특이점 (수학)

수학에서 특이점은 주어진 수학적 대상이 정의되지 않거나, 미분 가능성이나 ^[1]^[2]^[3]분석성이 결여된 것과 같은 특정한 방식으로 수학적 대상이 더 이상 행동하지 않게 되는 지점을 말합니다.

예를 들어, 역수 $f(x)=1/x$ f ( $f(x)=1/x$ ) = $x=0$ $f(x)=1/x$ / $f(x)=1/x$ {\ $displaystyle$ $f(x)=1/x$ f (x) = $1$ $/x$ $x=0$ 에 특이점이 있으며 $,$ 함수의 값이 정의되지 않은 경우에는 0으로 $x=0$ 나눗셈을 포함합니다.절댓값 $g(x)=|x|$ ( x ) $g(x)=|x|$ = x {\ $displaystyle g($ x) = x $}$ 도 x = $x=0$ ${\displaystyle$ x = $0$ 에서 특이점을 갖습니다.

$\left\{(x,y):y^{3}-x^{2}=0\right\}$ $(x,y)$ $\left\{(x,y):y^{3}-x^{2}=0\right\}$ $(x,y)$ {\ $displaystyle (x,$ y $\left\{(x,y):y^{3}-x^{2}=0\right\}$ $(x,y)$ $\left\{(x,y):y^{3}-x^{2$ = $0\right\}}$ 로 $\left\{(x,y):y^{3}-x^{2}=0\right\}$ 정의된 대수 곡선은 ( $(0,0)$ $(0,0)$ ${\displaystyle (0,0$ 에서 $(0,0)$ 특이점(커스프라고 함)을 갖습니다. 대수 기하학의 특이점에 대해서는 대수적 다양성의 특이점을 참조하십시오.미분기하학의 특이점에 대해서는 특이점 이론을 참조하십시오.

실분석

실제 분석에서 특이점은 불연속이거나 파생상품의 불연속(때로는 고차 파생상품의 불연속)입니다.불연속성은 4가지가 있는데, 2가지의 아형을 가지는 I형과 2가지 아형으로 나눌 수 있는 II형이 있습니다(일반적으로 그렇지는 않습니다.

이 두 가지 유형의 한계가 사용되는 방식을 설명하기 위해 $f(x)$ f $f(x)$ ( x $)$ {\ $displaystyle f(x$ )}가 $f(x)$ 실제 $인수$ x{\ $displaystyle$ x $x$ 의 함수라고 $f(x)$ 하고, 인수의 임의의 $f(c^{-})$ 에 $대해$ c {\ $displaystyle$ c $c$ 그리고 f $f(c^{-})$ ( $f(c^{-})$ $f(c^{+})$ - $f(c^{-})$ ) $f(c^{-})$ {\ $displaystyle$ f( $c$ $f(c^{+})$ f $f(c^{+})$ ( $f(c^{+})$ c $f(c^{+})$ + ) $f(c^{+})$ {\ $displaystyle$ f $(c$ 다음과 같이 정의됩니다.

f(c^{-})=\lim _{x\to c}f(x)

(

f(c^{-})=\lim _{x\to c}f(x)

)

f(c^{-})=\lim _{x\to c}f(x)

f(c^{-})=\lim _{x\to c}f(x)

x →

f(c^{-})=\lim _{x\to c}f(x)

(

f(c^{-})=\lim _{x\to c}f(x)

x )

f(c^{-})=\lim _{x\to c}f(x)

{\

displaystyle

f

(c^

_

{x\to

c

}f(x

x<c

<

x<c

{\displaystyle

x

<c}

및

f(c^{+})=\lim _{x\to c}f(x)

(

f(c^{+})=\lim _{x\to c}f(x)

c

f(c^{+})=\lim _{x\to c}f(x)

)

f(c^{+})=\lim _{x\to c}f(x)

f(c^{+})=\lim _{x\to c}f(x)

x →

f(c^{+})=\lim _{x\to c}f(x)

f (

f(c^{+})=\lim _{x\to c}f(x)

)

f(c^{+})=\lim _{x\to c}f(x)

{\

displaystyle

f

(c^

_

{x\to c}f(x

x

x>c

>

x>c

{\

displaystyle

x

>c

로

x>c

됨.

