삼각 타일링

삼각 타일링

유형	일반 타일링
꼭지점 구성	3.3.3.3.3.3 (또는⁶ 3)
면 구성	V6.6.6(또는 V6³)
Schléfli 기호	{3,6} {3^[3]}
Wythoff 기호	6 3 2 3 3 3 3 3 3
콕시터 다이어그램	=
대칭	p6m, [6,3], (*632)
회전 대칭	p6, [6,3]⁺, (632) p3, [3^[3]]⁺, (333)
이중	육각 타일링
특성.	정점-변환, 에지-변환, 얼굴-변환

기하학에서 삼각 타일링 또는 삼각 테셀레이션은 유클리드 평면의 세 가지 정규 기울기 중 하나이며, 구성형상이 평행고곤이 아닌 유일한 타일링이다. 정삼각형의 내부 각도가 60도이기 때문에 한 점에 있는 6개의 삼각형이 360도 전체를 차지한다. 삼각형 타일링은 {3,6}의 Schléfli 기호를 가지고 있다.

콘웨이는 이것을 그리스 문자 델타(Δ)의 삼각형 모양에서 이름을 따서 델틸이라고 부른다. 삼각형 타일링은 헥스틸의 얼굴을 대신할 중심점과 삼각형을 추가하는 키스로도 키섹스틸이라고 할 수 있다.

그것은 비행기의 세 가지 정기 기울기 중 하나이다. 나머지 두 개는 사각형 타일링과 육각형 타일링이다.

균일 배색

지리학적 다면체(geodesic polyhedron)와 관련된 2-통일 삼각형 타일링, 4색 삼각형. {3,6+}._2,0

There are 9 distinct uniform colorings of a triangular tiling. (Naming the colors by indices on the 6 triangles around a vertex: 111111, 111112, 111212, 111213, 111222, 112122, 121212, 121213, 121314) Three of them can be derived from others by repeating colors: 111212 and 111112 from 121213 by combining 1 and 3, while 111213 is reduced from 121314.^[1]

아르키메데스 색상의 한 종류인 111112(*로 표시됨)가 있는데, 이는 1 통일되지 않으며, 3분의 1마다 색칠이 되는 삼각형의 대체 행을 포함하고 있다. 표시된 예는 2-통일이지만 행의 임의 수평 이동에 의해 만들어질 수 있는 그러한 아르키메데스 색채가 무한히 많다.

111111	121212	111222	112122	111112(*)

p6m(*632)	p3m1(*333)	cmm(2*22)	p2(222)	p2(222)

121213	111212	111112	121314	111213

p31m(3*3)			p3(333)

A2 격자 및 원 패킹

세^*
₂ 개의 삼각형 기울기로 된 A 격자: + +

삼각형 타일링의 꼭지점 배열을 A 격자라₂ 한다.^[2] 그것은 직물 벌집의 2차원 케이스다.

A^*
₂ 격자(A라고도³
₂ 함)는 세 개의₂ A 격자를 모두 조합하여 구성할 수 있으며, A₂ 격자와 동등한 값을 갖는다.

+ + = 의 이중

삼각형 타일링의 정점은 가장 밀도가 높은 원 패킹의 중심이다.^[3] 모든 원은 패킹의 다른 원 6개와 접촉한다(키스 번호). 포장 밀도는 $½$ √12 또는 90.69%. 삼각형 타일링의 보로노이 세포는 육각형이기 때문에 육각형 타일링인 보로노이 테셀레이션은 원 패킹과 직접 대응된다.

기하학적 변이

삼각형 기울기는 정규 타일링(모든 꼭지점 주위에 6개의 삼각형)과 동등한 {3,6} 위상(위상)으로 만들 수 있다. 동일한 얼굴(얼굴-변환성)과 정점-변환성(정점-변환성)으로 5가지 변형이 있다. 주어진 대칭은 모든 얼굴이 동일한 색이라고 가정한다.^[4]

스칼린 삼각형
p2 대칭
스칼린 삼각형
pmg 대칭
등각 삼각형
cmm 대칭
직삼각형
cmm 대칭
정삼각형
p6m 대칭

관련 다면체 및 틸팅

평면 기울기는 다면체와 관련이 있다. 정점에 삼각형 수를 줄이면 틈이 생기고 피라미드로 접을 수 있다. 이것들은 플라토닉 고형물로 확장될 수 있다: 정점에 있는 5개의 삼각형, 4개의 삼각형, 3개의 삼각형이 각각 고드름, 8각면, 4각면체를 정의한다.

이 타일링은 위상학적으로 슐래플리 기호 {3,n}이(가) 있는 일반 폴리헤드라의 일부로서 쌍곡면으로 이어진다.

*n32 일반 틸팅의 대칭 돌연변이: {3,n} v t
구면				유클리드	콤팩트 하이퍼.		파라코.	비대칭 쌍곡선

3.3	3³	3⁴	3⁵	3⁶	3⁷	3⁸	3^∞	3¹²ⁱ	3⁹ⁱ	3⁶ⁱ	3³ⁱ

또한 표면 구성 Vn.6.6을 가진 카탈루냐 고형물의 시퀀스의 일부로서, 또한 쌍곡면으로도 계속적으로 연관되어 있다.

