등방성 이차형

Isotropic quadratic form

수학에서 필드 F 위에 있는 2차 형태는 형태가 0으로 평가되는 0이 아닌 벡터가 있으면 등방성이라고 한다. 그렇지 않으면 2차 형태는 비등방성이다. 보다 정확히 말하면, q가 F에 대한 벡터 공간 V의 2차 형태인 경우, V의 0이 아닌 벡터 V는 q(v) = 0이면 등방성이라고 한다. 2차 형태는 해당 2차 형태에 대해 0이 아닌 등방성 벡터(또는 null 벡터)가 존재하는 경우에만 등방성이다.

(V, q)가 2차 공간이고 W가 하위 공간이라고 가정하자. W는 그 안의 일부 벡터가 등방성일 경우 V의 등방성 아공간, 그 안의 모든 벡터가 등방성일 경우 완전 등방성 아공간, 그리고 (비 영) 등방성 벡터를 포함하지 않을 경우 등방성 아공간이라고 한다. 2차 공간의 동위원소 지수는 완전 동위원소 서브스페이스 치수의 최대값이다.[1]

유한 차원 실제 벡터 공간 V의 2차 형태 q는 다음과 같은 확실한 형태일 경우에만 비등방성이다.

  • 어느 하나의 q가 양수 확정이다. 즉, q(v) > V의 모든 0이 아닌 v에 대한 0;
  • 또는 q는 음의 명확한 것이다. 즉, V에서 모든 0이 아닌 V에 대해 q(v) < 0이다.

보다 일반적으로, 2차 형태가 비감소형이고 서명(a, b)을 가지고 있다면, 그것의 동위원소 지수는 a와 b의 최소값이다. 실체 위에 있는 등방성 형태의 중요한 예는 사이비-유클리드 공간에서 발생한다.

쌍곡면

쌍곡 기하학에서 평면과 혼동해서는 안 된다.

F는 2가 아닌 특징의 장으로 하고 V = F2. V의 일반 요소(x, y)를 고려한다면, q를 r처럼 보이게 하는 V에2 선형2 변환이 있기 때문에 2차적 형태는 q = xy와 r = x - y가 동등하다. 분명히 (V, q)와 (V, r)는 등방성이다. 이 예는 2차 형태론에서 쌍곡면이라고 한다. 일반적인 인스턴스에는 F = 실제 숫자가 있으며, 이 경우 {x ∈ V : q(x) = 0이 아닌 상수} 및 {x ∈ V : r(x) = 0이 아닌 상수}은(는) 하이퍼볼라입니다. 특히 {x ∈ V : r(x) = 1}은(는) 단위 하이퍼볼라다. 표기법 ⟨1⟩ ⊕-1⟩은 쌍변 다항 r의 용어의 기호가 전시되어 있어 밀노르와 후세몰러가[1]: 9 쌍곡면에 사용되어 왔다.

아핀 쌍곡면은 에밀 아르틴에 의해 M2 = N = 02, NM = 1을 만족하는 기본이 {M, N}인 2차 공간으로 설명되었으며, 여기서 제품은 2차 형태를 나타낸다.[2]

는 양극화 현상 정체성을 통해 올해는 2차 형식 B(u, v)).mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den{는 대칭 쌍일차식과 관련이 있다.디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-onlyᆬ1(q(u+v)− q(u− v)cm이다.

두 벡터 u와 v는 B(u, v) = 0일 때 직교한다. 쌍곡면의 경우 그러한 u와 v는 쌍곡직교다.

분할 이차 공간

2차 형태의 공간은 자신의 직교보완물과 동일한 하위 공간이 있으면 분할(또는 대사)된다. 동등하게 동위원소 지수는 치수의 절반과 같다.[1]: 57 쌍곡면은 하나의 예로서, 2와 같지 않은 특성의 분야에서는 모든 분할 공간이 쌍곡면의 직접적인 합이다.[1]: 12, 3

2차 형태 분류와의 관계

2차 형태 분류의 관점에서 보면, 비등방성 공간은 임의 치수의 2차적 공간에 대한 기본 구성 요소다. 일반 필드 F의 경우, 비등방성 2차 형식의 분류는 비등방성 문제다. 이와는 대조적으로, 등방성 형태는 대개 다루기 훨씬 쉽다. 위트의 분해 정리에 의해, 한 필드 위의 모든 내부 생산 공간은 분할 공간의 직교 직계 합과 비등방성 공간이다.[1]: 56

장 이론

참고 항목

참조

  1. ^ a b c d e Milnor, J.; Husemoller, D. (1973). Symmetric Bilinear Forms. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Vol. 73. Springer-Verlag. ISBN 3-540-06009-X. Zbl 0292.10016.
  2. ^ Emil Artin (1957) 기하 대수학, 인터넷 아카이브를 통해 119페이지