순서필드

수학에서 순서형 필드는 필드 연산과 양립할 수 있는 요소들의 총 순서와 함께 필드다.순서 필드의 기본적인 예는 실수의 필드인데, 모든 데데킨드 완전 순서 필드는 실수에 이형성이 있다.null

순서 필드의 모든 하위 필드도 상속된 순서의 순서 필드가 된다.순서가 지정된 모든 필드에는 합리적인 숫자에 대해 이형성이 있는 순서가 지정된 하위 필드가 있다.정사각형은 순서가 지정된 필드에서 반드시 음수가 아니다.이는 상상의 단위 i의 제곱이 -1이기 때문에 복잡한 숫자들을 주문할 수 없음을 의미한다.유한한 필드는 주문할 수 없다.null

역사적으로 질서 있는 분야의 공리화는 데이비드 힐버트, 오토 홀더, 한스 한을 포함한 수학자들에 의해 실수에서 점차 추상화되었다.이것은 결국 주문된 분야와 형식적으로 실제 분야에 대한 아르틴-슈레이어 이론으로 성장했다.null

정의들

순서 필드의 공통 정의에는 두 가지가 있다.전체 순서의 정의는 역사적으로 먼저 나타났으며, 이항 술어로 순서$$ {$${\$displaystyle \,\leq \,}$을${\displaystyle (}$를) 1차 공리화 한 것이다.아르틴과 슈레이어는 1926년에 양성 원뿔의 관점에서 그 정의를 내렸는데, 이는 비 음성 원소의 하위 집단을 공리화한다.후자가 고차이긴 하지만 양수 원뿔을 최대 전치 원뿔로 보는 것은 필드 순서가 극단적 부분 순서인 더 큰 맥락을 제공한다.null

총순번

장자석(F,+, ⋅){\displaystyle(F,+,\cdot),)}함께(엄격한)주문 총액<>F{F\displaystyle}에{\displaystyle \,<, \,}은.mw-parser-output .vanchor&gt은 target~.vanchor-text{background-color:#b1d2ff}ordered 분야와 그 명령이 만족하실 정도 모든 a, b, c∈ F:{\dis에 대해 다음과 같은 속성입니다.playstyle a,b,c\in F:}

• ${\displaystyle a<b}$인 + < + c, {\$displaystyle a+c<b$+c$,},$
• < ${\displaystyle 0>과$0 < $<\displaystyle 0>$일 경우 < ${\displaystyle$ 0. {\displaystyle 0<$a\cdot b.}$

포지티브 콘

필드 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$의 사전 추출 콘 또는 사전 정렬은 다음 속성을 가진 부분$$ 집합 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \subseteq }$ F ${\displaystyle P\subseteq F}$이다.^[1]

• ${\displaystyle \mathrm{p<img\; alt="y"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:1.155ex;\; height:2.009ex;"\; papago-attr-id="83">}}$${\displaystyle }$, ${\displaystyle p$$,}$의 x {\displaystyle x} 및 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle x$$+y}$의 경우 x + y${\displaystyle x\cdot y}$은(는) $P{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ P$.}$에 $있다$.
• $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle x\in F,}$인 경우 x ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {}^{}}$ P${\displaystyle }$. ${\displaystyle$ x$^{2}\in$. $특히$ 1$$$2{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$= 1${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {P\mathrm{}}^{}}$ .${\displaystyle$ 1$^{2}=1\in$ P$.}$
• 요소${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -1$}이$($가) $P{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ P$.}$에 없음

사전 주문된 필드는 사전 주문 $P{\displaystyle .}$ ${\displaystyle P.}$ 비$$ 0 원소 $∗{\$가 $F{\displaystyle .}$ ${\displaystyle F$의 승수 그룹의 하위 그룹을 형성하는$$ 필드다$.$$}$

If in addition, the set ${\displaystyle F}$ is the union of ${\displaystyle P}$ and ${\displaystyle -P,}$ we call ${\displaystyle P}$ a positive cone of ${\displaystyle F.}$ The non-zero elements of ${\displaystyle P}$ are called the positive elements of ${\displaystyle F.$$}$

순서가 지정된 필드는 $양$의 콘 $P{\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ P$.}$과(와$$) 함께 F {\$displaystyle$ $F}$ 필드임

$F{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $F$$}$의 사전 순서는 정확히$$ $F{\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ F$.}$양성$$ 콘은 최대 사전 순서가 된다.^[1]null

두 정의의 등가성

$F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$을(를) 필드로 합시다$$.$F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$의 필드 순서와 $F{\displaystyle .}$ ${\displaystyle$F}의 양의 원뿔 사이에 편차가 있다$.$$}$

