인볼루션(수학)

두 번 적용하면 시작점으로 되돌아오는 $f:X\to X$ f $f:X\to X$ $f:X\to X$ → $f:X\to X$ ${\displaystyle$ f $:X\to$ X $}$ 입니다.

수학에서, involution, incurrent function, 또는 self inverse^[1] function은 그 자신의 역함수인 $함수$ f,

f (f (x)) = x

$f$ ^[2]의 도메인에 있는 $모든$ x 에 대해.이와 동일하게 f를 $두$ 번 적용하면 원래 값이 생성됩니다.

일반속성

모든 진화는 편향된 표현입니다.

아이덴티티 맵은 진화의 사소한 예입니다.대수적이지 않은 관여의 예로는 $x\mapsto -x$ 에서 부정(x ↦ - x $x\mapsto -x$ {\ $displaystyle$ x $\mapsto -x}),$ 왕복( $x\mapsto 1/x$ ↦ $x\mapsto 1/x$ / x $x\mapsto 1/x$ {\ $displaystyle$ x $\mapsto$ 1 $/x}),$ 복소 켤레( $z\mapsto {\bar {z}}$ ↦ $z\mapsto {\bar {z}}$ ¯ {\ $displaystyle$ z $\mapsto$ {\ $bar {z}})$ 가 있습니다 $z\mapsto {\bar {z}}$ 반사, 반회전 회전,그리고 기하학에서 원 반전, 집합 이론에서 보어, 그리고 ROT13 변환과 보포트 폴리알파벳 암호와 같은 상호 암호.

g와 g의 두 가지 인볼루션의 $구성$ g ∘ $f$ 는 통근하는 경우에만 인볼루션입니다: $g$ ∘ $f$ = $f$ ∘ $g$ .

유한 집합에 대한 인볼루전

n = $0, 1, 2,$ ... 원소를 $갖는$ 집합에 대한 항등식을 포함한 항등식의 수는 1800년 하인리히 아우구스트 로테에 의해 발견된 재발 관계에 의해 주어집니다.

a_{0}=a_{1}=1

n>1.

0

a_{0}=a_{1}=1

1

a_{n}=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}

a_{0}=a_{1}=1

{\

displaystyle

}=

_{1

}=

1}

이고 n

n>1.

=

-

a_{n}=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}

n>1.

+ (

a_{n}=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}

a_{n}=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}

)

a_{n}=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}

- 2

a_{n}=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}

{\

displaystyle

a_{0}=a_{1}=1

_{n

}=

a_{n-1}+(n-1)a_{n

- 2

}

입니다.

{\displaystyle

n >

1}

이 수열의 처음 몇 개의 항은 1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232 (OEIS의 경우 수열 A000085)입니다. 이 숫자들은 전화 번호라고 불리며,^[4] 주어진 수의 셀로 영 타보의 수를 계산하기도 합니다. $a_{n}$ ${\$ 는 $a_{n}$ 합과 같은 비반복 공식으로도 표현할 수 있습니다.

a_{n}=\sum _{m=0}^{\l층 {\frac {n}{2}}\r층 }{\frac {n!}{2^{m}m!(n-2m)!}}.

유한 집합에 있는 해의 고정된 점의 수와 원소의 수가 같습니다.따라서 주어진 유한 집합에 있는 모든 인벌루션의 고정점 수는 동일한 패리티를 갖습니다.특히, 홀수 개의 요소에 대한 모든 회전에는 적어도 하나의 고정된 점이 있습니다.이것은 페르마의 두 제곱 ^[5]정리를 증명하는 데 사용될 수 있습니다.

수학의 전 분야에 걸친 진화.

계산전

일부 기본적인 관여의 예는 함수들을 포함합니다.

