유클리드 공간

3차원 유클리드 공간의 한 점은 3개의 좌표에 의해 위치할 수 있다.

유클리드 공간은 물리 공간을 표현하기 위한 기하학의 기본 공간이다.원래, 그것은 유클리드의 원소에서는 유클리드 기하학의 3차원 공간이었지만, 현대 수학에서는 3차원 공간과 유클리드 평면 (2차원)을 포함한 어떤 양의 정수 ^[1]차원의 유클리드 공간이 있다."유클리드"라는 수식어는 나중에 물리학과 현대 수학에서 고려된 다른 공간들과 유클리드 공간을 구별하기 위해 사용됩니다.

고대 그리스 기하학자들은 물리적 공간을 모델링하기 위해 유클리드 공간을 도입했다.그들의 일은 고대 그리스 수학자 유클리드에 의해 그것의 Elements,[2]에, 몇가지 근본적인 속성부터에 의해 우주의 이론으로 모든 속성을 증명한 혁신과, 얼마나 자주'o'를는데 분명한(예를 들어, 딱 한 직선 두개의 포인트를 통과 하고 있다.)로 여겨졌다 공준을 불렀다 수집한 것r증명할 수 없을 것 같았다.

19세기 말에 비유클리드 기하학이 도입된 후, 옛 가설들은 공리 이론을 통해 유클리드 공간을 정의하기 위해 다시 공식화되었다.벡터 공간과 선형 대수에 의한 유클리드 공간의 또 다른 정의는 자명한 정의와 동등한 것으로 나타났다.이 정의는 현대 수학에서 더 일반적으로 사용되며 이 ^[3]기사에 자세히 설명되어 있습니다.모든 정의에서, 유클리드 공간은 점들로 구성되는데, 점들은 유클리드 공간을 형성하기 위해 반드시 가져야 하는 특성들에 의해서만 정의된다.

기본적으로 각 차원의 유클리드 공간은 하나밖에 없다. 즉, 주어진 차원의 모든 유클리드 공간은 동형이다.따라서, 대부분의 경우 특정 유클리드 공간(일반적으로 도트 곱을 갖춘 실제 $\mathbb {R} ^{n},$ R $\mathbb {R} ^{n},$ n $\mathbb {R} ^{n},$ , $\displaystyle \mathbb$ {R} $^{n$ })으로 $\mathbb {R} ^{n},$ 작업할 수 있다.유클리드 공간에서 $\mathbb {R} ^{n}$ n $\mathbb {R} ^{n}$ \ $displaystyle \mathbb {R}$ ^{ $n}$ 까지의 $\mathbb {R} ^{n}$ 동형사상은 유클리드 공간에서 그 점을 찾고 그 점의 데카르트 좌표라고 불리는 실수의 n-tuple을 각 점과 관련짓는다.

정의.

정의 이력

유클리드 공간은 고대 그리스인에 의해 우리의 물리적 공간의 추상화로서 소개되었다.유클리드의 원소에 나타난 그들의 위대한 혁신은 물리적 세계로부터 추상화된 몇 가지 매우 기본적인 특성에서 출발하여 모든 기하학을 만들고 증명하는 것이었다. 그리고 더 기본적인 도구가 부족하기 때문에 수학적으로 증명될 수 없다.이러한 성질을 현대어로는 공리 또는 공리라고 합니다.유클리드 공간을 정의하는 이 방법은 합성 기하학이라는 이름으로 여전히 사용되고 있다.

1637년, 르네 데카르트는 데카르트 좌표를 도입했고, 이것이 기하학적 문제를 숫자를 이용한 대수적 계산으로 줄일 수 있다는 것을 보여주었다.대수학으로의 기하학 감소는 그때까지 실수는 길이와 거리의 관점에서 정의되었기 때문에 주요한 관점의 변화였다.

유클리드 기하학은 19세기까지 3차원 이상의 공간에 적용되지 않았다.루드비히 슐레플리는 합성법과 대수법을 모두 사용하여 유클리드 기하학을 $차원$ n의 공간으로 일반화했고,^[4] 모든 차원의 유클리드 공간에 존재하는 모든 규칙적인 폴리토프(플라톤 고체의 고차원 유사체)를 발견했다.

해석 기하학이라고 불리는 데카르트의 접근법이 광범위하게 사용되었음에도 불구하고, 유클리드 공간의 정의는 19세기 말까지 변하지 않았다.추상 벡터 공간의 도입은 순수하게 대수적 정의로 유클리드 공간을 정의하는 데 그들을 사용할 수 있게 했다.이 새로운 정의는 기하학적 공리의 관점에서 고전적 정의와 동등하다는 것이 증명되었다.현재 유클리드 공간을 도입하는데 가장 자주 사용되는 것은 이 대수적 정의이다.

현대적 정의의 동기

유클리드 평면을 생각하는 한 가지 방법은 거리와 각도로 표현 가능한 특정한 관계를 만족시키는 점들의 집합이다.예를 들어 평면에는 두 가지 기본 연산(모션이라고 함)이 있습니다.하나는 변환으로, 모든 점이 같은 방향으로 같은 거리만큼 이동하도록 평면을 이동하는 것을 의미합니다.다른 하나는 평면의 고정점을 중심으로 회전하는 것으로, 평면의 모든 점이 동일한 각도를 통해 해당 고정점을 중심으로 회전합니다.유클리드 기하학의 기본 원칙 중 하나는 평면의 두 도형(보통 부분 집합으로 간주됨)이 변환, 회전 및 반사의 어떤 시퀀스에 의해 다른 도형으로 변환될 수 있다면 동등하다고 간주되어야 한다는 것이다(아래 참조).

이 모든 것을 수학적으로 정밀하게 만들기 위해서, 이론은 유클리드 공간이라는 것과 거리, 각도, 변환, 그리고 회전의 관련 개념을 명확하게 정의해야 한다.유클리드 공간은 물리 이론에서 사용되더라도 실제 물리적 위치, 특정 기준 프레임, 측정 기구 등과 분리된 추상체이다.유클리드 공간의 순수 수학적인 정의 또한 길이와 다른 물리적 차원의 단위들에 대한 질문을 무시한다: "수학적인" 공간에서의 거리는 인치나 미터로 표현되는 것이 아니라 숫자이다.

이 기사의 나머지 부분에서 수학적으로 유클리드 공간을 정의하는 표준 방법은 유클리드 공간을 실제 벡터 공간을 작용시키는 점 집합, 즉 내적 ^[1]산물을 갖춘 번역의 공간으로 정의하는 것이다.변환의 동작에 의해 공간은 아핀 공간이 되어 선, 평면, 서브스페이스, 치수 및 병렬화를 정의할 수 있습니다.내부 제품은 거리와 각도를 정의할 수 있습니다.

도트 곱을 갖춘 실수 n-튜플의 $\mathbb {R} ^{n}$ R $\mathbb {R} ^{n}$ \ $displaystyle \mathbb {R}$ ^{ $n}$ 은 $\mathbb {R} ^{n}$ $차원$ n의 유클리드 공간이다.반대로, 변환 공간의 원점과 직교 기저라고 불리는 점의 선택은 유클리드 공간으로 보는 $차원$ $\mathbb {R} ^{n}$ 과 $R$ n $사이$ 의 $\mathbb {R} ^{n}$ 동형성을 정의하는 것과 같다 $.$

따라서 유클리드 공간에 대해 말할 수 있는 모든 것은 $\mathbb {R} ^{n}.$ n $.\displaystyle \mathbb {R}^{n}$ 에 $\mathbb {R} ^{n}.$ 말할 수 있습니다.} 따라서 $\mathbb {R} ^{n}.$ 많은 저자들, $특히$ 초등 수준에서 R $\mathbb {R} ^{n}$ \ $displaystyle$ \ $mathbb$ { $R} ^{$ n $\mathbb {R} ^{n}$ }을 차원 ^[5]n의 $표준$ 유클리드 공간 또는 단순히 차원 $n$ 의 유클리드 공간이라고 부른다 $.$

이처럼 유클리드 공간의 추상적 정의를 도입하고 $\mathbb {R} ^{n}$ { $R}^{n$ }) 대신 이를 사용하는 이유는 종종 좌표와 원점이 없는 방식으로 작업하는 것이 선호되기 때문이다(즉, 선호 기준과 선호 원점을 선택하지 않음).또 다른 이유는 물리적 세계에는 기원이나 근거가 없다는 것이다.

