분리 공리

Separation axiom
분리 공리
위상학적으로
콜모고로프 분류
T0 (콜모고로프)
T1 (프레셰트)
T2 (하우스도르프)
T2½(우리존)
완전2 T (완전히 하우스도르프)
T3 (정규 하우스도르프)
T(Tychonoff)
T4 (정상적인 하우스도르프)
T5 (일반적인)
하우스도르프)
T6 (일반적인)
하우스도르프)
Illustrations of the properties of Hausdorffness, regularity and normality
분리 공리의 일부에 대한 삽화.회색 비정형 파선 영역은 분리막 닫힌 세트 또는 점을 둘러싼 열린 세트를 나타내며, 빨간색 솔리드 아웃라인 원은 닫힌 세트를 나타내며, 검은색 점은 점을 나타낸다.

수학위상 및 관련 분야에서는 종종 고려하고자 하는 위상학적 공간의 종류에 대해 몇 가지 제약이 있다.이러한 제한 중 일부는 분리 공리에 의해 주어진다.이것들은 안드레이 타이코노프의 이름을 따서 타이코노프 분리 공리(Tychonoff separation axior)라고 부르기도 한다.

분리 공리는 위상학적 공간의 개념을 정의할 때 위상학적 공간이 무엇인지에 대한 보다 제한적인 개념을 얻기 위해 이러한 조건을 추가 공리로 추가할 수 있다는 점에서만 공리다.현대적 접근방식은 위상학적 공간의 모든 공리화를 한 번 정도 수정하고 그 다음에 위상학적 공간의 종류를 말하는 것이다.그러나 분리공리라는 용어는 고착되었다.분리 공리는 독일 Trennungsaxiom 뒤에 T자로 표기되어 있는데, 이는 "분리 공리"를 의미한다.

분리 공리와 관련된 용어의 정확한 의미는 시간이 지남에 따라 달라졌다.특히 오래된 문헌을 읽을 때, 그것들이 의미하는 바를 정확히 알기 위해 언급된 각각의 조건에 대한 저자들의 정의를 이해하는 것이 중요하다.

예비 정의

분리 공리 자체를 정의하기 전에 위상학 공간에서 분리된 집합(및 점)의 개념에 구체적인 의미를 부여한다.(분리된 세트는 다음 절에서 정의한 분리된 공간과 동일하지 않다.)

분리 공리는 분리 집합구별되는 점을 구별하기 위해 위상학적 수단을 사용하는 것에 관한 것이다.위상학적 공간의 요소들이 구별되는 것만으로는 충분하지 않다; 우리는 위상학적으로 구별되는 것을 원할지도 모른다.마찬가지로, 위상학적 공간의 하위 집합이 분리되는 것만으로는 충분하지 않다; 우리는 그것들이 분리되기를 원할지도 모른다.분리 공리는 어떤 식으로든 구별할 수 있거나 어떤 약한 의미에서는 분리될 수 있는 점이나 집합도 어떤 강한 의미에서는 구별할 수 있거나 분리되어야 한다고 모두 말하고 있다.

X를 위상학적 공간이 되게 하라.그런 다음 X의 두 지점 x와 y는 정확히 동일한 인접 지역(또는 동등하게 동일한 개방된 인접 지역)이 없는 경우 위상학적으로 구별할 수 있다. 즉, 그들 중 적어도 한 지점에는 다른 지점의 인접 지역이 아닌 인접 지역이 있다(또는 동등하게 한 지점은 속하지만 다른 지점은 속하지 않는 개방 집합이 있다).

각각 다른 이웃이 아닌 이웃이 있으면 xy 두 점이 분리된다. 즉, 둘 다 상대방의 폐쇄에 속하지 않는다.보다 일반적으로 X의 두 하위 집합 AB가 다른 하위 집합의 폐쇄로부터 분리될 경우 분리된다.(폐쇄 자체는 해체할 필요가 없다.)세트 분리에 대한 나머지 모든 조건은 싱글톤 세트를 사용하여 포인트(또는 포인트와 세트)에도 적용할 수 있다.지점 x와 y는 싱글톤 집합 {x}과(와) {y}이(가) 해당 기준에 따라 분리되는 경우에만, 인접한 지점, 폐쇄된 이웃에 의해, 연속적인 함수에 의해 정확히 분리되는 것으로 간주된다.

하위 집합 AB는 공동 이웃이 있는 경우 이웃에 의해 분리된다.그들은 폐쇄적인 이웃이 있으면 폐쇄적인 이웃에 의해 분리된다.이미지 f(A)가 {0}이고 f(B)가 {1}과(와) 같도록 공간 X에서 실제 라인 R까지 연속 함수 f가 있는 경우 연속 함수로 구분된다.마지막으로, 프리이미지−1 f({0})가 A이고−1 f({1})가 B가 되도록 연속함수 f가 X에서 R까지 존재하는 경우 연속함수에 의해 정밀하게 분리된다.