{\display{alignat}{4}f_{1}(x)&=-x,\f_{2}(x)&={\frac {1}{x}},\f_{3}(x)&={\frac {x}{x-1},\\end{alignat}

f_{4}(x):=(f_{1}\circ f_{2})(x)=(f_{2}\circ f_{1})(x)=-{\frac {1}{x}},

f_{4}(x):=(f_{1}\circ f_{2})(x)=(f_{2}\circ f_{1})(x)=-{\frac {1}{x}},

4

f_{4}(x):=(f_{1}\circ f_{2})(x)=(f_{2}\circ f_{1})(x)=-{\frac {1}{x}},

(

f_{4}(x):=(f_{1}\circ f_{2})(x)=(f_{2}\circ f_{1})(x)=-{\frac {1}{x}},

) :

f_{4}(x):=(f_{1}\circ f_{2})(x)=(f_{2}\circ f_{1})(x)=-{\frac {1}{x}},

= (

f_{4}(x):=(f_{1}\circ f_{2})(x)=(f_{2}\circ f_{1})(x)=-{\frac {1}{x}},

1

f_{4}(x):=(f_{1}\circ f_{2})(x)=(f_{2}\circ f_{1})(x)=-{\frac {1}{x}},

∘

f_{4}(x):=(f_{1}\circ f_{2})(x)=(f_{2}\circ f_{1})(x)=-{\frac {1}{x}},

)

f_{4}(x):=(f_{1}\circ f_{2})(x)=(f_{2}\circ f_{1})(x)=-{\frac {1}{x}},

( x )

f_{4}(x):=(f_{1}\circ f_{2})(x)=(f_{2}\circ f_{1})(x)=-{\frac {1}{x}},

= (

f_{4}(x):=(f_{1}\circ f_{2})(x)=(f_{2}\circ f_{1})(x)=-{\frac {1}{x}},

f_{4}(x):=(f_{1}\circ f_{2})(x)=(f_{2}\circ f_{1})(x)=-{\frac {1}{x}},

∘

f_{4}(x):=(f_{1}\circ f_{2})(x)=(f_{2}\circ f_{1})(x)=-{\frac {1}{x}},

)

f_{4}(x):=(f_{1}\circ f_{2})(x)=(f_{2}\circ f_{1})(x)=-{\frac {1}{x}},

( x )

f_{4}(x):=(f_{1}\circ f_{2})(x)=(f_{2}\circ f_{1})(x)=-{\frac {1}{x}},

= -

f_{4}(x):=(f_{1}\circ f_{2})(x)=(f_{2}\circ f_{1})(x)=-{\frac {1}{x}},

x

f_{4}(x):=(f_{1}\circ f_{2})(x)=(f_{2}\circ f_{1})(x)=-{\frac {1}{x}},

, {\

displaystyle f_

{4} (x) : =

(f_{1

}\

circ

f_

{2

}) (x) = (

f_{2}\circ

f_

{1})

(x) = - {\

frac {1}{

x}}, 보다 일반적으로 함수

g(x)={\frac {b-x}{1+cx}}

는

bc\neq -1.

≠ -

bc\neq -1.

을

bc\neq -1.

하는

b

b

{\

displaystyle

b

}

및

c

{\displaystyle

c

}

에 대한 해입니다.

{\displaystyle

bc\

neq -1.}

이것들만이 계산 전 과정의 관여가 아닙니다.긍정적인 현실 안에 있는 또 다른 것은

{\displaystyle f(x)=\ln \left({\frac {e^{x}+1}{e^{x}-1}\right)}.

(실제 숫자에 있는) 해의 그래프는 y = $y=x$ ${\displaystyle$ y = $x$ $y=x$ 에 걸쳐 대칭입니다.이는 일반 함수의 역이 y = $y=x$ ${\displaystyle$ y = $x$ $y=x$ 에 대한 반사이기 때문입니다.이는 $x$ {\ $displaystyle$ x $}$ 을(를 $)$ y {\ $displaystyle$ y}로 "바꾸는" 것으로 볼 수 있습니다. 특히 함수가 진화라면, 함수의 그래프는 자신의 반사입니다.

다른 기본적인 관여는 함수 방정식을 푸는 데 유용합니다.

