문자열 위상

수학의 한 분야인 끈 위상은 자유 루프 공간의 동질성에 관한 대수학적 구조를 연구하는 학문이다.그 필드는 모이라 차스와 데니스 설리번(1999년)에 의해 시작되었다.

동기

공간의 단일한 코호몰로지에는 항상 제품 구조가 있지만, 이것은 공간의 단일한 호몰로지에는 해당되지 않는다.그럼에도 불구하고 차원 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$의 방향 $다지관{\displaystyle }$ M ${\displaystyle$ M$}$에 대해 그러한 구조를 구축할 수 있다$.$이른바 교차로 제품이다.Intuitively, one can describe it as follows: given classes ${\displaystyle x\in H_{p}(M)}$ and ${\displaystyle y\in H_{q}(M)}$, take their product ${\displaystyle x\times y\in H_{p+q}(M\times M)}$ and make it transversal to the diagonal ${\displaysty$$le$ M$\hookrightarrow M\times$ M$\}.$ 그 다음 교차로는 ${\displaystyle H_{}}$ $p{\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle q{}_{}}$- ${\displaystyle d_{}}$( M${\displaystyle }$) ${\displaystyle H_{p+q-d}(M)}$의 클래스$,$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$}$와 y$$ ${\displaysty y}$의 교차 제품$.$ 이 구조를 엄격하게 만드는 한 가지 방법은 스트래티폴드를 사용하는 것이다.

공간의 호몰로지(homology)가 상품을 가지고 있는 또 다른 경우는 $공간{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$의 (based) 루프 공간 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Oomega$ X$}$이다$.$ 공간 자체가 상품을 가지고 있다.

$\displaystyle m\colon \Oomega X\to \Oomega X}$

첫 번째 고리를 통과하고 두 번째 고리를 통과함으로써.${\displaystyle {두\mathrm{}}^{}}$$$ 루프에는 공통점이 $없으므로$ S 1 {\$displaystyle S^{$1}부터 X {\displaystyle $X}$까지의 모든$$ ${\displaystyle 맵}$ 중$$자유 루프 $공간$ L X {\displaystyle $LX}$에 대해 유사한 제품 구조가 없다.$맵{\displaystyle }$ m ${\displaystyle m}$의 대체 항목이 맵임

${\displaystyle \gamma \colon {\rm {Map}(S^{1}\lor S^{1},M)\to LM}$

where ${\displaystyle {\rm {Map}}(S^{1}\lor S^{1},M)}$ is the subspace of ${\displaystyle LM\times LM}$, where the value of the two loops coincides at 0 and ${\displaystyle \gamma }$ is defined again by composing the loops.

차스-설리반 제품

차스-설리반 제품의 아이디어는 이제 위의 제품 구조를 결합하는 것이다.Consider two classes ${\displaystyle x\in H_{p}(LM)}$ and ${\displaystyle y\in H_{q}(LM)}$. Their product ${\displaystyle x\times y}$ lies in ${\displaystyle H_{p+q}(LM\times LM)}$. We need a map

${\displaystyle i^{!}}\colon H_{p+q}(LM\time LM)\to H_{p+q-d}({\rm {Map})({\rm{1}\lor S^{1},M)).}$

One way to construct this is to use stratifolds (or another geometric definition of homology) to do transversal intersection (after interpreting ${\displaystyle {\rm {Map}}(S^{1}\lor S^{1},M)\subset LM\times LM}$ as an inclusion of Hilbert manifolds).Another approach starts with the collapse map from ${\displaystyle LM\times LM}$ to the Thom space of the normal bundle of ${\displaystyle {\rm {Map}}(S^{1}\lor S^{1},M)}$. Composing the induced map in homology with the Thom isomorphism, we get the map we want.

$이제$ $우리$는 i를 작곡할 수 $있어!$${\displaystyle {\gamma }_{}}$${\displaystyle \gamma}$ 유도 맵을 $사용$하여$$H p${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle q_{}}$- d${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle \mathrm{LM}}$) ${\displaystyle H_{p+q-d}(LM)},$ x$\$displaysty x} $및{\displaystyle }$ $y$ ${\displaysty y}$의 차스-설리반 제품(예:$$코헨 & 존스(2002년).

언급

• 교차로 제품의 경우처럼 차스-설리반 제품에 관한 간판 규약이 서로 다르다.어떤 관습에서는, 그것은 상호 교환적인 것으로 분류되고, 어떤 관습에서는 그렇지 않다.
• $H{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle H}$을(를) h {\$displaystyle h}$과(와) 관련하여 M {\$displaystyle M}$이(가) 방향인$$ 경우$$ 다른 승법적 호몰로지 이론 $h{\displaystyle }$ ${\displaystystyle$ h$}$로 대체하면 동일한 구조가 작동한다$.$
• Furthermore, we can replace ${\displaystyle LM}$ by ${\displaystyle L^{n}M={\rm {Map}}(S^{n},M)}$. By an easy variation of the above construction, we get that ${\displaystyle {\mathcal {}}h_{*}({\rm {Map}}(N,M))}$ is a module over ${\displaystyle h_{\ast }{L}^n}$${\displaystyle }$$N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$이(가) 차원 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 다지관인 경우$$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {}h_{*}L^{n}M$$\}.$
• The Serre spectral sequence is compatible with the above algebraic structures for both the fiber bundle ${\displaystyle {\rm {ev}}\colon LM\to M}$ with fiber ${\displaystyle \Omega M}$ and the fiber bundle ${\displaystyle LE\to LB}$ for a fiber bundle ${\displaystyle E\to B}$, which is i계산에 대한 mportant(Cohen, Jones & Yan(2004) harvtxt 오류: 대상 없음: CITREFCohenJonesYan2004 (도움말)과 Meier (2010) harvtxt 오류: 대상 없음: CATEREFMeier2010 (도움말)

바탈린-빌코비스키 구조

$로테이션$에 ${\displaystyle {의한\mathrm{}}^{}}$ 동작${\displaystyle {}^{}}$S 1 × L ${\displaystyle M}$→ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S^{1}\time LM\to LM}$이 있어 지도를 유도한다.

