힐버트 투영 정리

수학에서 힐버트 투영 정리는 힐버트 공간 $H$ ${\displaystyle$ H $}$ 에 있는 $x$ 모든 $H$ $벡터$ x{\ $displaystyle$ H $}$ 및 비어 있지 않은 모든 닫힌 볼록 $C\subseteq H,$ $C\subseteq H,$ , ${\displaysty C\subseteq H}$ 에 대해 $m\in C$ 고유한 벡터 $m\in C$ $m\in C$ $m\in C$ ${\displaystym\in C}$ 이 $C\subseteq H,$ 존재한다는 볼록 분석의 유명한 결과물이다. $\|c-x\|$ $\|c-x\|$ - $\|c-x\|$ $\|c-x\|$ ${\displaystyle$ \ $c-x\}$ 은(는) $c\in C$ c $c\in C$ $\|m-x\|\leq \|c-x\|$ ${\displaystyle c\$ $\|m-x\|\leq \|c-x\|$ $C}$ 을(를) 통해 최소화된다 $\|c-x\|$ $c\in C$ 즉, $c\in C.$ c $c\in C.$ C. ${\$ $displaysty$ c $c\in C.$ {\ $displaysty c\}에 대해$ $\|m-x\|\leq \|c-x\|$ $\|m-x\|\leq \|c-x\|$ - x $\$ .

유한 치수 케이스

정리에 대한 어떤 직관력은 최적화 문제의 첫 번째 순서 조건을 고려함으로써 얻을 수 있다.

하위 공간 $C$ $C$ 및 $x.$ x. $x.$ m $m\in C$ $m\in C$ $m\in C$ 이 $m\in C$ (가) 함수 $N:C\to \mathbb {R}$ : $N:C\to \mathbb {R}$ → $N:C\to \mathbb {R}$ ${\$ 의 최소점 또는 최소점인 $H$ 경우 $x.$ 유한 치수 실제 Hilbert $공간$ H ${\dispace$ H}을 고려하십시오. $N(c):=\|c-x\|$ )에 의해 정의된 $N:C\to \mathbb {R}$ $C\to \mathb {R}$ }:= $N(c):=\|c-x\|$ $N(c):=\|c-x\|$ - $N(c):=\|c-x\|$ $N(c):=\|c-x\|$ ${\displaystyle N(c):$ $=\ c-x\ }($ $c\mapsto \|c-x\|^{2}$ $c\mapsto \|c-x\|^{2}$ - $c\mapsto \|c-x\|^{2}$ $c\mapsto \|c-x\|^{2}$ 2 $c\mapsto \|c-x\|^{2}$ {\ $displaystyle c\mapsto \c-x\ ^{2$ }} }의 최소 지점과 같음), $c\mapsto \|c-x\|^{2}$ 이후 $m.$ 은 m. ${\displaystym m$ 에서 0이어야 한다 $.$ $}$

행렬 파생상품 표기법^[1]

{\begin}\partial \lvert x-c\rVert ^{2}&=\partial \langle c-x, c-x\rangele \\\&=2\langle c-x,\partial c\rangeend}}

\partial c

\partial c

\partial c

은

\partial c

임의

접선 방향을 나타내는

C

C

C

의 벡터이므로

m-x

-

m-x

m-x

은(는)

C .

{\displaystyle C

의 모든 벡터에 직교해야 한다

m-x

.

}

성명서

Hilbert projection theorem — For every vector $x$ in a Hilbert space $H$ and every nonempty closed convex $C\subseteq H,$ there exists a unique vector $m\in C$ for which $\lVert x-m\rVert$ is equal to $\delta :=\inf _{c\in C}\|x-c\|.$ ${\displaystyle \delta :=\inf _{c\in$

닫힌 부분 $집합$ C ${\displaystyle C$ $}$ 이( $)$ H {\ $displaystyle$ H $}$ 의 벡터 하위 공간인 $C$ 경우 이 $m-x$ $m$ ${\displaystyle$ $m$ $}$ 이 $($ 가) $C .$ ${\displaystyle$ $C$ 에 직교하는 $C$ $m-x$ C ${\displaystystyle$ $C}$ 의 고유한 요소인 $m$ 것이다 $H$ . $}$

세부적인 기초 증명

최소 점 $y$ $y$ 이 $y$ (가) 존재한다는 증거

Let $\delta :=\inf _{c\in C}\ x-c\$ be the distance between $x$ and $C,$ $\left(c_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ a sequence in $C$ such that the distance squared between $x$ $x$ 및 $x$ $c_{n}$ ${\$ 은 $c_{n}$ (는) $\delta ^{2}+1/n.$ $\delta ^{2}+1/n.$ + $\delta ^{2}+1/n.$ / $\delta ^{2}+1/n.$ . ${\displaystyle \cHB ^{2}+1/n$ 보다 작거나 같다 $.$ $}$ $n$ $n$ 과 $n$ $m$ $m$ 을 $\delta ^{2}+1/n.$ $m$ (를) 두 정수로 하고, 다음 등가치가 참이다.

\left\c_{n}-{n}-{m}\오른쪽\^{2}=\c_{n}-x\right\^{2}+\c_{m}-x\rigle c_{n}-langle c_{n}-x\rangele }}

그리고

4\left\\\frac {c_{n}+c_{m}}}{2}}-x\오른쪽\ ^{2}=\좌측\c_{n}-x\우측\^{2}+\c_{m}-x\우측\^{2}+2\좌측\langle c_{n}-x\\,c_{m}-x\우측\rangele }}

그러므로

{\displaystyle \left\c_{n}-c_{m}\right\ ^{2}-x\right\ ^2+2\light\c_{m}-x\right\ ^{2}-4\\\\\\{2}-frac {c_{n}+c_{m_{m}2}}:{2}}-x\오른쪽\^{2}}:

(This equation is the same as the formula

a^{2}=2b^{2}+2c^{2}-4M_{a}^{2}

for the length

M_{a}

of a median in a triangle with sides of length

a,b,

and

c,

where specifically, the triangle의 꼭지점은

x,c_{m},c_{n}

,

x,c_{m},c_{n}

m ,

x,c_{m},c_{n}

x,c_{m},c_{n}

{\

x

,c_{m},c_{n}}

입니다.