유클리드 기하학

3차원 유클리드 공간의 진화의 간단한 예는 평면을 통한 반사입니다.반사를 두 번 수행하면 점이 원래 좌표로 돌아갑니다.

또 다른 진화는 원점을 통한 반사이며, 위의 의미에서의 반사가 아니므로, 별개의 예입니다.

이러한 변환은 아핀(Affine) 관련의 예시입니다.

투영기하학

인볼루션은 기간 2의 투영도,^[6]^{: 24} 즉 점 쌍을 교환하는 투영도입니다.

두 점을 교환하는 모든 투영성은 혁신입니다.
완전한 사각형의 반대쪽 세 쌍은 (꼭짓점을 통과하지 않은) 어떤 선과도 세 쌍의 해면에서 만납니다.이 정리를 데아르게스의 진화 ^[7]정리라고 부릅니다.그것의 기원은 ^[8]알렉산드리아의 파푸스 모음집 제7권에서 유클리드의 포리즘에 대한 렘마 4권에서 볼 수 있습니다.
만약 어떤 고정된 점이 하나 있다면, 그것은 또 다른 점이 있고, 이 두 점에 대한 고조파 공액 사이의 대응으로 구성됩니다.이 경우에는 "하이퍼볼릭(hyperbolic)"이라고 하는 반면, 고정점이 없는 경우에는 "타원형"이라고 합니다.투영성의 맥락에서, 고정점은 ^[6]^{: 53}이중점이라고 불립니다.

투영 기하학에서 발생하는 또 다른 유형의 인볼루션은 주기 2의 상관 관계인 극성입니다.

선형대수

선형대수학에서, 해는 $T^{2}=I$ = $T^{2}=I$ {\ $displaystyle$ T $^{2$ } = $I$ 인 벡터 공간 상의 선형 연산자 T입니다. 특성 2를 제외하고, 그러한 연산자는 대응하는 행렬의 대각선 상에 1과 -1만 있는 주어진 기준에서 대각화가 가능합니다.연산자가 직교(직교 적분)이면 정규적으로 대각화가 가능합니다.

예를 들어, 벡터 공간 V에 대한 기저가 선택되고 e와₂ e가 기저 요소라고 가정합니다₁.etoe를₂ 보내고₁ etoe를₁ 보내는₂ 선형 변환이 존재하며, 이 변환은 다른 모든 기저 벡터의 항등식입니다.V의 모든 x에 대하여 f $(f (x))$ = $x임$ 을 확인할 수 있습니다.즉, f는 V의 involution입니다.

특정 기준에서 임의의 선형 연산자는 행렬 T로 나타낼 수 있습니다.모든 행렬에는 행을 열로 바꾸어서 얻은 전치행렬이 있습니다.이 전치는 행렬의 집합에 대한 진화입니다.요소적으로 복잡한 컨쥬게이션은 독립적인 진화이므로 컨쥬게이트 트랜스포스 또는 에르미트 인접도 또한 진화입니다.

혁신의 정의는 모듈로 쉽게 확장됩니다.링 R 위의 모듈 M이 주어졌을 때, M의 R내형 f는 만약 f가 M 위의 항등식 동형이면, 인볼루션이라고 불립니다.

인볼루전은 정체성과 관련이 있으며, 2가 가역적이면 일대일로 대응됩니다.

함수 분석에서 바나흐 *-대수 및 C*-대수는 관여를 갖는 바나흐 대수의 특수한 유형입니다.

사분위수 대수, 군, 반군

4차 대수학에서, (반)해법은 다음 공리에 의해 정의됩니다: 만약 $x\mapsto f(x)$ x ↦ $x\mapsto f(x)$ ( $x\mapsto f(x)$ ) {\ $displaystyle$ x\ $mapsto$ f $(x)}$ 를 고려한다면, 다음과 같은 경우에 해법입니다.