V3.6.6	V4.6.6	V5.6.6	V6.6.6	V7.6.6

육각 및 삼각 틸링의 와이오프 구성

획일적인 다면체처럼 일반 육각형 타일링(또는 이중 삼각형 타일링)에서 기초할 수 있는 8개의 균일한 기울기가 있다.

원래 얼굴에 붉은 색으로, 원래 정점에 노란 색으로, 그리고 원래 가장자리를 따라 파란색으로 칠해진 타일을 그리면 위상학적으로 구별되는 8개의 형태가 있다.(잘린 삼각 타일은 위상학적으로 육각 타일링과 동일하다)

균일한 육각/삼각형 틸팅
기본 도메인	대칭: [6,3], (*632)							[6,3]⁺, (632)
	{6,3}	t{6,3}	r{6,3}	t{3,6}	{3,6}	rr{6,3}	tr{6,3}	sr{6,3}


구성	6³	3.12.12	(6.3)²	6.6.6	3⁶	3.4.6.4	4.6.12	3.3.3.3.6

삼각대칭 기울기 v t
와이토프	3 3 3	3 3 3	3 3 3	3 3 3	3 3 3	3 3 3	3 3 3	3 3 3
콕시터
이미지 정점수	(3.3)³	3.6.3.6	(3.3)³	3.6.3.6	(3.3)³	3.6.3.6	6.6.6	3.3.3.3.3.3

참고 항목

참조

^ 틸팅 및 패턴, 페이지 102-107
^ "The Lattice A2".
^ 오더 인 스페이스: 디자인 소스 북, Keith Critchlow, 페이지 74-75, 패턴 1
^ 틸팅 및 패턴, 107개의 등면 틸팅 목록, 페이지 473-481
^ Coxeter, 일반 복합 폴리토페스, 페이지 111-112, 페이지 136.

Coxeter, H.S.M. 정규 폴리탑스, (제3판, 1973년), 도버판, ISBN 0-486-61480-8 페이지 296, 표 II: 일반 허니컴프
Grünbaum, Branko & Shephard, G. C. (1987). Tilings and Patterns. New York: W. H. Freeman. ISBN 0-7167-1193-1. (제2.1장: 규칙적이고 균일한 틸팅, 페이지 58-65, 제2.9장 아르키메데스 및 균일한 색상 페이지 102-107)
Williams, Robert (1979). The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. p35
존 H. 콘웨이, 하이디 버기엘, 차임 굿맨-스트라스, 2008년 사물의 대칭, ISBN 978-1-56881-220-5 [1]

외부 링크

Weisstein, Eric W. "Triangular Grid". MathWorld.
- Weisstein, Eric W. "Regular tessellation". MathWorld.
- Weisstein, Eric W. "Uniform tessellation". MathWorld.
Klitzing, Richard. "2D Euclidean tilings x3o6o - trat - O2".

v t 치수 2-9의 기본 볼록 정규 및 균일한 벌집
공간	가족	${\tilde{A}_{n-1$	${\tilde{C}_{n-1$	${\tilde{B}_{n-1$	${\tilde{D}_{n-1$	${\tilde {G}}_{2}$ ~ ${\tilde {G}}_{2}$ ${\$ G} ${\tilde {G}}_{2}$ ${\tilde {F}}_{4}$ 2}} ${\tilde {F}}_{4}$ / F ~ 4 {\ $displaystyle {\tilde{F}_{4}}$ ${\tilde {F}}_{4}$ / ${\tilde {E}}_{n-1}$ ~ ${\tilde {E}}_{n-1}$ ${\$ }
E²	균일 타일링	{3^[3]}	δ₃	Δ₃	Δ₃	육각형
E³	균일볼록 벌집	{3^[4]}	δ₄	Δ₄	Δ₄
E⁴	제복4벌집	{3^[5]}	δ₅	Δ₅	Δ₅	24셀 벌집
E⁵	제복5벌집	{3^[6]}	δ₆	Δ₆	Δ₆
E⁶	제복6벌집	{3^[7]}	δ₇	Δ₇	Δ₇	2₂₂
E⁷	제복7허니콤	{3^[8]}	δ₈	Δ₈	Δ₈	1₃₃ • 3₃₁
E⁸	제복8벌집	{3^[9]}	δ₉	Δ₉	Δ₉	1₅₂ • 2₅₁ • 5₂₁
E⁹	제복9벌집	{3^[10]}	δ₁₀	Δ₁₀	Δ₁₀
E¹⁰	제복10벌집	{3^[11]}	δ₁₁	Δ₁₁	Δ₁₁
E^n-1	제복(n-1)-벌집합	{3^[n]}	δ_n	Δ_n	Δ_n	1_k2 • 2_k1 • k₂₁

[1] 틸팅 및 패턴, 페이지 102-107

[2] "The Lattice A2".

[Critchlow-3] 오더 인 스페이스: 디자인 소스 북, Keith Critchlow, 페이지 74-75, 패턴 1

[4] 틸팅 및 패턴, 107개의 등면 틸팅 목록, 페이지 473-481

[5] Coxeter, 일반 복합 폴리토페스, 페이지 111-112, 페이지 136.

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