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0.999...

0.999...
소수점이 무한히 진행되는 방식을 나타내는 숫자의 스타일적 인상

수학에서는 0.999... (0.9, 0..9 또는 0.(9))소수점 뒤에 9초의 끝나지 않는 수열로 구성된 반복 소수에 대한 표기법입니다. 이 반복되는 10진수는 시퀀스의 모든 숫자 0보다 작거나 작은 숫자를 나타내는 숫자입니다 즉, 이 시퀀스의 최상위에 해당합니다.[1] 이 숫자는 1과 같습니다. 즉, "0.999..." "거의 정확히 1" 또는 "매우, 매우 거의 그러나 완전히 1"이 아니라 "0.999..."와 "1"이 정확히 같은 숫자를 나타냅니다.

직관적인 논증에서부터 수학적으로 엄밀한 증명에 이르기까지 이 평등을 보여주는 많은 방법들이 있습니다. 사용되는 기술은 대상 청중, 배경 가정, 역사적 맥락 및 실제 숫자의 선호되는 개발에 따라 달라지며, 그 안에 있는 시스템은 0.999... 일반적으로 정의됩니다. 다른 시스템에서는 0.999... 동일한 의미를 갖거나, 다른 정의를 갖거나, 정의되지 않을 수 있습니다.

더 일반적으로, 0이 아닌 모든 종료 소수는 두 개의 동일한 표현(예: 8.32 및 8.31999...)을 갖는데, 이는 베이스에 관계없이 모든 위치 숫자 시스템 표현의 속성입니다. 종료 소수 표현에 대한 공리주의적 선호는 그것이 유일한 표현이라는 오해를 불러일으킵니다. 기초가 아닌 기술, 속성 또는 학문에 의존하는 엄격한 증명과 같은 이러한 이유로 인해 어떤 사람들은 동등함에 대해 의문을 제기하거나 거부할 만큼 충분히 반직관적이라고 생각할 수 있습니다. 이것은 수학 교육에서 여러 연구의 주제가 되었습니다.

기초 증명

Archimedean 속성: 결승선 전의 임의의 점 x는 두 점 Pn 사이에 있습니다(포함).

= 1 0 = 1기본적인 증명이 있습니다 수열, 극한, 실수의 형식적 구성 등과 같은 고급 주제에 대한 언급 없이 (유한) 소수의 비교와 덧셈이라는 수학적 도구만 사용합니다. 아래[2]주어진 증명은 숫자 줄 0 등을 그리면 숫자와 1 사이에 놓을 공간이 남지 않는다는 직관적 사실을 직접 공식화한 것입니다. 표기법 0.999의 의미는... 등 모든 숫자 중 오른쪽에 있는 숫자 선의 최소 점입니다. 결국 1과 이 숫자 사이에 공간이 없기 때문에 점 1은 이 최소점이어야 하며, 따라서 … = 0 = 입니다

직관적인 설명

숫자 라인 0 등을 배치하면 이 모든 점들이 1의 왼쪽에 있고, 1에 점점 더 가까워지는 것을 바로 알 수 있습니다.

보다 정확하게는 0.9에서 1까지의 는 0 = 0 = {\ { 0.99에서 1까지의 는 0 = 0 = {\ {등입니다. 번째 지점(소수점 이후에 n9s인 지점)에서 1까지의 거리는 입니다

따라서 1이 등보다 작은 숫자가 아니라면 숫자 선에는 1과 이 모든 점 사이에 있는 점이 있을 것입니다. 이 점은 모든 n n 1에서 보다 작은 양의 거리에 있을 것입니다 표준 수 체계( 유리수실수)에서, 모든 보다 작은 양수가 없습니다 이것은 유리수 체계에서 성립하는 것으로 증명될 수 있는 아르키메데스 속성의 한 가지 버전입니다. 따라서 1은 모든 0 0등보다 큰 가장 작은 숫자이므로 = 1=입니다

완성도에 대한 논의

이 인수의 일부는 시퀀스 0 0 등의 상한이 있다는 것입니다. 수열의 모든 항보다 큰 최소 수 실수 체계공리 중 하나는 모든 유계열은 최소 상한을 갖는다는 완전성 공리입니다. 이 최소 상한은 무한 소수 확장을 정의하는 한 가지 방법입니다. 무한 소수로 표현되는 실수는 유한 절단 중 최소 상한입니다. 여기서의 논법은 유리수의 특정 수열이 최소 상한을 가지며 이 최소 상한이 1과 같다는 것을 보여주기 때문에 완전성을 유효하다고 가정할 필요가 없습니다.

엄밀한 증명

앞의 설명은 숫자와 그 표현 사이의 관계를 수직선 위의 한 점으로 제대로 정의할 수 없기 때문에 증명이 되지 않습니다. 증명의 정확성을 위해 … 9 소수점 에 n n)은 0 n 0로 표시됩니다 따라서 ( = 0 0} = ( 2 = 0} = 0 = 0 } = 0등입니다. n = }}=로서 소수점 뒤에 자리가 있으면 소수점에 대한 덧셈 규칙은 다음을 의미합니다.

모든 양의 정수 에 대해1은 모든 보다 작지 않은 가장 작은 숫자임을 보여주어야 합니다 ( 이를 위해서는 x 1보다 크지 않고 모든 보다 작지 않음을 증명하는 것으로 충분합니다( 0 다음 x = x= 따라서 x)로 설정합니다.
모든 양의 정수 에 대하여 그러므로,
기본적인 산술과 위에서 설정한 첫 번째 등식을 사용하면 다음과 같이 단순화됩니다.
이는 x x 사이의 차이가 양의 정수의 역수보다 작다는 것을 의미합니다. 따라서 이 차이는 0이어야 하며, 따라서 = 1 x=… = 0 = 이어야 합니다

이 증명은 0이 정수의 모든 역수보다 작거나 모든 정수보다 큰 수가 없는 유일한 음수가 아니라는 사실에 의존합니다. 이것은 유리수실수에 대해 검증된 아르키메데스 속성입니다. 실수는 무한히 작은 수(무한소)와 무한히 큰 수(무한소)를 가진 초실수와 같은 수 체계로 확대될 수 있습니다. 이러한 시스템을 사용할 때 표기법 0.999... 모든 n 보다 작지 않으므로 일반적으로 사용되지 않습니다 이는 ( < 0. (< 을 의미하며, ( n- 1 - < 0. (< x < 을 의미합니다

대수적 논법

= 0 1 = 유한 소수를 더하고 곱하는 규칙이 무한 소수로 확장된다는 가정에 기초하기 때문에 엄격한 수학적 증명은 아닙니다. 이러한 규칙을 무한 소수점으로 확장하는 것은 직관적이고 정확하지만 정당화가 필요합니다.