x,c_{m},c_{n}

동일성의 처음 $c_{n}$ 항에 상한선을 부여하고 $c_{n}$ ${\$ 및 $c_{m}$ $c_{m}$ ${\$ 의 중간이 $C$ $C$ 에 $c_{m}$ 속하며 $C$ 따라서 $x$ , ${\displaystyle x$ 에서 $\delta$ $\delta$ ${\delta }$ 보다 크거나 같은 거리를 갖는다는 것을 알아봄으로써 $,}$ 에 $x,$ 따른다.이 경우:

\ c_{n}-c_{m}\ ^{2}\;\leq \;2\left(\delta ^{2}+{\frac {1}{n}}\right)+2\left(\delta ^{2}+{\frac {1}{m}}\right)-4\delta ^{2}=2\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{m}}\right)

마지막 불평등은 $\left(c_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ ( $\left(c_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ ) $\left(c_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ = $\left(c_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ $\left(c_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ ${\$ 이 $\left(c_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ (가) 코우치 시퀀스임을 증명한다. $따라서$ C $C$ 이 $C$ (가) 완료되었으므로 시퀀스는 $x$ ${\displaystyle$ x $}과$ 의 거리가 최소인 $m\in C,$ $x$ 지점 $m\in C,$ m $m\in C,$ , ${\displaystym m\in C}$ 에 수렴된다. $\blacksquare$

$m$ $m$ 이 $m$ (가) 고유하다는 증거

$m_{1}$ $m_{1}$ ${\$ }과 $m_{1}$ $m_{2}$ $m_{2}$ ${\$ }}개를 최소 두 개의 점으로 $m_{2}$ 한다.다음:

{\displaystyle \m_m_{1}\ ^{2}=2\m_{1}-x\ ^{2}+2\m_{2}-x\{2}-4\{2}-4\\\\\\\frac {m_{1}+m_{2}\{2}2}}:{2}}-x\오른쪽\^{2}}:

${\frac {m_{1}+m_{2}}{2}}$ m ${\frac {m_{1}+m_{2}}{2}}$ + m ${\frac {m_{1}+m_{2}}{2}}$ ${\frac {m_{1}+m_{2}}{2}}$ ${\$ $}{2}}:}$ 는 $C$ $\left\|{\frac {m_{1}+m_{2}}{2}}-x\right\|^{2}\geq \delta ^{2}$ $C,$ c m 1 + $\left\|{\frac {m_{1}+m_{2}}{2}}-x\right\|^{2}\geq \delta ^{2}$ m $\left\|{\frac {m_{1}+m_{2}}{2}}-x\right\|^{2}\geq \delta ^{2}$ - $\left\|{\frac {m_{1}+m_{2}}{2}}-x\right\|^{2}\geq \delta ^{2}$ 2 $\left\|{\frac {m_{1}+m_{2}}{2}}-x\right\|^{2}\geq \delta ^{2}$ 2 ${\$ \\\ $frac {m_{1}+m_{2$ }에 속함 ${\frac {m_{1}+m_{2}}{2}}$ $C,$ $}}{2}}-x\오른쪽\^{2}\geq \cHB ^{2}}:$ 따라서 $\left\|{\frac {m_{1}+m_{2}}{2}}-x\right\|^{2}\geq \delta ^{2}$

\m_m_{1}\^{2}\leq 2\buffer ^{2}+2\buffer ^{2}-4\buffer ^{2}=0.

따라서 $m_{1}=m_{2},$ $m_{1}=m_{2},$ = $m_{1}=m_{2},$ $m_{1}=m_{2},$ , $m_{1}=m_{2}$ 의 $m_{1}=m_{2},$ 고유성을 증명한다. $\blacksquare$

$C$ $C$ 이(가) 폐쇄 벡터 하위 공간일 $C$ 때 최소 점의 특성화 증명

Assume that $C$ is a closed vector subspace of $H.$ It must be shown the minimizer $m$ is the unique element in $C$ such that $\langle m-x,c\rangle =0$ for every $c\in C.$

Proof that the condition is sufficient: Let $z\in C$ be such that $\langle z-x,c\rangle =0$ for all $c\in C.$ If $c\in C$ then $c-z\in C$ and so

\c-x\ ^{2}=\ (z-x)+(c-z)\^{2}=\z\^{2}+\c-z\^2}\langle z-x,c-z\\\{2}\c-z\ ^{2

which implies that

\ z-x\ ^{2}\leq \ c-x\ ^{2}.

Because

c\in C

was arbitrary, this proves that

\ z-x\ =\inf _{c\in C}\ c-x\

and so

z

is a minimum point.

조건이 필요하다는 증거: $m\in C$ $m\in C$ $m\in C$ $m\in C$ 을(를) 최소 지점으로 한다 $m\in C$ .Let $c\in C$ and $t\in \mathbb {R} .$ Because $m+tc\in C,$ the minimality of $m$ guarantees that $\ m-x\ \leq \ (m+tc)-x\ .$ Thus

{\displaystyle \ (m+tc)-x\ ^{2}-\ m-x\ ^{2}=2t\langle m-x, c\c\langle +t^{2}\c\{2}}:

항상 음이

\langle m-x,c\rangle

\langle m-x,c\rangle

m

\langle m-x,c\rangle

-

\langle m-x,c\rangle

,

\langle m-x,c\rangle

\langle m-x,c\rangle

\langle m-x,c\angle

은(는) 실수여야 한다

\langle m-x,c\rangle

.

\langle m-x,c\rangle \neq 0

\langle m-x,c\rangle \neq 0

-

\langle m-x,c\rangle \neq 0

,

\langle m-x,c\rangle \neq 0

\langle m-x,c\rangle \neq 0

≠

\langle m-x,c\rangle \neq 0

\langle m-x,c\rangele \neq 0

인

\langle m-x,c\rangle \neq 0

경우 지도

f(t):=2t\langle m-x,c\rangle +t^{2}\|c\|^{2}

(

f(t):=2t\langle m-x,c\rangle +t^{2}\|c\|^{2}

) :

f(t):=2t\langle m-x,c\rangle +t^{2}\|c\|^{2}

f(t):=2t\langle m-x,c\rangle +t^{2}\|c\|^{2}

f(t):=2t\langle m-x,c\rangle +t^{2}\|c\|^{2}

m

f(t):=2t\langle m-x,c\rangle +t^{2}\|c\|^{2}

-

f(t):=2t\langle m-x,c\rangle +t^{2}\|c\|^{2}

,

f(t):=2t\langle m-x,c\rangle +t^{2}\|c\|^{2}

f(t):=2t\langle m-x,c\rangle +t^{2}\|c\|^{2}

+

f(t):=2t\langle m-x,c\rangle +t^{2}\|c\|^{2}

f(t):=2t\langle m-x,c\rangle +t^{2}\|c\|^{2}

f(t):=2t\langle m-x,c\rangle +t^{2}\|c\|^{2}

f(t):=2t\langle m-x,c\rangle +t^{2}\|c\|^{2}

f(t):=2t\langle m-x,c\rangle +t^{2}\|c\|^{2}

f(t):=2t\langle m-x,c\rangle +t^{2}\|c\|^{2}

{\

=2t\langle m-x,c\rangle +t^{2}\ c\ ^{2}}

has a minimum at

t_{0}:=-{\frac {\langle m-x,c\rangle }{\ c\ ^{2}}}

and moreover,

f\left(t_{0}\right)<0,

which is a contradiction.따라서

\langle m-x,c\rangle =0.