기술적 정의

유클리드 벡터 공간은 실수에 걸친 유한 차원 내부 곱 공간입니다.

유클리드 공간은 연관 벡터 공간이 유클리드 벡터 공간인 실수의 아핀 공간이다.유클리드 공간은 유클리드 벡터 ^[6]공간과 구별하기 위해 유클리드 아핀 공간이라고 불리기도 한다.

E가 유클리드 공간인 $경우$ 관련 벡터 공간은 종종 E ${\overrightarrow {E}}.$ . ${\overrightarrow {E}}.$ { $displaystyle {E}$ 로 ${\overrightarrow {E}}.$ 됩니다. ${\overrightarrow {E}}.$ 유클리드 공간의 차원은 연관된 벡터 공간의 차원이다.

E의 $요소$ 는 점이라고 불리며 일반적으로 대문자로 표시됩니다.E $→$ ${\$ style {\ $display\overright 화살표$ {E $}}}$ 의 ${\overrightarrow {E}}$ 요소를 유클리드 벡터 또는 자유 벡터라고 합니다.그것들은 또한 번역이라고 불리기도 하지만, 제대로 말하자면, 번역은 유클리드 공간에서의 유클리드 벡터의 작용으로 인한 기하학적 변환이다.

$점$ P에 대한 $변환$ v의 동작은 P + $v$ 로 $표시$ 된 점을 제공합니다. 이 동작은 다음을 만족합니다.

P+(v+w)=(P+v)+w.

(왼쪽의 두

번째 +는 벡터 덧셈이고

,

다른 모든 +는 점에 대한 벡터의 동작을 나타냅니다.이 표기법은 +의

두 가지 의미를 구별하기 위해 왼쪽 인수의 성질을 보면 충분하기 때문에 모호하지 않습니다.)

작용이 자유롭고 과도적이라는 것은 모든 점 쌍( $P,$ $Q)$ 에 대해 정확히 하나의 $벡터$ v가 존재하여 P + $v$ = $Q$ 가 $된다는$ 것을 의미합니다.이 $벡터$ v는 Q - $P$ ${\overrightarrow {PQ}}.$ ${\overrightarrow {PQ}}.$ Q ${\overrightarrow {PQ}}.$ . ${\overrightarrow {PQ}}.$ { $displaystyle$ { $overright$ arrow ${PQ$ }로 $표시$ 됩니다. $}$

앞서 설명했듯이, 유클리드 공간의 기본 특성 중 일부는 아핀 공간의 구조에서 비롯된다.§ Affine 구조와 그 서브섹션에 설명되어 있습니다.② Metric 구조 및 그 서브섹션에서 내부 제품에서 발생하는 특성에 대해 설명합니다.

프로토타입 예시

임의의 벡터 공간에 대해서, 덧셈은 벡터 공간 자체에 대해서 자유롭고 횡단적으로 작용한다.따라서 유클리드 벡터 공간은 그 자체가 연관된 벡터 공간인 유클리드 공간으로 볼 수 있다.

유클리드 벡터 공간의 대표적인 예는 R $\mathbb {R} ^{n}$ \ $displaystyle \mathbb {R}$ ^{ $n}$ 이다 $\mathbb {R} ^{n}$ .유클리드 공간의 이 특별한 예시의 중요성은 모든 유클리드 공간이 그것과 동형이라는 사실에 있다.보다 정확하게는, $차원$ n의 유클리드 $공간$ E가 주어지면, E $→$ {\ $displaystyle$ {E $}}$ 의 ${\overrightarrow {E}}$ 원점 및 직교 기저라고 하는 점의 선택은 $\mathbb {R} ^{n}.$ 에서 R $\mathbb {R} ^{n}.$ 까지의 유클리드 공간의 동형성을 정의한다 $.$ \ $displaystyle \mathbb {R} ^{n}$ $}$

$차원$ n의 모든 유클리드 공간이 그것과 동형이기 때문에, 유클리드 $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ n \ $displaystyle \mathbb {R}$ ^{ $n}$ 은 $\mathbb {R} ^{n}$ $차원$ ^[5]n의 표준 유클리드 공간이라고 불리기도 한다.

아핀 구조

유클리드 공간의 일부 기본 특성은 유클리드 공간이 아핀 공간이라는 사실에만 의존한다.이러한 속성을 아핀 속성이라고 하며, 다음 하위 섹션에서 자세히 설명하는 선, 하위 공간 및 병렬의 개념을 포함합니다.

서브스페이스

E를 유클리드 공간으로 ${\overrightarrow {E}}$ E $→$ 관련 벡터 공간 $(\displaystyle\overrightarrow$ { $E})$ 으로 ${\overrightarrow {E}}$ $합니다$ .

$E$ 의 평평한 유클리드 부분 공간 또는 아핀 부분 공간은 다음과 같이 E의 $부분$ 집합 F이다.

({displaystyle {overright arrow {F}}=\left\{\overright arrow {PQ}}\mid P\in F\in F\right\})

는 E ${\overrightarrow {E}}.$ 의 선형 부분 공간입니다 $.$ {{ $displaystyle {E}}.$ 유클리드 부분 $공간$ F는 F $→$ {{ $displaystyle {F}}$ 을 ${\overrightarrow {E}}.$ $\overrightarrow F$ (를) 연관 벡터 공간으로 ${\overrightarrow {F}}$ 유클리드 공간입니다.이 선형 부분 ${\overrightarrow {F}}$ F $→$ {\ $style\overright$ arrow { $F}}$ 을 $\overrightarrow F$ $F$ 의 방향이라고 합니다.

$P$ 가 $F$ 의 점이라면

(\displaystyle F=\left\{P+v\mid v\in\overright 화살표 {F}\right}).}

반대로, P가 $E$ 의 $점$ 이고 V가 E ${\overrightarrow {E}},$ 의 선형 부분 공간인 $경우$ $,$ {\style $\overrightarrow$ { $E$ 표시

(\displaystyle P+V=\left\{P+v\mid v\in V\right\})

$방향$ V의 유클리드 부분 공간입니다.

유클리드 벡터 공간( $E={\overrightarrow {E}}$ , E $=$ $E={\overrightarrow {E}}$ $→$ { $displaystyle$ E $→$ { $E$ 은 유클리드 부분 공간과 선형 부분 공간이라는 두 종류의 부분 공간을 가진다.선형 부분 공간은 유클리드 부분 공간이고, 유클리드 부분 공간은 제로 벡터를 포함하는 경우에만 선형 부분 공간입니다.

선과 세그먼트

유클리드 공간에서 선은 1차원의 유클리드 부분 공간이다.차원 1의 벡터 공간이 0이 아닌 벡터에 의해 확장되기 때문에 선은 형식의 집합이다.