평등에 대한 간단한 대수적 삽화는 교육학적 논의와 비판의 주제입니다. Byers(2007)는 초등학교에서 = 0 {3} = 를 배운다고 주장합니다 따라서 모든 필수적인 세부 사항을 무시하고 이 ID를 3{\3} "multip"하면 1 = 999… {\1 = \ldots를 얻을 수 있습니다. 그는 또한 등호의 의미에 대한 해결되지 않은 모호성 때문에 이 주장은 설득력이 없다고 말합니다. 학생은 "숫자 1이 라는 표기법에서 의미하는 숫자와 동일하다는 것을 의미하는 것은 아닙니다."라고 생각할 수 있습니다" 바이어스가 접한 대부분의 학부 수학 전공자들은 이 주장의 강점으로 1에 "매우 가깝다"고 생각하며, 심지어 일부는 "무한히 가깝다"고 말하기도 하지만, 그들은 1과 같다고 말할 준비가 되어 있지 않습니다.[3] Richman(1999)은 "대부분의 사람들이 생각 없이 첫 번째 방정식을 받아들이도록 교육을 받았다는 사실로부터 이 주장이 어떻게 그 힘을 얻는지"에 대해 논의하지만, 또한 이 주장이 회의론자들로 하여금 이 가정에 의문을 제기하도록 할 수 있다고 제안합니다.[4]

Byers는 또한 다음과 같은 주장을 제시합니다.

첫 번째 주장을 받아들이지 않은 학생들은 두 번째 주장을 받아들이기도 하지만, Byers의 의견으로는 여전히 모호함을 해결하지 못했고, 따라서 무한 소수의 표현을 이해하지 못합니다. 같은 주장을 제시한 Peressini & Peressini(2007)도 평등을 설명하지 않는다고 언급하여 그러한 설명이 무한과 완전성의 개념을 포함할 가능성이 있음을 나타냅니다.[5] Baldwin & Norton(2012)은 Katz & Katz(2010a)를 인용하면서, 이러한 주장에 근거한 정체성의 취급은, 한계의 공식적인 개념이 없는, 시기상조라고 결론짓는다.[6]

Richman(1999)도 같은 주장을 하고 있는데, 그는 회의론자들이 x 취소할 수 있는지 즉, 양쪽에서 x 를 빼는 것이 타당한지에 대해 의문을 제기할 수 있다고 지적합니다.

분석적 증명

0.999 문제 이후로... 수학의 형식적 발전에 영향을 미치지 않으며, 실제 분석의 표준 정리를 증명할 때까지 연기할 수 있습니다. 하나의 요구 사항은 선택 부호, 정수 부분을 구성하는 하나 이상의 자릿수의 유한 시퀀스, 십진 구분자 및 분수 부분을 구성하는 자릿수 시퀀스로 구성된 십진 표기법으로 작성될 수 있는 실수를 특성화하는 것입니다. 0.999...를 논의하기 위해 정수 부분은 b 로 요약할 수 있으며, 음수를 무시할 수 있으므로 십진 확장은 다음과 같은 형태를 갖습니다.

분수 부분은 정수 부분과 달리 무한히 많은 자릿수로 제한되지 않습니다. 이것은 위치 표기이므로 예를 들어 500의 숫자 5는 50의 숫자 5보다 10배 더 많이 기여하고 0.05의 숫자 5는 0.5의 숫자 5보다 10분의 1을 기여합니다.

무한급수 및 수열

십진 확장의 일반적인 발전은 그것들을 무한급수의 합으로 정의하는 것입니다. 일반적으로:

0.999의 경우... 만약 < 1 r < 이면 다음과 같이 기하급수에 관한 수렴 정리를 적용할 수 있습니다.[7]

0.999 이후로... 는 = 9 a=이고 비율 r = r = {\인 합이며 이 정리는 질문을 짧게 만듭니다.

이 증명은 레온하르트 오일러대수학 요소에서 일찍이 1770년에 나타납니다.[8]

제한: 1로 수렴하는 베이스-4 분수 시퀀스(.3, .33, .333, ...)를 포함한 단위 간격.

기하급수의 합은 그 자체로 오일러보다 훨씬 오래된 결과입니다. 전형적인 18세기 유도는 위의 대수적 증명과 유사한 용어별 조작을 사용했고, 1811년 이후 보니캐슬의 교과서 대수학 개론에서는 기하급수에 대한 그러한 논증을 사용하여 0.999에 대한 동일한 조작을 정당화합니다...[9] 그러한 자유주의적 합산 방법에 대한 19세기의 반응은 오늘날에도 여전히 지배적인 정의를 낳았습니다: 급수의 합은 부분합의 수열의 극한으로 정의됩니다. 정리에 해당하는 증명은 그 수열을 명시적으로 계산합니다. 미적분학이나 분석에 대한 증명 기반 서론에서 찾을 수 있습니다.[10]

A sequence has the value as its limit if the distance becomes arbitrarily small as increases. … = = 1이라는 문장 자체는 다음과 같은 한계로 해석되고 증명될 수 있습니다.

처음 두 등식은 기호 축약 정의로 해석할 수 있습니다. 나머지 동등성은 증명할 수 있습니다. 이 무한대\infty})에 접근함에 따라 이 0에 접근하는 마지막 단계는 종종 실수의 아르키메데스 속성에 의해 정당화됩니다. 에 대한 이러한 제한적인 태도는 종종 더 기억에 남지만 덜 정확한 용어로 표현됩니다. 예를 들어, 1846년 교과서 The University Armetic은 "999 +, 무한대 = 1로 계속됩니다. 왜냐하면 a의 모든 부속서는 값이 1에 가까워지기 때문입니다."라고 설명합니다; 1895년 학교를 위한 산술은 "많은 수의 9를 취했을 때, 1과 .99999 사이의 차이는... 상상할 수 없을 정도로 작아집니다."[12] 그런 휴리스틱은 학생들이 0.999를 암시하는 것으로 잘못 해석하는 경우가 많습니다. 그 자체가 1보다 작습니다.

중첩 구간 및 최소 상한

중첩 간격: 베이스 3, 1 = 1.000... = 0.222....

위의 급수 정의는 십진법 확장으로 명명된 실수를 정의하는 간단한 방법입니다. 보완적 접근 방식은 반대 프로세스에 맞게 조정됩니다. 주어진 실수에 대해 이름을 지정할 십진 확장을 정의합니다.