$f(c^{-})$ f ( $f(c^{-})$ c $f(c^{-})$ - ) $f(c^{-})$ {\ $displaystyle$ f $(c^{-})}$ 는 $f(c^{-})$ $값$ x{\ $displaystyle$ x $}$ 가 $x$ 아래에서 c{\ $displaystyle$ c $}$ 에 $c$ 가까워짐에 따라 $f(x)$ f ( $f(x)$ $f(c^{+})$ ) $f(x)$ {\ $displaystyle$ f( $x$ $))}$ 가 $f(x)$ 기울어지는 값이고, $f(c^{+})$ f ( $f(c^{+})$ c $f(c^{+})$ + ) $f(c^{+})$ {\ $displaystyle$ f $(c$ $^{+})}$ 는 $f(c^{+})$ $f(x)$ $f(x)$ f ( $f(x)$ $)$ $f(x)$ {\ $displaystyle$ x $}$ 가 기울어지는 값입니다. 는 x $=$ $x=c$ {\ $displaystyle$ x = $c$ } $x=c$ 에서 함수가 갖는 실제 값에 관계없이 위에서 c{\ $displaystyle$ c $}$ 에 $c$ 합니다.

이러한 한계가 전혀 존재하지 않는 함수도 있습니다.예를 들어, 함수는

g(x)=\sin \left({\frac {1}{x}}\right)

x{\ $displaystyle$ x $}$ 이(가) c = $c=0$ {\ $displaystyle$ c= $0$ 에 $c=0$ 하기 $x$ 에 어떤 방향으로도 치우치지 않습니다.이 경우의 한계는 무한하지 않고 정의되지 않습니다. g $g(x)$ ( x $g(x)$ {\ $displaystyle$ g $(x)}$ 이 $g(x)$ (가) 설정되는 값이 없습니다.복잡한 분석을 차용하여, 이를 본질적 특이점이라고 부르기도 합니다.

인수에 대해 주어진 $값$ c ${\displaystyle$ c $}$ 에서 $c$ 가능한 경우는 다음과 같습니다.