\displaystyle \left \{P+\lambda \overright 화살표 {PQ}\mid \lambda \in \mathbb {R} \right \}

여기

서

P

와 Q는 두 개의 다른 포인트입니다.

따라서 두 개의 서로 다른 점을 통과하는 선이 정확히 한 개 있습니다.이는 두 개의 뚜렷한 선이 최대 한 점에서 교차한다는 것을 의미합니다.

$P$ 와 Q를 $통과$ 하는 선의 보다 대칭적인 표현은 다음과 같습니다.

\displaystyle \left \{O+(1-\lambda) {\overright 화살표 {OP}+\lambda {OQ}\mid \lambda \in \mathbb {R} \right\}

여기

서 O는 임의의 점(회선상에 필요 없음)입니다.

유클리드 벡터 공간에서, 0 벡터는 보통 O에 $대해$ 선택된다; 이것은 앞의 공식을 단순화할 수 있게 해준다.

\displaystyle \left\{(1-\lambda)P+\mid \lambda \in \mathbb {R} \right\}.}

표준 규약에서는 모든 유클리드 공간에서 이 공식을 사용할 수 있습니다. 아핀 공간 ine 아핀 조합 및 바리센터 참조.

$점$ P와 $점$ Q를 연결하는 선분(단순한 세그먼트)은 앞의 공식에서 0 ≤ $𝜆 1$ 1이 $되도록$ 점의 서브셋입니다. $PQ$ 또는 $QP$ 로 표시됩니다.즉,

(\displaystyle PQ=QP=\left\{P+\lambda\overright 화살표{PQ}}\mid 0\leq\leq\leq 1\right\}).}

평행성

유클리드 공간에서 같은 치수의 두 부분 $공간$ $S$ 와 T는 ^[a]같은 방향을 가지면 평행하다.마찬가지로 서로 매핑하는 $변환$ v 벡터가 있는 경우 두 벡터는 병렬입니다.

T=S+v

$점$ P와 부분 $공간$ S가 주어진 경우, P를 $포함$ 하고 $S$ 와 평행한 부분 공간이 정확히 하나 존재하며 $P+{\overrightarrow {S}}.$ $P+{\overrightarrow {S}}.$ 는 P + $P+{\overrightarrow {S}}.$ $P+{\overrightarrow {S}}.$ $.\displaystyle$ P $+{\overrightarrow {S}}$ S가 $P+{\overrightarrow {S}}.$ 선(차원 1의 부분 공간)인 경우 이 속성은 Playfair의 공리입니다.

따라서 유클리드 평면에서 두 선은 한 점에서 만나거나 평행합니다.

평행 서브스페이스의 개념은 서로 다른 치수의 서브스페이스로 확장되었습니다.두 서브스페이스 중 하나의 방향이 다른 방향으로 포함되면 두 서브스페이스는 평행합니다.

미터법 구조

유클리드 $공간$ E와 관련된 벡터 ${\overrightarrow {E}}$ E $→$ {\ $display\overright arrow$ {E $}}}$ 은 ${\overrightarrow {E}}$ 내부 곱 공간이다.이것은 대칭 쌍선형 형태를 의미한다.

\displaystyle {\begin{aligned}\times \overright 화살표 {E}\to \mathbb {R}\(x,y)\map to \langle x,y\rangle \end{aligned}

(즉

\langle x,x\rangle

"

\langle x,x\rangle

"x

"

({

displaystyle\displaystyle x,x\rangle})

는

\langle x,x\rangle

항상 x

00

에

대해

양의 값입니다).

유클리드 공간의 내부곱은 종종 점곱이라고 불리며 x $y$ y로 $표기$ 된다.이것은 특히 데카르트 좌표계가 선택된 경우이며, 이 경우 두 벡터의 내부곱은 좌표 벡터의 점곱이다.이러한 이유로, 그리고 역사적인 이유로, 점 표기법은 유클리드 공간의 내적곱에 대괄호 표기법보다 더 일반적으로 사용됩니다.이 문서는 이 용법에 $\langle x,y\rangle$ . $\langle x,y\rangle$ 이 문서의 나머지 부분에서는 " $x$ , y $\langle x,y\rangle$ " $\langle x,y\rangle$ (\ $displaystyle \langle$ x , $y$ \ $rangle$ )"로 $\langle x,y\rangle$ $표기$ 됩니다 $.$

$벡터$ x의 유클리드 노름은

(\displaystyle\x\=displayrt {x\cdot x}).}

내적과 규범은 유클리드 기하학의 미터법과 위상학적 특성을 표현하고 증명할 수 있게 한다.다음 서브섹션에서는 가장 기본적인 것에 대해 설명합니다.이러한 하위 섹션에서 E는 임의의 유클리드 공간을 ${\overrightarrow {E}}$ , E $→$ {\ $displaystyle$ {\ $overrightarrow$ { $E}}}$ 은 ${\overrightarrow {E}}$ 번역 벡터 공간을 나타냅니다.

거리와 길이

유클리드 공간의 두 점 사이의 거리(더 정확히는 유클리드 거리)는 한 점을 다른 점으로 매핑하는 변환 벡터의 표준이다.

d(P,Q)={\overright arrow {PQ}}{\vphantom {}{\Bigr \}

세그먼트

PQ의 길이는 엔드포인트 사이의

거리

d

(P,

Q)

입니다.

|PQ|

Q

style

PQ

|PQ|

로

|PQ|

되는 경우가 많습니다.

거리는 양의 유한하고 대칭이며 삼각 부등식을 만족시키기 때문에 측정 기준이다.

\displaystyle d(P,Q)\leq d(P,R)+d(R,Q).}

또한 R이

세그먼트

PQ에 속하는

경우

에만 동등성이 참입니다.이 부등식은 삼각형의 모서리 길이가 다른 모서리 길이의 합보다 작다는 것을 의미합니다.이것이 삼각 부등식이라는 용어의 기원이다.

유클리드 거리로, 모든 유클리드 공간은 완전한 미터법 공간이다.

직교성

E $→$ {\ $displaystyle$ {\ $overrightarrow {E}}}$ 의 ${\overrightarrow {E}}$ 0이 아닌 두 $벡터$ u $및$ v는 내부 곱이 0인 경우 수직 또는 직교입니다.

u\cdot v=0

첫 번째 벡터의 0이 아닌 모든 벡터가 두 번째 벡터의 0이 아닌 모든 벡터에 수직인 경우 E $→$ {{ $displaystyle {E}}}$ 의 ${\overrightarrow {E}}$ 두 선형 부분 공간은 직교합니다.이는 선형 부분 공간의 교차가 0 벡터로 감소함을 의미합니다.

두 개의 선, 그리고 보다 일반적으로 두 개의 유클리드 하위 공간은 방향이 직교인 경우 직교입니다.교차하는 두 직교선을 수직이라고 합니다.

${\overrightarrow {AB}}$ ${\overrightarrow {AB}}$ B $→$ {\ $displaystyle {AB}}$ ${\overrightarrow {AC}}$ A ${\overrightarrow {AC}}$ $→$ {\ $displaystyle {AC}}$ 이 ${\overrightarrow {AC}}$ 직교할 경우 공통 끝점을 공유하는 두 세그먼트 AB 및 $AC$ 는 $수직$ 이거나 직각을 형성합니다.

$AB$ 와 AC가 직각을 $이루면$ , 다음과 같이 됩니다.

BC ^{2}= AB ^{2}+ AC ^{2}.

이것은 피타고라스의 정리이다.이러한 맥락에서 증명은 쉽다. 즉, 내부 제품의 이중선과 대칭을 사용하여 이를 내부 제품의 관점에서 표현하면 다음과 같다.

