식으로 적용할 필요는 없으며(예: 초경량 공간에서는 세 가지 모두 동시에 열려 있는 집합과 닫힌 집합) 일부 메트릭 공간에서는 단위 구가 비어 있을 수도 있다.

2차 형태

V가 실제 2차 형태 F:V → R을 갖는 선형 공간이라면, {p ∈ V : F(p) = 1 }을(를) V의 단위 구면^[1]^[2] 또는 단위 준 sphere라고 할 수 있다. 예를 들어, $x^{2}-y^{2}$ 형태 $x^{2}-y^{2}$ 2 - $x^{2}-y^{2}$ $x^{2}-y^{2}$ ${\$ x $^{2}-y^{2$ 1과 같을 때 분할 복합수 평면에서 "단위원"의 역할을 하는 단위 하이퍼볼라를 생성한다. 마찬가지로, 2차 형태² x는 이중 숫자 평면에서 단위 구에 대한 한 쌍의 선을 산출한다.

참고 항목

참고 및 참조

^ 오노 다카시(1994) 오일러 테마 변주: 2차 형태, 타원 곡선, 호프 지도, 5장: 2차 구면 지도, 165쪽, 플레넘 프레스, ISBN 0-306-44789-4
^ F. 리스 하비 (1990) 스피너와 교정, "일반화된 구" 42페이지, 아카데미 프레스, ISBN 0-12-329650-1

말론 M. 일(1958) 표준 선형 공간, 24페이지, 스프링거-버락.
Deza, E.; Deza, M. (2006), Dictionary of Distances, Elsevier, ISBN 0-444-52087-2. 유럽수학학회 소식지 64(2007년 6월), 페이지 57. 이 책은 여러 종류의 거리 목록으로 구성되어 있으며, 각각 간략한 설명이 있다.

외부 링크

Weisstein, Eric W. "Unit sphere". MathWorld.

[1] 오노 다카시(1994) 오일러 테마 변주: 2차 형태, 타원 곡선, 호프 지도, 5장: 2차 구면 지도, 165쪽, 플레넘 프레스, ISBN 0-306-44789-4

[2] F. 리스 하비 (1990) 스피너와 교정, "일반화된 구" 42페이지, 아카데미 프레스, ISBN 0-12-329650-1

[1]

[2]

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