렌즈 공간

렌즈 공간 L(2;5)은 슬릿을 정렬하는 이중 회전을 사용하여 빨간색과 노란색 벽 사이의 "렌즈"로 구성된다.사진에는 총 5개의 "렌즈" 지역이 나와 있다.

렌즈 공간의 벽을 식별하는 이중 회전.이 입체도에서 이중 회전은 z축을 중심으로 회전하고 그 축을 따라 회전한다.

렌즈 공간은 수학에서 고려되는 위상학적 공간의 한 예다.이 용어는 종종 3-매니폴드의 특정 종류를 가리키지만, 일반적으로 더 높은 치수에 대해 정의될 수 있다.

3-manifold의 경우, 두 개의 고체 토리를 경계의 동형성에 의해 함께 접착한 결과로 렌즈 공간을 시각화할 수 있다.흔히 위와 같이 얻을 수 있는 $S^{2}\times S^{1}$ 3-sphere와 S $S^{2}\times S^{1}$ $S^{2}\times S^{1}$ S $S^{2}\times S^{1}$ ${\$ }는 사소한 특수 사례로 간주되기 때문에 계산되지 않는다.

3차원 렌즈 공간 $L(p,q)$ $L(p,q)$ ) ${\디스플레이$ 스타일 $L(p,q)}$ 은 1908년 하인리히 티에체(Heinrich Tietze)가 도입했다 $L(p,q)$ .이들은 동종학 및 기본 집단만으로 결정되지 않은 3마니폴드의 첫 번째 알려진 사례와 동형체 유형이 동형체 유형으로 결정되지 않는 폐쇄형 다지관의 가장 단순한 사례였다.1919년 J. W. 알렉산더는 렌즈 공간 $L(5;1)$ ( $L(5;1)$ ; 1 $){\$ $displaystyle$ L ( $5;$ $1)}$ 과 $L(5;1)$ $L(5;2)$ ( $;1$ )은 $L(5;2)$ 동형 원소 그룹과 동일한 호몰로피 $유형$ 을 가지고 있지 않지만 동형체와는 다르다는 $L(5;2)$ 것을 보여주었다.다른 렌즈 공간은 심지어 동일한 호모토피 타입(따라서 이형성 기본 그룹과 호몰로지)을 가지고 있지만 동일한 동형성 타입은 아니다. 따라서 그것들은 대수학적 위상과 구별되는 다지관의 기하학적 위상의 탄생으로 볼 수 있다.

3차원 렌즈 공간의 완전한 분류는 기본 그룹과 리드미스터 토션에 의해 이루어진다.

정의

3차원 렌즈 공간 $L(p;q)$ ; $L(p;q)$ ) ${\displaystyle$ $L$ $(p;q)}$ 은 S $S^{3}$ ${\$ S $^{3}$ by $S^{3}$ $\mathbb {Z} /p$ / $\mathbb {Z} /p$ $\mathb {Z} /p$ -actions의 $\mathbb {Z} /p$ 인용이다 $L(p;q)$ .More precisely, let $p$ and $q$ be coprime integers and consider $S^{3}$ as the unit sphere in $\mathbb {C} ^{2}$ . Then the $\mathbb {Z} /p$ -action on $S^{3}$ generated by the동종 동형성

(z_{1},z_{2})\mapsto(e^{2\pi i/p}\cdot z_{1}, e^{2\pi iq/p}\cdot z_{2}}

무료다.결과적인 지수 공간은 렌즈 공간 $L(p;q)$ ; $L(p;q)$ ) $L(p;q)$ 이라고 불린다 $L(p;q)$

이는 다음과 같이 더 높은 차원으로 일반화할 수 있다.Let $p,q_{1},\ldots ,q_{n}$ be integers such that the $q_{i}$ are coprime to $p$ and consider $S^{2n-1}$ as the unit sphere in $\mathbb {C} ^{n}$ .렌즈 공간 $L(p;q_{1},\ldots q_{n})$ ; $L(p;q_{1},\ldots q_{n})$ 1, $L(p;q_{1},\ldots q_{n})$ … $L(p;q_{1},\ldots q_{n})$ n $L(p;q_{1},\ldots q_{n})$ ) ${\displaystyle L(p;q_{1},\ldots q_$ ${$ $n}})$ 은 $L(p;q_{1},\ldots q_{n})$ $\mathbb {Z} /p$ Z $\mathbb {Z} /p$ / p ${\displaystyle$ $S$ $^{2n-1$ $}$ 에 ${\mathbb Z}/p$ 의해 $S^{2n-1}$ 생성된 S $S^{2n-1}$ - $S^{2n-1}$ 의 몫이다.