연속점은 부드러운 함수를 기대하는 것처럼 $f(c^{-})=f(c)=f(c^{+})$ f ( $f(c^{-})=f(c)=f(c^{+})$ - ) = $f(c^{-})=f(c)=f(c^{+})$ ( $f(c^{-})=f(c)=f(c^{+})$ ) = $f(c^{-})=f(c)=f(c^{+})$ ( $f(c^{-})=f(c)=f(c^{+})$ + ) $f(c^{-})=f(c)=f(c^{+})$ {\ $displaystyle$ f (c^{-}) = $f$ (c) = $f$ ( $c^{+})}$ 의 $f(c^{-})=f(c)=f(c^{+})$ 입니다.모든 값은 유한해야 합니다.c{\ $displaystyle$ c $}$ 이 $c$ (가) 연속점이 아닌 $경우$ c{\ $displaystyle$ c $c$ 에서 불연속이 발생합니다.
유형 I 불연속은 $f(c^{-})$ f ( $f(c^{-})$ - ) $f(c^{-})$ {\ $displaystyle$ f $(c^{-})}$ $f(c^{+})$ f ( $f(c^{+})$ + ) $f(c^{+})$ {\ $displaystyle$ f $(c^{+})}$ 가 $f(c^{-})$ $f(c^{+})$ $f(c^{-})$ 존재하고 유한한 경우에 발생하지만 다음 세 조건 중 적어도 하나가 적용됩니다.
- $f(c^{-})\neq f(c^{+})$ ( $f(c^{-})\neq f(c^{+})$ ) $f(c^{-})\neq f(c^{+})$ ( $f(c^{-})\neq f(c^{+})$ + ) $f(c^{-})\neq f(c^{+})$ {\ $displaystyle$ f $(c^{-})\neq$ f $(c$
- $f(x)$ f $f(x)$ ( $f(x)$ ${\displaystyle$ f $(x)}$ 이(가 $f(x)$ x $=$ $x=c$ ${\displaysty$ $f(x)$ $e$ x= $c$ 인 경우에 정의되지 $f(x)$ . 또는
- $f(c)$ f $f(c)$ ( $f(c)$ ${\displaystyle$ f $(c)}$ 에 $f(c)$ 정의된 값이 있지만 두 한계 값과 일치하지 $f(c)$ .
I형 불연속은 다음과 같은 하위 유형 중 하나로 추가로 구별할 수 있습니다.
- f $f(c)$ ( $f(c)$ ${\displaystyle$ f $(c)}$ 정의 $f(c)$ $f(c)$ 에 관계없이 f $f(c^{-})\neq f(c^{+})$ ( $f(c^{-})\neq f(c^{+})$ - $f(c^{-})\neq f(c^{+})$ ) $f(c^{-})\neq f(c^{+})$ f ( $f(c^{-})\neq f(c^{+})$ + ) $f(c^{-})\neq f(c^{+})$ {\ $displaystyle$ f (c ${-})\neq$ f ( $c^{+})}$ 일 $f(c^{-})\neq f(c^{+})$ 점프 불연속이 발생합니다.
- f $f(c^{-})=f(c^{+})$ ( $f(c^{-})=f(c^{+})$ - $f(c^{-})=f(c^{+})$ ) = $f(c^{-})=f(c^{+})$ ( $f(c^{-})=f(c^{+})$ + ) $f(c^{-})=f(c^{+})$ {\ $displaystyle$ f(c^{-}) = $f(c$ 일 때도 f $f(c)$ ( $f(c)$ ) $f(c)$ {\ $displaystyle$ f( $c)}$ 가 정의되었는지 $f(c)$ 에 관계없이(그러나 두 개의 한계의 값과 일치하지 않는) 이동식 불연속이 발생합니다.
유형 II 불연속은 $f(c^{-})$ f ( $f(c^{-})$ - ) $f(c^{-})$ {\ $displaystyle$ f( $c^{-})}$ $f(c^{+})$ f ( $f(c^{+})$ + ) $f(c^{+})$ {\ $displaystyle$ f $(c^{+})}$ 중 $f(c^{-})$ 가 존재하지 않을 때 발생합니다.여기에는 두 가지 하위 유형이 있으며, 일반적으로 별도로 고려되지 않습니다.
- 무한 불연속이란 왼손이나 오른손의 극한이 존재하지 않을 때의 특별한 경우입니다. 특히 그것이 무한하고, 다른 극한 또한 무한하거나 또는 잘 정의된 유한한 수이기 때문입니다.즉, 함수의 그래프가 수직 점근을 가질 때 함수는 무한 불연속성을 갖습니다.
- 핵심 특이점은 복합 분석에서 차용한 용어입니다(아래 참조). $f(c^{-})$ 은 $f(c^{-})$ f $f(c^{-})$ ( $f(c^{-})$ c $f(c^{-})$ - ) {\ $displaystyle f($ c^{-})} $f(c^{+})$ f $f(c^{+})$ ( c $f(c^{+})$ + ) {\ $displaystyle f($ c^{+})} 중 $f(c^{-})$ $f(c^{+})$ 하나 또는 $f(c^{+})$ $f(c^{-})$ 가 존재하지 않지만 무한 불연속이기 때문에 존재하지 않는 경우입니다.필수 특이점은 유효한 답변이 ± ∞ {\ $displaystyle \pm \infty$ 를 $\pm \infty$ 포함하도록 확장되더라도 제한이 없습니다.