\langle m-x,c\rangle =0.

-

\langle m-x,c\rangle =0.

,

\langle m-x,c\rangle =0.

\langle m-x,c\rangle =0.

=

\langle m-x,c\rangle =0.

{\displaystyle \langle m-x,c\angle =0.

}

{\

특수 케이스로 환원하여 증빙

$C$ 인 경우는C {\ $displaystyle$ C $}$ 을(를 $C-x.$ C $C-x.$ - x $C-x.$ . {\ $displaystyle C-x}$ 로 $C$ 대체함으로써 아래 문장에서 따르기 때문에 $x=0$ $x=0$ = $x=0$ ${\displaystyle$ x $=0}$ 의 경우에 정리를 증명하기에 충분하다.

{H\displaystyle,} 있는 고유한 벡터 m이 힐버트 교수 도법마다 nonempty 문을 닫볼록 부분 집합은 힐베르트 공간의 C⊆ H{\displaystyle C\subseteq H}H,(사건)=0{\displaystyle x=0})[2]— 정리 ∈ C{\displaystylem\in C}가 inf c∈ C‖ c‖)‖ m‖.{\displaystyle \inf_{Cc\in}\ c\) $\ m\ .}$

Furthermore, letting $d:=\inf _{c\in C}\ c\ ,$ if $\left(c_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ is any sequence in $C$ such that $\lim _{n\to \infty }\left\ c_{n}\right\ =d$ in $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ ^{[note 1]} ${\$ 다음에 림 $\lim _{n\to \infty }c_{n}=m$ → $\lim _{n\to \infty }c_{n}=m$ c $\lim _{n\to \infty }c_{n}=m$ = m ${\displaystyle \lim _{n\to \inft }c_{n}=m}($ $H.$ {\ $displaystysty H.}).$

증명

$C$ $C$ 을(를) 이 정리에 설명된 대로 하고 $C$

d:=\inf _{c\in C}\ c\ .

이 정리는 다음과 같은 레마로부터 뒤따를 것이다.

Lemma 1 — If $c_{\bullet }:=\left(c_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ is any sequence in $C$ such that $\lim _{n\to \infty }\left\ c_{n}\right\ =d$ in $\mathbb {R}$ then there exists some $c\in C$ $c\in C$ $c$ $\|c\|=d.$ $c\in C$ $c\in C$ 더 나아가 $H.$ H $.$ ${\$ $\|c\|=d.$ 에서 $\lim _{n\to \infty }c_{n}=c$ $\lim _{n\to \infty }c_{n}=c$ $\lim _{n\to \infty }c_{n}=c$ → $∞$ = c ${n\to \inflt }c_{n}=c}$ 이 $c\in C$ (가 $)$ 되도록 $\|c\|=d.$ C {\ $displaystyle$ . $}$

보조정리증서 1

평행사변형법

\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}.

벡터:

\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}.

\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}.

+ y

\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}.

\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}.

+

\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}.

\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}.

-

\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}.

\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}.

2

\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}.

=

\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}.

\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}.

x

\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}.

\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}.

+

\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}.

\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}.

.

디스플레이스타일 \ x+

y\ ^{2

}=2\

x-y\ ^{2

}=2\

x-y\

^{2

}=

2+2\

y\

\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}.

}.

}

Because $C$ is convex, if $m,n\in \mathbb {N}$ then ${\frac {1}{2}}\left(c_{m}+c_{n}\right)\in C$ so that by definition of the infimum, $d\leq \left\ {\frac {1}{2$ $}\좌(c_{m}+c_{n}\오른쪽)\오른쪽\}$ 이(가) 4 $d\leq \left\|{\frac {1}{2}}\left(c_{m}+c_{n}\right)\right\|,$ $4d^{2}\leq \left\|c_{m}+c_{n}\right\|^{2}.$ $4d^{2}\leq \left\|c_{m}+c_{n}\right\|^{2}.$ $4d^{2}\leq \left\|c_{m}+c_{n}\right\|^{2}.$ $4d^{2}\leq \left\|c_{m}+c_{n}\right\|^{2}.$ m + $4d^{2}\leq \left\|c_{m}+c_{n}\right\|^{2}.$ $4d^{2}\leq \left\|c_{m}+c_{n}\right\|^{2}.$ $4d^{2}\leq \left\|c_{m}+c_{n}\right\|^{2}.$ 2 $4d^{2}\leq \left\|c_{m}+c_{n}\right\|^{2}.$ . $4d^{2}\leq \left\c_{m}+c_{n}\right\{2}}}}}$ 평행도법에 따르면 $4d^{2}\leq \left\|c_{m}+c_{n}\right\|^{2}.$

{\displaystyle \left\c_{m}+c_{n}\right\^{2}-c_{n}\right\^{2}=2\left\c_{m}\right\{2}+2\right\{n}\i1}{2}}:

여기서

4d^{2}\leq \left\|c_{m}+c_{n}\right\|^{2}

4d^{2}\leq \left\|c_{m}+c_{n}\right\|^{2}

4d^{2}\leq \left\|c_{m}+c_{n}\right\|^{2}

4d^{2}\leq \left\|c_{m}+c_{n}\right\|^{2}

4d^{2}\leq \left\|c_{m}+c_{n}\right\|^{2}

4d^{2}\leq \left\|c_{m}+c_{n}\right\|^{2}

m +

4d^{2}\leq \left\|c_{m}+c_{n}\right\|^{2}

‖

4d^{2}\leq \left\|c_{m}+c_{n}\right\|^{2}

{\

displaystyle 4d^{2}\\leq

\leq\\ \

left\c_{m}+c_{n}\right\{2

}} 이제

4d^{2}\leq \left\|c_{m}+c_{n}\right\|^{2}

암시한다.