{\displaystyle(z_{1},\ldots,z_{n})\mapsto(e^{2\pi iq_{1}/p}\cdot z_{1},\ldots, e^{2\pi iq_{n}/p}\cdot z_{n}).}

3차원에서는 $L(p;q)=L(p;1,q).$ ; $L(p;q)=L(p;1,q).$ ) $L(p;q)=L(p;1,q).$ = $L(p;q)=L(p;1,q).$ ; $L(p;q)=L(p;1,q).$ , $L(p;q)=L(p;1,q).$ ) $L(p;q)=L(p;1,q).$ . ${\displaystyle L(p;q)=L(p;1,q$ )이 있다 $.$ $}$

특성.

모든 렌즈 공간 $L(p;q_{1},\ldots ,q_{n})$ ( $L(p;q_{1},\ldots ,q_{n})$ ; $L(p;q_{1},\ldots ,q_{n})$ 1, $L(p;q_{1},\ldots ,q_{n})$ $L(p;q_{1},\ldots ,q_{n})$ ) $L(p;q_{1},\ldots,q_{n}}}$ 의 기본 그룹은 $q_{i}$ $q_{i}$ ${\$ $\mathb {Z} /p\mathb$ { $Z$ $}}}$ 에 독립적인 $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ $/$ / $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ / $displaystymathb$ { $n}$ 이다 $L(p;q_{1},\ldots ,q_{n})$ $q_{i}$

렌즈 공간은 대칭인 $L(2;1)$ ( $L(2;1)$ ; 1 $L(2;1)$ ) ${\displaystyle L(2;1$ )을 제외하고 $L(2;1)$ 국소적으로 대칭되는 공간은 아니지만 (완전히) 대칭이 아니다.(로컬하게 대칭되는 공간은 고정된 지점이 없는 등위계에 의해 인용되는 대칭 공간이며, 렌즈 공간은 이 정의를 충족한다.)

3차원 렌즈 공간의 대안적 정의

3차원 렌즈 공간 $L(p;q)$ $){\displaystyle L(p;q)}$ 은 흔히 다음과 같은 식별을 가진 고체 공으로 정의된다 $L(p;q)$ : 고체 공의 적도에 균일한 간격으로 점을 표시하며, $a_{p-1}$ - $a_{p-1}$ 에 $a_{0}$ 0 ${\$ 그리고 공의 경계에는 dr.점들을 북극과 남극으로 연결하는 지오데틱 선이제 남극에 대한 북극점 및 $a_{i+q}$ + $a_{i+q}$ ${\$ 의 $a_{i}$ $a_{{i+1}}$ $a_{i}$ {\ $displaystyle a_$ { $i+$ 1 $a_{i+q}$ }, $a_{i+q+1}$ $a_{i+1}$ + $a_{i+q+1}$ q + $a_{i+q+1}$ 의 i $a_{i+1}$ + $a_{i+1}$ $a_{i+q+1}$ + 1 ${\$ 의 $a_{i}$ 을 식별하여 구형 삼각형을 식별하십시오 $a_{i+q+1}$ 결과 공간은 렌즈 공간 $L(p;q)$ ; $L(p;q)$ ) $L(p;q)$ 에 대해 동형이다 $L(p;q)$

또 다른 관련 정의는 고체를 다음과 같은 고형 bipyramid로 보는 것이다: 평면 정규 면 폴리곤을 구성한다.폴리곤 중심 바로 위와 아래에 두 점 n과 s를 놓는다.일반 면 폴리곤의 각 점을 n과 s에 결합하여 bipyramid를 생성한다.bipyramid를 채워 단단하게 만들고 경계 위의 삼각형도 위와 동일하게 식별한다.

3차원 렌즈 공간의 분류

동형성 및 동형성까지의 분류는 다음과 같이 알려져 있다.3차원 공간 $L(p;q_{1})$ ; $L(p;q_{1})$ $L(p;q_{1})$ ) ${\displaystyle L(p;q_{1})$ 및 $L(p;q_{1})$ $L(p;q_{2})$ ; $L(p;q_{2})$ 2 $L(p;q_{2})$ ) ${\displaystyle L(p;q_{2})$ 은 다음과 $L(p;q_{2})$ 같다.