실제 분석에서 특이점 또는 불연속성은 함수 단독의 속성입니다.함수의 도함수에 존재할 수 있는 특이점은 원래 함수가 아닌 도함수에 속하는 것으로 간주됩니다.

특이점 좌표

좌표 특이점은 하나의 좌표 프레임에서 명백한 특이점 또는 불연속성이 발생할 때 발생하며, 이는 다른 프레임을 선택하여 제거할 수 있습니다.이것의 한 예는 구면 좌표에서 위도 90도에 있는 명백한 특이점입니다.구의 표면에서 정북(예를 들어 경도 0도 선을 따라)으로 이동하는 물체는 극점에서 갑자기 경도가 순간적으로 변화합니다(예를 들어 경도 0에서 경도 180도로 점프).그러나 이러한 불연속성은 명백할 뿐이며 극점에서 특이한 좌표계를 선택한 아티팩트입니다.좌표계가 다르면 명백한 불연속성이 없어집니다(예: 위도/경도 표현을 n-벡터 표현으로 대체함).

복합분석

복소 분석에서는 특이점의 몇 가지 클래스가 있습니다.여기에는 고립된 특이점, 비분리된 특이점 및 분기점이 포함됩니다.

고립 특이점

f $\ f\$ {\ $displaystyle$ \ $f\ }$ 가 $복소수$ C의 열린 $\ U\$ $\ U\$ U $\ U\$ {\ $displaystyle$ \ U $\$ }에 $\ f\$ 있는 $\ a\$ {\ $displaystyle \a\ }$ 의 $\ a\$ 여집합에서 복소수 $\ \mathbb {C} ~.$ 가능한 함수라고 $\ f\$ 하자 $\ \mathbb {C} ~.$ $\mathbb {C} ~.$ 다음 $\ \mathbb {C} ~.$ :

U $\ U\$ ∖ { $\ U\smallsetminus \{a\}~.$ 의 $\ U\smallsetminus \{a\}~.$ $\ U\$ $\ z\$ {\ $displaystyle$ \ $z\}$ 에 대해 f $\ f(z)=g(z)\$ = $\ f(z)=g(z)\$ ( ${\$ $displaystyle \g\}$ 이(가) $정의$ 된 모든 U {\displaystyle \ U $\}$ 에 정의된 $동형$ 함수 g ${\$ displaystyle $\ g\$ \g\}의 $\ f\$ 이동 $가능$ 한 특이점 ${\$ $displaystyle$ \ $f(z$ ) = g(z)\ $\ U\smallsetminus \{a\}~.$ $}$ 입니다. ${\$ displaystyle \ $U\smallset$ minus \{ $a\}~}$ $\ U\smallsetminus \{a\}~.$ $\ g\$ g $\ g\$ {\ $displaystyle \g\}$ 은 $\ g\$ (는) $\ f~.$ f 의 연속적인 치환입니다 $.$ {\ $displaystyle \f~.}$
U $\ U\$ {\ $displaystyle$ $\a\}$ 에 정의된 정칙 $\ g\$ g $\ g\$ {\ $displaystyle$ \ $g\}$ 이( $가) {\displaystyle$ $\$ $g\}$ 이고 $\ g(a)\$ f $\ f(z)={\frac {g(z)}{\ (z-a)^{n}\ }}\$ ( $\ f(z)={\frac {g(z)}{\ (z-a)^{n}\ }}\$ ) = $\ f(z)={\frac {g(z)}{\ (z-a)^{n}\ }}\$ ( $\ f(z)={\frac {g(z)}{\ (z-a)^{n}\ }}\$ ) ( $\ f(z)={\frac {g(z)}{\ (z-a)^{n}\ }}\$ - $\ f(z)={\frac {g(z)}{\ (z-a)^{n}\ }}\$ a ) $\ f(z)={\frac {g(z)}{\ (z-a)^{n}\ }}\$ {\ $displaystyle$ \ $n$ $}$ 인 $자연수$ n ${\displaystyle$ \ $n$ $\}$ 이(가) 존재할 경우 $\ a\$ a {\ $displaystyle$ \ $f\}$ 의 극 또는 비필수 $\ n\$ 입니다 $.$ $)=$ U $\ U\smallsetminus \{a\}~.$ { $\ U\smallsetminus \{a\}~.$ 의 $\ z\$ z $\ z\$ {\ $displaystyle$ \ $z\}$ 에 대해 ${\frac$ { $g$ $($ z $)}{\(z-a)^{n$ $}\}}.$ {\ $displaystyle$ \ $U\smallset$ minus \{ $a\}~.}$ $\ U\smallsetminus \{a\}~.$ 그러한 가장 적은 $\ n\$ 의 ${\$ 을 $\ n\$ (를) 극의 차수라고 합니다.비필수 특이점의 도함수는 n ${\$ 이 $\ n\$ (가) 1만큼 $증가$ 하는 비필수 특이점을 갖습니다(단, 특이점이 제거될 수 있도록 n ${\$ 이 $\ n\$ (가) 0인 $경우$ 는 제외).
${\$ $\ a\$ 은 $\ a\$ 이동 가능한 특이점이나 극이 아닌 경우 ${\$ 의 $\ f\$ 필수 특이점입니다.로랑 급수가 무한히 많은 음의 ^[1]거듭제곱을 갖는 경우에만 ${\$ $\ a\$ 은 $\ a\$ 필수 특이점입니다.