실수 x닫힌 구간[ 0 이상 10 이하)에 있다고 알려진 경우, 해당 구간을 끝점에서만 겹치는 10개로 나누는 것을 상상할 수 있습니다 [ 1 [ 2 3까지입니다 The number must belong to one of these; if it belongs to [2, 3], then one records the digit "2" and subdivides that interval into , , ..., , 이 프로세스를 계속하면 b , 2, , … b_{의 무한한 숫자로 레이블이 지정된 중첩 간격의 무한한 시퀀스가 생성되고하나의 쓰기가 수행됩니다.

이 형식주의에서 항등식 1 = 0.999... and 1 = 1.000... 각각 1이 1 {\displaystyle [0, 1][ 둘 다에 있다는 사실을 반영하므로 숫자를 찾을 때 하위 구간을 선택할 수 있습니다 이 표기법이 "=" 부호를 남용하지 않도록 하려면 각 소수에 대해 고유한 실수를 재구성할 방법이 필요합니다. 이것은 제한적으로 수행할 수 있지만 다른 구성은 주문 테마로 계속됩니다.[13]

한 가지 간단한 선택은 중첩 간격 정리인데, 이 정리는 길이가 임의로 작아지는 중첩되고 닫힌 간격의 시퀀스가 주어지면 간격이 교집합에 단 하나의 실수를 포함함을 보장합니다. So is defined to be the unique number contained within all the intervals , , and so on. 0.999... 그러면 모든 유한 문자열의 [ 간격 0, 1] [ 1 1 [ 1에 있는 고유한 실수입니다. 1은 각 구간의 원소이므로 .[14]

중첩 구간 정리는 일반적으로 실수의 더 근본적인 특성, 즉 최소 상한 또는 최고점의 존재를 기반으로 합니다. 이러한 개체를 직접 이용하려면 b b 3(를) 근사 b b {0} b_} 0} b_{} b_{0} 집합의 최소 상한으로 정의할 수 있습니다[15] 그런 다음 이 정의(또는 중첩 간격 정의)가 를 암시하는 세분화 절차와 일치한다는 것을 알 수 있습니다다시 톰 아포스톨(Tom Apostol)은 "실수가 두 개의 서로 다른 소수 표현을 가질 수 있다는 사실은 두 개의 서로 다른 실수 집합이 동일한 소수점을 가질 수 있다는 사실을 반영하는 것일 뿐입니다."[16]

실수 구성의 증명

일부 접근법은 공리적 집합 이론을 사용하여 실수를 유리수 위에 구축된 특정 구조로 명시적으로 정의합니다. 자연수{ 은(는) 0으로 시작하여 모든 숫자에 계승자가 있도록 위쪽으로 계속됩니다. 자연수를 음수로 확장하여 모든 정수를 제공하고 비율로 확장하여 유리수를 제공할 수 있습니다. 이러한 수 체계에는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈의 산술이 수반됩니다. 더 미묘한 것은 순서 지정이 포함되어 있기 때문에 한 숫자를 다른 숫자와 비교하여 다른 숫자보다 작거나 크거나 같은 것을 알 수 있습니다.

유리수에서 현실로의 단계는 주요한 확장입니다. 이 단계를 달성하는 데에는 적어도 두 가지 인기 있는 방법이 있는데, 둘 다 1872년에 발표된 데데킨드 컷코시 시퀀스입니다. 이러한 구조를 직접 사용하는 … = 0 = 1이라는 증명은 실제 분석에 관한 교과서에서는 찾아볼 수 없는데, 이 교과서에서는 지난 수십 년간 현대적 경향이 공리적 분석을 사용해 왔습니다. 구성이 제공되는 경우에도 일반적으로 실수의 공리를 증명하는 데 적용되며, 이는 위의 증명을 뒷받침합니다. 그러나 몇몇 저자들은 구성으로 시작하는 것이 논리적으로 더 적합하고, 그 결과로 나온 증명이 더 자기 억제적이라는 생각을 표현합니다.[17]

데데킨드 컷

데데킨드 컷 접근법에서 각 x 는 x x보다 작은 모든 유리수무한 집합으로 정의됩니다[18] 특히 실수 1은 1보다 작은 모든 유리수의 집합입니다.[19] 모든 양의 십진법 확장은 쉽게 데데킨드 절단, 즉 확장의 어떤 단계보다 작은 유리수의 집합을 결정합니다. 그래서 실수 0.999... is the set of rational numbers such that , or , or , or is less than some other number of the form[20]

0.999의 모든 원소는... 1보다 작으므로 실수 1의 요소입니다. 반대로 1의 모든 원소는 다음과 같이 쓸 수 있는 유리수입니다.

> b> a b인 경우. 이것은 암시합니다.
그리하여

부터

위의 정의에 따르면, 1의 모든 원소는 0.999...의 원소이며, 위의 증명과 결합하여 0.999...의 원소입니다. 또한 집합 0.999인 1의 원소입니다. 그리고 1은 동일한 유리수를 포함하므로 동일한 집합, 즉 .

실수를 데데킨드 컷으로 정의한 것은 1872년 리처드 데데킨드에 의해 처음 발표되었습니다.[21] 각각의 소수 확장에 실수를 할당하는 위의 접근법은 수학 잡지에 실린 프레드 리치먼의 "Is 0.999 ... = 1?"이라는 제목의 설명적인 논문 때문입니다. 리치먼은 유리수들의 조밀한 부분집합에서 데데킨드 컷을 사용하면 동일한 결과를 얻을 수 있으며, 특히 그는 증명이 더 즉각적인 소수 분수를 사용한다고 언급합니다. 또한 일반적으로 정의를 통해{ : < 1 < 1(를) 잘라낼 수 있지만{: x x 1또는 그 반대)는 사용할 수 없습니다.[22] 절차를 추가로 수정하면 둘이 동등하지 않은 다른 구조로 이어집니다. 일치하지만 십진법의 많은 일반적인 규칙은 더 이상 유지되지 않습니다. 예를 들어 분수 에는 표현이 없습니다. 아래의 § 대체 수 체계를 참조하십시오.