$n\in \mathbb {N}$ $q_{1}q_{2}\equiv \pm n^{2}{\pmod {p}}$ N {\ $displaystyle$ $q_{1}q_{2}\equiv$ $\$ $pm n^{2}{\pmod$ ${p}}}{{$ 의 $q_{1}q_{2}\equiv \pm n^{2}{\pmod {p}}$ 에만 $q_{1}q_{2}\equiv \pm n^{2}{\pmod {p}}$ 호모토피 등가.
$q_{1}\equiv \pm q_{2}^{\pm 1}{\pmod {p}}$ $q_{1}\equiv \pm q_{2}^{\pm 1}{\pmod {p}}$ $q_{1}\equiv \pm q_{2}^{\pm 1}{\pmod {p}}$ ± $q_{1}\equiv \pm q_{2}^{\pm 1}{\pmod {p}}$ 2 ± $q_{1}\equiv \pm q_{2}^{\pm 1}{\pmod {p}}$ ( $q_{1}\equiv \pm q_{2}^{\pm 1}{\pmod {p}}$ p $q_{1}\equiv \pm q_{2}^{\pm 1}{\pmod {p}}$ ${\$ 2}^{\ $pm$ 1 $}{\pmod{p$ 인 경우에만 동형.

이 경우에 그들은 "분명히" 동형체인데, 사람은 쉽게 동형체를 만들 수 있기 때문이다.이것들이 유일한 동형 렌즈 공간이라는 것을 보여주기는 더 어렵다.

3차원 렌즈 공간의 호모토피 분류를 제공하는 불변제는 비틀림 연결 형태다.

동형체 분류는 더욱 미묘하며, 리드미스터 토리온에 의해 주어진다.이것은 (Reidemeister 1935)에서 PL 동형성까지의 분류로 주어졌으나, (Brody 1960)에서는 동형성 분류로 나타났다.현대적인 의미에서 렌즈 공간은 단순한 호모토피 타입에 의해 결정되며, 정상적인 불변제(특성계급과 같은 것)나 수술 방해물이 없다.

매듭 이론적 분류는 (Przytycki & Yasuhara 2003) harv 오류에 주어진다: no target: CITREPrzycki Yasuhara2003 (도움말): C는 렌즈 공간의 보편적 커버에서 매듭으로 들어올리는 닫힌 곡선이 되도록 한다.들어올려진 매듭이 사소한 알렉산더 다항식인 경우, 쌍(C, C)의 토션 연결 형태를 계산한다. 그러면 동형상 분류가 된다.

또 다른 불변성 물질은 구성 공간의 호모토피 유형이다. (Salvatore & Longoni 2004) (도움말)는 호모토피와 동등하지만 동형 렌즈 공간은 다른 호모토피 유형의 구성 공간을 가질 수 있다는 것을 보여주었는데, 이는 다른 매시 제품에서 감지할 수 있다.

참고 항목

구면 3-매니폴드

참조

글렌 브레돈, 위상과 기하학, 스프링거 대학원 수학 139, 1993.
Brody, E. J. (1960), "The topological classification of the lens spaces", Annals of Mathematics, 2, 71 (1): 163–184, doi:10.2307/1969884, JSTOR 1969884
앨런 해처, 2002년 캠브리지 대학 출판부의 대수학 토폴로지
앨런 해처, 기본 3-매니폴드 위상 참고사항 (동형성까지 L(p,q)의 분류 설명)
Przytycki, Józef H.; Yasukhara, Akira (2003), "Symmetry of Links and Classification of Lens Spaces", Geometriae Dedicata, 98 (1): 57–61, doi:10.1023/A:10240, MR 1988423
Reidemeister, Kurt (1935), "Homotopieringe und Linsenräume", Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 11 (1): 102–109, doi:10.1007/BF02940717
Salvatore, Paolo; Longoni, Riccardo (2005), "Configuration spaces are not homotopy invariant", Topology, 44 (2): 375–380, arXiv:math/0401075, doi:10.1016/j.top.2004.11.002
Herbert Saifert와 William Threlfall은 위상 교과서로 1934년 독일판 Academic Press Inc.에서 번역되었다.뉴욕(1980년)
하인리히 티에체, 우에버가 토폴로지센 인바리안텐 메흐디차멘터 만니그팔티게이텐, 모나트슈에서 죽는다.Fuer Math. und Phys. 19, 1–118 (1908) $\S$ $\S$ 20 $\S$ ) 영어 번역 (2008) by John Stillwell.
매튜 왓킨스, "렌즈공간에 대한 짧은 조사"(1990년 학부 논문)

외부 링크

다지관 아틀라스의 렌즈 공간
렌즈 공간: 다지관 아틀라스의 역사
다지관 아틀라스의 가짜 렌즈 공간

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3차원 렌즈 공간의 대안적 정의

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