고립되지 않은 특이점

고립된 특이점 이외에 한 변수의 복잡한 함수는 다른 특이점 동작을 나타낼 수 있습니다.이를 비분리 특이점이라 하며, 이 중 두 가지 유형이 있습니다.

군집점: 고립된 특이점의 한계점.만약 그들이 모두 극일 경우, 각각의 극에 로랑 급수 팽창을 허용하더라도, 그 한계에서는 그러한 팽창은 불가능합니다.
자연 경계: 함수가 분석적으로 주변에서(또는 리만 구의 닫힌 곡선인 경우 그 바깥에서) 계속될 수 없는 고립되지 않은 모든 집합(예: 곡선).

분기점

분기점은 일반적으로 $\ {\sqrt {z\ }}\$ z {\ $displaystyle \{\sqrt {z\}}\},$ $\ \log(z)\ ,$ ⁡ ( $\ \log(z)\ ,$ $\log(z)\,$ 와 $\ {\sqrt {z\ }}\$ 다중 값 함수의 결과입니다. 이 함수는 도메인 내에서 단일 값으로 만들 수 있도록 특정 제한된 도메인 내에서 정의됩니다.절단은 함수의 불연속적인 값 사이에 기술적인 분리를 도입하기 위해 도메인에서 제외되는 선이나 곡선입니다.절단이 실제로 필요한 경우에는 분기 절단의 각 면에서 함수의 값이 확연히 달라집니다.분기 컷의 모양은 두 개의 서로 다른 분기점( $:$ z = $\ \log(z)\$ 0 ${\$ $displaystyle$ \ $z$ = $0\}$ $\ z=0\$ $\ z=\infty \$ = 로그 $\ \log(z)\$ ∞ {\ $displaystyle$ \z= $\infty$ \ $\ \log(z)\$ })을 연결해야 하지만 선택의 문제입니다.

