균일 10폴리토프

세 개의 정규 및 관련 균일한 폴리토페어의 그래프.

10차원 기하학에서, 10 폴리토프는 경계선이 9 폴리토프 면으로 구성되는 10차원 폴리토프로, 정확히 각 8 폴리토프 능선에서 만나는 그러한 면 2개가 그것이다.

균일 10 폴리토프는 정점 변환이며 균일한 면으로 구성된다.

일반 10폴리토프

일반 10폴리탑은 각 봉우리 주위에 x가 {p,q,r,s,t,u,v,w,x}인 슐레플리 기호 {p,q,r,s,t,u,v,w}로 나타낼 수 있다.

그러한 볼록한 규칙적인 10폴리탑은 정확히 세 가지가 있다.

{3,3,3,3,3,3,3,3,3,3} - 10-13x
{4,3,3,3,3,3,3,3,3} - 10-13
{3,3,3,3,3,3,3,3,3,4} - 10정식

비콘벡스 정규 10폴리탑은 없다.

오일러 특성

주어진 10 폴리토프의 위상은 베티 번호와 비틀림 계수로 정의된다.^[1]

폴리헤드라를 특성화하는 데 사용되는 오일러 특성의 값은 더 높은 차원으로 유용하게 일반화되지 않으며, 그 기본 토폴로지가 무엇이든 10 폴리토피 모두에 대해 0이다. 보다 높은 차원으로 서로 다른 위상들을 신뢰성 있게 구별하기 위한 오일러 특성의 이러한 결여는 보다 정교한 베티 숫자의 발견으로 이어졌다.^[1]

마찬가지로 다면체의 방향성 개념은 토로이드성 다면체의 표면 비틀림 특성을 나타내기에는 불충분하며, 이는 비틀림 계수를 사용하게 되었다.^[1]

기본 Coxeter 그룹에 의한 균일한 10-폴리토프

반사 대칭이 있는 균일한 10 폴리탑은 Coxeter-Dynkin 다이어그램의 링 순열로 대표되는 세 개의 Coxeter 그룹에 의해 생성될 수 있다.

#	콕시터군
1	A을₁₀	[3⁹]
2	B₁₀	[4,3⁸]
3	D₁₀	[3^7,1,1]

각 제품군에서 선택한 정규 및 균일한 10 폴리토프는 다음과 같다.

심플렉스 패밀리: A₁₀ [3⁹] -
- 그룹 다이어그램의 링 순열로 527개의 균일한 10-제목(정규 1개 포함):
  1. {3⁹} - 10-105x -
하이퍼큐브/직계 가족 : B [4₁₀,3⁸] -
- 그룹 다이어그램의 링 순열로 1023개의 균일한 10-제목(일반적인 두 개 포함):
  1. {4,3⁸} - 10-148 또는 디케락트 -
  2. {3⁸,4} - 10정형 또는 데카크로스 -
  3. h{4,3⁸} - 10-demicube.
Demihypercube D 계열₁₀: [3^7,1,1] -
- 그룹 다이어그램의 링 순열로 767개의 균일한 10-제목:
  1. 1_7,1 - 10 데미큐브 또는 데미데커액트 -
  2. 7_1,1 - 10정형 -

A가족₁₀

A₁₀ 계열은 순서 39,916,800 (11 요인)의 대칭을 가지고 있다.

1개 이상의 링이 있는 Coxeter-Dynkin 다이어그램의 모든 순열을 기준으로 512+16-1=527의 형식이 있다. 31은 모든 1개 및 2개의 링 형태와 최종 모든 링이 있는 형태다. 상호 참조를 위해 괄호 안에 Bowers 스타일의 약자 이름이 제공된다.