({displaystyle {arright arrow {BC} & = cdot {overright arrow {BC} \ & = left ( { \ overright arrow { AC } } + { \ right } ) \ cdot \ left \ cdot \ 、 overright arrow { BA } } + { BA } } ）\&=cdot {BA}\cdot {overrightarrow {BA}+{\overrightarrow {AC}}-2{\overrightarrow {AB}\=cdot {overrightarrow {AB}}\&=cdot {overrightarrow {AB}}\cdrow {AB+}}\end { aligned}}

각

방향 평면에서의 양각과 음각

E $→$ \ $displaystyle$ \ $overrightarrow {E}}$ 의 ${\overrightarrow {E}}$ 0이 아닌 두 $벡터$ x $및$ y 사이의 (비방향) 각도θ는 $다음$ 과 같습니다.

\displaystyle \theta =\arccos \leftfrac {x\cdot y}{\left\x\right\y\right}}\right}

여기

서 arccos는 arccosine 함수의 주요 값입니다.코시-슈바르츠 부등식에 의해, 아크코신의 인수는 [-

1, 1]

구간에 있다.따라서

θ

는

실재

하고 0은

실재

한다

(

각도

를 도수로 측정하면 0은

실재

한다).

각도는 0 또는 θ일 수 있기 $때문$ 에 유클리드 선에서는 유용하지 않다.

지향성 유클리드 평면에서는 두 벡터의 지향각을 정의할 수 있다.두 $벡터$ $x$ 와 y의 방향 각도는 $y$ 와 x의 $방향$ 각도와 반대입니다.이 경우 2개의 벡터의 각도는 $2µ$ 의 정수배수의 임의의 값을 가질 수 있습니다.특히 $반사각θ$ < < < $2$ $equals$ 는 음각 - < < - $2$ < < $0$ 입니다.

두 벡터의 각도는 양수를 곱해도 변하지 않습니다.보다 정확하게는 $x$ 와 y가 2개의 벡터이고 $θ$ 와 μ가 $실수라면$

\displaystyle \operatorname {angle} (\displayda x,\mu y)=operatorname {angle} (x,y)\qquad \qquad {text}\mu {text}\pi -\operatorname {angle} (x,y)\end {case}}

A, $B$ , $C$ 가 유클리드 공간의 세 점이라면, $AB$ 와 $AC$ 의 각도는 ${\overrightarrow {AB}}$ B $→$ {\ $displaystyle {AB}}$ 및 ${\overrightarrow {AB}}$ ${\overrightarrow {AC}}.$ ${\overrightarrow {AC}}.$ ${\overrightarrow {AC}}.$ . ${\overrightarrow {AC}}.$ {\ $displaystyle {AC}}$ 의 ${\overrightarrow {AC}}.$ 각도로, 양수 벡터의 곱셈은 두 개의 각도가 변하지 않는다.초기 $점$ A를 정의할 수 있습니다. $세그먼트$ $AB$ 와 AC의 각도입니다. $여기$ 서 $B$ 와 C는 각 반직선에 하나씩 있는 임의의 점입니다.이 값은 적게 사용되지만 초기 점을 공유하지 않는 세그먼트 또는 반직선의 각도를 비슷하게 정의할 수 있습니다.

두 선의 각도는 다음과 같이 정의됩니다. $θ$ 가 각 라인에 1개씩 2개의 세그먼트의 각도인 경우, 다른 2개의 세그먼트(각 라인에 1개씩)의 각도는 $θ$ 또는 $θ$ - $θ$ 중 하나입니다.이러한 각도 중 하나는 $간격$ [0, $θ$ /2 $]$ 에 있고 다른 $하나$ 는 $[θ/ 2$ , $θ$ ]에 있습니다.두 선의 비방향 각도는 $[0, θ$ /2 $]$ 간격의 각도입니다.지향성 유클리드 평면에서, 두 선의 지향각은 구간 $[- θ /2, θ$ / $2]$ 에 속합니다.

데카르트 좌표

$모든$ 유클리드 벡터 공간은 직교하는 단위 벡터(θ $\|e_{i}\|=1$ $(e_{1},\dots ,e_{n})$ $\|e_{i}\|=1$ $\|e_{i}\|=1$ \ $displaystyle$ $(e_{1},\dots ,e_{n})$ \ { $i$ } = 1 $\|e_{i}\|=1$ \ displaystyle \ { i } $\|e_{i}\|=1$ 1 \ displaystyle \ { i } = 1 \ displaystyle \ { $i$ } $\|e_{i}\|=1$ = $1$ $(e_{1},\dots ,e_{n})$ \ $(e_{1},\dots ,e_{n})$ displaystyle \ { i })의 $(e_{1},\dots ,e_{n})$ 기저 $(e_{1},\dots ,e_{n})$ 사실상 1보다 높은 차원에서는 무한히 많고 $(e_{1},\dots ,e_{n})$ 에서는 $(e_{1},\dots ,e_{n})$ 2가 있다 $(e_{1},\dots ,e_{n})$ ${\displaystyle e_{$ i}\ $cdot e_$ {j $}=0$ }(i $e_{i}\cdot e_{j}=0$ ≠ $j$ 의 $경우$ ).보다 정확하게는 $(b_{1},\dots ,b_{n}),$ $(b_{1},\dots ,b_{n}),$ , $(b_{1},\dots ,b_{n}),$ $(b_{1},\dots ,b_{n}),$ $),$ {\ $displaystyle (b_{1},\dots, b_{n}}},$ 그램-슈미트 프로세스는 모든 $i$ 에 대해 ( $e$ 1, $(e_{1},\dots ,e_{i})$ $(b_{1},\dots ,b_{i})$ $)$ 의 선형 스팬 $($ $(b_{1},\dots ,b_{i})$ (e_ $(e_{1},\dots ,e_{i})$ {1 $(b_{1},\dots ,b_{i})$ $dots$ , $e_{i$ $(b_{1},\dots ,b_{i})$ 및 b_ ${i$ $(b_{1},\dots ,b_{i})$ 의 $(b_{1},\dots ,b_{n}),$ $(e_{1},\dots ,e_{i})$ 직교 정규 기저를 계산합니다. $(b_{1},\dots ,b_{i})$ 동등하다.^[7]

유클리드 $공간$ E가 주어졌을 때, 데카르트 프레임은 E ${\overrightarrow {E}},$ , ${\overrightarrow {E}},$ \ $displaystyle \overrightarrow {E}$ 의 ${\overrightarrow {E}},$ 직교 기준과 원점이라고 불리며 종종 $O$ 로 표시되는 E의 $점$ 으로 구성된 데이터 집합입니다.데카르트 프레임 $(O,e_{1},\dots ,e_{n})$ , $(O,e_{1},\dots ,e_{n})$ 1, $(O,e_{1},\dots ,e_{n})$ , e $(O,e_{1},\dots ,e_{n})$ $)(Displaystyle (O, e_{1},\dots, e_{n})$ 을 $(O,e_{1},\dots ,e_{n})$ 사용하면 E 및 E $→(\$ 모두에 ${\overrightarrow {E}}$ $대해$ 다음과 같은 방법으로 데카르트 좌표를 정의할 수 있습니다.