$f(f(x))=x$ ( $f(f(x))=x$ ( $f(f(x))=x$ ) $=$ $f(f(x))=x$ {\ $displaystyle$ f $(f$ ))= $x}$ (자체 역)
$f(x_{1}+x_{2})=f(x_{1})+f(x_{2})$ ( $f(x_{1}+x_{2})=f(x_{1})+f(x_{2})$ + $f(x_{1}+x_{2})=f(x_{1})+f(x_{2})$ ) $f(\lambda x)=\lambda f(x)$ $f(x_{1}+x_{2})=f(x_{1})+f(x_{2})$ ( $f(x_{1}+x_{2})=f(x_{1})+f(x_{2})$ 1 $f(x_{1}+x_{2})=f(x_{1})+f(x_{2})$ ) + $f(x_{1}+x_{2})=f(x_{1})+f(x_{2})$ ( $f(x_{1}+x_{2})=f(x_{1})+f(x_{2})$ ) $f(x_{1}+x_{2})=f(x_{1})+f(x_{2})$ {\ $displaystyle$ f ( $x_{1}$ + $x_{$ }) $= f$ ( $x_{1})$ + $f$ ( $x_{2})}$ $f(\lambda x)=\lambda f(x)$ $f(x_{1}+x_{2})=f(x_{1})+f(x_{2})$ f ( $f(\lambda x)=\lambda f(x)$ $f(x_{1}+x_{2})=f(x_{1})+f(x_{2})$ $f(\lambda x)=\lambda f(x)$ $f(x_{1}+x_{2})=f(x_{1})+f(x_{2})$ $=$ λ f ( x ) ${\$ displaystyle f (\ $displ$ $f(x_{1}+x_{2})=f(x_{1})+f(x_{2})$ $yx$ )=\ $displayf (x)}$ (선형임)
$f(x_{1}x_{2})=f(x_{1})f(x_{2})$

반혁명은 마지막 공리를 따르지 않고 대신합니다.

$f(x_{1}x_{2})=f(x_{2})f(x_{1})$

이 이전의 법은 때때로 분배 금지법이라고 불립니다.또한 ( ${\left(xy\right)}^{-1}={\left(y\right)}^{-1}{\left(x\right)}^{-1}$ y ${\left(xy\right)}^{-1}={\left(y\right)}^{-1}{\left(x\right)}^{-1}$ ) - ${\left(xy\right)}^{-1}={\left(y\right)}^{-1}{\left(x\right)}^{-1}$ = ( ${\left(xy\right)}^{-1}={\left(y\right)}^{-1}{\left(x\right)}^{-1}$ ) - ${\left(xy\right)}^{-1}={\left(y\right)}^{-1}{\left(x\right)}^{-1}$ ( ${\left(xy\right)}^{-1}={\left(y\right)}^{-1}{\left(x\right)}^{-1}$ x ${\left(xy\right)}^{-1}={\left(y\right)}^{-1}{\left(x\right)}^{-1}$ ) - ${\left(xy\right)}^{-1}={\left(y\right)}^{-1}{\left(x\right)}^{-1}$ {\ $displaystyle$ {\ $left(xy\right)}^{-1$ }={\ $left(y\right)}^{-1}}^{\left(x\$ right)}^{- $1$ 의 ${\left(xy\right)}^{-1}={\left(y\right)}^{-1}{\left(x\right)}^{-1}$ 그룹으로 나타납니다. 공리로 생각하면, 그것은 그룹이 아닌 자연적인 예, 예를 들어 제곱 행렬 곱셈(즉,)의 개념으로 이어집니다.전체 선형 모노이드)를 전치환으로 사용합니다.

고리이론

링 이론에서, 단어 인볼루션은 관습적으로 그 자체의 역함수인 반동형론을 의미합니다.공통 고리에서의 관여의 예:

복소 평면에서의 복소 켤레
분할 복소수에서 j를 곱한 값
매트릭스 링에 전치환을 넣는 겁니다

군론

그룹 이론에서, 그룹의 요소는 $a\neq e$ 가 2인 경우, 즉, ≠ ${\displaystyle$ a\ $neq}$ 와 a = e( $a\neq e$ 서 e는 항등식 요소)인 ${\displaystyle$ a $}$ 의 요소입니다.