첫 번째 정의에서와 같이 필드 순서 ≤을 지정하면, $x{\displaystyle 0}$ 0$${\$displaystyle$ x$\geq$0}과 같은 요소 $집합$이 F${\displaystyle .}$ ${\$$displaystyle F.}$의 양의 $원뿔{\displaystyle }$P$${\$displaystyle$P}을$$(를) 두 번째 정의에서와 같이$$ 지정하면 전체 순서 ${\displaystyle \le {}_{}}$ ${\displaystyle P_{}}$를 연결할 수 있다.${\displaystyle \,\leq _{P}\,}$ on ${\displaystyle F}$ by setting ${\displaystyle x\leq _{P}y}$ to mean ${\displaystyle y-x\in P.}$ This total ordering ${\displaystyle \,\leq _{P}\,}$ satisfies the properties of the first definition.null

순서 필드의 예

순서가 지정된 필드의 예는 다음과 같다.

• 합리적인 수
• 실수
• 실제 대수 숫자 또는 계산 가능한 숫자와 같은 순서 필드의 하위 필드
• the field of real rational functions ${\displaystyle {\frac {p(x)}{q(x)}}\,}$, where ${\displaystyle p(x)}$ and ${\displaystyle q(x)}$ are polynomials with real coefficients, ${\displaystyle q(x)\neq 0\,}$, can be made into an ordered field where the polynomial ${\displaystyle p(x}$)=-1{\displaystyle p())=x}어떤 상수 다항식보다, 그 p())q())을 정의하여;0{\displaystyle{\frac{p())}{q())}}>0\,} 때마다p 0q0>0{\displaystyle{\frac{p_{0}}{q_{0}}}>0\,},())에)p0⋅)n+⋯{\displaystyle p())=p_{0}\cdot x^{n}+\cdo 더 크다.이익}과${\displaystyle q(}$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {q\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle \cdots }$ ${\$ $\backslash ,\}.$ 이 순서는 아르키메데스가 아니다.
• 실제 계수가 있는 정식 Laurent 시리즈의 $필드$ R${\displaystyle }$( (${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathb {R}(x)}($여기서 x는 최소값과 양수로 간주됨)
• 트랜스 시리즈
• 진짜 폐쇄된 들판
• 초현실적 수
• 초현실수

초현실적인 숫자는 집합보다는 적절한 계급을 형성하지만, 그렇지 않으면 순서 있는 필드의 공리를 따른다.주문된 모든 필드는 초현실적인 숫자에 포함될 수 있다.null

순서 필드의 속성

모든 a, b, c, d에 대해 F:

• -a ≤ 0 ≤ a 또는 ≤ 0 ≤ -a 중 하나.
• 만약 ≤ b와 c d d, 그 다음에 + c ≤ b + d를 "불평등을 추가할 수 있다.
• " b와 0 ≤ c, 그리고 ac bc b의 "긍정적인 요소와의 다중 불평등"을 할 수 있다.
• 불평등의 전이성: 만약 < b와 b < c>라면, 그 다음은 < c>이다.
• < b와 a, b > 0이면 1/b < 1/a이다.
• 순서가 지정된 필드는 특성 0. (1 > 0, 1 + 1 > 0, 1 + 1 + 1 > 0 등이다.필드에 특성이 p > 0이라면 -1은 p - 1의 합이 되겠지만 -1은 양수가 아니다.)특히 한정된 장은 주문할 수 없다.
• 정사각형은 음수가 아니다: 모든 a in F에 대해 0 ≤ a이다².
• 모든 비교 제곱합은 0이 아니다.동등하게: $\sum {\displaystyle \underset{k}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \mathrm{1n}}$ a ${\displaystyle {}_{}^{}}$= 0 ${\displaystyle ⟹\mathrm{}}$ ${\displaystyle k}$: k${\displaystyle {}_{}}$= $.$ {\$displaystyle \textstyle \sum _{k=1}a_{k}^{2}=0\;\Longrightarrow$\$forall k\;\colon a_{k}=0.$$}$^[2][3]

주문된 필드의 모든 하위 필드도 주문된 필드(유도된 순서를 이어받음)가장 작은 하위 영역은 이성에게 이형적인 것이며(특성 0의 다른 영역에 대해서는) 이 합리적 하위 영역에 대한 순서는 이성 그 자체의 순서와 같다.순서가 정해진 분야의 모든 요소가 합리적인 하위 영역의 두 요소 사이에 있다면, 그 분야는 아르키메데스라고 한다.그렇지 않으면 그러한 필드는 아르키메데스가 아닌 분야로 인피니티시멀을 포함한다.예를 들어, 실수는 아르키메데스 필드를 형성하지만, 초실수는 비 아르키메데스 필드를 형성하는데, 이는 어떤 표준 자연수보다 큰 원소로 실수를 확장하기 때문이다.^[4]null