{\displaystyle 4d^{2}+\왼쪽\c_{m}-c_{n}\오른쪽\^{2}~\leq ~2\왼쪽\c_{m}\오른쪽\{2}+2\c_{n}\오른쪽\{2}}:

등등

{\data.{4}\왼쪽\c_{m}-c_{n}\오른쪽\^{2}~\leq ~2\왼쪽\c_{m}\right\{2}+2\c_{n}\right\{2}-4d^{2}}:

가정

\lim _{n\to \infty }\left\|c_{n}\right\|=d

\lim _{n\to \infty }\left\|c_{n}\right\|=d

→

∞

‖

\lim _{n\to \infty }\left\|c_{n}\right\|=d

= =

\lim _{n\to \infty }\left\|c_{n}\right\|=d

{\displaystyle \lim _{n\to \infit }\reft\c_{n}\right\d

} =

d}

는 위의 불평등의

우측

(

RHS

)을 m

{\displaystytylem

m}

과 n}을

m

충분히

n

크게 만들어

0

0

에 가깝게 임의로 만들 수 있음을 암시한다

\lim _{n\to \infty }\left\|c_{n}\right\|=d

.^{[note 2]}The same must consequently also be true of the inequality's left hand side

\left\ c_{m}-c_{n}\right\ ^{2}

and thus also of

\left\ c_{m}-c_{n}\right\ ,

which proves that

{\displaystyle \left(c_{n}\right)_{n=1

}^{\flt{}}

는

H .

{\displaystyle

H

.}

의 Cauchy 시퀀스다

\left(c_{n}\right)_{n=1}^{\infty }

.

Since $H$ is complete, there exists some $c\in H$ such that $\lim _{n\to \infty }c_{n}=c$ in $H.$ Because every $c_{n}$ belongs to $C,$ which is a closed subset of $H,$ their limit $c$ must also belongs to this closed subset, which proves that $c\in C.$ Since the norm $\ \,\cdot \,\ :H\to \mathbb {R}$ is a continuous function, ${\displaystyle \lim _{n\to \infty$ $}c_{n}=c}$ in $H$ implies that $\lim _{n\to \infty }\left\ c_{n}\right\ =\ c\$ in $\mathbb {R} .$ But $\lim _{n\to \infty }\left\ c_{n}\right\ =d$ also holds (by assumption) so that $\|c\|=d$ $\|c\|=d$ $\|c\|=d$ $\|c\|=d$ = $\|c\|=d$ ${\displaystyle$ \ $c\ =d}($ $\mathbb {R}$ { $R}}$ 의 제한은 고유하기 $\mathbb {R}$ 때문) $\blacksquare$

Lemma 2 — Lemma 1의 가설을 만족시키는 $\left(c_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ 시퀀스 $\left(c_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ ) $\left(c_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ = $\left(c_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ $\left(c_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ {\ $displaystyle \left(c_{n}\right)_{n=1}^{\fty}}}}}}}}$ 이 존재한다.

보조정리증2길

수열의 존재는 지금 보여지는 바와 같이 최소의 정의에서 따온 것이다.The set $S:=\{\ c\ :c\in C\}$ is a non-empty subset of non-negative real numbers and $d:=\inf _{c\in C}\ c\ =\inf S.$ Let $n\geq 1$ be an integer. $\inf S<d+{\frac {1}{n}},$ $\inf S<d+{\frac {1}{n}},$ < $\inf S<d+{\frac {1}{n}},$ + $\inf S<d+{\frac {1}{n}},$ $\inf S<d+{\frac {1}{n}},$ , $\inf S<d+{\frac {1}{n}},$ {\ $displaystyle \inf$ S $<d+{\$ $frac$ ${1}{$ $n}}}$ 이 $\inf S<d+{\frac {1}{n}},$ $(가$ ) 있기 $s_{n}<d+{\frac {1}{n}}.$ 에 $s_{n}\in S$ s $s_{n}<d+{\frac {1}{n}}.$ < $s_{n}<d+{\frac {1}{n}}.$ + $s_{n}<d+{\frac {1}{n}}.$ $s_{n}<d+{\frac {1}{n}}.$ . . . . . . . . . $s_{n}<d+{\frac {1}{n}}.$ . ${n}{d+{\frc{$ 1}{ $n}}.$ $}$ $s_{n}\in S,$ $s_{n}\in S,$ $s_{n}\in S,$ , ${\displaystyle s_{n}\$ $d=\inf S\leq s_{n}$ S $,}$ d $s_{n}<d+{\frac {1}{n}}.$ $d=\inf S\leq s_{n}$ = $d=\inf S\leq s_{n}$ $d=\inf S\leq s_{n}$ $d=\inf S\leq s_{n}$ $d=\inf S\leq s_{n}$ $d=\inf S\leq s_{n}$ ${\$ hold $d=\inf S\leq s_{n}$ (최소값 정의)따라서;d+1n{\displaystyled\leq s_{n}<, d+{\frac{1}{n}}}그리고 지금 스퀴즈 theorem R.{\displaystyle \mathbb{R}에서lim ns∞ n→)d{\displaystyle \lim_{n\to\infty}s_{n}=d}을 의미한다.}(그 증거의 이 첫번째 부분 S⊆ R의 사각형 부분 집합에서 일하{S.\displaystyle s≤ n<>친절\subs $eteq \mathb {R},$ $d:=\inf _{s\in S}s$ $d:=\inf _{s\in S}s$ $d:=\inf _{s\in S}s$ s $d:=\inf _{s\in S}s$ $d:=\inf _{s\in S}s$ $d:=\inf _{s\in S}s$ 은 $d:=\inf _{s\in S}s$ (는) 유한함).