유한 시간 특이점

한 입력 변수가 시간일 때 유한 시간 특이점이 발생하고 출력 변수는 유한 시간에 무한대로 증가합니다.운동학과 편미분 방정식에서 중요한 것으로 무한은 물리적으로 발생하지 않지만 특이점 근처의 행동은 종종 관심의 대상이 됩니다.수학적으로, 가장 간단한 유한 시간 특이점은 $x^{-\alpha },$ - $x^{-\alpha },$ α $x^{-\alpha },$ , $x^{-\alpha },$ {\ $displaystyle$ x $^{-\alpha }$ $x^{-\alpha },$ 의 다양한 지수에 대한 거듭제곱 법칙이며, 그 중 가장 간단한 것은 쌍곡선 성장이며, $x^{-1}.$ 는 (음) 1 $x^{-1}.$ x - $x^{-1}.$ . {\ $displaystyle$ x^{- $1$ 보다 정확하게는, 시간이 지남에 따라 양의 시간에 특이점을 얻기 위해(따라서 출력).는 무한대로 성장합니다), 대신 ( $(t_{0}-t)^{-\alpha }$ 0 - $(t_{0}-t)^{-\alpha }$ ) - $(t_{0}-t)^{-\alpha }$ {\ $displaystyle (t_{0}-t)^{-\alpha$ }} $(t_{0}-t)^{-\alpha }$ 를 $(t_{0}-t)^{-\alpha }$ 사용합니다 (t를 시간에 사용하고, 시간이 무한대로 증가하도록 $-t$ {\ $displaystyle$ -t $-t$ }로 $-t$ 방향을 바꾸고, 특이점을 0에서 고정 $t_{0}$ $t_{0}$ 0으로 앞으로 이동합니다 $t_{0}$ {\ $displaystyle t_{0$ }}). $t_{0}$

비행기에서 비탄성 공이 튕기는 동작을 예로 들 수 있습니다.만약 각 바운스에서 운동 에너지의 동일한 부분이 손실되는 이상적인 운동을 고려한다면, 공이 유한한 시간 안에 정지하기 때문에 바운스의 빈도는 무한해집니다.유한 시간 특이점의 다른 예로는 Painlevé 역설의 다양한 형태(예를 들어 칠판을 가로질러 끌면 분필이 건너뛰는 경향)와 평평한 표면에서 회전하는 동전의 세차운동 속도가 무한대로 가속되는 방법( 오일러의 원반 장난감을 사용하여 연구된 바와 같이)이 있습니다.

가설적인 예로는 하인츠 폰 포어스터의 익살스러운 "Doomsday's equation"(단순한 모델은 유한한 시간 안에 무한한 인간 인구를 산출함)이 있습니다.

대수기하학과 치환대수학

대수기하학에서, 대수적 다양성의 특이점은 접공간이 규칙적으로 정의되지 않을 수 있는 다양성의 한 점입니다.특이점의 가장 간단한 예는 그 자체를 가로지르는 곡선입니다.하지만 첨두와 같은 다른 종류의 특이점들이 있습니다.예를 들어 $방정식$ y - $x$ = $0$ 은 $원점$ x = $y$ = $0$ 에 첨두가 있는 곡선을 정의합니다.이 지점에서 x축을 접선으로 정의할 수 있지만 이 정의는 다른 지점의 정의와 동일할 수 없습니다.실제로 이 경우 x축은 "이중 접선"입니다.

아핀형 및 투영형 변이체의 경우 특이점은 자코비안 행렬이 변이체의 다른 점보다 낮은 순위를 갖는 점입니다.

교환 대수의 관점에서 동등한 정의가 주어질 수 있으며, 이는 추상적인 다양성과 체계로 확장됩니다.이 지점의 로컬 링이 정규 로컬 링이 아닌 경우 점은 단수입니다.

참고 항목

참고문헌

^ ^a ^b "Singularities, Zeros, and Poles". mathfaculty.fullerton.edu. Retrieved 2019-12-12.
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^ "Singularity (mathematics)". TheFreeDictionary.com. Retrieved 2019-12-12.
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[:1-1] "Singularities, Zeros, and Poles". mathfaculty.fullerton.edu. Retrieved 2019-12-12.

[2] "Singularity complex functions". Encyclopedia Britannica. Retrieved 2019-12-12.

[3] "Singularity (mathematics)". TheFreeDictionary.com. Retrieved 2019-12-12.

[4] Berresford, Geoffrey C.; Rockett, Andrew M. (2015). Applied Calculus. Cengage Learning. p. 151. ISBN 978-1-305-46505-3.

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