$벡터$ v의 데카르트 좌표는 $e_{1},\dots ,e_{n}.$ 1, $e_{1},\dots ,e_{n}.$ $e_{1},\dots ,e_{n}.$ n $.\displaystyle e_{1},\dots,e_{n}$ 을 기준으로 한 $v$ 의 계수입니다.} 기본은 $e_{1},\dots ,e_{n}.$ 직교 정규이므로 ith 계수는 $v\cdot e_{i}.$ 곱 v $v\cdot e_{i}.$ e . \ $display$ v \ $cdot e$ _ $v\cdot e_{i}.$ { i } 입니다 $.$ $}$

$E$ $지점$ P의 데카르트 좌표는 벡터 $→$ .({ $displaystyle {OP})$ 의 데카르트 좌표입니다. $}$

기타 좌표

3차원 스큐 좌표

유클리드 공간은 아핀 공간이기 때문에, 그 위에 있는 아핀 프레임을 생각할 수 있는데, 이것은 유클리드 프레임과 동일하지만, 기초가 직교 정규적일 필요는 없다.이것은 기준 벡터가 쌍으로 직교하지 않음을 강조하기 위해 스큐 좌표라고도 하는 아핀 좌표를 정의합니다.

$차원$ n의 유클리드 공간의 아핀 베이스는 초평면에 포함되지 않은 n + $1개$ 의 점 $집합$ 이다.아핀 베이스는 모든 점에 대해 중심 좌표를 정의합니다.

다른 많은 좌표계는 다음과 같은 방법으로 $차원$ n의 유클리드 $공간$ E에 정의될 수 있다.f를 $E$ 의 조밀한 열린 부분 집합에서 $\mathbb {R} ^{n}.$ n의 $\mathbb {R} ^{n}.$ 부분 집합으로 동형사상(또는 더 자주 미분형사상)으로 $하자$ $.$ {\ $displaystyle \mathbb {R}$ ^{ $n}}$ $\mathbb {R} ^{n}.$ $E$ 의 점 x의 좌표는 f $(x)$ 의 성분이다.극좌표계(치수 2)와 구면 및 원통좌표계(치수 3)는 이와 같이 정의됩니다.

f의 $영역$ 밖에 있는 점의 경우 좌표를 인접 점의 좌표 한계로 정의할 수 있지만, 이러한 좌표는 고유하게 정의되지 않을 수 있으며 점 근처에서 연속적이지 않을 수 있습니다.예를 들어 구면 좌표계의 경우 극점에서 경도가 정의되지 않으며, 반세미다에서는 경도가 -180°에서 +180°로 연속적으로 통과한다.

이 좌표 정의 방법은 다른 수학적 구조, 특히 다지관에 쉽게 확장됩니다.

등각선

두 미터법 공간 사이의 등각은 거리를 ^[b]보존하는 분사이다.

\displaystyle d(f(x),f(y)=d(x,y)}

유클리드 벡터 공간의 경우, 원점을 원점으로 매핑하는 등각은 규범을 보존한다.

{\displaystyle\f(x)\=\x\,}

왜냐하면 벡터의 노름은 제로 벡터로부터의 거리이기 때문이다. 내생물을 합니다.

f(x)\cdot f(y)=x\cdot y,

(\displaystyle x\cdot y=sysfrac {1}{2}\left(\x+y\^{2}-\x^{2}-\y\^{2}\right)}

유클리드 벡터 공간의 등각은 선형 ^[c]^[8]동형사상입니다.

유클리드 공간의 $f\colon E\to F$ : $f\colon E\to F$ $→$ F {\ $displaystyle f\to$ F $}$ 는 연관된 유클리드 벡터 공간의 ${\overrightarrow {f}}\colon {\overrightarrow {E}}\to {\overrightarrow {F}}$ f ${\overrightarrow {f}}\colon {\overrightarrow {E}}\to {\overrightarrow {F}}$ ${\overrightarrow {f}}\colon {\overrightarrow {E}}\to {\overrightarrow {F}}$ → F $→$ {\ $displaystyle$ {\ $overrightarrow$ { $f}}$ → {\displaystyle {\ $overrightarrow {F}}}$ {\displaystyle {\f}}} 에 대해 ${\overrightarrow {f}}\colon {\overrightarrow {E}}\to {\overrightarrow {F}}$ 정의한다.이것은 두 등각 유클리드 공간이 같은 차원을 가지고 있다는 것을 의미한다.반대로, $E$ 와 F가 유클리드 공간인 ${\overrightarrow {f}}\colon {\overrightarrow {E}}\to {\overrightarrow {F}}$ , O $display$ $E,$ O $display$ F, ${\overrightarrow {f}}\colon {\overrightarrow {E}}\to {\overrightarrow {F}}$ ${\overrightarrow {f}}\colon {\overrightarrow {E}}\to {\overrightarrow {F}}$ : ${\overrightarrow {f}}\colon {\overrightarrow {E}}\to {\overrightarrow {F}}$ $f\colon E\to F$ F $→$ { $displaystyle$ ${ }$ { } { } $display$ { } $display$ { } 、 $to$ { $overrightarrow$ { $F$ } $f\colon E\to F$ → $} display$ display display display display display display display display display display display display display display display display display display display display display display display display display display display display display display display display

f(P)=O'+{\overrightarrow {f}}\left({\overrightarrow {OP}}\right)

이치노

앞의 결과로부터 유클리드 공간의 등각도가 선에 매핑되고, 보다 일반적으로 유클리드 부분 공간이 동일한 차원의 유클리드 부분 공간에 매핑되며, 이러한 부분 공간에 대한 등각의 제약이 이러한 부분 공간의 등각도이다.

시제품 예제를 사용한 등각도

$E$ 가 유클리드 공간이라면, E의 관련 벡터 ${\overrightarrow {E}}$ E $→$ {\ $displaystyle$ {\ $overrightarrow {E}}}$ 은 ${\overrightarrow {E}}$ 유클리드 공간으로 간주할 수 있다.모든 $점$ O $e$ E는 유클리드 공간의 등각도를 정의한다.

P\map to(오른쪽 화살표 {OP})

이는 O를 제로 벡터에

매핑

하고 연관된 선형 맵으로서 식별성을 가집니다.역등각은 지도입니다.

v\mapto O+v

유클리드 프레임 $(O,e_{1},\dots ,e_{n})$ , $(O,e_{1},\dots ,e_{n})$ 1, $(O,e_{1},\dots ,e_{n})$ , $(O,e_{1},\dots ,e_{n})$ n ) $(O,e_{1},\dots ,e_{n})$ { $displaystyle ( O$ , e $_$ { $1}$ , \ $dots$ , $e$ _ { $n$ } } 에서는 $(O,e_{1},\dots ,e_{n})$ 맵을 정의할 수 있습니다.

디스플레이 스타일E&\to \mathbb {R}^{n}\\P&\mapsto \left(e_{1}\cdot {OP},\dots,e_{n}\cdot {OP}\right},\end {aligned}}

이치노은 등등이다.

\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {R}^{n}&\to E\(x_{1}\dots,x_{n})&\mapsto \left(O+x_{1}e_{1}+\dots +x_{n}e_{n}\right).\end { aligned}}

이것은 동형사상까지, 주어진 차원의 유클리드 공간이 정확히 하나라는 것을 의미한다.

이는 많은 저자들이 R $\mathbb {R} ^{n}$ \ $displaystyle \mathbb {R} ^{n}$ 을 $\mathbb {R} ^{n}$ $차원$ n의 유클리드 공간으로 언급하는 것을 정당화한다.

유클리드 군

유클리드 공간으로부터의 등각은 유클리드 등각, 유클리드 변환 또는 강체 변환이라고 불립니다.유클리드 공간의 강체 변환은 유클리드 군이라고 불리며 종종 ISO $(n)$ 의 E $(n)$ 로 표기되는 군을 형성한다.

가장 간단한 유클리드 변환은 번역이다.