For every $n\in \mathbb {N} ,$ the fact that $s_{n}\in S=\{\ c\ :c\in C\}$ means that there exists some $c_{n}\in C$ such that $s_{n}=\left\ c_{n}\right\ .$ The convergence $\lim _{n\to \infty }s_{n}=d$ $\lim _{n\to \infty }s_{n}=d$ in $\mathbb {R}$ thus becomes $\lim _{n\to \infty }\left\ c_{n}\right\ =d$ in $\mathbb {R} .$ $\blacksquare$

Lemma 2와 Lema 1은 $\|c\|=d.$ 과 같이 고유성을 입증하기 위해 $\|c\|=d.$ C ${\$ $displaystyle$ $c$ $\=d.}$ Lema $\|c\|=d.$ 1을 사용할 수 있는 $c\in C$ c $c\in C$ $c\in C$ {\ $displaystyle$ c $\in C}$ 이(가) 존재함을 증명한다. $b\in C$ $b\in C$ $b\in C$ $b\in C$ 이 $b\in C$ (가) $\|b\|=d$ b $\|b\|=d$ $\|b\|=d$ = $\|b\|=d$ ${\displaystyle$ \ $b\ =d}$ 과(와) 같으며 $\|b\|=d$ 시퀀스를 나타낸다고 가정합시다.

b,c,b,c,b,c,\ldots

by

\left(c_{n}\right)_{n=1}^{\infty }

so that the subsequence

\left(c_{2n}\right)_{n=1}^{\infty }

of even indices is the constant sequence

c,c,c,\ldots

while the subsequence

\left(c_{2n-1}\right)_{n=1}^{\infty }

\left(c_{2n-1}\right)_{n=1}^{\infty }

of odd indices is the constant sequence

b,b,b,\ldots .

Because

\left\ c_{n}\right\ =d

for every

n\in \mathbb {N} ,

\lim _{n\to \infty }\left\|c_{n}\right\|=\lim _{n\to \infty }d=d

\lim _{n\to \infty }\left\ c_{n}\right\ =\lim _{n\to \infty }d=d

in

\mathbb {R} ,

which shows that the sequence

\left(c_{n}\right)_{n=1}^{\infty }

satisfies the hypotheses of Lemma 1.Lemma 1 guarantees the existence of some

x\in C

such that

\lim _{n\to \infty }c_{n}=x

in

H.

Because

\left(c_{n}\right)_{n=1}^{\infty }

converges to

x,

so do al그 부속의 l.특히,

c,c,c,\ldots

, c

c,c,c,\ldots

,

c,c,c,\ldots

,

c,c,c,\ldots

…

c,c,c,\ldots

은(는) x

x=c

=

x=c

{\

displaystyle

x=c}(

H

{\\displaystyle

H}의 한계가

H

고유하고 이 일정한 반복도

c

{\displaystytype c})

로 수렴된다는

c,c,c,\ldots

것을 의미한다

x,

.

x=c

b,b,b,\ldots

로

x=b

=

b,b,b,\ldots

{\displaystyle

x

=b},

b,b,b,\ldots

, b

b,b,b,\ldots

,

b,b,b,\ldots

…

b,b,b,\ldots

이(가)

x

x

및

x

b .

{\displaysty b.}

둘 다로 수렴되기

b,b,b,\ldots

때문에

x=b

x

x=b

=

x=b

{\displaysty}

따라서

b=c,

=

b=c,

,

b=c,

정리를

b=c,

증명한다.

\blacksquare

결과들

제안 — $C$ $C$ 이(가) Hilbert 공간 $H$ $H$ 의 닫힌 벡터 하위 공간인 $C$ 경우 $H$ ^{[note 3]}

H=C\oplus C^{\bot }

증명^[3]

$C\cap C^{\bot }=\{0\}$ $C\cap C^{\bot }=\{0\}$ $C\cap C^{\bot }=\{0\}$ $C\cap C^{\bot }=\{0\}$ = $C\cap C^{\bot }=\{0\}$ { $C\cap C^{\bot }=\{0\}$ $C\cap C^{\bot }=\{0\}$ ${\displaystyle C\cap$ C $^{\bot }=\{0\}}}$ :

$c\in C\cap C^{\bot }$ $c\in C\cap C^{\bot }$ $c\in C\cap C^{\bot }$ $c\in C\cap C^{\bot }$ $c\in C\cap C^{\bot }$ ⊥{\ $displaystyle c\in$ C^{\ $bot }}}}$ 이 $c\in C\cap C^{\bot }$ (가 $)$ $c=0.$ $0=\langle \,c,\,c\,\rangle =\|c\|^{2},$ = $0=\langle \,c,\,c\,\rangle =\|c\|^{2},$ c $0=\langle \,c,\,c\,\rangle =\|c\|^{2},$ , $0=\langle \,c,\,c\,\rangle =\|c\|^{2},$ $0=\langle \,c,\,c\,\rangle =\|c\|^{2},$ = $0=\langle \,c,\,c\,\rangle =\|c\|^{2},$ $0=\langle \,c,\,c\,\rangle =\|c\|^{2},$ 2 $0=\langle \,c,\,c\,\rangle =\|c\|^{2},$ , ${\displaystyle$ 0 $=\c,\,\rangele =\c\c\{2$ }, c $0=\langle \,c,\,c\,\rangle =\|c\|^{2},$ $c=0.$ = 0 ${\displaystystyle$ c $=c$ =c=c=c= $0$ $}.$ $}$ ${\$

$⊥{\$ 이 $C^{\bot }$ (가) H ${\displaystyle$ H}의 폐쇄 벡터 하위 공간이라는 증거 $H$

$P:=\prod _{c\in C}\mathbb {F}$ $P:=\prod _{c\in C}\mathbb {F}$ $P:=\prod _{c\in C}\mathbb {F}$ $P:=\prod _{c\in C}\mathbb {F}$ $P:=\prod _{c\in C}\mathbb {F}$ $P:=\prod _{c\in C}\mathbb {F}$ $P:=\prod _{c\in C}\mathbb {F}$ ${\$ 를) 두십시오. 여기서 $P:=\prod _{c\in C}\mathbb {F}$ $H$ $\mathbb {F}$ ${\$ 은 $\mathbb {F}$ $($ 는) H ${\displaystystyle H}$ 의 기본 스칼라 필드입니다.

{\reasonedat}{4}}L:\,&H&\to \,&P\\\&H&\\mapsto \,&\왼쪽(\langle \,h,\c\,\rangele \rigle \right)_{c\in C}\\\end{aignedat}}}}}}}}}}}

which is continuous and linear because this is true of each of its coordinates

h\mapsto \langle h,c\rangle .

The set

C^{\bot }=L^{-1}(0)=L^{-1}\left(\{0\}\right)

is closed in

H

because

{\display

\{0\} 스타일

은

P

P

및

P

L:H\to P

:

L:H\to P

→ P

{\displaystyle L:

H\to P}

은(는) 연속이다

L:H\to P

.선형 지도의 커널은 그 도메인의 벡터 서브공간으로,

C^{\bot }=\ker L

why = ker

C^{\bot }=\ker L

= ker ker

C^{\bot }=\ker L

{\displaystyle

C

^{\bot }=\ker

L

}

이(가)

H

.