${\displaystyle H_{}}$ ${\displaystyle {\ast }_{}}$( ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ )${\displaystyle {}^{}\otimes }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\ast }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}L}$ M${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\ast }_{}}$(${\displaystyle L}$ M ) { ( L ${\displaystyle M}$) ${\displaystyle H_{*}(S^{1})\otimes H_{*}(LM)\to H_{*}(LM$

기본 클래스${\displaystyle }$[${\displaystyle {S\mathrm{}}^{}}$ 1 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \in }$ H ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle {S\mathrm{}}^{}}$ 1${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle [S^{1}]\in H_{1}(S^{1})$를$$연결하면 운영자가 제공됨

${\displaystyle \Delta \colon H_{*}(LM)\to H_{*+1}(LM)}$

정도 1의${\displaystyle H}$ operator (${\displaystyle L{}_{}}$M$displaystyle${\mathcal${\mathcal{}}$에 바탈린-빌코비스키 대수학의 구조를 함께 형성한다는 점에서 이 연산자가 차스-술리반 제품과 잘 상호작용한다는 것을 보여줄 수 있다.$H_{*}(LM$ 이 연산자는 일반적으로 계산하기 어려운 경향이 있다.바탈린 빌코비스키 대수학의 정의는 원본에서 "사진에 의해" 확인되었다.자유 루프 공간 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle LM}$에 있는 선인장 피연산자의 작용으로 할 수 있는 덜 직접적이긴 하지만 거의 틀림없이 더 개념적인 방법. 선인장 피연산자는 프레임에 있는 작은 디스크^[2] 피연산자와 약하게 동등하며 위상학적 공간에 대한 작용은 동질학에 대한 바탈린-빌코비스키 구조를 암시한다$.$^[1][3]

현장 이론

문자열 위상(string topology)을 통해 필드 이론을 구성하려는 시도가 여러 차례 있다.기본 아이디어는 지향적인 $다지관{\displaystyle }$ M ${\displaystyle M}$을(를) 수정하고$$ $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$이(가) 들어오고 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$ 나가는$$ 경계 요소(${\displaystyle \mathrm{n}}$ ${\displaystyle \ge }$ 1 ${\displaystyn\geq 1$와 모든 표면에 연결하는 것이다.

${\displaystyle H_{*}(LM)^{\otimes p}\to H_{*}(LM)^{\otimes q}}}$

위상학적 자기장 이론의 일반적인 공리를 충족시켜 주는 것이다.차스-설리반 제품은 바지 한 벌과 관련이 있다.표면의 속성이 0보다 크면 이러한 연산은 0임을 나타낼 수 있다(Tamanoi (2010) 참조).

A more structured approach (exhibited in Godin (2008)) gives ${\displaystyle {\mathcal {}}(H_{*}(LM),H_{*}(LM))}$ the structure of a degree ${\displaystyle d}$ open-closed homological conformal field theory (HCFT) with positive boundary.이는 개방 닫힌 부분을 무시한 채 다음과 같은 구조에 해당된다. $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$은 경계선이 있는 표면으로$$, 경계 원은 수신 또는 아웃커밍으로 표시된다.$p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$이(가) 들어오고 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$이(가) 나가는 것과 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n\geq$1$\}$이(가) 있으면 작업을 실행한다.

${\displaystyle H_{*}(LM)^{\otimes p}\to H_{*}(LM)^{\otimes q}}}$

$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 매핑 클래스 그룹의 특정 왜곡된 호몰로 인해 매개 변수 지정$.$

참조

• Chas, Moira; Sullivan, Dennis (1999). "String Topology". arXiv:math/9911159v1.
• Cohen, Ralph L.; Jones, John D. S. (2002). "A homotopy theoretic realization of string topology". Mathematische Annalen. 324 (4): 773–798. arXiv:math/0107187. doi:10.1007/s00208-002-0362-0. MR 1942249. S2CID 16916132.
• 랄프 루이스 코헨, 존 D. S. 존스 및 준연, 대수적 위상에서의 범주형 분해 기법에서 구체와 투영 공간의 루프 호몰로지 대수: 2001년 6월 스코틀랜드 스카이 섬 대수 위상 국제 회의, Birkhauser, p. 77–92(2004).
• Meier, Lennart (2011). "Spectral Sequences in String Topology". Algebraic & Geometric Topology. 11 (5): 2829–2860. arXiv:1001.4906. doi:10.2140/agt.2011.11.2829. MR 2846913. S2CID 58893087.
• Godin, Véronique (2008). "Higher string topology operations". arXiv:0711.4859v2 [math.AT].
• Tamanoi, Hirotaka (2010). "Loop coproducts in string topology and triviality of higher genus TQFT operations". Journal of Pure and Applied Algebra. 214 (5): 605–615. arXiv:0706.1276. doi:10.1016/j.jpaa.2009.07.011. MR 2577666. S2CID 2147096.