원래 이 정의는 위의 첫 번째 정의와 일치했는데, 그룹의 구성원은 항상 집합에서 자신으로 향하는 사영(bijection)이었기 때문입니다. 즉, 그룹은 순열 그룹을 의미합니다.19세기 말에 이르러 집단은 더 광범위하게 정의되었고, 그에 따라 진화도 마찬가지였습니다.

순열은 서로소인 위치의 유한한 곱으로 쓸 수 있는 경우에만 정확하게 전개됩니다.

집단의 관여는 집단의 구조에 큰 영향을 미칩니다.인볼루전에 대한 연구는 유한 단순 그룹의 분류에 중요한 역할을 했습니다.

$x^{t}=x^{-1}$ $G$ {\ $displaystyle$ G $}$ 의 $x$ x{\ $displaystyle$ x $}$ 는 x t = $x^{t}=x^{-1}$ - $x^{t}=x^{-1}=t^{-1}\cdot x\cdot t$ $x^{t}=x^{-1}$ {\ $displaystyle$ x $^{t$ }= $x^{-1$ $x^{t}=x^{-1}=t^{-1}\cdot x\cdot t$ 서 x t = $x^{t}=x^{-1}=t^{-1}\cdot x\cdot t$ - $x^{t}=x^{-1}=t^{-1}\cdot x\cdot t$ ⋅ $x^{t}=x^{-1}=t^{-1}\cdot x\cdot t$ ⋅ $x^{t}=x^{-1}=t^{-1}\cdot x\cdot t$ {\ $displaystyle$ x $^{t$ }= $x^{-1$ }= $t^{-1}\cdot$ x $\cdot$ t})를 $x^{t}=x^{-1}$ $혁신$ t가 있으면 강하게 real이라고 불립니다.

콕서터 그룹은 생성 관여의 쌍에 대해 주어진 관계에 의해서만 결정되는 관계와의 관여에 의해서 생성된 그룹입니다.콕서터 그룹은 무엇보다도 가능한 규칙적인 다면체와 그들의 고차원으로의 일반화를 설명하는 데 사용될 수 있습니다.

수학논리학

부울대수에서 보의 연산은 진화입니다.따라서 고전 논리학에서 부정은 이중 부정의 법칙을 만족합니다. ¬¬A는 A와 동치입니다.

일반적으로 비고전 논리학에서는 이중부정의 법칙을 만족시키는 부정을 불연속적이라고 합니다.대수적 의미론에서 그러한 부정은 진리값의 대수에 대한 진화로 실현됩니다.연속적인 부정을 갖는 논리의 예로는 Kleene 및 Bochvar 3값 논리, Wukasiewicz 다값 논리, 퍼지 논리 IMTL 등이 있습니다.인볼루시브 네거티브는 비인볼루시브 네거티브를 포함한 추가 연결 로직으로 추가되기도 합니다. 예를 들어, t-norm 퍼지 로직에서는 일반적입니다.

부정의 상호작용성은 논리학과 그에 상응하는 대수의 다양성에 대한 중요한 특성화 특성입니다.예를 들어, 연속적 부정은 헤이팅 대수들 중 부울 대수들을 특징짓습니다.이에 상응하여 고전적인 부울 논리는 직관 논리에 이중 부정의 법칙을 추가함으로써 발생합니다.MV-알고리즘과 BL-알고리즘(따라서 우카시에비치 논리와 퍼지 논리 BL 사이), IMTL 및 MTL 및 기타 중요한 다양한 대수 쌍(해당 논리) 사이에도 동일한 관계가 유지됩니다.

이항 관계 연구에서 모든 관계는 역의 관계를 갖습니다.역의 역은 원래의 관계이기 때문에, 역의 역은 관계의 범주에 대한 진화입니다.이진 관계는 포함을 통해 정렬됩니다.이 순서는 보완적인 혁신과 함께 반대로 전환되지만, 전환 중에 보존됩니다.

