대수함수장

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수학에서, 필드 k에 대한 n 변수의 대수 함수 필드(흔히 함수 필드로 약칭)는 k에 대한 초월도 n을 갖는 정밀하게 생성된 필드 확장자 K/k이다.^[1] 동등하게, k보다 큰 n개의 변수에 대한 대수 함수 필드는 k보다 큰 n개의 변수에 대한 합리적인 함수의 K = k(x₁, ...,x_n)의 한정된 필드 확장으로 정의될 수 있다.

예

예를 들어, 다항 링 k[X,Y]에서, 수정 불가능한 다항식 ² Y - X에 ³ 의해 생성된 이상을 고려하고, 지수 링 k[X,Y]/(Y ^{2 3} - X)의 분수 필드를 형성한다. This is a function field of one variable over k; it can also be written as ${\displaystyle k(X)({\sqrt {X^{3}}})}$ (with degree 2 over ${\displaystyle k(X)}$) or as ${\displaystyle k(Y)({\sqrt[{3}]{$$Y^{2}}}}($도 3 over $k{\displaystyle (Y}$) ${\displaystyle k(Y)})}).$ 우리는 대수적 함수 영역의 정도가 잘 정의된 개념이 아니라는 것을 안다.

카테고리 구조

k에 대한 대수 함수 필드는 범주를 형성한다. 함수 필드 K에서 L까지의 형태는 모든 a in k에 대해 f(a) = a가 있는 링 동형체 f : K → L이다. 이 모든 형태는 주입식이다. K가 n 변수의 k에 대한 함수 필드이고 L이 m 변수의 함수 필드라면, n > m는 K에서 L까지의 형태는 존재하지 않는다.

품종, 곡선 및 리만 표면에서 발생하는 기능 필드

치수 n over k의 대수적 다양성의 함수 필드는 k 이상의 n 변수의 대수적 함수 필드다. 두 품종은 기능장이 이형인 경우에만 비균형적으로 동등하다. (그러나 비이형성 품종은 기능장이 동일할 수 있다!) 각 품종에 그 기능장을 할당하면 k 이상의 품종과 k 이상의 대수적 기능장 범주 사이에 이중성(대조적 등가성)이 발생한다(여기서 고려되는 품종은 체계적 의미로 취해져야 하며, cu와 같은 k-ritical 포인트를 가질 필요가 없다.rve X² + Y² + 1 = 0이 reals에 걸쳐 정의됨(k = R).

사례 n = 1(계획적 의미에서의 해석 불가능한 대수 곡선)은 특히 중요하다. k에 대한 한 변수의 모든 함수 필드는 고유하게 정의된 정규(즉, 비음향적) 투영적 해석적 대수 곡선의 함수 필드로 발생하기 때문이다. 실제로 함수 분야는 정규 투영 불가역 대수 곡선 범주(정규 지도가 지배적인 형태)와 k에 대한 한 변수의 함수 필드 범주 사이에 이중성을 산출한다.

연결된 Riemann 표면 X에 정의된 meromorphic 함수의 필드 M(X)은 복잡한 숫자 C에 대한 한 변수의 함수 필드다. 실제로 M은 콤팩트하게 연결된 리만 표면의 범주(비정규적인 홀로모르픽 지도를 모형으로 사용)와 C에 대한 한 변수의 함수 필드 사이의 이중성(반전성 등가성)을 산출한다. 콤팩트하게 연결된 클라인 표면과 기능 필드 사이에 R을 통한 하나의 변수 사이에 유사한 일치성이 존재한다.

수 필드 및 유한 필드

함수장 유추에 따르면 수 분야의 거의 모든 이론은 유한한 분야에 걸쳐 하나의 변수의 함수 영역에 대한 상대적 관계를 가지고 있으며, 이러한 상대적 이론은 종종 입증하기가 쉽다. (예를 들어, 유한 분야에 대한 불가해한 다항식의 아날로그 참조) 이와 같은 유추의 맥락에서, 유한한 분야에 걸친 숫자 분야와 함수 분야 모두를 보통 "글로벌 분야"라고 부른다.

유한분야에 걸친 기능분야의 연구는 암호화와 오류수정 코드에 응용이 있다. 예를 들어 유한장(공용키 암호화를 위한 중요한 수학 도구) 위에 있는 타원곡선의 함수장은 대수 함수장이다.

합리적인 숫자의 분야에 걸친 함수 분야도 역 갈루아 문제를 해결하는 데 중요한 역할을 한다.

상수 필드

어떤 대수 함수 필드 K over k에 대해, 우리는 k에 대해 대수적인 K의 원소 집합을 고려할 수 있다. 이 원소들은 대수함수장의 상수장이라고 알려진 장을 형성한다.

예를 들어, C(x)는 R에 대한 한 변수의 함수 필드인데, 상수의 필드는 C이다.

가치 및 장소

대수 함수 분야를 연구하기 위한 핵심 도구는 절대값, 가치, 장소 및 그 보완이다.

한 변수의 대수 함수 필드 K/k에 대해, 우리는 K/k의 가치평가 링의 개념을 정의한다: 이것은 k를 포함하고 k와 K와 다른 K의 서브링 O이며, K의 어떤 x에 대해서도 우리는 x ∈ O 또는 x ^-1 ∈ O를 가지고 있다. 그러한 각각의 가치평가 링은 별개의 가치평가 링이며 그것의 최대 이상은 K/k의 장소라고 불린다.

A discrete valuation of K/k is a surjective function v : K → Z∪{∞} such that v(x) = ∞ iff x = 0, v(xy) = v(x) + v(y) and v(x + y) ≥ min(v(x),v(y)) for all x, y ∈ K, and v(a) = 0 for all a ∈ k \ {0}.

K/k의 평가 고리 집합, K/k의 장소 집합, K/k의 이산 평가 집합 사이에는 자연적인 생물학적 대응성이 있다. 이 세트들은 자연적인 위상학적 구조인 K/k의 자리스키-리만 공간을 줄 수 있다.

참고 항목

• 대수종류의 함수장.
• 함수 분야(수치 이론)
• 대수 함수
• 드린펠트 모듈

참조