H.

H.

\blacksquare

\blacksquare

의 벡터 서브공간인

C^{\bot }=\ker L

까닭이다.

$C+C^{\bot }=H$ + $C+C^{\bot }=H$ $C+C^{\bot }=H$ = $C+C^{\bot }=H$ ${\displaystyle C+C^{\bot }=H$

Let $x\in H.$ The Hilbert projection theorem guarantees the existence of a unique $m\in C$ such that $\ x-m\ \leq \ x-c\ {\text{ for all }}c\in C$ (or equivalently, for all $x-c\in x-C$ ). $p:=x-m$ $p\in C^{\bot }.$ $p:=x-m$ - $p:=x-m$ ${\$ $displaystyle$ $p:=x-m}$ 을 $p:=x-m$ (를) $x=m+p\in C+p$ = $x=m+p\in C+p$ + $x=m+p\in C+p$ + $x=m+p\in C+p$ ${\displaystyle x$ $p\in C^{\bot }.$ $m+p\in$ $C^{\bot }}}$ 을 $p\in C^{\bot }.$ (를 $)$ 그대로 두어 위의 $p\in C^{\bot }.$ 은 $x=m+p\in C+p$ 다음과 같이 다시 쓸 수 있다 $.$

\\displaystyle \p\\leq \z\\quad {\text{ all }z\in x-C.}

Because

m\in C

and

C

is a vector space,

m+C=C

and

C=-C,

which implies that

x-C=x+C=p+m+C=p+C.

x-C=x+C=p+m+C=p+C.

따라서 이전의 불평등은 다음과 같이 된다.

\p\\leq \z\\quad {\text{ all }z\in p+C.

또는 동등하게

\p\\leq \p+c\\quad {\text{ all }c\in C.

그러나 이 마지막 진술은 만약

\langle \,p,c\,\rangle =0

\langle \,p,c\,\rangle =0

,

\langle \,p,c\,\rangle =0

\langle \,p,c\,\rangle =0

= 0

\langle \,p,c\,\angle =0

매

\langle \,p,c\,\rangle =0

c\in C.

c\in C.

c\in C.

.

{\displaystyle

c

\in

C

^{\bot

p\in C^{\bot }.

\blacksquare

따라서

c\in C.

p\in C^{\bot }.

p\in C^{\bot }.

p\in C^{\bot }.

⊥

p\in C^{\bot }.

{\

displaystyle

\blacksquare \

blacksquare }}}

의 \c.

특성.

글로벌 최소값으로 표현

힐버트 투영 정리의 문장과 결론은 다음 함수의 글로벌 최소치 관점에서 표현될 수 있다.그들의 표기법은 또한 특정 문장을 단순화하는 데 사용될 것이다.

비어 있지 않은 부분 집합 $C\subseteq H$ $C\subseteq H$ H $C\subseteq H$ 및 $C\subseteq H$ 일부 $x\in H,$ $x\in H,$ $x\in H,$ , $x\in H$ 이(가) 함수를 정의함 $x\in H,$

d_{C,x}:C\to [0,\infully )\quad {\text{ by }c\mapsto \x-c\ .

d_{C,x},

d_{C,x},

,

d_{C,x},

,

d_{C,x}

의 글로벌 최소 지점은 도메인

\,\operatorname {domain} d_{C,x}=C\,

\,\operatorname {domain} d_{C,x}=C\,

C ,

\,\operatorname {domain} d_{C,x}=C\,

=

\,\operatorname {domain} d_{C,x}=C\,

{\

displaystyle \,\operatorname {domain} d_{C,}=C\}

에

\,\operatorname {domain} d_{C,x}=C\,

있는

m

임의

지점

m

{\displaystystylem m}

입니다.

d_{C,x}(m)\\leq \,d_{C,x}(c)\quad {\text{모든 }c\in C,

이 경우 d

d_{C,x}(m)=\|m-x\|

,

d_{C,x}(m)=\|m-x\|

(

d_{C,x}(m)=\|m-x\|

m

d_{C,x}(m)=\|m-x\|

)

d_{C,x}(m)=\|m-x\|

=

d_{C,x}(m)=\|m-x\|

= m

d_{C,x}(m)=\|m-x\|

-

d_{C,x}(m)=\|m-x\|

d_{C,x}(m)=\|m-x\|

{\displaystyle d_{C,x}(m)=\

d_{C,x},

\}

은(는)

d_{C,x},

, x

d_{C,x},

,

d_{C,x

함수의 전역 최소값과 같으며

d_{C,x}(m)=\|m-x\|

, 이는

d_{C,x},

다음과 같다.

\inf _{c\in C}d_{C,x}(c)=\inf _{c\in C}\xc\ .

번역 및 메스의 효과

이 글로벌 최소 $지점$ m $m$ 이(가) 존재하고 $m$ 고유하면 $\min(C,x);$ , x $\min(C,x);$ $\min(C,x);$ 명시적으로 $\min(C,x);$ 표시하면 최소( $\min(C,x)$ , $\min(C,x)$ ) $\min(C,x)$ 의 정의 속성은 다음과 같다.

\min(C,x)\in C\quad {\text{\text{\}\}\좌측\x-\min(C,x)\우측\\leq \ x-c\\\quad {\text{\c\전체 }c\c\in}

힐버트 투영 정리는

C

C

이(가) 힐버트 공간의 비어 있지 않은 닫히고 볼록한 부분 집합일

C

때마다 이 고유한 최소 지점이 존재함을 보장한다.그러나 이러한 최소 지점은 비콘벡스 또는 비폐쇄 하위 집합에도 존재할 수 있다. 예를 들어,

C

{\

displaystyle

x

\in

C

}

이(가) 비어 있지

C

않은 것처럼,

\

C {\

displaystyle

x\in C}이면

x \in C

\min(C,x)=x.

(

C,x)=x.

$C\subseteq H$ $C\subseteq H$ $C\subseteq H$ $C\subseteq H$ 이 $C\subseteq H$ (가) 비어 있지 않은 부분 집합이고 $s$ $s$ 이 $s$ (가) 스칼라이고 $x,x_{0}\in H$ , $x,x_{0}\in H$ $x,x_{0}\in H$ $x,x_{0}\in H$ $x,x_{0}\in H$ $x,x_{0}\in H$ 이(가) 벡터인 $x,x_{0}\in H$ 경우

\,\min \left(sC+x_{0}, sx+x_{0)}}\오른쪽)=s\min(C,x)+x_{0}

이는 다음을 함축한다.