컴퓨터과학

하나의 파라미터에 대해 주어진 값을 갖는 XOR 비트 와이즈 연산은 인볼루션입니다.XOR 마스크는 이미지에 그래픽을 그리는 데 사용된 적이 있는데, 이는 배경에 두 번 그릴 때 배경을 원래 상태로 되돌리는 방식입니다.NOT bitwise 연산은 또한 involution이며, 하나의 파라미터가 모든 비트를 1로 설정하는 XOR 연산의 특별한 경우입니다.

또 다른 예는 RGB 형태와 같이 정수로 저장된 컬러 값에 대해 동작하는 비트 마스크 및 시프트 함수로, R과 B를 스왑하여 BGR 형태가 됩니다. f(f(RGB)=BG, f(f(BGR))=BGR 형태가 됩니다.

RC4 암호화 암호는 암호화와 복호화 작업이 동일한 기능을 사용하기 때문에 진화된 것입니다.

실질적으로 모든 기계식 암호 기계는 입력된 각 문자에 대해 역수 암호를 구현합니다.하나는 암호화를 위한 것이고 하나는 암호 해독을 위한 것인 두 종류의 기계를 설계하는 대신, 모든 기계는 동일하고 동일한 방식으로 ^[11]설정(키 설정)될 수 있습니다.

참고 항목

참고문헌

^ Robert Alexander Adams, 미적분학: 단일변수, 2006, ISBN0321307143, 페이지 165
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^ H. S. M. Coxeter (1969) 기하학 개론, pp 244–8, John Wiley & Sons
^ 존 S.로즈. "집단이론에 관한 강좌" p. 10, 1.13절
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추가열람

Ell, Todd A.; Sangwine, Stephen J. (2007). "Quaternion involutions and anti-involutions". Computers & Mathematics with Applications. 53 (1): 137–143. arXiv:math/0506034. doi:10.1016/j.camwa.2006.10.029. S2CID 45639619.
Knus, Max-Albert; Merkurjev, Alexander; Rost, Markus; Tignol, Jean-Pierre (1998), The book of involutions, Colloquium Publications, vol. 44, With a preface by J. Tits, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0904-0, Zbl 0955.16001
"Involution", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

외부 링크

Wikimedia Commons의 Involution 관련 미디어

[1] Robert Alexander Adams, 미적분학: 단일변수, 2006, ISBN0321307143, 페이지 165

[2] Russell, Bertrand (1903), Principles of mathematics (2nd ed.), W. W. Norton & Company, Inc, p. 426, ISBN 9781440054167

[3] Kubrusly, Carlos S. (2011), The Elements of Operator Theory, Springer Science & Business Media, Problem 1.11(a), p. 27, ISBN 9780817649982.

[4] Knuth, Donald E. (1973), The Art of Computer Programming, Volume 3: Sorting and Searching, Reading, Mass.: Addison-Wesley, pp. 48, 65, MR 0445948.

[5] Zagier, D. (1990), "A one-sentence proof that every prime p≡ 1 (mod 4) is a sum of two squares", American Mathematical Monthly, 97 (2): 144, doi:10.2307/2323918, JSTOR 2323918, MR 1041893.

[AGP-6] A.G. Pickford (1909) 초등 투영 기하학, 인터넷 아카이브를 통한 케임브리지 대학 출판부

[7] J. V. Field and J. J. Gray (1987) Girard Desargues의 기하학적 연구, (뉴욕: Springer), p. 54

[8] 아이버 토마스 (편집자) (1980) 그리스 수학의 역사를 보여주는 선택 2권, 뢰브 고전 도서관 362호 (캠브리지와 런던:하버드와 하이네만), 610-3쪽

[9] H. S. M. Coxeter (1969) 기하학 개론, pp 244–8, John Wiley & Sons

[10] 존 S.로즈. "집단이론에 관한 강좌" p. 10, 1.13절

[11] 그렉 괴벨."암호의 기계화", 2018.

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