코시 수열

또 다른 접근법은 실수를 유리수들의 코시 수열의 극한으로 정의하는 것입니다. 이 실수의 구성은 유리수의 순서를 덜 직접적으로 사용합니다. First, the distance between and is defined as the absolute value , where the absolute value is defined as the maximum of and , 그래서 절대 부정적이지 않습니다. 그런 다음 실수는 이 거리를 사용하여 코시 수열 속성을 갖는 유리수의 수열로 정의됩니다. , x x 자연수에서 유리수로의 매핑, for any positive rational there is an such that for all ; the distance between terms becomes smaller than any positive rational.[23]

( (가) 코시 시퀀스인 경우 시퀀스 - (가) 한계값이 0인 경우 실수와 동일하도록 정의됩니다. 소수 b b 2 의 절편은 유리수열을 생성하는데, 이것은 숫자의 실수 값을 정의하기 위해 사용됩니다.[24] 따라서 이 형식주의에서 과제는 유리수의 수열을 보여주는 것입니다.

한계가 0입니다. ∈ N 번째 항을 고려할 때 을 나타내야 합니다.
이는 한계의 정의로 증명할 수 있습니다. 0… = 0 = 1입니다

실수를 코시 수열로 정의한 것은 에두아르트 하이네게오르크 칸토어가 1872년에 별도로 발표했습니다.[21] … = 1 = 이라는 증명을 포함한 소수 확장에 대한 위의 접근법은 그리피스 & 힐튼의 1970년 연구를 거의 따릅니다. 고전 수학의 포괄적인 교과서: 현대적인 해석입니다.[26]

무한 소수 표현

일반적으로 중등학교의 수학 교육에서 실수는 주어진 실수의 분수 부분을 나타내기 위해 숫자 다음에 기수점과 문자열로 쓰여진 무한 수열을 사용하여 숫자를 정의함으로써 구성됩니다. 이 구성에서 소수점(또는 기수가 아닌 10계의 경우에는 기수 뒤에 정수와 자릿수의 임의의 조합의 집합이 실수의 집합입니다. 이 구성은 1 = 0.999를 정의하는 집합에 대한 동등성 관계를 정의한 후 모든 실제 공리를 만족시키는 것으로 엄격하게 보여질 수 있습니다... 0이 아닌 다른 소수의 소수에 대해서도 마찬가지로, 소수 문자열에서 0이 아닌 용어가 무한히 많은 소수에 대해서도 후행 9s 버전을 사용합니다.[27] 이러한 실수 구성을 통해 "1 = 0.999..."라는 문장의 모든 증명은 실수에 대해 어떤 연산을 수행할 때 동일함을 암시적으로 가정하는 것으로 볼 수 있습니다.

밀집순서

이 문제를 해결할 수 있는 개념 중 하나는 실수를 조밀하게 정렬해야 한다는 것입니다. 조밀한 순서는 집합의 두 원소 사이에 엄격하게 새로운 원소가 없으면 두 원소는 동일한 것으로 간주되어야 함을 의미합니다. 따라서 만약 와) 다르려면 그 사이에 다른 실수가 있어야 하지만 숫자를 얻기 위해서는 두 숫자 중 어느 하나를 변경할 수 없습니다.[28]

일반화

… = 0 = 1의 결과는 두 가지 방법으로 쉽게 일반화됩니다. 첫째, 유한 소수 표기법을 가진 0이 아닌 모든 숫자(동등하게, 무한 후행 0)는 후행 9와 대응되는 수를 갖습니다. 예를 들어, 0.24999... 고려된 특수한 경우와 정확히 일치하는 0.25입니다. 이 숫자들은 정확히 소수 분수이며 밀도가 높습니다.[29]

둘째, 비슷한 정리가 각 기수나 기저에 적용됩니다. 예를 들어, 2진법에서는 0.111... 1과 같고, 밑 3(삼원수계)에서는 0.222... 1입니다. 일반적으로, 모든 종단 베이스 식은 b- 과 같은 반복된 뒷자리를 갖는 대응물을 갖습니다 실제 분석 교과서는 0.999의 예를 생략할 가능성이 높습니다... 처음부터 이러한 일반화 중 하나 또는 둘 다를 제시합니다.[30]

1의 대체 표현은 정수가 아닌 기저에서도 발생합니다. 예를 들어 황금 비율 기준에서 두 표준 표현은 및 0 이며 인접한 1을 포함하는 표현은 무한히 더 많습니다. 일반적으로 1과 2 사이의 거의 모든 에 대해 1의 기본 확장이 셀 수 없이 많습니다. 이와는 대조적으로, 1보다 큰 모든 자연수를포함하여 여전히 셀 수 없이 많은 이(가) 존재하며, 이는 사소한 을(를) 제외하고 1의 기본 확장 하나뿐입니다 이 결과는 Paul Erd ős, Miklos Horvath에 의해 처음 얻어졌습니다. 그리고 1990년경 이스반 주오. 1998년 빌모스 코모르니크와 파올라 로레티코모르니크를 가장 작은 기지로 결정했습니다.Lorelti 상수 = q = {\ = displaystyle 1 = 0 숫자는 반복되지 않는 Thue-Morse 시퀀스로 지정됩니다.

보다 광범위한 일반화는 가장 일반적인 위치 체계를 다룹니다. 그들도 여러 개의 표현을 가지고 있고, 어떤 의미에서는 어려움이 더 심각합니다. 예:[32]

  • 균형 삼원계에서 = … = _ {2} = = 1
  • 요인 번호 시스템(소수점 이후의 위치에 대해 3 사용)에서 1 = … = 1= =

고유대리불가

이 모든 서로 다른 수 체계들이 일부 실수들에 대해 여러 개의 표현들로 고통을 겪는다는 것은 순서 집합으로서의 실수들과 사전적으로 순서화된 무한한 기호 문자열들의 집합들 사이의 근본적인 차이에 기인할 수 있습니다. 실제로 다음 두 가지 속성이 어려움을 설명합니다.

  • 실수간격이 비어 있지 않은 두 부분 R 으로 분할되어 의 모든 요소가 의 모든 요소보다 작으면 L L에 가장 큰 요소가 포함되거나 R 가장 작은 요소가 포함되지만 둘 다 포함되지 않습니다.
  • 사전적으로 정렬된 임의의 유한한 "알파벳"에서 가져온 기호의 무한 문자열 모음은 의 모든 요소가 R 의 모든 요소보다 작도록 두 개의 비어 있지 않은 으로 분할될 수 있습니다 에 가장 큰 요소가 포함되어 있고 에 가장 작은 요소가 포함되어 있습니다. 실제로 두 개의 유한 접두사(초기 서브스트링) 2 개의 요소를 집합에서 가져와 최종 기호만 다를 뿐 연속적인 값을 갖습니다. L 집합의 모든 문자열 집합 중 해당 접두사가 최대 이고 R 나머지 집합의 문자열 중 해당 접두사가 p 입니다 L L(는) 로 시작하여 다음 모든 위치에서 사용 가능한 가장 큰 기호를 선택합니다. 대조적으로 은(는) 모든 위치에서 가장 작은 기호만큼 을(를) 따라 얻은 가장 작은 요소를 가지고 있습니다.