{\begin{lignitedat}{6}\min &(sC,sx)&#&\s&\s&\s&\min(C,x)\nd{lignedat}}

{\begin{aignedat}{6}\min \left(C+x_{0},x+x_{0)}\\min(C,x)+x_{0}\\\min \좌측(C-x_{0},x-x_{0}\우측)&=\min(C,x)-x_{0}\end{aignatedat}}}}}}}}

{\begin{aignedat}{6}\min &(C,-x){}&=\min(C+x,0)-x\;+\;x\;;;;;;;\;\&=\min(C+x,x)\\\min &(C-x,0){}&&=\min(C,x)-x\\\end{argedat}}

예

다음의 역예는 $A:H\to H$ 인 선형 이형성 $A:H\to H$ : $A:H\to H$ H $A:H\to H$ → $A:H\to H$ ${\displaystyle A:$ $H\to H}$ 에 $A:H\to H$ 대한 $\,\min(A(C),A(x))\neq A(\min(C,x)).$ ( $\,\min(A(C),A(x))\neq A(\min(C,x)).$ ( $\,\min(A(C),A(x))\neq A(\min(C,x)).$ ) $\,\min(A(C),A(x))\neq A(\min(C,x)).$ , A $\,\min(A(C),A(x))\neq A(\min(C,x)).$ ( $\,\min(A(C),A(x))\neq A(\min(C,x)).$ ) $\,\min(A(C),A(x))\neq A(\min(C,x)).$ $\,\min(A(C),A(x))\neq A(\min(C,x)).$ ( $\,\min(A(C),A(x))\neq A(\min(C,x)).$ ( $\,\min(A(C),A(x))\neq A(\min(C,x)).$ ) $\,\min(A(C),A(x))\neq A(\min(C,x)).$ . ${\displaystyle \,\min$ (A $(C),$ A $(x)\neq$ A $(\min(C,x))).$ $}$ Endow $H:=\mathbb {R} ^{2}$ with the dot product, let $x_{0}:=(0,1),$ and for every real $s\in \mathbb {R} ,$ let $L_{s}:=\{(x,sx):x\in \mathbb {R} \}$ be the line of slope $s$ ${\displaystyle$ s $}$ 은(는) 원점을 통해 $s$ $($ $\min \left(L_{s},x_{0}\right)={\frac {s}{1+s^{2}}}(1,s).$ $\min \left(L_{s},x_{0}\right)={\frac {s}{1+s^{2}}}(1,s).$ $\min \left(L_{s},x_{0}\right)={\frac {s}{1+s^{2}}}(1,s).$ ) $\min \left(L_{s},x_{0}\right)={\frac {s}{1+s^{2}}}(1,s).$ = s $\min \left(L_{s},x_{0}\right)={\frac {s}{1+s^{2}}}(1,s).$ + $\min \left(L_{s},x_{0}\right)={\frac {s}{1+s^{2}}}(1,s).$ $\min \left(L_{s},x_{0}\right)={\frac {s}{1+s^{2}}}(1,s).$ ( $\min \left(L_{s},x_{0}\right)={\frac {s}{1+s^{2}}}(1,s).$ , $\min \left(L_{s},x_{0}\right)={\frac {s}{1+s^{2}}}(1,s).$ s $\min \left(L_{s},x_{0}\right)={\frac {s}{1+s^{2}}}(1,s).$ ) $\min \left(L_{s},x_{0}\right)={\frac {s}{1+s^{2}}}(1,s).$ . ${\displaystyle \min \left(L_{s},x_{0}\right)={\frac}{1+s^{2$ }}.( $1,s)}).$ $}$ Pick a real number $r\neq 0$ and define $A:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ by $A(x,y):=(rx,y)$ (so this map scales the $x-$ coordinate by $r$ while leaving the $y-$ $y-$ $[\displaystyle y-}$ 좌표 $y-$ 변경되지 않음).그러면 $A:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ : $A:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ $A:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ → R $A:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ ${\$ A $:\mathb {R} ^{2}\to \mathb {R}$ ^2 $}}$ 은 $A\left(L_{s}\right)=L_{s/r}$ = L $($ / r {\ $displaystyle A\left($ L_{ $s}\오른쪽)=$ 를 만족하는 변환불능 연속 선형 연산자다 $A:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ . $L_{s/r}$ 및 $A\left(x_{0}\right)=x_{0},$ 0 $A\left(x_{0}\right)=x_{0},$ ) $A\left(x_{0}\right)=x_{0},$ = $A\left(x_{0}\right)=x_{0},$ 0 $A\left(x_{0}\right)=x_{0},$ ${\displaystyle A\left(x_{0}\오른쪽)$ $=x_{0},$ $\,\min \left(A\left(L_{s}\right),A\left(x_{0}\right)\right)={\frac {s}{r^{2}+s^{2}}}(1,s)$ ( $\,\min \left(A\left(L_{s}\right),A\left(x_{0}\right)\right)={\frac {s}{r^{2}+s^{2}}}(1,s)$ ) $\,\min \left(A\left(L_{s}\right),A\left(x_{0}\right)\right)={\frac {s}{r^{2}+s^{2}}}(1,s)$ , A $\,\min \left(A\left(L_{s}\right),A\left(x_{0}\right)\right)={\frac {s}{r^{2}+s^{2}}}(1,s)$ ( x $\,\min \left(A\left(L_{s}\right),A\left(x_{0}\right)\right)={\frac {s}{r^{2}+s^{2}}}(1,s)$ ) $\,\min \left(A\left(L_{s}\right),A\left(x_{0}\right)\right)={\frac {s}{r^{2}+s^{2}}}(1,s)$ = s $\,\min \left(A\left(L_{s}\right),A\left(x_{0}\right)\right)={\frac {s}{r^{2}+s^{2}}}(1,s)$ 2 + $\,\min \left(A\left(L_{s}\right),A\left(x_{0}\right)\right)={\frac {s}{r^{2}+s^{2}}}(1,s)$ 2 ( $\,\min \left(A\left(L_{s}\right),A\left(x_{0}\right)\right)={\frac {s}{r^{2}+s^{2}}}(1,s)$ , $\,\min \left(A\left(L_{s}\right),A\left(x_{0}\right)\right)={\frac {s}{r^{2}+s^{2}}}(1,s)$ ) ${\displaystyle \,\min \left(A\left(L_{s}\right),$ $A\left(x_{0}\right)\right)={\frac {s}{r^{2}+s^{2}}}(1,s)}$ and ${\displaystyle A\left(\min \left(L_{s},x_{0}\right)\right)={\frac {s}{1+s^{2$ $}}}\왼쪽(r,s\오른쪽).$ $}$ 따라서 $A\left(\min \left(L_{s},x_{0}\right)\right)={\frac {s}{1+s^{2}}}\left(r,s\right).$ $C:=L_{s}$ $C:=L_{s}$ $C:=L_{s}$ $C:=L_{s}$ ${\$ $=L_{s}}$ with $s\neq 0$ and if $(r,s)\neq (\pm 1,1)$ then ${\displaystyle \,\min(A(C),A\left(x_{0}\right))\neq A\left(\min \left(C,x_{0}\right)\right).$ $}$