(\displaystyle P\to P+v).}

그것들은 벡터와 생물적으로 대응하고 있다.이것은 번역의 공간을 유클리드 공간과 연관된 벡터 공간으로 부르는 이유입니다.그 번역들은 유클리드 그룹의 정규 부분군을 이룬다.

유클리드 $공간$ E의 유클리드 $등각$ f는 ${\overrightarrow {PQ}}$ 과 같은 방식으로 관련 벡터 공간의 선형 등각 ${\overrightarrow {f}}$ ${\overrightarrow {PQ}}$ {\ $displaystyle\overrightarrow {f$ 선형 등각계에 의해 선형 $지도$ 이기도 한 등각 f})를 ${\overrightarrow {f}}$ ${\overrightarrow {PQ}}$ 정의한다 $.$ E의 $임의$ 의 점, 가지고 있다.

{\overright 화살표 {f}}({\overright 화살표 {OP})=f(P)-f(O).

이것이

O의

선택

에 의존하지 않는 선형 맵임을 증명하는 것은 간단합니다.

f $f\to {\overrightarrow {f}}$ $f\to {\overrightarrow {f}}$ $→$ {\ $style$ f $\to\overrightarrow {f}}$ $f\to {\overrightarrow {f}}$ 는 $f\to {\overrightarrow {f}}$ 유클리드 군에서 직교 군이라고 불리는 선형 등각체 군으로의 군 동형이다.이 동형사상의 핵심이 번역군이며, 이것이 유클리드 그룹의 정규 부분군임을 보여준다.

주어진 $점$ P를 고정하는 등각은 P에 $대한$ 유클리드 그룹의 안정기 부분군을 형성한다.위의 군 동형사상의 이 안정제에 대한 제한은 동형사상입니다.즉, 주어진 점을 고정하는 등각선은 직교 군과 같은 군을 형성합니다.

P를 점, f등각으로 $하고$ P를 f $(P)$ 에 $매핑하는$ 변환을 t로 $합니다$ . $g=t^{-1}\circ f$ 도 g $g=t^{-1}\circ f$ $g=t^{-1}\circ f$ - 1 $g=t^{-1}\circ f$ f {\ $displaystyle$ g $=t^{-1}\display$ f $}$ 는 $g=t^{-1}\circ f$ P를 $고정$ 합니다. $f=t\circ g,$ $f=t\circ g,$ $f=t\circ g,$ $f=t\circ g,$ g $f=t\circ g,$ , {\ $displaystyle f=t\display$ g $,}$ 및 유클리드 그룹은 변환군과 직교군의 반직접곱이다.

특수 직교 그룹은 핸드네스를 유지하는 직교 그룹의 정규 부분군입니다.직교 그룹의 색인 2의 부분군입니다. $f\to {\overrightarrow {f}}$ $f\to {\overrightarrow {f}}$ $f\to {\overrightarrow {f}}$ $→$ f → {\ $displaystyle$ f $\to$ {\ $overrightarrow {f}}}$ 그룹에 $f\to {\overrightarrow {f}}$ 의한 역상은 특수 유클리드 그룹 또는 변위 그룹이라고 불리는 유클리드 그룹의 인덱스 2의 정규 부분군이다.그 요소를 강체 운동 또는 변위라고 합니다.

강성 모션에는 동일성, 변환, 회전(적어도 점을 고정하는 강성 모션) 및 나사 모션이 포함됩니다.

강성운동이 아닌 강성변환의 대표적인 예는 반사입니다.반사는 하이퍼플레인을 고정하는 강성변환이며 동일성이 아닙니다.그것들은 또한 일부 유클리드 프레임에서 하나의 좌표의 부호를 변경하는 것으로 구성된 변환이다.

특수 유클리드군이 유클리드군의 지수 2의 부분군이기 때문에, $반사$ r이 주어졌을 때, 강체 운동이 아닌 모든 강체 변환은 r과 강체 운동의 $산물$ 이다.활공 반사는 강성 운동이나 반사가 아닌 강성 변환의 한 예입니다.

이 절에서 검토한 모든 그룹은 Lie 그룹과 대수 그룹이다.

토폴로지

유클리드 거리는 유클리드 공간을 미터법으로, 따라서 위상 공간으로 만든다.이 위상을 유클리드 위상이라고 합니다. $\mathbb {R} ^{n},$ n , $\mathbb {R} ^{n},$ \ $style \mathbb {R}$ ^{ $n}$ 의 $\mathbb {R} ^{n},$ 이 토폴로지도 제품 토폴로지입니다.

오픈 세트는 각 포인트 주위에 오픈볼이 있는 서브셋입니다.즉, 오픈볼은 토폴로지의 기초를 형성합니다.

유클리드 공간의 위상 차원은 그 차원과 같다.이것은 다른 차원을 가진 유클리드 공간이 동형적이지 않다는 것을 암시한다.게다가, 도메인의 불변성 정리는 유클리드 공간의 부분 집합이 같은 차원의 유클리드 공간의 열린 부분 집합과 동질적인 경우에만 열린다고 주장한다.

유클리드 공간은 완전하고 국소적으로 콤팩트하다.즉, 유클리드 공간의 닫힌 부분 집합은 유클리드 공간의 경계(즉, 공에 포함)가 있으면 콤팩트하다.특히 클로즈드 볼은 콤팩트합니다.

자명한 정의

이 기사에서 설명한 유클리드 공간의 정의는 유클리드 공간의 정의와는 근본적으로 다르다.실제로 유클리드는 인간의 마음과 독립적으로 존재하는 물리적 세계를 묘사하는 것으로 생각되었기 때문에 공식적으로 공간을 정의하지 않았다.공식적인 정의의 필요성은 비유클리드 기하학의 도입과 함께 19세기 말에야 나타났다.

두 가지 접근법이 사용되었습니다.펠릭스 클라인은 대칭을 통해 기하학을 정의할 것을 제안했다.이 기사에서 주어진 유클리드 공간의 표현은 기본적으로 번역과 등각성의 그룹에 중점을 두고 그의 에를랑겐 프로그램에서 발행되었다.

반면에, 데이비드 힐버트는 유클리드의 가설에서 영감을 얻어 일련의 공리를 제안했다.이들은 실수의 정의를 포함하지 않기 때문에 합성 기하학에 속합니다.나중에 G. D. Birkhoff와 Alfred Tarski는 실수를 사용하는 단순한 공리 집합을 제안했다(Birkhoff의 공리와 Tarski의 공리를 참조하십시오.

기하학 대수학에서 에밀 아르틴은 유클리드 공간의 모든 정의가 동등하다는 것을 증명했다.^[9]유클리드 공간의 모든 정의가 힐베르트의 공리를 만족시키고 실수와 관련된 정의(위의 정의를 포함)가 동등하다는 것을 증명하는 것은 오히려 쉽다.Artin의 증명에서 어려운 부분은 다음과 같다.힐베르트의 공리에 따르면, 합치는 세그먼트에서의 등가 관계이다.따라서 세그먼트의 길이를 등가 클래스로 정의할 수 있습니다.따라서 이 길이가 음이 아닌 실수의 특성을 만족한다는 것을 증명해야 한다.아르틴은 힐베르트와 동등한 공리로 이것을 증명했다.

사용.

고대 그리스 이래로, 유클리드 공간은 물리적 세계의 모양을 모델링하는 데 사용되었다.그러므로 그것은 물리학, 역학, 천문학 같은 많은 과학에서 사용된다.또한 건축, 측지학, 지형학, 내비게이션, 산업 디자인 또는 기술 도면과 같은 형상, 그림, 위치 및 위치와 관련된 모든 기술 영역에서도 널리 사용됩니다.

