대체 대수

추상대수학에서 대안대수는 곱셈이 연관될 필요가 없고 대안만 될 필요가 있는 대수학이다.즉, 사람은 반드시 가지고 있어야 한다.

• ${\displaystyle x(xy)=(xx)y}$
• ${\displaystyle (yx)x=y(xx)}$

대수의 x와 y 모두에 대해.

모든 연관 대수학은 분명히 대안이지만, 옥토니언과 같은 엄밀히 비 연관적 알제브라들도 그렇다.

연합자

얼터너티브 알헤브라는 연관자가 교대하고 있는 알헤브라가기에 그렇게 이름이 붙여졌다.연관자는 다음에 의해 주어진 3행 지도다.

${\displaystyle [}$ x${\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle ]}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle z}$- ${\displaystyle x}$( ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle [x,y,z]=(xy)z-x(yz)}$.

정의에 따르면, 다중선 지도가 두 개의 변수가 같을 때마다 사라지면 교차한다.대수학의 좌우 대체 정체성은 다음과^[1] 같다.

${\displaystyle [x,x,y]=0}$

${\displaystyle [y,x,x]=0.}$

이 두 가지 정체성은 결합자가 완전히 꼬불꼬불한 대칭이라는 것을 의미한다.그것은

${\displaystyle [x_{\ma(1)},x_{\ma(2)},x_{\ma(3)]=\displayname {sgn}(\sgnma )[x_{1},x_{2},x_{3}]}}$

모든 순열 σ에 대해.그 뒤를 잇는다.

${\displaystyle [x,y,x]=0}$

모든 x와 y에 대해이것은 유연한 아이덴티티와^[2] 같다.

$[\displaystyle (xy)x=x(yx)]}$

그러므로 대체 대수학의 연관자는 교대로 존재한다.반대로 연관자가 교대로 있는 모든 대수학은 분명히 대안이 된다.대칭에 의해, 다음 두 가지 중 어느 하나를 만족하는 대수학.

• 왼쪽 대체 ID: $x{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x(xy)=(xx)y}$
• 오른쪽 대체 ID:${\displaystyle }$( y ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle x}$= ${\displaystyle y}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle (yx)x=y(xx)}$
• 유연한 ID:${\displaystyle }$( x ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle x}$= ${\displaystyle x}$( y ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle (xy)x=x(yx)($yx$)$$}$

대안이므로 세 가지 정체성을 모두 만족시킨다.

교대칭은 항상 완전히 대칭이다.베이스 필드의 특성이 2가 아닌 이상 역전은 지속된다.

예

• 모든 연상 대수학은 대안이다.
• 8진법은 비 연관적 대안 대수학, 즉 실제 숫자에 대한 차원 8의 표준 분할 대수학을 형성한다.^[3]
• 더 일반적으로, 어떤 옥토니언 대수학도 대안이 된다.

비예시

• 카일리-딕슨 알헤브라와 모든 고차원적 알헤브라는 교대성을 잃는다.

특성.

아르틴의 정리에서는 대체 대수학에서 어떤 두 원소에 의해 생성되는 아발지브라는 연관성이 있다고 말한다.^[4]반대로, 이것이 사실인 어떤 대수학도 분명히 대안이 된다.대체 대수학에서 두 변수만을 포함하는 표현은 괄호 없이 명료하게 쓸 수 있다.Artin의 정리를 일반화하면 대안 대수 연관성(${\displaystyle 예}$:${\displaystyle }$[${\displaystyle }$x ,${\displaystyle y}$ , z , ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle ]}$= 0 ${\displaystyle [x,y,z]=0})$에서 세 $원소{\displaystyle }$ x${\displaystyle }$, y${\displaystyle }$, ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle$x$,y,$y,z}이$($$$가)가 있을 때마다 그 원소들에 의해 생성되는 하위 원소가 연관성이 된다고 명시한다.

아르틴의 정리의 골자는 대체 알헤브라는 힘과 연관성이 있다는 것, 즉 단일 원소에 의해 생성되는 아발지브라는 연관성이 있다는 것이다.^[5]그 반대는 유지될 필요가 없다: 진정제는 권력과 연관되지만 대안이 아니다.

무팡의 정체성

• $a(x)(ai)=(axa)y}$
• $[\displaystyle ((xa)y)a=x(aya)}$
• $[\displaystyle (ax)=a(xy)a}$

대수를 ^[2]대체하다

단항 대체 대수학에서, 승법 인버스는 존재할 때마다 고유하다.또한 모든 변환 불가능한 $요소{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x}$ 및$$ $모든{\displaystyle }$ y ${\displaystyle y}$에 대해 다음이 있음$$

$[\displaystyle y=x^{-1}(xy)]}$

이는 연관자${\displaystyle }$[${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$,${\displaystyle {}^{}}$x${\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [x^{-1},x,y]}$이(가) 이러한 $모든{\displaystyle }$ x ${\displaystyle$ $x$$}$ 및$$ $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$에 대해 소멸된다고$$ 말하는 것과 같다$.$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $x}$ 및 $y$$}$이(가)가$$ 반전될 수 ${\displaystyle \mathrm{없는}}$ 경우 x ${\displaystyle \mathrm{yy}{}^{}}$- 1과(${\displaystyle x}$ - )도 된다$$${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle {}^{}=}$ ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ -${\displaystyle 1^{}}$ ${\$따라서 모든 변환 불가능한 요소들의 집합은 곱셈으로 닫히고 무방 루프를 형성한다.대체 링이나 대수에서 단위의 이 고리는 연관 링이나 대수에서 단위 그룹과 유사하다.

클라인펠트의 정리에는 어떤 단순한 비 연상 대체 고리도 그 중심에 걸쳐 일반화된 옥토니언 대수라고 명시되어 있다.^[6]대체 고리의 구조 이론은 에 제시되어 있다.^[7]

적용들

어떤 대안적인 분할 링 위에 투영된 비행기는 무우팡 비행기다.

얼터너티브 알헤브라와 컴포지션 알헤브라의 긴밀한 관계는 2008년 가이 로오스(Guy Roos)에 의해 이루어졌다.^[8]그는 (162쪽) 단위 요소 e와 비자발적인 반자동화 A에 대한 대수 A의 관계를 보여준다. ${\displaystyle {}^{}}$a${\displaystyle {}^{}}$∗ ${\$ a$^{*}}},$ 이렇게$$ 하면 a+ a*와 aa*가 모든 A에서 e에 걸쳐 있는 선에 걸쳐 있다.n(a) = aa*라는 표기법을 사용한다.그 다음 n이 A의 영역에 대한 비노래적 매핑이고, A가 대안이라면, (A,n)은 구성 대수다.

참고 항목

• 한 분야의 대수
• 몰체프 대수
• 조른 반지

참조

• Schafer, Richard D. (1995). An Introduction to Nonassociative Algebras. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-68813-5. Zbl 0145.25601.
• Zhevlakov, K.A.; Slin'ko, A.M.; Shestakov, I.P.; Shirshov, A.I. (1982) [1978]. Rings that are nearly associative. Academic Press. ISBN 0-12-779850-1. MR 0518614. Zbl 0487.17001.

외부 링크

• Zhevlakov, K.A. (2001) [1994], "Alternative rings and algebras", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press