첫 번째 요점은 실수의 기본 속성에서 다음과 같습니다. 은(는) 소수점을 가지며, R(는) 동일한 것으로 쉽게 볼 수 있습니다. 실수라면 있거나 L L에 있습니다 이(가) 서로 분리되어야 하기 때문에 둘 다가 아닙니다. 두 번째 점은 0.999.../1.000...을 일반화합니다. = } = 0 = 1 } = 에 대해 쌍을 얻었습니다 모든 위치에 동일한 알파벳을 사용할 필요는 없으며(예를 들어 혼합 래딕 시스템이 포함될 수 있도록) 가능한 문자열의 전체 집합을 고려할 필요는 없습니다. 유일한 중요한 점은 각 위치에서 (이전 기호에 의존할 수도 있는) 유한한 기호 집합을 선택할 수 있다는 것입니다(이는 최대 및 최소 선택), 그리고 모든 위치에 대해 유효한 선택을 하면 유효한 무한 문자열이 생성되어야 합니다(따라서 "9"의 무한 연속을 금지하면서 각 위치에 "9"를 허용해서는 안 됩니다). 이러한 가정 하에서 위의 인수는 문자열 모음에서 실수의 간격까지의 순서 보존 맵이 이항이 될 수 없음을 보여줍니다. 일부 숫자는 어떤 문자열에도 해당하지 않거나 일부 숫자는 하나 이상의 문자열에 해당합니다.

페트코프셰크(1990)는 모든 실수를 명명하는 어떤 위치 체계에 대해서도 여러 표현을 가진 실수의 집합은 항상 조밀하다는 것을 증명했습니다. 그는 이 증명을 "기본 점 집합 토폴로지에서 교훈적인 연습"이라고 부르는데, 이 증명은 위치 값 집합을 돌 공간으로 보고 그 실제 표현이 연속 함수에 의해 주어진다는 것을 알아차리는 것을 포함합니다.[33]

적용들

0.999의 응용 프로그램 하나... 1의 표현은 기본적인 수론에서 발생하기 때문입니다. 1802년, H. 굿윈(H. Goodwin)은 분모가 특정 소수인 분수의 반복-소수 표현에서 9s의 출현에 대한 관찰을 발표했습니다. 예는 다음과 같습니다.

  • +
  • + +

E. Midy는 1836년에 현재 Midy의 정리라고 불리는 그러한 분수에 대한 일반적인 결과를 증명했습니다. 출판물은 잘 알려지지 않았고, 그의 증거가 0.999와 직접적으로 관련이 있는지는 불분명하지만, 적어도 W.G. 레빗의 현대적인 증거는 하나 있습니다. b 의 소수가 양의 정수라면 0.999...이어야 하며, 이것이 정리에서 9s의 근원입니다.[34] 이 방향의 조사는 최대 공약수, 모듈러 산술, 페르마 소수, 그룹 요소 순서이차 상호성과 같은 개념에 동기를 부여할 수 있습니다.[35]

위치 캔터 세트 4, 2 3, 1

실제 분석으로 돌아가서 베이스-3 아날로그 222 … = 1 {\0.222\= 1}은(는) 가장 단순한 프랙탈 중 하나인 중간/3 칸토어 집합의 특성화에 핵심적인 역할을 합니다. 단위 간격의 한 점은 0과 2를 사용하여 3진법으로 표현할 수 있는 경우에만 칸토어 집합에 있습니다.

번째 숫자는 n번째 단계에 있는 점의 위치를 반영합니다. 예를 들어 점 은(는) 첫 번째 삭제의 오른쪽에 있고 그 이후의 모든 삭제의 왼쪽에 있기 때문에 일반적인 0.2 또는 0.2000...의 표현이 주어집니다. 은(는) 0.1이 아니라 0.0222...로 표시됩니다. 첫 번째 삭제의 왼쪽과 그 이후의 모든 삭제의 오른쪽에 있기 때문입니다.[36]

9개를 반복하는 것은 게오르크 칸토어의 또 다른 작품에도 나타납니다. 단위 구간의 계산 불가능성에 대한 그의 1891년 대각 논법을 십진법 확장에 적용하여 유효한 증명을 구축하려면 이들을 고려해야 합니다. 그러한 증명은 소수의 확장에 따라 실수의 특정 쌍이 다르다는 것을 선언할 수 있어야 하므로 0.2와 0.1999와 같은 쌍은 피해야 합니다. 간단한 방법은 확장이 종료되지 않는 모든 숫자를 나타냅니다. 반대 방법은 반복되는 9개를 제외합니다.[37] Cantor의 원래 주장에 더 가까울 수 있는 변형은 base 2를 사용하며, base-3 확장을 base-2 확장으로 바꿈으로써 Cantor 집합의 가산 불가능성도 증명할 수 있습니다.[38]

교육에 대한 회의론

수학을 배우는 학생들은 0.999의 등식을 거부하기도 합니다. 그리고 1, 그들의 이질적인 모습부터 한계 개념에 대한 깊은 오해, 무한소의 본질에 대한 의견 불일치에 이르기까지 다양한 이유로. 혼란을 일으키는 데는 다음과 같은 많은 공통적인 원인이 있습니다.

  • 학생들은 종종 "숫자가 소수점에 의해 하나의 방식으로만 표현될 수 있다는 생각에 정신적으로 전념합니다." 동일한 숫자를 나타내는 두 개의 명백하게 다른 소수를 보는 것은 역설로 보이며, 이는 겉으로 보기에 잘 이해된 숫자 1의 출현으로 증폭됩니다.[39]
  • 일부 학생들은 "0.999..."(또는 이와 유사한 표기법)을 9s의 크고 유한한 문자열로 해석합니다. 만약 그들이 무한히 많은 9개의 줄을 받아들인다면, 그들은 여전히 마지막 9개의 "무한대에서"를 기대할 수 있습니다.[40]
  • 학생들은 수열이 한계에 도달할 필요가 없으므로 직관적이고 모호한 가르침으로 수열의 한계를 고정된 값이 아닌 일종의 무한한 과정으로 생각하게 됩니다. 학생들이 숫자의 수열과 그 수열의 차이를 받아들이는 경우, 그 수열의 수열이 아니라 수열을 의미하는 것으로 "0.999..."를 읽을 수 있습니다.[41]

이러한 아이디어는 표준 실수의 맥락에서 잘못 이해되지만, 일부는 일반적인 수학적 유용성을 위해 발명되거나 0.999를 더 잘 이해하기 위한 교훈적인 반례로서 다른 수 체계에서도 유효할 수 있습니다.

