절대 볼록 세트

수학에서 실제적이거나 복잡한 벡터 공간의 부분집합 C는 볼록하고 균형을 이루면 절대적으로 볼록하거나 원반이라고 한다(일부 사람들은 '균형' 대신 '순환'이라는 용어를 사용하기도 한다). 이 경우 원반이라고 한다.원반형 선체 또는 세트의 절대 볼록형 선체는 해당 세트가 들어 있는 모든 원반들의 교차점이다.

정의

실제 또는 복잡한 벡터 $공간{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$의 $부분집합{\displaystyle }$ S ${\displaystyle S}$을 디스크라고 하며, 다음과 같은 동등한 조건 중 하나가 충족되면 디스크, 절대 볼록, 볼록 밸런싱이라고 한다.

1. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$은(는) 볼록하고 균형이 잡혀 있다.
2. 모든 스칼라의 경우${\displaystyle ,}$ $a{\displaystyle }$ ${\displaystyle a}$ 및$$ $b{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle$ $b$$,$ 만약 + ${\displaystyle b}$ $\leq 1}$이면 ${\displaystyle \mathrm{S<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; |a|+|b|\backslash leq\; 1\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/5fac5bddc13c4b1eacc4cf905c76e64997dde2f5"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:11.916ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="41">}}$+ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle aS+bS\subseteq S.}$
3. 모든 스칼라 $a{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle a,$${\displaystyle b}$$,}$ 및 $c$, ${\$$displaystyle c$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 만일}$+ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \le }$ c, {\$displaystyle a \leq c,}$이면 ${\displaystyle S}$+ ${\displaystyle B}$ \s ${\displaystyle \backslash }$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle aS+bS\seteq cs.$S.$}$
4. for any scalars ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ if ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left a_{i}\right \leq 1}$ then ${\displaystyle a_{1}S+\cdots +a_{n}$$S\subseteq S.}$
5. for any scalars ${\displaystyle c,a_{1},\ldots ,a_{n}}$ if ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left a_{i}\right \leq c }$ then ${\displaystyle a_{1}S+\cdots +a_{n}$$S\subseteq cs.$$}$

세트가$$ $포함$된 X$${\$displaystyle$X}의 가장 작은 볼록(resp. balance) 부분집합을 해당 세트의 볼록 선체(resp. balegal)라고 하며, ${\displaystyle 이}$ 부분집합은 ${\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {bal}S}($resp. ${\displaystyle \mathrm{bal}}$)로 표시된다.$$$$

마찬가지로,disked 선체는 절대 볼록 선체와 집합 S{S\displaystyle}의 볼록 균형 잡힌 선체에서 가장 작은 디스크(부분 집합 포함에 대하여)S가 있다.{S.\displaystyle}S의disked 선체[1]{S\displaystyle}디스크에 의해 S{\displaystyle \operatorname{d⁡ 표시될 것이다 정의된다isk$} S}$ 또는$$ ${\displaystyle \mathrm{cobal}}$ ${\displaystyle \mathrm{bal}}$S ${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$이며, 이는 다음 각 세트와 동일하다.

1. ${\displaystyle \operatorname {co} (\operatorname {bal} S),}$ which is the convex hull of the balanced hull of ${\displaystyle S}$; thus, ${\displaystyle \operatorname {cobal} S=\operatorname {co} (\operatorname {bal} S).$$}$
   • 일반적으로 ${\displaystyle \mathrm{코발}}$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle \mathrm{bal}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{co}}$ ${\displaystyle }$ S${\displaystyle }$) ${\displaystyle \operatorname {cobal} S\neq \operatorname {bal}(\operatorname {co} S)}$은 유한 치수 벡터 공간에서도 가능하다.
2. $S{\displaystyle }$. ${\displaystyle S}$을(를) 포함하는 모든 디스크의 교차점
3. ${\displaystyle \left\{\sum _{i=1}^{n}s_{i}x_{i}~:~n\in \mathbb {N} ,\,x_{i}\in A,\,\sum _{i=1}^{n}\left s_{i}\right \leq 1\right\}.$$}$ 여기서$$ ${\displaystyle s_{}}$ i ${\$는 기본$$ 필드의 요소다.

충분한 조건

임의적으로 많은 절대 볼록한 집합의 교차점은 다시 절대 볼록하다. 그러나 절대 볼록한 집합의 조합은 더 이상 절대 볼록할 필요가 없다.

$D{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $D$$}$이(가) $X{\displaystyle }$, ${\displaystyle$ X$,}$의 디스크인 경우, $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$은(는) X ${\displaystyle X}$에서 흡수되며${\displaystyle ,}$ 이는 ${\displaystyle \mathrm{스팬}}$D = ${\displaystyle X}$.$${\$displaystystyle \opername {span}D=X$인 경우에만 해당된다$.$$}$^[2]

특성.

$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$이(가) 벡터 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X$$}$의 흡수 디스크 $E{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle E$$}$이(가$)$ 있는 경우$$${\displaystyle ,}$ $X{\displaystyle }$ {\displaystyle X$}$에 E {\displaystyle E$+E\subseteq S.$

국소적으로 볼록한 위상 벡터 공간에 있는 경계 세트의 절대 볼록한 선체가 다시 경계를 이룬다.