#	그래프	콕시터-딘킨 도표 슐레플리 기호 이름	요소 개수
#	그래프	콕시터-딘킨 도표 슐레플리 기호 이름	9시 15분	8시 15분	7시 15분	6시 15분	5시 15분	4시 15분	세포	얼굴	가장자리	정점
1		t₀{3,3,3,3,3,3,3,3,3,3} 10-6배 (ux)	11	55	165	330	462	462	330	165	55	11
2		t₁{3,3,3,3,3,3,3,3,3,3} 수리된 10-심플렉스(ru)									495	55
3		t₂{3,3,3,3,3,3,3,3,3,3} 양방향 10-심플렉스(브루)									1980	165
4		t₃{3,3,3,3,3,3,3,3,3,3} 3차 수정 10-심플렉스(tru)									4620	330
5		t₄{3,3,3,3,3,3,3,3,3,3} 4차 수정 10-심플렉스(테루)									6930	462
6		t_0,1{3,3,3,3,3,3,3,3,3,3} 잘린 10-심플렉스(tu)									550	110
7		t_0,2{3,3,3,3,3,3,3,3,3,3} 캔터링 10개									4455	495
8		t_1,2{3,3,3,3,3,3,3,3,3,3} 10-단순 비트런드									2475	495
9		t_0,3{3,3,3,3,3,3,3,3,3,3} 런케이티드 10-심플렉스									15840	1320
10		t_1,3{3,3,3,3,3,3,3,3,3,3} 바이칸텔레이트 10-심플렉스									17820	1980
11		t_2,3{3,3,3,3,3,3,3,3,3,3} 삼중수소경사 10-단순									6600	1320
12		t_0,4{3,3,3,3,3,3,3,3,3,3} 스테로이티드 10-심플렉스									32340	2310
13		t_1,4{3,3,3,3,3,3,3,3,3,3} 비룬케이트 10-심플렉스									55440	4620
14		t_2,4{3,3,3,3,3,3,3,3,3,3} 트리칸텔화 10-심플렉스									41580	4620
15		t_3,4{3,3,3,3,3,3,3,3,3,3} 사분면 10-심플렉스									11550	2310
16		t_0,5{3,3,3,3,3,3,3,3,3,3} 펜텔링된 10-심플렉스									41580	2772
17		t_1,5{3,3,3,3,3,3,3,3,3,3} 비스테이트 10-심플렉스									97020	6930
18		t_2,5{3,3,3,3,3,3,3,3,3,3} 트리룬케이트 10-심플렉스									110880	9240
19		t_3,5{3,3,3,3,3,3,3,3,3,3} 사분면 10-심플렉스									62370	6930
20		t_4,5{3,3,3,3,3,3,3,3,3,3} 5분법 10단락									13860	2772
21		t_0,6{3,3,3,3,3,3,3,3,3,3} 10단백질									34650	2310
22		t_1,6{3,3,3,3,3,3,3,3,3,3} 바이펜텔링 10-심플렉스									103950	6930
23		t_2,6{3,3,3,3,3,3,3,3,3,3} 트리스테이트 10-심플렉스									161700	11550
24		t_3,6{3,3,3,3,3,3,3,3,3,3} 쿼드리런케이트 10-심플렉스									138600	11550
25		t_0,7{3,3,3,3,3,3,3,3,3,3} 헵텔링 10단플렉스									18480	1320
26		t_1,7{3,3,3,3,3,3,3,3,3,3} 10단백질 바이에믹스									69300	4620
27		t_2,7{3,3,3,3,3,3,3,3,3,3} 트리펜텔 10-심플렉스									138600	9240
28		t_0,8{3,3,3,3,3,3,3,3,3,3} 옥텔화 10-심플렉스									5940	495
29		t_1,8{3,3,3,3,3,3,3,3,3,3} 생체흡착식 10단백질									27720	1980
30		t_0,9{3,3,3,3,3,3,3,3,3,3} 에넥티드 10-심플렉스									990	110
31		t_{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}{3,3,3,3,3,3,3,3,3,3} 옴니트룬드 10단백질									199584000	39916800

B가족₁₀

하나 이상의 링이 있는 Coxeter-Dynkin 다이어그램의 모든 순열을 바탕으로 한 1023개의 양식이 있다.

아래에는 단일링(수정) 양식 10개와 잘림 2개 등 12개 사례가 나와 있다. 상호 참조를 위해 괄호 안에 Bowers 스타일의 약자 이름이 제공된다.