이러한 조건은 강도를 증가시키는 순서로 제시된다.위상학적으로 구별할 수 있는 두 점은 구별되어야 하며, 분리된 두 점은 위상학적으로 구별할 수 있어야 한다.두 개의 분리된 세트는 반드시 분리되어야 하고, 이웃에 의해 분리된 두 세트는 분리되어야 한다.

주요 정의

이 정의들은 모두 기본적으로 위의 예비 정의를 사용한다.

이러한 이름들 중 다수는 일부 수학 문헌에서 대체적인 의미를 가지고 있다. 예를 들어, "정상"과 "T4"의 의미는 때때로 상호 교환된다. 유사하게 "정규"와 "T3" 등이 그것이다.많은 개념들은 또한 몇 개의 이름을 가지고 있다; 그러나, 먼저 열거된 개념은 항상 모호하지 않을 가능성이 가장 적다.

이러한 공리의 대부분은 같은 의미를 가진 대체 정의를 가지고 있다. 여기서 주어진 정의는 이전 절에서 정의한 분리의 다양한 개념과 관련된 일관된 패턴에 속한다.다른 가능한 정의는 개별 기사에서 찾을 수 있다.

다음의 모든 정의에서 X는 다시 위상학적 공간이다.

  • X에서 뚜렷한 두 점이 위상적으로 구별될 수 있다면 XT0, 즉 Kolmogorov이다.(T를0 필요로 하는 공리의 한 버전과 그렇지 않은 한 버전을 갖는 것은 분리 공리들 사이에 공통된 테마가 될 것이다.)
  • X에서 위상학적으로 구별할 수 있는 두 점이 분리된 경우 X는 R 또는0 대칭이다.
  • X에서 두 개의 구별되는 점이 분리된 경우 XT1 또는 접근 가능 또는 Frechet 또는 Tikhonov이다.마찬가지로 모든 단일 점 집합은 닫힌 집합이다.따라서 X는 T와0 R0 둘 다일 경우에만 T이다1. ("T1 공간", "Frechet 토폴로지", "위상학적 공간 X가 Fréchet임을 전제로" 등의 말을 할 수 있지만, 기능 분석에서 Frechet 공간의 개념은 완전히 다르기 때문에 이러한 맥락에서 "Frechet 공간"이라고 말하는 것은 피한다.)
  • X에서 위상학적으로 구별할 수 있는 두 점이 이웃에 의해 분리되는 경우 X1 R 또는 사전 정규이다.모든1 R 공간도 R이다0.
  • X에서 두 개의 구별되는 점이 이웃에 의해 분리되는 경우 XHausdorff 또는 T 또는2 분리된다.따라서 X는 T와0 R 둘1 다일 경우에만 하우스도르프다.모든 하우스도르프 공간도 T이다1.
  • X에서 두 개의 구별되는 점이 폐쇄적인 인접 지역에 의해 분리되는 경우 X는 T 또는 Uryson이다.모든 T 공간도 하우스도르프다.
  • X에서 두 개의 구별되는 점이 연속함수에 의해 분리되는 경우 X완전히 하우스도르프, 또는 완전히 T이다2.모든 완전한 하우스도르프 공간도 T이다.
  • XF에 속하지 않도록 X의 어떤 점 x와 닫힌 집합 F가 주어진다면 X정규적인 것이다. (사실 일반 공간에서는 그러한 xF도 폐쇄적인 이웃에 의해 분리될 것이다.)모든 일정한 공간도 R이다1.
  • XT0 정규라면 일반 하우스도르프, 즉 T이다3.[1]모든 규칙적인 하우스도르프 공간도 T이다.
  • XF에 속하지 않는 X의 어떤 점 x와 닫힌 집합 F가 주어진다면 X완전히 규칙적이다.완전히 규칙적인 모든 공간도 규칙적이다.
  • X는 티코노프0(Tychonoff), 또는 T, 완전 T3, 또는 완전히 정규적인 하우스도르프(Hausdorff)[2]이다.모든 타이코노프 공간은 규칙적인 하우스도르프(Hausdorff)와 완전한 하우스도르프(Hausdorff)이다.
  • X의 두 개의 분리된 닫힌 부분 집합이 이웃에 의해 분리되는 경우 X정상이다. (사실, 두 개의 분리된 닫힌 부분 집합이 연속적인 기능으로 분리될 수 있는 경우에만 공간이 정상이다. 이것은 Uryson의 보조정리이다.)
  • X는 R과0 정상인 경우 정상이다.모든 정상적인 정규 공간은 규칙적이다.
  • X보통1 Hausdorff, 즉 T와 정상인 경우 T이다4.모든 정상적인 하우스도르프 공간은 타이코노프(Tychonoff)와 보통 정규 공간이다.
  • X는 두 개의 분리된 세트가 이웃에 의해 분리된다면 완전히 정상이다.완전히 정상적인 모든 공간도 정상이다.
  • X완전히 정상인 하우스도르프, 5 T나 완전4 경우1 T나 완전 T이다.완전히 정상적인 하우스도르프 공간 하나하나가 정상적인 하우스도르프다.
  • X는 두 개의 분리된 닫힌 세트가 연속 함수에 의해 정밀하게 분리된다면 지극히 정상이다.완벽하게 정상적인 모든 공간도 완전히 정상이다.
  • X완벽하게 정상인1 하우스도르프, 즉 T6 완전4 경우 T나 완전인 T이다.완벽하게 정상적인 하우스도르프 공간은 완전히 정상적인 하우스도르프 공간이기도 하다.

