고유공간

이 기사는 대체로 또는 전적으로 단일 출처에 의존한다. 추가 출처에 인용구를 도입하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. 출처 찾기: "구체화된 공간" – 뉴스 · 신문 · 책 · 학자 · JSTOR (2020년 6월)

수학의 기능 분석과 관련 영역에서, 구별되는 공간은 위상학적 벡터 공간(TV)으로, 비데오얼의 일부 경계 부분집합에 약한* 경계 부분집합(즉, 강한 이중 공간의 강한 이중 공간)이 포함된 특성을 갖는다.

정의

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 로컬 볼록스 공간이라고 $가정$하고${\displaystyle {,\mathrm{}}^{}}$ X $\$ {\$displaystyle$$$X$^{b}^{\prime }$과(와) $X{\displaystyle }$${$$${\$displaystyle X}$의 강력한 이중 공간($$즉, 강력한 이중 토폴로지가 부여된$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaysty X})$을 의미한다고$$ 가정합시다.Let ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ denote the continuous dual space of ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ and let ${\displaystyle X_{b}^{\prime \prime }}$ denote the strong dual of ${\displaystyle X_{b}^{\prime }.}$ Let ${\displaystyle X_{\sigma }^{$$\prime \prime }}$ denote ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ endowed with the weak-* topology induced by ${\displaystyle X^{\prime },}$ where this topology is denoted by ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)}$ (that is, the topology of pointwise conve$′{\$ X$^{\prime }}$에 대한 rention.We say that a subset ${\displaystyle W}$ of ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ is ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)}$-bounded if it is a bounded subset of ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime \prime }}$ and we call the closure of ${\displaystyle }$${\displaystyle W}$ in the TVS ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime \prime }}$ the ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)}$-closure of ${\displaystyle W}$. If ${\displaystyle B}$ is a subset of ${\displaystyle X}$ then the polar of ${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$ is ${\displaystyle B^{\circ }:=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\sup _{b\in B}\left\langle b,x^{\prime }\right\rangle \leq 1\right\}.$$}$

Hausdorff 로컬 볼록 TVS $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$이(가) 다음과 같은 동등한 조건 중 하나를 만족하면 구분 공간이라고 한다.

1. If ${\displaystyle W\subseteq X^{\prime \prime }}$ is a ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)}$-bounded subset of ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ then there exists a bounded subset ${\displaystyle B}$ of ${\displaysty$${\displaystyle le{}^{}}$ $X_{b}^{\$${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\backslash \mathrm{}}^{}}$prime $\prime$ $prime$ \$premy$closure가$$ W ${\displaysty W}$를 포함한다$.$^[1]
2. If ${\displaystyle W\subseteq X^{\prime \prime }}$ is a ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)}$-bounded subset of ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ then there exists a bounded subset ${\displaystyle B}$ of ${\displaystyle X}$ suchthat ${\displaystyle W}$ is contained in ${\displaystyle B^{\circ \circ }:=\left\{x^{\prime \prime }\in X^{\prime \prime }:\sup _{x^{\prime }\in B^{\circ }}\left\langle x^{\prime },x^{\prime \prime }\right\rangle \leq 1\right\},}$즉${\displaystyle {,}^{}}$ $극성{\displaystyle {}^{}}$(이중성 $⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle X{}^{\mathrm{}}}$′${\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{⟩}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ { { { { { $\$ X$^{\prime },X^{\$$primium$$\prime \primeprime }}\$$primeprimeprigle }}}}}}.$
3. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 강한 이중은 바레인이 있는 공간이다.^[1]

또한 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 측정 가능한 로컬 볼록 위상 벡터 공간인 경우 이 목록은 다음을 포함하도록 확장할 수 있다.

4. (그로텐디크)$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 강한 이중성은 타고난 공간이다.^[1]

충분한 조건

모든 표준 공간과 반반복형 공간은 구별되는 공간이다.^[2]LF 공간은 구별되는 공간이다.

프리쳇 공간 X ${\$$displaystyle$ X}의 강한$$ 이중 공간 X ${\displaystyle b_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$$displaystyle$ X$}{$b$}^{\prime }}$은(는) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) quasibared인 경우에만 구별된다$$.^[3]

특성.

지역적으로 볼록한 모든 공간은 H-공간이다.^[2]

예

반반반복성이 아닌 구별되는 바나흐 공간이 존재한다.^[1]저명한 바나흐 공간의 강한 이중은 반드시 분리할 수 있는 것은 아니다; $l{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\$ l$^{1$}는 그러한 공간이다$$.^[4]저명한 프래쳇 공간의 강한 이중공간이 반드시 메트리가 가능한 것은 아니다.^[1]강력한 이중성이 비반복성 바나흐 공간인 뛰어난$$ 반반반복성 비정가성 맥키 $공간{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$이(가)^[1] 있다.구별되는 공간이 아닌 H-공간이 존재한다.^[1]

참고 항목

• Montel 공간 – 닫히고 경계된 모든 부분 집합이 압축된 바렐링된 위상 벡터 공간.

참조

참고 문헌 목록

• Bourbaki, Nicolas (1950). "Sur certains espaces vectoriels topologiques". Annales de l'Institut Fourier (in French). 2: 5–16 (1951). doi:10.5802/aif.16. MR 0042609.
• Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). Topological Vector Spaces. Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 53. Cambridge England: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250.
• Husain, Taqdir; Khaleelulla, S. M. (1978). Barrelledness in Topological and Ordered Vector Spaces. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 692. Berlin, New York, Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-09096-0. OCLC 4493665.
• Jarchow, Hans (1981). Locally convex spaces. Stuttgart: B.G. Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342.
• Khaleelulla, S. M. (1982). Counterexamples in Topological Vector Spaces. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 936. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
• Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.