If ${\displaystyle D}$ is a bounded disk in a TVS ${\displaystyle X}$ and if ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ is a sequence in ${\displaystyle D,}$ then the partial sums ${\displaystyle s_{\bullet }=\left$$(s_{n}\오른쪽)_{n=1}^{\infit{}}}}}$은(는) Cauchy이며, 여기서 모든 $n{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle$ n${\displaystyle \underset{}{\overset{}{,\}}}}$$s$${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle :=\underset{}{\overset{}{n}}}$1n = ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle 2_{}{}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ ${\displaysty s_{n}=1^{n2}x_{i}}.$$}$ 특히$$^[4], $추가{\displaystyle }$ D$${\$displaystyle$D}이$($가)${\displaystyle }$X ,$${\$displaystyle X,}$의 순차적으로 완전한 부분 집합인 경우$$, 이 $시리즈{\displaystyle {}_{}}$s $∙$ {\$displaystyle$s_{\$bullet$}}은(는) X ${\$$displaystyle$$$X}의 특정 지점에 수렴된다$.$$}$

$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 볼록형 균형 선체는 $S{\displaystyle }${\$displaystyle$ S$}$의 볼록형 선체와$$ $S{\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ $S$$.}$의 균형형 선체를 모두 포함하고$$ 있으며, 나아가$$$$ $S{\displaystyle ;}$ ${\displaysty$ S$;}$의 볼록형 균형형 선체를 포함하고 있다.

아래 예에서 이러한 포함이 엄격할 수 있음을 보여준다.However, for any subsets ${\displaystyle S,T\subseteq X,}$ if ${\displaystyle S\subseteq T}$ then ${\displaystyle \operatorname {cobal} S\subseteq \operatorname {cobal} T}$ which implies ${\displaystyle \operatorname {cobal} (\op$$eratorname {co} S)=\operatorname {cobal} S=\operatorname {cobal}(\operatorname {bal} S).$$}$

예

비록cobal S)⁡ co⁡(bal ⁡ S),{\displaystyle \operatorname{cobal}S=\operatorname((\operatorname{bal}S),}S는 볼록 균형 잡힌 선체{S\displaystyle}반드시 S는 볼록 선체의 균형 선체와 같지 않아. 여기가 어디cobal S⁡ ≠ bal⁡(coS⁡){\d 예를 들어{S.\displaystyle}[1].isp$laystyle \operatorname {cobal} S\neq \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)}$ let ${\displaystyle X}$ be the real vector space ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ and let ${\displaystyle S:=\{(-1,1),(1,1)\}.}$ Then ${\displaystyle \operatorname {bal} (\opera$$토르네임 {co} S)}$은 볼록하지도 않은$$ ${\displaystyle \mathrm{코발}}$ ${\displaystyle }$ S ${\displaystyle \operatorname {cobal}$ S$}$의 엄격한 하위 집합이다$$. 특히 이 예는 볼록 세트의 균형 잡힌 선체가 반드시 볼록한 것은 아님을 보여준다.The set ${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$ is equal to the closed and filled square in ${\displaystyle X}$ with vertices ${\displaystyle (-1,1),(1,1),(-1,-1),}$ and ${\displaystyle (1,-1)}$ (this is because the balanced set ${\displayst$$yle \operatorname {cobal} S}$ must contain both ${\displaystyle S}$ and ${\displaystyle -S=\{(-1,-1),(1,-1)\},}$ where since ${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$ is also convex, it must consequently contain the solid square ${\displaystyle \opera$이 특정 예에 대해 $토르네임 {co}((-$${\displaystyle S}$$)\cup$ S$)$도 균형이 잡혀서 ${\displaystyle \mathrm{코발}}$ ${\displaystyle S}$= ${\displaystyle \mathrm{co}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- S${\displaystyle }$) ${\displaystyle \cup }$ ${\displaystyle S}$ ) ${\displaysty \operatorname {coal}$ $S=\operatorname {co}((-S)\cuper$S)}이$($가)}이(가)되도록 한다.$$However, ${\displaystyle \operatorname {co} (S)}$ is equal to the horizontal closed line segment between the two points in ${\displaystyle S}$ so that ${\displaystyle \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)}$ is instead a closed "hour glass shaped" subset that intersects the ${\displaystyle$$x}$-axis at exactly the origin and is the union of two closed and filled isosceles triangles: one whose vertices are the origin together with ${\displaystyle S}$ and the other triangle whose vertices are the origin together with ${\displaystyle -S=\{(-1,-1),(1,-1)\}.$$}$ This non-convex filled "hour-glass" ${\displaystyle \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)}$ is a proper subset of the filled square ${\displaystyle \operatorname {cobal} S=\operatorname {co} (\operatorname {bal} S).$$}$

참고 항목

위키북 대수학에는 다음과 같은 주제에 관한 페이지가 있다.벡터 공간

• 흡수 세트 – 임의의 지점에 도달하도록 "팽창"할 수 있는 세트
• 균형 세트 – 기능 분석 시 시공
• 경계 집합(위상 벡터 공간) – 경계도의 일반화
• 볼록 세트 – 기하학에서 모든 선을 단일 선 세그먼트로 교차하는 세트
• 스타 도메인
• 대칭 집합
• 벡터(지오메트리), 물리 벡터의 경우
• 벡터 필드 – 유클리드 공간의 부분 집합에 있는 각 점에 벡터 할당

참조

참고 문헌 목록

• Robertson, A.P.; W.J. Robertson (1964). Topological vector spaces. Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 53. Cambridge University Press. pp. 4–6.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. p. 39. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
• Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.