균일규범

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사각형의 둘레는 R의² 점 집합이며, 여기서 Supp 규범은 고정된 양의 상수와 같다.예를 들어, 점(2, 0), 점(2, 1) 및 점(2, 2)은 사각형의 둘레를 따라 놓여 있으며, 상위 규격이 2인 벡터 집합에 속한다.

수학적 분석에서, 균일한 규범(또는 초규범)은 집합 S에 정의된 실제 또는 복잡한 경계 함수에 음수가 아닌 숫자를 할당한다.

${\displaystyle \ f\ \{\infit \}=\f\\{\\\\\\\\\ft f(x)\right :x\in S\,\right\}}$

이 규범은 또한 최상규범, 체비셰프 규범, 무한규범, 또는, 사실 최대규범일 때 최대규범이라고도 불린다."통일규범"이라는 이름은 $f{\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle }$${\$${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \{f_$${n}\}}$ 함수 시퀀스가 동일한 규범에서 파생된 메트릭 아래 f ${\displaystyle$f}에 통합되는 경우 및 f ${\displaystystyle f}$에 균일하게 통합되는$$ 경우에만 {\displaystyle f$}$에 수렴된다는 사실에서$$ 유래되었다.^[1]

이 규범에 의해 생성된 지표를 체비셰프 미터법이라고 하는데, 처음 그것을 체계적으로 연구한 파프누티 체비셰프의 이름을 따서 체비셰프 미터법이라고 한다.

만약 우리가 무한함수를 허용한다면, 소위 확장된 메트릭이라고 불리는 획득된 메트릭은 여전히 문제의 함수 공간에 토폴로지를 정의할 수 있지만, 이 공식은 엄격한 의미에서 표준이나 메트릭을 산출하지 않는다.

f가 닫힌 간격의 연속함수, 또는 보다 일반적으로 콤팩트한 집합이라면, 경계되고 위 정의의 우월성은 위어스트라스 극값 정리에 의해 얻어지기 때문에, 우리는 최대치로 우월감을 대체할 수 있다.이 경우 규범을 최대 규범이라고도 한다.특히 x ${\displaystyle x}$이(${\displaystyle {}_{}}$) x${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}{x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2}},\ldots ,x_{n}}}}$과 같은 일부 벡터인 경우 다음과$$ 같은 형식을 취한다.

$${\displaystyle \ x\ _{\infit }=\max \left(\왼쪽 x_{1}\right,\ldots,\왼쪽 x_{n}\right \right \right \right)}$$

무한정 규범이 주어진 상수인 벡터 집합 c는 에지 길이가 2c인 하이퍼큐브 표면을 형성한다.

첨자가 "∞"인 이유는 f가 연속적일 때마다

${\displaystyle \lim _{p\오른쪽 화살표 \}\f\{p}=\f\{\f\}}$

어디에

${\displaystyle \ f\ _{p}=\left(\int_{D}\left f\right ^{p}\,d\mu \right)^{1/p}}}}$

여기서 D는 f의 영역이며, D가 이산형 집합인 경우 적분은 합에 해당한다(p-norm 참조).

이항 함수

${\displaystyle d(f,g)=\f-g\ _{\infully }}$

그런 다음 특정 도메인에 있는 모든 경계 함수(및 하위 집합)의 공간에 대한 메트릭이 된다.시퀀스 {f_n : n = 1, 2, 3, ...{}은(는) if 및 if에만 f 함수에 균일하게 수렴됨

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infit }\f_{n}-f\ _{\infit }=0.\,}$

우리는 이 미터법 토폴로지에 관하여 닫힌 집합과 닫힌 집합을 정의할 수 있다; 균일한 규범에 있는 닫힌 집합을 균일하게 닫힌 집합과 닫힌 집합이라고 부르기도 한다.기능 A의 집합의 균일한 폐쇄는 A의 균일하게 결합되는 기능의 순서에 의해 근사할 수 있는 모든 기능의 공간이다.예를 들어 스톤-바이어스트라스 정리의 한 재작성은 [ ${\displaystyle a}{\displaystyle }$, ${\displaystyle b]}$ ${\displaystyle$[a$,b]}$에 대한 모든 연속함수의 집합이 $[,{\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [a,b]}$에$$있는 다항식 집합의 균일한 폐쇄라는 것이다$$.

콤팩트한 공간에 걸친 복잡한 연속 기능의 경우, 이것은 그것을 C* 대수학으로 바꾼다.

참고 항목

• 균일 연속성
• 균일공간
• 체비셰프 거리

참조