다음 표:로또, 상당하는 속성이 어우러지세포, 각 공리는 좌측 사는 우리, 그리고 만약 T1은 공리 보지만, 그 다음에는 각각은 공리 또한 나일 강 위에 세포를 암시하는 세포에서 열린 의미를 내포하고(예를 들어, 모든 정상적인 T1공간은 완전히 있는 분리 공리 뿐 아니라 이들 사이의 그 의미 요약되어 있다.r자아의

분리된 이웃에 의해 분리됨 폐쇄된 이웃에 의해 분리됨 함수에 의해 분리됨 기능에 의해 정밀하게 분리됨
구분할 수 있는 점 대칭 사전정규정기
구분점 프레셰트 하우스도르프 우리손 완전 하우스도르프 퍼펙트 하우스도르프
외부 폐쇄 설정 및 지점 항상 정규 완전정규 완벽하게 규칙적인
분리 닫힌 세트 항상 정상 지극히 정상
분리된 집합 항상 완전 정상

공리 사이의 관계

T0 공리는 재산에 추가될 수 있을0 뿐 아니라(완전히 정규 플러스 T가 Tychonoff) 재산에서 차감될 수 있다는 점에서 특별하다(따라서 Hausdorff 마이너스 T가0 R이1 된다). 상당히 정확한 의미에서; 자세한 정보는 콜모고로프 지수를 참조하라.분리 공리에 적용하면, 이는 아래 표의 왼쪽에 있는 관계로 이어진다.이 표에서는 T의0 요건을 추가하여 오른쪽에서 왼쪽으로 가고, 콜모고로프 지수 연산을 이용하여 그 요건을 제거하여 왼쪽에서 오른쪽으로 간다.(이 표의 왼쪽에 주어진 괄호 안의 이름은 일반적으로 모호하거나 최소한 덜 알려져 있지만, 아래의 도표에서 사용된다.)

Hasse diagram of the separation axioms.
T0 버전 0 T 버전
T0 (필요 없음)
T1 R0
하우스도르프 (T2) R1
T (특별한 이름 없음)
완전 하우스도르프 (특별한 이름 없음)
레귤러 하우스도르프 (T3) 정규
타이코노프(T) 완전정규
정상0 T 정상
노멀 하우스도르프(T4) 정상정기
완전정상T0 완전 정상
완전히 정상적인 하우스도르프(T5) 완전 정상정규격
완전0 정상 T 지극히 정상
완벽하게 정상적인 하우스도르프 (T6) 지극히 정상적인 일반적

T를0 포함하거나 제외하는 것 외에 분리 공리의 관계는 오른쪽의 도표에 표시된다.이 도표에서 조건의 비0 T 버전은 슬래시 왼쪽에 있고, T0 버전은 오른쪽에 있다.약칭은 "P" = "완벽하게", "C" = "완전하게", "N" = "정상" 및 "R"(첨자 없이) = "정규"와 같이 사용된다.총알은 그 자리에 특별한 이름이 없다는 것을 나타낸다.하단의 대시(dash)는 조건이 없음을 나타낸다.

이 도표를 사용하여 두 개의 특성을 결합할 수 있다. 두 개의 분기가 모두 만날 때까지 다이어그램을 따라 위쪽으로 이동하십시오.예를 들어, 공간이 완전히 정상("CN")과 완전히 하우스도르프("CT2") 둘 다인 경우, 두 가지를 따라 올라가면 "•/T5" 지점을 찾을 수 있다.완전한 하우스도르프 공간은 T 공간이기0 때문에(완전히 정상적인 공간은 아닐지라도) 슬래시의 T 면을0 취하므로, 완전히 정상적인 하우스도르프 공간은5 T 공간과 같다(위 표에서 볼 수 있듯이 덜 애매하게는 완전한 정상적인 하우스도르프 공간이라고 알려져 있다).

