대수 정수

대수적 수 이론에서 대수적 정수는 정수 위에 정수된 복잡한 수이다. 즉, 대수적 정수는 계수가 정수인 일부 단항 다항식(선행 계수가 1인 다항식)의 복잡한 루트다. 모든 대수적 정수의 집합은 덧셈, 뺄셈, 곱셈으로 닫히고 따라서 복잡한 숫자의 역순이다.

$O$ 가_K $나타내는$ 숫자 필드 K의 정수 링은 $K$ 와 $A$ 의 교차점이다. 또한 필드 $K$ 의 최대 순서로서 특징지을 수 있다. 각각의 대수 정수는 어떤 숫자 영역의 정수 링에 속한다. 숫자 $α$ 는 링 $\mathbb {Z}$ ${\$ [ $α]$ 가 아벨리안 그룹으로 미세하게 생성되는 경우에만 대수 정수, 즉 $\mathbb {Z}$ ${\$ -module로 $\mathbb {Z}$ 지정된다.

정의들

다음은 대수 정수의 등가 정의다. $K$ 를 숫자 필드(즉, 합리적인 숫자의 $\mathbb {Q}$ 인 Q ${\$ 의 유한한 확장자)로 하자, 즉 원시 요소 정리에 $\mathbb {C}$ 의한 일부 대수적 숫자 $\mathbb {C}$ C ${\$ \ $mathb {C$ $}$ 에 대한 $K$ = $\mathbb {Q}$ ${\$ \ $mathb {Q}}.$

$α$ α α $K$ 는 단일 다항식 $\mathbb {Z}$ ∈ Z ${\$ 이(가 $)$ f $(α)$ = $0$ 인 경우 대수 $정수$ 다.
$α$ ∈ $K$ 는 $\mathbb {Q}$ ${\$ 에 $대한$ α의 최소 일항 $\mathbb {Z}$ 이 Z ${\$ [ $x]$ 에 있으면 $\mathbb {Q}$ 대수 정수다.
$α$ α $α$ $\mathbb {Z}$ 는 $\mathbb {Z}$ Z {\ $displaystyle \mathb$ {Z $}$ 가 미세하게 $\mathbb {Z}$ 된 Z ${\$ { $Z}$ -module인 $\mathbb {Z}$ 경우 대수 정수다.
$α$ α $α$ K는 0이 아닌 $\mathbb {Z}$ 생성 Z ${\$ { $Z} }$ -하위 $\mathbb {Z}$ $\mathbb {C}$ $M$ { $\mathbb {C}$ C {\ $displaystyle \mathb$ { $\mathbb {C}$ $}$ }이(가) 있는 경우 대수 정수다.

대수 정수는 링 확장의 적분 원소의 특별한 경우다. 특히 대수정수는 유한 확장 $K /$ $\mathbb {Q}$ ${\$ { $Q} }$ 의 적분요소다 $\mathbb {Q}$

예

합리적인 숫자의 집합에서 발견되는 유일한 대수적 정수는 정수들이다. 즉, Q{\displaystyle \mathbb{Q}의 교차점}와 A는 정확히 Z}. 그 유리수 .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{{\displaystyle \mathbb{Z}.디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{.국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}a/b이 아닌 대수적 정수하지 않는 한 ba를 나누 다항 $bx$ - $a$ 의 선행 계수는 정수 $b$ 입니다. 또 다른 특별한 경우로서, 음이 아닌 정수 $n$ 의 ${\sqrt {n}}$ ${\sqrt {n}}$ n ${\$ 은 대수 정수지만 $n$ 이 완벽한 제곱이 아니면 비합리적이다.
$d$ 가 제곱이 없는 정수인 경우 $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}}$ K $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}}$ = Q $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}}$ ${\$ 는 합리적인 숫자의 2차 필드다. 대수 정수 $O$ 의_K 링에는 단항 $x 2$ - $d$ 의 루트인 만큼 ${\sqrt {d}}$ ${\sqrt {d}}$ ${\$ 가 들어 있다. 더욱이 $d$ ≡ $1모드$ $4$ 인 경우, 원소 ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {d}})}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {d}})}$ ( ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {d}})}$ + d ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {d}})}$ ) ${\textstyle {\frac {1}{$ 1}{ $2}}(1+{\sqrt{d}})$ 도 ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {d}})}$ 대수 정수다. 상수 조건1/ $4 (1$ - $d)$ 이 정수인 $다항식 2$ x - $x$ + $1$ / $4 (1$ - $d)$ 을 만족한다. 정수의 전체 링은 ${\sqrt {d}}$ ${\$ 또는 ${\sqrt {d}}$ 1 ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {d}})}$ 1 ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {d}})}$ ) ${\textstyle {\frac {1}{1}{1+{\sqrt{d}}}$ 에 의해 각각 ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {d}})}$ 생성된다. 자세한 내용은 2차 정수를 참조하십시오.
$필드$ F = $\mathbb {Q}$ ${\$ [ $α],$ $α$ = $\sqrt m$ 의 정수 링은 두 개의 사각형이 없는 복사 정수 $h$ 와 $k$ 에 $대해$ m = $hk$ 를² 쓰면서 다음과 같은 적분 근거를 가지고 있다.^[1]

{\displaystyle {\cHB{case}1,\dfrac{\pm k^{2}\pm k^{2}\pm{3k}\i1}{3k}\m\equiv \pm 1{\mod{9}\1},\dfrac {\cHB}}{{k&}}}}\case}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{data.