이러한 설명의 많은 부분은 데이비드 톨(David Tall)에 의해 발견되었으며, 그는 교수와 인지의 특성을 연구하여 대학생들과 마주치게 된 오해를 불러일으켰습니다. 대다수가 처음에 평등을 거부한 이유를 알아내기 위해 그의 학생들을 인터뷰하면서, 그는 "학생들은 0.999를 계속 임신했습니다... 고정된 값이 아닌 1에 점점 더 가까워지는 숫자의 연속으로서, '당신은 몇 곳이 있는지 지정하지 않았다'거나 '1 아래에서 가능한 가장 가까운 소수이다'."[42]

… = 0 = {\을 3으로 곱하는 기본적인 주장은 꺼리는 학생들에게 … = = 을 설득할 수 있습니다 그러나 첫 번째 방정식에 대한 믿음과 두 번째 방정식에 대한 불신 사이의 갈등에 직면했을 때, 어떤 학생들은 첫번째 방정식을 믿기 시작하거나 단순히 좌절하기 시작합니다.[43] 더 정교한 방법도 완벽하지 않습니다. 엄격한 정의를 적용할 수 있는 학생들은 를 포함한 고급 수학의 결과에 놀랐을 때 여전히 직관적인 이미지에 의존할 수 있습니다 예를 들어, 한 실제 분석 학생은 …을 증명할 수 있었습니다 0= {\최상의 정의를 사용하면서도 긴 분할에 대한 그녀의 초기 이해를 바탕으로 < 1 < 1을(를) 표시해야 한다고 주장했습니다. 다른 사람들은 여전히 = 0}}=이라는 것을 증명할 수 있지만 분수 증명에 직면하면 "논리"가 수학적 계산을 대체한다고 주장합니다.

마주르(2005)는 "수업 중에 내가 말한 거의 모든 것에 도전했지만 그의 계산기에 의문을 제기한 적이 없는", 그리고 23의 제곱근을 계산하는 것을 포함하여 아홉 자리의 숫자가 수학을 하는데 필요한 전부라고 믿게 된 그의 뛰어난 미적분학 학생에 대한 이야기를 말합니다. 학생은 = = 이라는 제한적인 주장에 불편함을 보이며 이를 "wildly가 상상한 무한 성장 과정"이라고 불렀습니다.

에드 두빈스키(Ed Dubinsky)의 수학 학습에 대한 APOS 이론의 일환으로, 그와 그의 협력자들(2005)은 0.999를 임신한 학생들에게... 1에서 무한히 작은 거리를 가진 유한하고 불확정한 문자열로서 "아직 무한 소수의 완전한 프로세스 개념을 구성하지 않았습니다." 0.999의 완전한 과정 개념을 가진 다른 학생들... 프로세스를 1의 객체 개념처럼 "객체 개념"으로 "encaps 계산"할 수 없을지도 모릅니다. 그래서 그들은 프로세스를 0.999로 봅니다. 그리고 1번 객체는 호환되지 않습니다. Dubinsky et al. 은 또한 캡슐화의 이러한 정신적 능력을 그 자체의 권리로 보는 것과 자연수 집합을 전체적으로 다루는 것과 연결시킵니다.[46]

문화현상

인터넷의 발달로 0.999에 대한 논쟁이... 뉴스 그룹게시판에서 흔히 볼 수 있게 되었는데, 이 중에는 명목상으로 수학과 거의 관련이 없는 많은 것들도 포함되어 있습니다. 뉴스그룹에서 0.999를 두고 논쟁을 벌이는 과학 수학... 는 "인기 있는 스포츠"로 묘사되며, FAQ에서 답변된 질문 중 하나입니다.[47] FAQ는 10을 곱한 값 및 한계를 간략히 다루며 코시 시퀀스도 언급합니다.

2003년 일반 관심 신문 칼럼 스트레이트 도프가 0.999를 논합니다. (를) 통해 잘못된 개념을 말합니다.

우리의 하위 영장류들은 여전히 저항하고 있습니다: .999~는 숫자를 나타내는 것이 아니라 과정을 나타냅니다. 숫자를 찾기 위해서는 프로세스를 중지해야 합니다. 이 시점에서 .999~ = 1개가 무너집니다. 말도 안 되는 소리.[48]

슬레이트 기사에 따르면 0.999의 개념은... "월드 오브 워크래프트 게시판부터 아인 랜드 포럼에 이르기까지 웹사이트에서 뜨거운 논쟁을 벌이고 있습니다."[49] 같은 맥락에서 0.999라는 질문은... 블리자드 엔터테인먼트(Blizzard Entertainment)의 Battle.net 포럼 첫 7년 동안 이 회사는 2004년 만우절에 "보도 자료"를 발표할 정도로 인기 있는 주제임을 입증했습니다.

우리는 이 주제에 대한 책을 완전히 닫게 되어 매우 기쁩니다. 우리는 .999~가 1과 같거나 그렇지 않거나 하는 것에 대한 마음의 고통과 우려를 목격했으며, 다음 증거가 최종적이고 결론적으로 고객을 위한 문제를 해결하게 된 것을 자랑스럽게 생각합니다.[50]

그런 다음 한계와 10의 곱셈을 기반으로 두 가지 증명이 제공됩니다.

0.999... 수학적 농담에서도 다음과 같은 특징을 볼 수 있습니다.[51]

Q: 전구를 꿰매려면 몇 명의 수학자가 필요합니까?

A: 0.999999..

대체 수 체계에서

실수는 매우 유용한 수 체계를 형성하지만, "0.999..."라는 표기법을 실수의 이름을 짓는 것으로 해석하는 것은 결국 관례이며, 티모시 고워스수학에서 다음과 같이 주장합니다. 1 = 이라는 매우 짧은 소개:

그러나 그것은 결코 자의적인 관습이 아닙니다. 왜냐하면 그것을 채택하지 않으면 이상한 새로운 물체를 발명하거나 익숙한 산술 규칙 중 일부를 포기해야 하기 때문입니다.[52]

무한소

… = 1 = 이 실수의 아르키메데안 속성에 의존한다는 일부 증명은 0이 아닌 무한소가 없다는 것입니다. 특히 차이 - 0은(는) 양의 유리수보다 작아야 하므로 무한소여야 합니다. 그러나 실수에는 0이 아닌 무한소가 포함되지 않으므로 차이가 0이므로 두 값은 동일합니다.