순서가 지정된 필드 F는 F에 상한선이 있는 F의 모든 비빈 부분집합이 F에 최소 상한인 경우 실제 숫자 필드 R과 이형이다.이 속성은 그 밭이 아르키메데스라는 것을 암시한다.null

순서 필드의 벡터 공간

주문된 필드 위의 벡터 공간(특히 n-spaces)은 일부 특수 특성을 보이며 방향, 볼록성 및 양적으로 확실한 내부 제품 등의 특정 구조를 가지고 있다.실제 좌표 공간#지오메트리 특성 및 기타 순서 필드에 걸쳐 벡터 공간으로 일반화할 수 있는 R의ⁿ 특성에 대한 논의에 대한 사용을 참조하십시오.null

어떤 필드를 주문할 수 있는가?

모든 순서가 지정된 필드는 형식적으로 실제 필드, 즉 0은 0이 아닌 제곱의 합으로 쓸 수 없다.^[2][3]null

반대로, 모든 공식 실제 필드에는 호환 가능한 전체 순서가 장착될 수 있으며, 이는 순서가 지정된 필드로 바뀔 것이다. (이 순서는 고유하게 결정될 필요는 없다.)그 증거는 조른의 보조정리기를 사용한다.^[5]null

유한한 장과 보다 일반적인 양의 특성의 장은 순서가 정해진 장으로 바꿀 수 없다. 특성 p에서 원소 -1은 (p - 1) 제곱의² 합으로 쓸 수 있기 때문이다.-1은 가상 단위 i의 제곱이기 때문에 복잡한 숫자도 순서가 정해진 필드로 바꿀 수 없다.또한 헨젤의 보조정리 Q에₂ 따르면 -7의 제곱근은 1²+1²+1²+2²+(√-7)=²0이고, Q_p(p > 2)는 1-p의 제곱근이므로 p-adic 번호는² 주문할 수 없다.^2[6]null

순서에 의해 유도된 위상

F에 총 순서 ≤에서 발생하는 순서 위상이 장착되어 있다면, 공리는 연산 +와 ×가 연속적이므로 F가 위상학 분야임을 보증한다.null

해리슨 위상

해리슨 위상은 공식적인 실제 필드 F의 순서 X의_F 집합에 있는 위상이다.각 순서는 F에서^∗ ±1까지를 곱한 집단 동형성으로 볼 수 있다.±1에 이산 위상 및 ±1에^F 제품 위상을 부여하면 X의_F 아공간 위상이 유도된다.해리슨은 $H{\displaystyle }$(${\displaystyle a}$ )${\displaystyle }$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X_{}}$ F${\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle H(a)=\{P\in X_{F}:a\in P\}}$를 설정하여 해리슨 위상의 하위 기준을 형성한다.제품은 부울 공간(콤팩트, 하우스도르프 및 완전 분리)이며, X는_F 닫힌 부분집합이므로, 다시 부울이 된다.^[7][8]null

팬 및 슈퍼오더 필드

F의 팬은 S가 T - {0}을(를) 포함하는 F의^∗ 지수 2의 하위 그룹이고 -1을 포함하지 않는 경우 S는 주문(즉, S는 추가 시 닫힘)이라는 특성을 가진 사전 주문 T이다.^[9]슈퍼오더 필드는 정사각형의 집합이 부채를 형성하는 완전히 실제의 필드다.^[10]null

참고 항목

• 선형 순서 그룹 – 번역 불변 총 순서가 있는 그룹, 즉 if b인 경우 ca ≤ cb
• 순서군
• 주문 반지
• 순서 위상 벡터 공간
• 순서가 지정된 벡터 공간 – 부분 순서의 벡터 공간
• 부분 주문된 링 – 호환 가능한 부분 주문의 링
• 부분적으로 정렬된 공간 – 부분적으로 정렬된 위상학적 공간
• 프리오더 필드
• 리에즈 공간 – 부분적으로 정렬된 벡터 공간, 격자로 정렬된 공간

메모들

참조

• Lam, T. Y. (1983), Orderings, valuations and quadratic forms, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, vol. 52, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0702-1, Zbl 0516.12001
• Lam, Tsit-Yuen (2005). Introduction to Quadratic Forms over Fields. Graduate Studies in Mathematics. Vol. 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. Zbl 1068.11023.
• Lang, Serge (1993), Algebra (Third ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001