3차원보다 큰 공간은 여러 현대 물리학 이론에서 발생합니다. 더 높은 차원을 참조하십시오.물리 시스템의 구성 공간에서도 발생합니다.

유클리드 기하학 외에도, 유클리드 공간은 수학의 다른 분야에서도 널리 사용된다.미분 가능한 다양체의 접선 공간은 유클리드 벡터 공간이다.더 일반적으로, 다양체는 유클리드 공간에 의해 국소적으로 근사된 공간이다.대부분의 비유클리드 기하학은 다양체에 의해 모델링될 수 있고, 더 높은 차원의 유클리드 공간에 내장될 수 있다.예를 들어 타원공간을 타원체로 모델화할 수 있다.기하학적 성질이 아닌 선험적 수학적 객체를 유클리드 공간에서 표현하는 것은 일반적이다.많은 것 중 하나가 그래프의 일반적인 표현이다.

기타 기하학적 공간

19세기 말에 비유클리드 기하학이 도입된 이래, 많은 종류의 공간이 고려되어 왔는데, 유클리드 공간과 같은 방식으로 기하학적 추론을 할 수 있다.일반적으로, 그들은 유클리드 공간과 몇 가지 속성을 공유하지만, 다소 이상하게 보일 수 있는 속성을 가지고 있을 수도 있다.이러한 공간 중 일부는 정의를 위해 유클리드 기하학을 사용하거나 더 높은 차원의 유클리드 공간의 부분 공간으로 모델링될 수 있습니다.그러한 공간이 기하학적 공리에 의해 정의될 때, 유클리드 공간에 공간을 포함시키는 것은 그 정의의 일관성을 증명하는 표준적인 방법이며, 더 정확히는 유클리드 기하학이 일관성이 있다면 그 이론이 일관성이 있다는 것을 증명하기 위한 표준적인 방법이다.

아핀 공간

유클리드 공간은 미터법을 갖춘 아핀 공간이다.아핀 공간은 수학에서 많은 다른 용도를 가지고 있다.특히 모든 필드에 걸쳐 정의되므로 다른 컨텍스트에서 지오메트리를 수행할 수 있습니다.

비선형 질문을 고려하는 즉시, 복소수 위의 아핀 공간을 유클리드 공간의 확장으로 고려하는 것이 일반적으로 유용하다.예를 들어, 원과 선은 복잡한 아핀 공간에 항상 두 개의 교차점(분명하지 않을 수 있음)을 가집니다.그러므로, 대부분의 대수 기하학은 복잡한 아핀 공간과 대수적으로 닫힌 필드 위에 아핀 공간에 구축된다.그러므로 이러한 아핀 공간의 대수 기하학에서 연구되는 모양들은 아핀 대수 변종이라고 불립니다.

유리수 위의 아핀 공간 및 보다 일반적으로 대수적 수 필드 위의 아핀 공간은 (대수) 기하학과 수 이론 사이의 연결을 제공합니다.예를 들어, 페르마의 마지막 정리는 "2보다 높은 정도의 페르마 곡선은 유리수에 대한 아핀 평면에서 점이 없다"고 말할 수 있다.

유한한 장에 걸친 아핀 공간에서의 기하학 또한 널리 연구되어 왔다.예를 들어, 유한 필드에 걸친 타원 곡선은 암호학에서 널리 사용됩니다.

투영 공간

원래 투영 공간은 유클리드 공간에 "무한에서의 점"을 추가하여 도입되었으며, 보다 일반적으로 "두 개의 코프라너 선이 정확히 하나의 점에서 만난다"는 주장을 실현하기 위해 아핀 공간에 추가되었다.투영 공간은 유클리드 및 아핀 공간과 등방성이라는 특성을 공유한다. 즉, 두 점 또는 두 선을 구별할 수 있는 공간의 특성이 없다.따라서, 더 많은 등방성 정의가 일반적으로 사용되며, 이것은 투영 공간을 하나 더 차원 벡터 공간의 벡터 선 집합으로 정의하는 것으로 구성됩니다.

아핀 공간에 관해서는 투영 공간은 모든 필드에 걸쳐 정의되며 대수기하학의 기본 공간이다.

비유클리드 기하학

비유클리드 기하학은 보통 평행 가설이 거짓인 기하학적 공간을 말한다.여기에는 삼각형의 각도의 합이 180° 이상인 타원 기하학과 180° 미만인 쌍곡 기하학이 포함됩니다.19세기 후반의 그들의 도입, 그리고 그들의 이론이 일관성이 있다는 증명은 20세기 초 수학의 근본적인 위기의 근원지에 있는 역설 중 하나이며, 수학의 공리 이론 체계화에 동기를 부여했다.

곡선 공간

다양체는 각 점 근처에서 유클리드 공간을 닮은 공간이다.기술적 용어로, 다양체는 위상 공간이며, 따라서 각 점은 유클리드 공간의 열린 부분 집합과 동형인 근방을 가진다.다양체는 위상 다양체, 미분 가능한 다양체, 매끄러운 다양체 및 분석 다양체로 증가하여 분류할 수 있다.그러나 이러한 유형의 "비슷함"은 거리와 각도를 거의 고려하지 않는다.

거리와 각도는 매끄러운 다양체에 다양체의 점에서 탄젠트 공간에 매끄럽게 변화하는 유클리드 메트릭을 제공함으로써 정의할 수 있다(따라서 이 탄젠트 공간은 유클리드 벡터 공간이다).그 결과 리만 다양체가 됩니다.일반적으로 직선은 리만 다양체에 존재하지 않지만, 그 역할은 두 점 사이의 "가장 짧은 경로"인 측지학이 한다.이를 통해 측지학을 따라 측정되는 거리와 교차점의 접선 공간에 있는 접선의 각도인 측지학 사이의 각도를 정의할 수 있습니다.그래서 리만 다양체는 굴곡된 유클리드 공간처럼 국소적으로 작용합니다.

유클리드 공간은 3차원 리만 다양체이다.이를 잘 보여주는 예가 구의 표면이다.이 경우 측지선은 거대한 원의 호로 항법에서는 정칙이라고 불립니다.보다 일반적으로 비유클리드 기하학의 공간은 리만 다양체로 실현될 수 있다.

유사유클리드 공간

실벡터 공간의 내적은 정의 확정 쌍선형이며, 따라서 정의 확정 2차형으로 특징지어진다.유사 유클리드 공간은 비퇴화 2차 형식(무한일 수도 있음)을 갖춘 연관된 실벡터 공간을 가진 아핀 공간이다.

그러한 공간의 기본적인 예는 아인슈타인의 특수 상대성 이론의 시공간인 민코프스키 공간이다.이것은 4차원 공간이며, 여기서 메트릭은 2차 형식으로 정의된다.

x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2}

여기서 마지막 좌표(t)는 시간이고 나머지 세 개(x, y, z)는 공간이다.

중력을 고려하기 위해 일반상대성이론은 민코프스키 공간을 탄젠트 공간으로 하는 의사-리만 다양체를 사용한다.한 지점에서 이 다양체의 곡률은 이 지점에서 중력장 값의 함수입니다.

「」를 참조해 주세요.