그러나 아르키메데스가 아닌 실수에 대한 다양한 대안을 포함하여 수학적으로 일관된 정렬된 대수 구조가 있습니다. 비표준 분석은 무한소(및 그 역수)의 전체 배열을 갖는 숫자 시스템을 제공합니다.[53] A. H. Lightstone은 (0, 1)의 초실수에 대한 소수 확장을 개발했습니다. 라이트스톤은 각 숫자를 숫자열과 연결하는 방법을 보여줍니다.

초자연수에 의해 지수화 됩니다. 그는 0.999...에 대해 직접 논의하지는 않지만, 실수 0으로 표시되며 이는 전송 원리의 결과입니다. 결과적으로 숫자 … = 0 = 입니다 이러한 유형의 십진법 표현에서는 모든 확장이 숫자를 나타내는 것은 아닙니다. 특히 " 0 및 " 은(는) 어떤 숫자에도 해당하지 않습니다.[54]

0.999라는 숫자의 표준 정의는... 한계는 0 0입니다 다른 정의는 Terry Tao초한계라고 부르는 것, 즉 동등성 클래스 0입니다. 이것은 무한히 적은 양만큼 1에 못 미치는 숫자입니다. 보다 일반적으로 초실수 = } = 무한 초자연 순위 H에서 끝자리 9는 엄격한 부등식 H< 1 를 만족합니다. 따라서 "0 뒤에 무한히 많은 9가 뒤따르는"에 대한 대안적인 해석은 다음과[55] 같습니다.

"0.999..."에 대한 모든 해석은 무한히 1에 가깝습니다. 이안 스튜어트(Ian Stewart)는 이 해석을 0.999의 1에서 "조금 부족하다"는 직관을 엄격하게 정당화하는 "완전히 합리적인" 방법이라고 특징짓습니다.[56] Katz & Katz (2010b)와 함께 Robert Ely는 또한 학생들이 생각하는 < 0 실수에 대한 잘못된 직관이며, 미적분학 학습에 가치가 있을 수 있는 비표준 직관으로 해석합니다.[57]

하켄부시

조합 게임 이론은 특히 관련이 있는 한 가지 예로 무한한 Blue-Red Hackenbush를 사용하여 대안적인 현실도 제공합니다. 1974년 Elwyn Berlekamp데이터 압축 아이디어에 의해 동기 부여된 실수의 이진 확장과 Hackenbush 문자열 사이의 대응 관계를 설명했습니다. 예를 들어, Hackenbush 문자열 은 0… = 0 = {\입니다 그러나 0}에 해당합니다 무한대로 1보다 작습니다. The difference between the two is the surreal number , where is the first infinite ordinal; the relevant game is or .[58]

이것은 많은 유리수들의 이진 확장에 대해서도 마찬가지인데, 숫자들의 값은 같지만 그에 대응하는 이진 트리 경로는 다릅니다. 예를 들어, = 0 0} = _이 모두 { 이지만 첫 번째 표현은 이진 트리 경로 에 해당합니다 두 번째는 서로 다른 경로 에 해당하지만

재방문 뺄셈

이 항상 가능한 것은 아니기 때문에 1- (가) 존재하지 않는 경우에도 증명이 손상될 수 있습니다. 덧셈 연산은 있지만 뺄셈 연산은 없는 수학적 구조에는 교환 반그룹, 교환 모노이드반올림이 포함됩니다. Richman은 < < 개로 설계된 두 가지 시스템을 고려합니다

첫째, Richman(1999)은 음이 아닌 소수를 문자 그대로의 소수 확장이라고 정의합니다. 그는 순서와 덧셈 연산을 정의하며, 단순히 < 의 자리에 0< 1 1}이(가) 있기 때문에 0< 1이지만, 비종료 x의 경우+ x = + + x= 이(가) 있습니다 따라서 소수의 한 가지 특징은 덧셈이 항상 취소될 수 없다는 것이고, 또 다른 특징은 어떤 소수도 에 해당하지 않는다는 것입니다 곱셈을 정의한 후, 소수는 양의 완전 순서의 교환 반합을 형성합니다.[59]

Richman은 곱셈을 정의하는 과정에서 자신이 " D D라고 부르는 또 다른 시스템을 정의하기도 하는데, 이 시스템은 데데킨드 소수 분수 의 집합입니다. 일반적으로 이 정의는 실수로 이어지지만 십진수 d의 경우 컷- d) , d)} 및 "주- ∞, d) infty, d)} 를 허용합니다. 결과적으로 실수들은 십진법 분수와 함께 "불안하게 함께 살고 있다"는 것입니다. 다시 < 0< 1입니다 D 에는 양의 무한소가 없지만"의 음의 무한소, 0- 가 있으며소수 확장이 없습니다. 그는 … = + 0- 0 = 1인 반면 "+ x = + x= 방정식은 해가 없다고 결론짓습니다.

p-adic

0.999...에 대한 질문을 받았을 때, 초보자들은 1- 양수일 것이라고 믿고 "0.000..."이라고 적습니다.1". 말이 되든 말든 직관적인 목표는 명확합니다. 0.999에서 최종 9에 1을 더하면... 9를 모두 0으로 옮기고 1을 1 자리에 남겨둘 것입니다. 무엇보다도 0.999에 "최종 9"가 없기 때문에 이 아이디어는 실패합니다.[61] 하지만 마지막 9를 포함한 9의 무한한 문자열을 포함하는 시스템이 있습니다.

-1로 수렴하는 수열(3, 33, 333, ...)을 포함한 4진 정수(검은색 점). 10-아딕 아날로그는 ...999 = -1입니다.

p -adic number수론에서 관심 있는 대체 수 체계입니다. 실수와 마찬가지로 -adic number는 코시 수열을 통해 유리수로부터 구축할 수 있습니다. 이 구성은 0이 에 비해 p 에 가깝고 p에 훨씬 가까운 다른 메트릭을 사용합니다 p -adic number는 p 대한 필드를 형성하고 10을포함한 다른 대한 링을 형성합니다. p p -adics에서 산술을 수행할 수 있으며 무한소는 없습니다.

