프리웰오더링

In set theory, a prewellordering on a set ${\displaystyle X}$ is a preorder ${\displaystyle \leq }$ on ${\displaystyle X}$ (a transitive and strongly connected relation on ${\displaystyle X}$) that is wellfounded in the sense that the relation ${\displaystyle x\leq y\land y\nleq x}$ is wellfounded.${\displaystyle }$▼ ${\displaystyle \leq }$이(가) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X$에 대한 사전 주문인$$ 경우 ~${\displaystyle \sim }$ 관계 정의$$:

$[\displaystyle x\sim y\iff x\leq y\land y\leq x}$

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 대한 동등성 관계 및$$$\le {\displaystyle }$ ${\displaystyle \leq}$은 $지수{\displaystyle }$ X${\displaystyle }$/${\displaystyle }$~ ${\displaystyle$ X$/\sim }$에 대한 양호한 순서를 유도한다$.$ 이러한 유도된 웰오더의 주문 유형은 사전 웰오더링의 길이라고 하는 순서형이다.

집합 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 표준은 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$에서 서수로의$$ 맵이다$$.모든 표준은 사전 순서를 유도한다. $if{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ O ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \phi :X\to Ord}$이(가) 표준이면$$ 관련 사전 순서는 다음에 의해 주어진다.

$\displaystyle x\leq y\iff \phi(x)\leq \phi(y)}$

반대로, 모든 prewellordering 독특한 정기적인 규범(노르마 ϕ:X→ Ord{\displaystyle \phi:X\to 오드는}는 규칙적 만약, 어떤 x에∈ X{\displaystyle x\in X}과 어떤 α<>ϕ()){\displaystyle \alpha<>\phi)}에 의해 얻어진다, y∈ X{\displaystyle y\in X}가 ϕ(y))α{\displaystyle \p 있다.안녕(y)$=\properties }$ $$).

프리웰오더 속성

If ${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}}$ is a pointclass of subsets of some collection ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ of Polish spaces, ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ closed under Cartesian product, and if ${\displaystyle \leq }$ is a prewellordering of some subset ${\displaystyle P}$ of somF{\displaystyle{{F\mathcal}의 E요소 X{X\displaystyle}}}, 그때 ≤{\displaystyle \leq}가 되Γ{\displaystyle{\boldsymbol{\Gamma}}}이 관계 < P{P\displaystyle}의 -prewellordering, ∗{\displaystyle<>{^ 줘}}과≤ ∗{\displaystyle\leq ^{*}} 합니다 elemen$\gamma {\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 ts$,$ 여기서 $x$의 경우 ${\displaystyle y\in }$ X ${\displaystyle$ x$,y\in X$

1. $P\land [y\notin P\lor \{x\leq y\land y\note x\}note \leq x\}]$
2. $P\land [y\notin P\lor x\leq y]}$

${\displaystyle }$$\gamma {\displaystyle \mathbf{}}$${\$$Gamma }}}}$에 있는 모든 세트가 $\gamma {\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$$${\$boldsymbol {\gama }$ -prewelling을$$ 허용하는$$ 경우 사전 주문 속성을 가지고 있다고 한다$$.

사전 주문 속성은 더 강력한 규모의 속성과 관련이 있다. 실제로, 사전 주문 속성을 가진 많은 포인트 클래스는 더 강력한 결론을 도출할 수 있는 규모 속성도 가지고 있다.

예

${\displaystyle {\mathbf{\pi }}_{}^{}}$ ${\$1}:{1$$},$1$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$ 둘 다$$ 사전 웰딩 속성을 가지고 있으며, 이는 ZFC에서만 확인할 수 있다.Assuming sufficient large cardinals, for every ${\displaystyle n\in \omega }$, ${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{2n+1}^{1}}$ and ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{2n+2}^{1}}$ have the prewellordering property.

결과들

축소

${\$이(가) 사전 주문 속성과 함께 적절한 포인트 클래스인$$ 경우 다음과 같은 감소 속성도 가지고 있다.For any space ${\displaystyle X\in {\mathcal {F}}}$ and any sets ${\displaystyle A,B\subseteq X}$, ${\displaystyle A}$ and ${\displaystyle B}$ both in ${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}}$, the union ${\displaystyle A\cup B}$ may be partitioned into sets ${\displaystyle A^{\ast },B^{\ast }}$$\{\displaystyle$A^{*},$B^{*},$ 둘$$ ${\displaystyle 다}$$$$displaystyle$$${\$boldsymbol {\Gamma$}}}},$$$∗{\displaystyle$ $^{*}\subseteq B$

분리

${\$이(가) 이중 포인트 클래스에 사전 정렬 속성이 있는 적절한 포인트 클래스인$$ 경우, $\gamma {\displaystyle \mathbf{}}$ ${\${\$boldsymbol {\\Gamma}}}}$은(가) 분리 속성이 있다.For any space ${\displaystyle X\in {\mathcal {F}}}$ and any sets ${\displaystyle A,B\subseteq X}$, ${\displaystyle A}$ and ${\displaystyle B}$ disjoint sets both in ${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}}$, there is a set ${\displaystyle C\subseteq X}$ such that both ${$$\displaystyle C}$ and its complement ${\displaystyle X\setminus C}$ are in ${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}}$, with ${\displaystyle A\subseteq C}$ and ${\displaystyle B\cap C=\emptyset }$.

예를 들어 $\pi {\displaystyle {\mathbf{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 1 ${\$1}^{$1}:{$1}:{1}은(는) 사전 웰딩 속성을 가지고 있으므로$$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\${}}$_{1}^{1}:{$1}는 분리 속성을 가지고 있다$$.This means that if ${\displaystyle A}$ and ${\displaystyle B}$ are disjoint analytic subsets of some Polish space ${\displaystyle X}$, then there is a Borel subset ${\displaystyle C}$ of ${\displaystyle X}$ such that ${\displaystyle C}$ includes ${\displaystyle A}$ and is disjoint from ${\displaystyle B}$$B형$

참고 항목

• 서술 집합론
• 척도 속성
• 등급이 매겨진 포셋 – 등급이 매겨진 포셋은 지도를 정수에 대한 지도와 함께 서수로 대체하여 표준으로 사전 정렬하는 것과 유사하다.

참조

• Moschovakis, Yiannis N. (1980). Descriptive Set Theory. North Holland. ISBN 0-444-70199-0.