$ζ$ 이_n 단결의 원시 n번째 루트인 경우, 사이클로토믹 $\mathbb {Q}$ Q ${\$ 의 정수 링은 $\mathbb {Z}$ 하게 Z $\mathbb {Z}$ {\ $displaystyle \mathb {Z}}}}$ 이다_n $\mathbb {Z}$ [].
$α$ 가 대수 정수라면 $β$ = $α$ 는 또 다른 대수 정수다. $β$ 에 대한 다항식은 $다항식$ 의ⁿ x를 $α$ 에 대입하여 구한다.

비예시

$P (x)$ 가 정수 계수가 있지만 단수가 아닌 원시 다항식이고 $\mathbb {Q}$ 가 Q ${\$ 에 대해 다시 설명할 수 없는 경우 $\mathbb {Q}$ $P$ 의 뿌리 중 어느 것도 대수 정수(그러나 대수 수)가 아니다. $여기$ 서는 P 계수 집합의 가장 높은 공통 인자가 1이라는 의미에서 원시 인자가 사용된다. 이는 계수를 쌍으로 비교적 프라이밍하도록 요구하는 것보다 약하다.

사실들

두 대수 정수의 합, 차이, 산물은 대수 정수다. 일반적으로 그들의 몫은 아니다. 관련된 일항 다항식은 일반적으로 원래 대수 정수의 그것보다 더 높은 정도를 가지며, 결과물을 취합하고 인수분석을 하면 찾을 수 있다. 예를 들어, x2 −)− 1=0, y3 − y− 1=0과 zxy, 그때를 제거하여 x와 y에서 z− xy)0과 다항식 만족함으로써 x와 y를 사용하여 결과를 준다 z6 − 3z4 − 4z3+다음+z− 1=0은 기약, 그리고는 모닉 방정식 만족함으로써 제품.(려면 동영상을 보xy은 뿌리의 x-resultant의 z− xy과 미국 −)− 1, o.ne 유리 구슬ht는 결과물이 두 입력 다항식들에 의해 생성된 이상에 포함되어 있다는 사실을 사용한다.)
그러므로 뿌리, 덧셈, 곱셈을 가진 정수로 구성 가능한 숫자는 대수 정수다. 그러나 모든 대수 정수가 그렇게 구성 가능한 것은 아니다: 순진한 의미에서, 대부분의 뿌리 5중주는 그렇지 않다. 이것이 아벨-루피니 정리다.
계수가 대수 정수인 단항 다항식의 모든 루트는 그 자체가 대수 정수다. 다시 말하면, 대수적 정수는 그것의 확장에서 통합적으로 닫히는 고리를 형성한다.
대수적 정수의 링은 주요 이상 정리의 결과로서 베주트 영역이다.
대수적 정수와 연관된 일항 다항식이 일정한 용어 1 또는 -1을 갖는 경우, 그 대수적 정수의 역수 역시 대수적 정수이며, 대수적 정수 링의 단위 그룹의 한 요소인 단위다.
모든 대수적 숫자는 0이 아닌 대수적 정수에 대한 대수적 정수의 비율로 쓸 수 있다. 사실 분모는 항상 양의 정수로 선택할 수 있다. 특히, $x$ 가 정수 계수와 $선행$ 조건 $도끼$ 가_nⁿ $0 n$ >인 다항식 $p (x)$ 의 루트인 대수적 숫자라면, $ax n / a$ 는_n 약속된 비율이다. 특히 $y$ = $도끼$ 는_n $p (y / a n$ )의_n^{n − 1} 뿌리이기 때문에 대수 정수인데 $,$ 이는 정수 계수를 가진 $y$ 의 단항식이다.

참고 항목

참조

^ Marcus, Daniel A. (1977). Number Fields (3rd ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. ch. 2, p. 38 and ex. 41. ISBN 978-0-387-90279-1.

Stein, W. Algebraic Number Theory: A Computational Approach (PDF).

[1] Marcus, Daniel A. (1977). Number Fields (3rd ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. ch. 2, p. 38 and ex. 41. ISBN 978-0-387-90279-1.

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