10진법 숫자에서 소수 확장의 유사점은 왼쪽으로 늘어납니다. 10단 확장...999는 마지막 9가 있고 처음 9가 없습니다. 하나는 하나의 자리에 1을 더할 수 있고, + = = 0 =\ = 0 따라서 =- = - 입니다 또 다른 유도는 기하급수를 사용합니다. "...999"가 암시하는 무한급수는 실수에서 수렴하지 않지만 10진법에서 수렴하므로 익숙한 공식을 다시 사용할 수 있습니다.[63]

위 섹션의 시리즈와 비교합니다. 세 번째 파생은 0.999라는 선생님의 제한적인 주장에 의심을 품은 한 초등학교 7학년 학생에 의해 발명되었습니다. = 1 but was inspired to take the multiply-by-10 proof above in the opposite direction: if , then , so , hence again.[62]

마지막 확장으로, … = 0 = 1실제) 및 =- =-10-adic) 이후, "맹신과 수치심 없는 기호 저글링"을 통해 두 개의 방정식을 추가하여… = 0 = 0에 도달할 수 있습니다 이 방정식은 10진법의 확장이나 보통의 10진법의 확장으로 의미가 없지만, 10진법 솔레노이드의 두 배 무한 10진법에서는 의미가 있고 참인 것으로 밝혀졌습니다. 결국 왼쪽 끝을 반복하여 실수를 나타내고 결국 오른쪽 끝을 반복하여 10진법을 나타냅니다.[65]

관련 질문

제노의 역설, 특히 주자의 역설은 0.999라는 명백한 역설을 연상시킵니다. 1과 1은 같습니다. 러너 역설은 수학적으로 모델링된 다음 0.999...처럼 기하급수를 사용하여 해결할 수 있습니다. 그러나 이러한 수학적 처리가 제논이 탐구하던 형이상학적 문제를 해결하는 것인지는 분명하지 않습니다.[66]

음수 0은 숫자를 쓰는 많은 방법의 또 다른 중복 기능입니다. 실수와 같은 수 체계에서 "0"은 가산적 항등식을 나타내며 도 아닌 0의 역수를 한다는 것이 일반적인 "-의 해석입니다[67] 그럼에도 불구하고 일부 과학 응용 프로그램은 양과 음의 영점을 따로 사용합니다. 일부 계산 이진수 시스템과 마찬가지로 (예를 들어 부호와 크기 또는 자신의 보체 형식에 저장된 정수 또는 IEEE 부동 소수점 표준에서 지정한 부동 소수점 번호).[68]

참고 항목

메모들

  1. ^ 이 정의는 십진 숫자를 합한 성분의 한계로 정의하는 것과 동일하며, 0.999...의 경우에는 수열의 한계(0.9, 0.999, 0.999, ...)입니다. 동등성은 한계가 항상 최소 상한과 동일한 유계 증가 시퀀스로 인해 발생합니다.
  2. ^ 스틸웰(1994), 42쪽.
  3. ^ Byers (2007), p. 39.
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  11. ^ 극한은 예를 들어 Rudin(1976), p. 57, 정리 3.20e에서 따릅니다. 보다 직접적인 접근 방법은 Finney, Weir & Giordano(2001), 섹션 8.1, 예제 2(a), 예제 6(b)도 참조하십시오.
  12. ^ Davies(1846), 175쪽; Smith & Harrington(1895), 115쪽.
  13. ^ 빌스(2004), 페이지 22; 스튜어트(2009), 페이지 34.
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  16. ^ 아포스톨 (1974), p. 12.
  17. ^ 역사적 종합은 그리피스 & 힐튼(1970), p. xiv, 그리고 다시 Pugh(2002), p. 10에 의해 주장됩니다. 둘 다 실제로 공리보다 데데킨드 컷을 선호합니다. 교과서의 컷 사용에 대해서는 Pugh(2002), p. 17 또는 Rudin(1976), p. 17을 참조하십시오. 논리에 대한 관점은 Pugh(2002), p.10, Rudin(1976), p.ix 또는 Munkres(2000), p.30을 참조하십시오.
  18. ^ 엔더턴(1977), p. 113은 다음과 같은 설명을 제공합니다. "데데킨드 컷의 아이디어는 실수 x x}이 보다 작은 모든 유리수 집합을 제공함으로써 실수 {\displaystyle x의 이름을 지정할 수 있다는 것입니다 우리는 x x 보다 작은 유리수들의 집합으로 정의할 것입니다 정의의 순환성을 피하기 위해서는 이러한 방식으로 얻을 수 있는 유리수들의 집합을 특성화할 수 있어야 합니다.."
  19. ^ 루딘(1976), pp. 17-20, Richman(1999), p. 399 또는 Enderton(1977), p. 119. 정확히 말하면, 루딘(Rudin), 리치먼(Richman), 엔더턴(Enderton)은 이 절단된 ∗를 각각 {\1 1 - {\{-}, R {\1_{R}라고 부르며, 이 세 가지는 모두 전통적인 실수 1과 동일합니다. Rudin과 Enderton이 Deedkind 컷이라고 부르는 것에 주목하세요, Richman은 "비원칙적인 Deedkind 컷"이라고 부릅니다.
  20. ^ Richman (1999), 페이지 399.
  21. ^ a b O'Connor & Robertson (2005).
  22. ^ Richman (1999), 페이지 398–399. "왜 그럴까요? 고유한 숫자 ¯ 0의 존재를 정확히 배제합니다. 1입니다 [...] 따라서 우리는 실수에 대한 전통적인 정의에서 1 {\0임을 알 수 있습니다.이(가) 처음에 내장되어 있습니다."
  23. ^ 그리피스 & 힐튼(1970), p. 386, § 24.2 "시퀀스"
  24. ^ 그리피스 & 힐튼(1970), 페이지 388, 393.
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  27. ^ 리(2011).
  28. ^ Artigue (2002), p. 212, "... 실수의 순서는 조밀한 순서로 인식됩니다. 그러나 맥락에 따라 학생들은 이 속성을 주어진 숫자의 직전 또는 뒤에 있는 숫자의 존재와 조화시킬 수 있습니다(0.999... 그래서 종종 1)의 전신으로 여겨집니다."
  29. ^ 페트코프셰크(1990), 페이지 408.
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  38. ^ 루딘(1976), p. 50; Pugh(2002), p. 98.
  39. ^ 번치(1982), p. 119; Tall & Schwarzenberger(1978), p. 6. 마지막 제안은 Burrell(1998)이 한 것입니다. p. 28: "아마도 모든 숫자 중에서 가장 안심이 되는 숫자는 1일 것입니다... 그래서 특히 0.9~1로 넘기려고 할 때 불안합니다."
  40. ^ Tall & Schwarzenberger (1978), pp. 6–7; Tall (2000), p. 221.
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참고문헌

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외부 링크

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