참고 항목

직교보충제
정사영
직교합성 원리 – 베이시안 추정기의 최적성 조건
리에즈 표현 정리

메모들

^ 왜냐하면 규범 $\|\cdot \|:H\to \mathbb {R}$ : $\|\cdot \|:H\to \mathbb {R}$ → $\|\cdot \|:H\to \mathbb {R}$ ${\$ : $H\to \mathbb {R} }$ is continuous, if $\lim _{n\to \infty }x_{n}$ converges in $H$ then necessarily $\lim _{n\to \infty }\left\ x_{n}\right\$ converges in $\mathbb {R} .$ But in general, the converse is보증되지 않은However, under this theorem's hypotheses, knowing that $\lim _{n\to \infty }\left\ c_{n}\right\ =d$ in $\mathbb {R}$ is sufficient to conclude that $\lim _{n\to \infty }c_{n}$ converges in $H.$
^ 명시적으로, 이{\displaystyle \epsilon>0}일부 정수 N을 존재하는 그;0어떤 ϵ 을 지정된다는 것을 의미하 0{\displaystyle N>0}그런"그 양"은≤ϵ{\displaystyle \,\leq \epsilon} 때마다 m, n≥ N.{\displaystyle m,n\geq N.}여기,"그 양" 있는 것은 불평등의 오른쪽 편. 2‖ cm $2\left\ c_{m}\right\ ^{2}+2\left\ c_{n}\right\ ^{2}-4d^{2}$ and later in the proof, "the quantity" will also refer to $\left\ c_{m}-c_{n}\right\ ^{2}$ and then ${\displaystyle \left\ c_{m}-c_{n}\rig$ $ht\ .}$ By definition of "Cauchy sequence," $\left(c_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ is Cauchy in $H$ if and only if "the quantity" $\left\ c_{m}-c_{n}\right\$ satisfies this aforementioned condition.
^ Technically, $H=K\oplus K^{\bot }$ means that the addition map $K\times K^{\bot }\to H$ defined by $(k,p)\mapsto k+p$ is a surjective linear isomorphism and homeomorphism.자세한 내용은 보완된 하위 영역에 대한 기사를 참조하십시오.

참조

^ Petersen, Kaare. "The Matrix Cookbook" (PDF). Retrieved 9 January 2021.
^ 루딘 1991, 페이지 306–309.
^ 루딘 1991 페이지 307-309.

참고 문헌 목록

Rudin, Walter (1987). Real and Complex Analysis (Third ed.).
Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.

[2] 왜냐하면 규범 $\|\cdot \|:H\to \mathbb {R}$ : $\|\cdot \|:H\to \mathbb {R}$ → $\|\cdot \|:H\to \mathbb {R}$ ${\$ : $H\to \mathbb {R} }$ is continuous, if $\lim _{n\to \infty }x_{n}$ converges in $H$ then necessarily $\lim _{n\to \infty }\left\ x_{n}\right\$ converges in $\mathbb {R} .$ But in general, the converse is보증되지 않은However, under this theorem's hypotheses, knowing that $\lim _{n\to \infty }\left\ c_{n}\right\ =d$ in $\mathbb {R}$ is sufficient to conclude that $\lim _{n\to \infty }c_{n}$ converges in $H.$

[4] 명시적으로, 이{\displaystyle \epsilon>0}일부 정수 N을 존재하는 그;0어떤 ϵ 을 지정된다는 것을 의미하 0{\displaystyle N>0}그런"그 양"은≤ϵ{\displaystyle \,\leq \epsilon} 때마다 m, n≥ N.{\displaystyle m,n\geq N.}여기,"그 양" 있는 것은 불평등의 오른쪽 편. 2‖ cm $2\left\ c_{m}\right\ ^{2}+2\left\ c_{n}\right\ ^{2}-4d^{2}$ and later in the proof, "the quantity" will also refer to $\left\ c_{m}-c_{n}\right\ ^{2}$ and then ${\displaystyle \left\ c_{m}-c_{n}\rig$ $ht\ .}$ By definition of "Cauchy sequence," $\left(c_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ is Cauchy in $H$ if and only if "the quantity" $\left\ c_{m}-c_{n}\right\$ satisfies this aforementioned condition.

[5] Technically, $H=K\oplus K^{\bot }$ means that the addition map $K\times K^{\bot }\to H$ defined by $(k,p)\mapsto k+p$ is a surjective linear isomorphism and homeomorphism.자세한 내용은 보완된 하위 영역에 대한 기사를 참조하십시오.

[1] Petersen, Kaare. "The Matrix Cookbook" (PDF). Retrieved 9 January 2021.

[FOOTNOTERudin1991306–309-3] 루딘 1991, 페이지 306–309.

[FOOTNOTERudin1991307−309-6] 루딘 1991 페이지 307-309.

[1]

[note 1]

[note 2]

[note 3]

[3]

v t 힐베르트 공간
기본개념	조정 이너 제품 및 L-세미인너 제품 힐버트 공간과 프레힐버트 공간 직교보충제 직교 기준
주요 결과	베셀의 부등식 카우치-슈바르츠 불평등 리에즈 표현
기타 결과	힐버트 투영 정리 파르세발의 정체 양극화 정체성(병렬법)
지도	Hilbert 공간의 컴팩트 연산자 조밀하게 정의됨 에르미트 힐베르트슈미트 정상 자수성가 세실린형 트레이스 클래스 유니타리
예	K 컴팩트가 있는 Cⁿ(K) & n(으) 세갈-바르그만 F

Search

힐버트 투영 정리

네임스페이스

더

목차

유한 치수 케이스

성명서

세부적인 기초 증명

특수 케이스로 환원하여 증빙

결과들

특성.

참고 항목

메모들

참조

참고 문헌 목록