#	그래프	콕시터-딘킨 도표 슐레플리 기호 이름	요소 개수
#	그래프	콕시터-딘킨 도표 슐레플리 기호 이름	9시 15분	8시 15분	7시 15분	6시 15분	5시 15분	4시 15분	세포	얼굴	가장자리	정점
1		t₀{4,3,3,3,3,3,3,3,3} 10인치(디커)	20	180	960	3360	8064	13440	15360	11520	5120	1024
2		t_0,1{4,3,3,3,3,3,3,3,3} 잘린 10-큐브(테이드)									51200	10240
3		t₁{4,3,3,3,3,3,3,3,3} 수리된 10-큐브(레이드)									46080	5120
4		t₂{4,3,3,3,3,3,3,3,3} 양방향 10-큐브(브레이드)									184320	11520
5		t₃{4,3,3,3,3,3,3,3,3} 3차 수정 10큐브(거래)									322560	15360
6		t₄{4,3,3,3,3,3,3,3,3} 4차 수정 10-큐브(terade)									322560	13440
7		t₄{3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4} 4차정형 10정형(탈형)									201600	8064
8		t₃{3,3,3,3,3,3,3,3,4} 3정형 10정형(트레이크)									80640	3360
9		t₂{3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4} 양방향 10정형(브레이크)									20160	960
10		t₁{3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4} 정류된 10정맥(레이크)									2880	180
11		t_0,1{3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4} 잘린 10정맥(테이크)									3060	360
12		t₀{3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4} 10정형(카)	1024	5120	11520	15360	13440	8064	3360	960	180	20

D가족₁₀

D₁₀ 계열은 순서 1,857,945,600(10 요인 × 2⁹)의 대칭을 가진다.

이 패밀리는 3×256-1=767 Wythoffian 균일 폴리토페스를 가지고 있으며, D₁₀ Coxeter-Dynkin 다이어그램의 하나 이상의 노드를 표시하여 생성된다. 이 중 511(2×256-1)은 B₁₀ 계열로부터 반복되고 256은 이 계열 고유의 것으로, 2는 아래 열거되어 있다. 상호 참조를 위해 괄호 안에 Bowers 스타일의 약자 이름이 제공된다.

#	그래프	콕시터-딘킨 도표 슐레플리 기호 이름	요소 개수
#	그래프	콕시터-딘킨 도표 슐레플리 기호 이름	9시 15분	8시 15분	7시 15분	6시 15분	5시 15분	4시 15분	세포	얼굴	가장자리	정점
1		10데미큐브(헤드)	532	5300	24000	64800	115584	142464	122880	61440	11520	512
2		잘린 10데미큐브(테데)									195840	23040

규칙적이고 균일한 허니컴

9-공간에서 규칙적이고 균일한 테셀레이션을 생성하는 네 가지 기본 아핀 콕시터 그룹이 있다.

#	콕시터군
1	${\tilde{A}_{9}$	[3^[10]]
2	${\tilde{B}_{9}$	[4,3⁷,4]
3	${\tilde{C}_{9}$	h[4,3⁷,4] [4,3⁶,3^1,1]
4	${\tilde{D}_{9}$	q[4,3⁷,4] [3^1,1,3⁵,3^1,1]

규칙적이고 균일한 테셀레이션은 다음을 포함한다.

일반 9-하이퍼큐빅 벌집, 기호 {4,3⁷,4},
균일 교대형 9-하이퍼큐빅 벌집(기호 h{4⁷,3,4})

규칙적이고 균일한 쌍곡선 허니컴

10위권의 콤팩트 쌍곡선 콕시터 그룹, 모든 유한한 면을 가진 벌집합을 생성할 수 있는 그룹, 그리고 유한한 꼭지점 수치는 없다. 그러나 9위에는 3개의 비콤팩트 쌍곡선 Coxeter 그룹이 있으며, 각 그룹은 Coxeter 다이어그램의 링 순열로 9-공간에서 균일한 벌집형 벌집을 생성한다.

${\bar {Q}}_{9}$ ${\bar {Q}}_{9}$ ${\$ ${\bar {Q}}_{9}$ = [3^1,1,3⁴,3^2,1]:	${\bar {S}}_{9}$ 9 ${\$ ${\bar {S}}_{9}$ = [4,3⁵,3^2,1]:	$E_{10}$ $E_{10}$ ${\$ 또는 $E_{10}$ ${\bar {T}}_{9}$ ${\bar {T}}_{9}$ ${\$ = [3^6,2,1]:

엔드링 Coxeter 다이어그램에 의해 생성된 E $E_{10}$ ${\$ 계열의 $E_{10}$ 벌집형 세 개는 다음과 같다.

참조

^ ^a ^b ^c 리치슨, D.; 오일러의 보석: 다면체 포뮬러와 토포프로지의 탄생, 2008년 프린스턴.

