코디멘션

수학에서 코디멘션은 벡터 공간의 서브스페이스, 다지관의 서브매니폴드, 대수종류의 적절한 서브셋에 적용되는 기본 기하학적 발상이다.

아핀과 투영 대수학 변종의 경우, 코디네이션은 정의 이상적 높이와 동일하다.이 때문에 이상형의 높이를 흔히 코디멘션이라고 부른다.

이중 개념은 상대적 차원이다.

정의

코디네이션은 상대적인 개념이다. 코디네이션은 오직 다른 안에 있는 하나의 대상에 대해서만 정의된다.벡터 공간의 코디네이션(격리)은 없고, 벡터 서브 공간의 코디네이션만 있다.

W가 유한 차원 벡터 공간 V의 선형 하위 공간인 경우, V에서 W의 코디네이션은 치수 간의 차이다.

${\displaystyle \operatorname {codim}(W)=\dim(V)-\dim(W)}$

그것은 W의 치수를 보완한 것으로서 W의 치수와 함께 주변 공간 V의 치수에 더해진다.

${\dimm(W)+\operatorname {codim}(W)=\dim(V)}$

마찬가지로 N이 M에서 하위 관리형 또는 하위 변수인 경우, M에서 N의 부호화형은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {codim}(N)=\dim(M)-\dim(N)}$

서브매니폴드의 치수가 접선다발의 치수(하위매니폴드에서 이동할 수 있는 치수 수)인 것처럼, 코디네이션은 정상다발의 치수(하위매니폴드에서 이동할 수 있는 치수 수)이다.

보다 일반적으로 W가 (무한한 치수) 벡터 공간 V의 선형 하위 공간이라면, V에서 W의 코디네이션은 인치 공간 V/W의 치수(무한한 크기)가 되는데, 이것은 포함의 코커넬로 더 추상적으로 알려져 있다.유한 차원 벡터 공간의 경우 이는 이전 정의와 일치한다.

${\displaystyle \operatorname {codim}(W)=\dim(V/W)=\dim \operatorname {coker}(V로)=\dim(V)-\dim(W),}$

그리고 커널의 차원으로서 상대적 차원에 이중적이다.

무한 차원 공간의 유한-고차원 하위공간은 위상 벡터 공간 연구에 유용한 경우가 많다.

코디네이션 및 치수 계산의 추가성

코디네이션의 기본 특성은 교차로에 있다: W가₁ 코디네이션 k를₁ 가지고 있고, W가₂ 코디네이션₂ k를 가지고 있다면, U가 코디네이션 j와 그들의 교차점이라면 우리는

max (k₁, k₂) ≤ j ≤ k₁ + k₂.

사실 j는 이 범위의 정수 값을 취할 수 있다.RHS는 단지 코디멘션의 합이기 때문에 이 문장은 치수의 관점에서 번역한 것보다 더 간결하다.말로써

코디멘스(대략)를 덧붙인다.

서브 스페이스 또는 서브매니폴드가 횡단적으로 교차하는 경우(일반적으로 발생하는 경우), 코디멘션은 정확히 추가된다.

이 진술은 특히 교차로 이론에서 치수 계산이라고 불린다.

이중해석

이중 공간 측면에서 치수가 추가되는 이유는 매우 분명하다.서브스페이스는 일정 수의 선형 함수가 사라짐으로써 정의될 수 있는데, 우리가 선형 독립성을 가지려면 그 수가 코드인 것이다.따라서 W를 정의하는_i 선형 함수 집합의 조합을 취함으로써 U가 정의되는 것을 알 수 있다.그 결합은 어느 정도 선형 의존성을 도입할 수 있다: j의 가능한 값은 그러한 의존성을 표현하며, RHS 합계는 의존성이 없는 경우를 의미한다.부공간을 잘라내는 데 필요한 기능의 수 측면에서 코디네이션의 정의는 주변 공간과 부공간이 모두 무한한 치수인 상황으로 확장된다.

어떤 종류의 교차로 이론의 기본인 다른 언어에서 우리는 일정한 수의 제약조건의 결합을 취하고 있다.우리는 두 가지 현상을 주의해야 한다.

1. 두 가지 제약 조건은 독립적이지 않을 수 있다.
2. 두 가지 제약 조건이 호환되지 않을 수 있다.

이들 중 첫 번째는 흔히 제약조건의 계수 원리로 표현된다: 우리가 조정할 파라미터의 숫자 N을 가지고 있고(즉, 우리는 자유도가 있다), 제약조건이 그것을 만족시키기 위해 파라미터를 '동일화'해야 한다는 것을 의미한다면, 솔루션 세트의 코드화는 최대 제약조건의 수이다.예측 코드, 즉 독립적 제약조건의 수가 N을 초과할 경우(선형대수의 경우 항상 사소한 null 벡터 솔루션이 존재하므로 이를 할인함) 해결책을 찾을 수 있을 것으로 예상하지 않는다.

두 번째는 평행선의 모델인 기하학의 문제다. 그것은 선형대수의 방법에 의한 선형문제와 투영공간의 비선형문제의 경우 복잡한 숫자분야에 걸쳐서 논의될 수 있는 것이다.

기하학적 위상

코다이멘션은 기하학적 위상에서도 어느 정도 분명한 의미를 가지고 있는데, 다지관에서는 코디멘션 1이 서브매니폴드에 의한 위상학적 단절의 치수인 반면, 코디멘션 2는 라미화와 매듭 이론의 차원이다.실제로 차원 5 이상에서 시작되는 고차원 다지관 이론은 고차원의 코디멘션 3에서 시작한다고 대안으로 말할 수 있는데, 이는 고차원의 코디멘션이 노트의 현상을 피하기 때문이다.수술 이론은 중간 치수까지 작업해야 하기 때문에 일단 5차원이 되면 중간 치수가 2보다 커 매듭을 피하게 된다.

이 quip은 허전하지 않다: 코디멘션 2에 임베딩에 대한 연구는 매듭 이론이며, 어려운 반면, 코디멘션 3 이상에 임베딩에 대한 연구는 고차원 기하학적 위상의 도구들에 부합하기 때문에 상당히 쉽다.

참고 항목

• 차동 기하학 및 위상 용어집

참조

• "Codimension", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]