다이어그램에서 볼 수 있듯이, 정상과 R은0 두 속성을 결합하면 오른쪽 가지에 있는 많은 노드를 통해 경로를 따라갈 수 있기 때문에 다른 속성의 호스트를 의미한다.이 중에서 규칙성이 가장 잘 알려져 있기 때문에, 보통과0 R이 모두 있는 공간을 전형적으로 "정상적인 정규 공간"이라고 부른다.다소 비슷한 방식으로, 모호한1 'T' 표기법을 피하고자 하는 사람들에 의해 보통과 T가 모두 있는 공간을 흔히 '정상적인 하우스도르프 공간'이라고 부른다.이러한 규약은 다른 정규 공간과 하우스도르프 공간으로 일반화할 수 있다.

기타 분리 공리

위상학적 공간에는 분리 공리와 함께 분류되는 몇 가지 다른 조건들이 있지만, 이것들은 일반적인 분리 공리와 완전히 들어맞지 않는다.그들의 정의 이외에, 그들은 여기서 논의되지 않는다; 그들의 개별적인 기사를 보라.

  • 두 개의 작은 닫힌 세트의 (아마도 비접합) 결합이 아닌 모든 닫힌 세트 C에 대해 {p}의 닫힘이 C와 같은 고유한 포인트 p가 있다면 X는 술이 깬다.좀 더 간단히 말해서, 모든 되돌릴 수 없는 닫힌 세트는 독특한 일반 포인트를 가지고 있다.어떤 하우스도르프 공간도 냉정해야 하고, 어떤 냉정한 공간도 T여야0 한다.
  • 콤팩트한 하우스도르프 공간에서 모든 연속 지도 f에서 X까지에 대해 f의 이미지가 X에서 닫힌다면 X약하다.어떤 하우스도르프 공간도 약해야 하고, 어떤 허약한 하우스도르프 공간도 T여야1 한다.
  • X만약 정규 오픈 세트가 X의 오픈 세트의 베이스를 형성한다면 반정형이다.어떤 규칙적인 공간도 반정형이어야 한다.
  • X는 비빈 오픈 세트 G에 대해 H의 폐쇄가 G에 포함되는 비빈 오픈 세트 H가 있는 경우 준정규형이다.
  • X는 모든 오픈 커버가 오픈 스타의 정교함을 가지고 있다면 완전히 정상이다.X완전1 T4, 또는 완전히 정상적인 Hausdorff라면 완전히 정상적인 것이다.모든 완전 정상 공간은 정상이고 모든 완전4 T 공간은 T이다4.게다가, 모든4 T 공간은 파라콤팩트라는 것을 보여줄 수 있다.사실, 완전히 정상적인 공간은 사실 일반적인 분리 공리보다 파라콤팩트성과 더 많은 관련이 있다.
  • 모든 콤팩트 서브셋이 닫힌다는 공리는 강도에 있어서 엄밀히1 말하면2 T와 T(하우스도르프)사이에 있다.모든 단일 점 집합은 반드시 소형이고 따라서 닫히지만, 그 역이 반드시 참인 것은 아니기 때문에 이 공리를 만족하는 공간은 반드시 T이다1. 무한히 많은 점, 즉 T에1 대한 공동 피니티 토폴로지의 경우, 모든 부분 집합은 작지만 모든 부분 집합이 닫히는 것은 아니다.더욱이 모든 T2(하우스도르프) 공간은 모든 콤팩트 서브셋이 닫힌다는 공리를 만족시키지만, 그 반대가 반드시 참인 것은 아니다. 셀 수 없을 정도로 많은 지점의 코코ountable 토폴로지의 경우 콤팩트 세트는 모두 유한하여 모든 것이 닫혔지만 공간은 T2(하우스도르프)가 아니다.

참고 항목

메모들

  1. ^ 셰히터, 페이지 441
  2. ^ 셰히터, 페이지 443

참조

  • Schechter, Eric (1997). Handbook of Analysis and its Foundations. San Diego: Academic Press. ISBN 0126227608. (Ri 공리 포함)
  • Willard, Stephen (1970). General topology. Reading, Mass.: Addison-Wesley Pub. Co. ISBN 0-486-43479-6. (주 정의에 언급된 비 Ri 공리가 모두 포함됨)
  • Merrifield, Richard E.; Simmons, Howard E. (1989). Topological Methods in Chemistry. New York: Wiley. ISBN 0-471-83817-9. (한정된 공간을 강조하여 분리 공리에 대한 읽기 쉬운 소개)

외부 링크