T. 고셋: 수학의 메신저 맥밀런, 1900년 n차원의 정규 및 반정규격 수치에 관한 연구, 1900년
A. Boole Stott: 일반 폴리토페와 공간충전에서 반정형의 기하학적 차감, 코닌클리케 아카데미 판 웨텐샤펜 폭 단위 암스테르담, 에르스테 챕티 11,1, 암스테르담, 1910
H.S.M. Coxeter:
- H.S.M. Coxeter, M. Longuet-Higgins und J.C.P. Miller: 1954년 런던 왕립학회의 철학적 거래, 통일 폴리헤드라
- H.S.M. Coxeter, 일반 폴리토페스, 제3판 도버 뉴욕, 1973년
케일리디스코어: H.S.M. Coxeter의 선별된 글, F가 편집한 글. 아서 셔크, 피터 맥멀런, 앤서니 C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Public, 1995년 ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (용지 22) H.S.M. Coxeter, 정규 및 반정규 폴리토페스 I, [산술] Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
- (용지 23) H.S.M. Coxeter, 정규 및 반정규 폴리토페스 II, [수학] Zeit. 188 (1985) 559-591]
- (용지 24) H.S.M. Coxeter, 정규 및 반정규 폴리토페스 III, [산술] Zeit. 200 (1988) 3-45]
N.W. 존슨: 균일다각체와 허니컴의 이론, 박사학위. 1966년 토론토 대학교의 논문
Klitzing, Richard. "10D uniform polytopes (polyxenna)".

외부 링크

폴리토프 이름
다양한 차원의 폴리탑, 조나단 보우어
다차원 용어집
하이퍼 스페이스 용어집, 조지 올셰프스키.

v t 치수 2-10의 기본 볼록형 일반 및 균일한 폴리토프
가족	A을_n	B_n	I₂(p) / D_n	E₆ / E₇ / E₈ / F₄ / G₂	H_n
정규 다각형	삼각형	사각형	p-곤	육각형	펜타곤
균일다면체	사면체	옥타헤드론 • 큐브	데미큐브		도데카헤드론 • 이코사헤드론
균일 폴리초론	펜타코론	16-셀 • 테세락트	데미테세락트	24셀	120 셀 • 600 셀
제복5폴리토프	5와섹스	5정형 • 5정형	5데미큐브
제복6폴리토프	6-630x	6-정통 • 6-118	6데미큐브	1₂₂ • 2₂₁
제복7폴리토프	7시 15분	7정맥 • 7정맥	7데미큐브	1₃₂ • 2₃₁ • 3₂₁
제복8폴리토프	8시 15분	8정형 • 8정형	8데미큐브	1₄₂ • 2₄₁ • 4₂₁
제복9폴리토프	9시 15분	9-정통 • 9-11	9데미큐브
균일 10폴리토프	10센트짜리	10정형 • 10정형	10데미큐브
균일 n폴리토프	n-제곱스	n-직관 • n-직관	n-데미큐브	1_k2 • 2_k1 • k₂₁	n-자갈 폴리토프
주제: 폴리토페 패밀리 • 일반 폴리토페 • 일반 폴리토페 및 화합물 목록

[richeson-1] 리치슨, D.; 오일러의 보석: 다면체 포뮬러와 토포프로지의 탄생, 2008년 프린스턴.

[1]

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목차

일반 10폴리토프

오일러 특성

기본 Coxeter 그룹에 의한 균일한 10-폴리토프

A가족₁₀

B가족₁₀

D가족₁₀

규칙적이고 균일한 허니컴

규칙적이고 균일한 쌍곡선 허니컴

참조

외부 링크


10센트짜리	잘린 10-심플렉스		수정 10-심플렉스
캔터링 10개		런케이티드 10-심플렉스
스테로이티드 10-심플렉스	펜텔링된 10-심플렉스		10단백질
헵텔링 10단플렉스	옥텔화 10-심플렉스		에넥티드 10-심플렉스
십중팔구	잘린 10정형		교정된 10정형
10시 30분	잘린 10-큐브		수정 10-큐브
10데미큐브		잘린 10데미큐브

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균일 10폴리토프

일반 10폴리토프

오일러 특성

기본 Coxeter 그룹에 의한 균일한 10-폴리토프

A가족10

B가족10

D가족10

규칙적이고 균일한 허니컴

규칙적이고 균일한 쌍곡선 허니컴

참조

외부 링크

A가족₁₀

B가족₁₀

D가족₁₀