함수 해석에 사용되는 무한 차원에 대한 일반화인 힐버트 공간

각주

^ 수 .
^ 사출이라는 조건이 제거되면 거리를 유지하는 함수는 반드시 사출되며, 그 영역에서 그 화상으로의 등각선이다.
^ 증명: f $f(\lambda x+\mu y)-\lambda f(x)-\mu f(y)=0$ ( $f(\lambda x+\mu y)-\lambda f(x)-\mu f(y)=0$ + $f(\lambda x+\mu y)-\lambda f(x)-\mu f(y)=0$ y $f(\lambda x+\mu y)-\lambda f(x)-\mu f(y)=0$ ) - $f(\lambda x+\mu y)-\lambda f(x)-\mu f(y)=0$ f ( $f(\lambda x+\mu y)-\lambda f(x)-\mu f(y)=0$ ) - $f(\lambda x+\mu y)-\lambda f(x)-\mu f(y)=0$ f ( $f(\lambda x+\mu y)-\lambda f(x)-\mu f(y)=0$ ) $f(\lambda x+\mu y)-\lambda f(x)-\mu f(y)=0$ ( \ $displaystyle$ f ( \ $displayda$ x + \ $mu$ y ) - \ $displayda$ f ( $x$ ) - \ $mu$ f ( y ) $= 0$ 이므로 왼쪽 노름의 제곱이 0임을 증명하면 된다.이 제곱 노름은 내부 곱의 쌍선형성을 사용하여 $\|f(x)\|^{2},$ f ( $\|f(x)\|^{2},$ ) $\|f(x)\|^{2},$ 2, $\|f(x)\|^{2},$ \ $displaystyle$ $\ f$ $\|f(y)\|^{2},$ ( $x$ )\ $f(x)\cdot f(y).$ ^ ${2$ $}$ $\|f(y)\|^{2},$ f ( $y$ $)$ 2 $\|f(y)\|^{2},$ 2, $f(x)\cdot f(y).$ ( $f(x)\cdot f(y).$ ) $f(x)\cdot f(y).$ f ( $y )$ 의 선형 $조합$ 으로 확장할 수 있습니다 $.$ } f는 $f(x)\cdot f(y).$ $등각$ 이므로 $\|x\|^{2},\|y\|^{2},$ x $\|x\|^{2},\|y\|^{2},$ 2, $\|x\|^{2},\|y\|^{2},$ y $\|x\|^{2},\|y\|^{2},$ 2, $display y ^{$ 2}와 $\|x\|^{2},\|y\|^{2},$ x $x\cdot y,$ y, \ $\|x\|^{2},\|y\|^{2},$ $cdot$ y의 $x\cdot y,$ $\|x\|^{2},\|y\|^{2},$ 선형 조합이 되어 0이 $됩니다$ $.$

레퍼런스

^ ^a ^b Solomentsev 2001.
^ 볼 1960, 페이지 50-62.
^ Berger 1987년
^ 콕서터 1973년
^ ^a ^b Berger 1987, 섹션 9.1.
^ 버거 1987, 9장
^ 안톤 (1987년, 페이지 209년–215년)
^ Berger 1987, 발의안 9.1.3.
^ Artin 1988년

Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra (5th ed.), New York: Wiley, ISBN 0-471-84819-0
Artin, Emil (1988) [1957], Geometric Algebra, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons Inc., pp. x+214, doi:10.1002/9781118164518, ISBN 0-471-60839-4, MR 1009557
Ball, W.W. Rouse (1960) [1908]. A Short Account of the History of Mathematics (4th ed.). Dover Publications. ISBN 0-486-20630-0.
Berger, Marcel (1987), Geometry I, Berlin: Springer, ISBN 3-540-11658-3
Coxeter, H.S.M. (1973) [1948]. Regular Polytopes (3rd ed.). New York: Dover. Schläfli ... discovered them before 1853 -- a time when Cayley, Grassman and Möbius were the only other people who had ever conceived of the possibility of geometry in more than three dimensions.
Solomentsev, E.D. (2001) [1994], "Euclidean space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

[7] 수 .

[9] 사출이라는 조건이 제거되면 거리를 유지하는 함수는 반드시 사출되며, 그 영역에서 그 화상으로의 등각선이다.

[10] 증명: f $f(\lambda x+\mu y)-\lambda f(x)-\mu f(y)=0$ ( $f(\lambda x+\mu y)-\lambda f(x)-\mu f(y)=0$ + $f(\lambda x+\mu y)-\lambda f(x)-\mu f(y)=0$ y $f(\lambda x+\mu y)-\lambda f(x)-\mu f(y)=0$ ) - $f(\lambda x+\mu y)-\lambda f(x)-\mu f(y)=0$ f ( $f(\lambda x+\mu y)-\lambda f(x)-\mu f(y)=0$ ) - $f(\lambda x+\mu y)-\lambda f(x)-\mu f(y)=0$ f ( $f(\lambda x+\mu y)-\lambda f(x)-\mu f(y)=0$ ) $f(\lambda x+\mu y)-\lambda f(x)-\mu f(y)=0$ ( \ $displaystyle$ f ( \ $displayda$ x + \ $mu$ y ) - \ $displayda$ f ( $x$ ) - \ $mu$ f ( y ) $= 0$ 이므로 왼쪽 노름의 제곱이 0임을 증명하면 된다.이 제곱 노름은 내부 곱의 쌍선형성을 사용하여 $\|f(x)\|^{2},$ f ( $\|f(x)\|^{2},$ ) $\|f(x)\|^{2},$ 2, $\|f(x)\|^{2},$ \ $displaystyle$ $\ f$ $\|f(y)\|^{2},$ ( $x$ )\ $f(x)\cdot f(y).$ ^ ${2$ $}$ $\|f(y)\|^{2},$ f ( $y$ $)$ 2 $\|f(y)\|^{2},$ 2, $f(x)\cdot f(y).$ ( $f(x)\cdot f(y).$ ) $f(x)\cdot f(y).$ f ( $y )$ 의 선형 $조합$ 으로 확장할 수 있습니다 $.$ } f는 $f(x)\cdot f(y).$ $등각$ 이므로 $\|x\|^{2},\|y\|^{2},$ x $\|x\|^{2},\|y\|^{2},$ 2, $\|x\|^{2},\|y\|^{2},$ y $\|x\|^{2},\|y\|^{2},$ 2, $display y ^{$ 2}와 $\|x\|^{2},\|y\|^{2},$ x $x\cdot y,$ y, \ $\|x\|^{2},\|y\|^{2},$ $cdot$ y의 $x\cdot y,$ $\|x\|^{2},\|y\|^{2},$ 선형 조합이 되어 0이 $됩니다$ $.$

[FOOTNOTESolomentsev2001-1] Solomentsev 2001.

[FOOTNOTEBall196050–62-2] 볼 1960, 페이지 50-62.

[FOOTNOTEBerger1987-3] Berger 1987년

[FOOTNOTECoxeter1973-4] 콕서터 1973년

[FOOTNOTEBerger1987Section_9.1-5] Berger 1987, 섹션 9.1.

[FOOTNOTEBerger1987Chapter_9-6] 버거 1987, 9장

[8] 안톤 (1987년, 페이지 209년–215년)

[FOOTNOTEBerger1987Proposition_9.1.3-11] Berger 1987, 발의안 9.1.3.

[FOOTNOTEArtin1988-12] Artin 1988년

[1]

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[a]

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[c]

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v t ★★★
공간 공공 dim	영영 project공공 project 모듈 free모 ★★★★★★★★★★★★★★★★」
★★★★★★	도 ★★★
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아핀 구조

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선과 세그먼트

평행성

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거리와 길이

직교성

각

데카르트 좌표

기타 좌표

등각선

시제품 예제를 사용한 등각도

유클리드 군

토폴로지

자명한 정의

사용.

기타 기하학적 공간

아핀 공간

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비유클리드 기하학

곡선 공간

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각주

레퍼런스

「」를 참조해 주세요.