앤더슨-케이덱 정리

수학에서 위상과 기능적 분석의 영역에서 앤더슨-케이덱 정리는 어떤 두 개의 무한 차원, 분리 가능한 바나흐 공간, 또는 더 일반적으로 프레셰 공간은 위상학적 공간으로서 동형체라고 기술하고^[1] 있다.그 정리는 미하일 카데츠(1966)와 리처드 데이비스 앤더슨에 의해 증명되었다.

성명서

모든 무한 차원, 분리 가능한 프레셰 공간은 ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$N ,$${\$displaystyle \mathb {R} ^{\mathb {N}}}$에 대해 동형이다. 실제 라인 $R$의 복사본이 셀 수 없이 많은 데카르트 제품${\displaystyle .}$ ${\displaysty \mathb {R}}}}$

예선

Kadec 기준:‖{\displaystyle\와 같이 \,\cdot \,\}⋅ X{X\displaystyle}는 .mw-parser-output .vanchor&gt이라고 불리는normed 선형 공간에 관한 규범 ‖은 완전한 부분 집합 A⊆ X(}{\displaystyle A\subseteq X^{*}는 이중 공간 X의 ∗{\displaystyle에 관해서 target~.vanchor-text{background-color:#b1d2ff}Kadec 규범이다. X^{*}}각 시퀀스를 위해)n∈ X{\displaystyle x_{n}\in X}.다음 조건이 충족된다.

• ${\displaystyle \underset{}{lim}}$ ${\displaystyle \underset{}{n}}$→ ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{\infty }}}$ ${\displaystyle \underset{}{}{}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$( ${\displaystyle {}_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$= x ${\displaystyle {\ast }^{}}$( ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle \lim _{n\to \inflt }x^{*}\왼쪽(x_{n}\오른쪽)$$=x^{*}(x_{0})}$ for ${\displaystyle x^{*}\in A}$ and ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\ x_{n}\right\ =\left\ x_{0}\right\ ,}$ then ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\ x_{n}-x_{0}\right\ =0.$$}$

아이델헤이트 정리: 프레셰트 $공간{\displaystyle }$E {\$displaystyle$E}은(는) 바나흐 공간에 대해 이형성이거나$$, $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$에 대해 이형성이 있는 공간이다${\displaystyle {.}^{}}$ ${\displaysty \mathb {R}^{\mathb {N}}}}}$

카데크 레노밍 정리:Every separable Banach space ${\displaystyle X}$ admits a Kadec norm with respect to a countable total subset ${\displaystyle A\subseteq X^{*}}$ of ${\displaystyle X^{*}.}$ The new norm is equivalent to the original norm ${\displaystyle \ \,\cdot \,\ }$ of ${\displaystyle X.}$ The set $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$은(는) $X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$ X$^{*}$의 단위 볼의 약한 별 밀도 부분 집합으로 간주할 수 있다$$.

증거의 스케치

아래의 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$은(는) 무한 차원 분리 가능한 프레셰 공간과 $\simeq {\displaystyle }$ ${\displaystyle \simeq}$ 위상학적 동등성(동형성의 존재)의 관계를$$ 나타낸다$$.

앤더슨-카데크 정리 증명의 출발점은 $모든{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ 무한 차원 분리 가능한 바나흐 공간이 ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ .${\displaystyle \mathb {R}^{\mathb {N}}$에 대해 동형이라는 카데크의 증명이다.

아이델헤이트 정리부터 바나흐 공간까지 이형성이 없는 프레셰트 공간을 고려해도 충분하다.이 경우 그들은 ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ N${\displaystyle {.}^{}}$ ${\displaystyle \mathb {R} ^{\mathb {N}}}$에 대해 이형적인 지수를 가지고 있다$.$

일부 프리셰트 $공간{\displaystyle }$ Y${\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ Y$.}$

한편 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$은 분리 가능한 바나흐 공간 $X$=$$ n$\underset{}{\overset{}{}}$= 1$$ $X_{}$ $\underset{}{\overset{}{}}{}_{}$ {\$textstyle$X=\$prod _{n$=1}^{\$infit$ }X_${i}}}$ 분리 가능한 바나흐 공간의 카운트 가능한 무한 제품의 폐쇄된$$ 하위 공간이다$$.$X{\displaystyle }$ {\$displaystyle X}$에 적용된 바틀-그레이브-마이클의 동일한 결과는 동형성을 나타낸다$$$.$

일부 프레셰트 공간 $Z{\displaystyle .}$ ${\displaystyle Z.}$Kadec의 결과에서$$ 무한 차원 분리형 바나흐 공간 X ${\displaystyle X}$은(는) ${\displaystyle {\mathbb{}.}^{}}$ ${\displaystyle \mathb {R} ^{\mathb {N}}}}}$에 대해 가정형이다$$.

앤더슨-카데크 정리의 증명은 동등성의 순서에 따라 구성된다.

참고 항목

• 측정 가능한 위상 벡터 공간 – 위상이 미터법으로 정의될 수 있는 위상 벡터 공간

메모들

참조

• Bessaga, C.; Pełczyński, A. (1975), Selected Topics in Infinite-Dimensional Topology, Monografie Matematyczne, Warszawa: Panstwowe wyd. naukowe.
• Torunczyk, H. (1981), Characterizing Hilbert Space Topology, Fundamenta Mathematicae, pp. 247–262.