심플렉틱 벌집

$(\displaystyle {A}}_{2})$	$(\displaystyle {A}}_{3})$
삼각 타일링	사면체-팔면체 벌집
빨간색 및 노란색 정삼각형 포함	시안 및 황색 사면체 및 적색 정류 사면체(옥타면체) 포함

기하학에서 심플렉틱 허니콤(또는 n-simplex 허니콤 ${\tilde {A}}_{n}$ 은 A ~ ${\tilde {A}}_{n}$ n $(\displaystyle$ { $A}}_{$ }) 아핀 콕서터 군 대칭에 기초한 치수 무한대 벌집 시리즈입니다.이것은 Schléfli 기호 { $3 [n+1]}$ 로 제공되며, 하나의 노드가 링된 n + 1 노드의 $순환$ $그래프$ 로 콕서터-Dynkin 다이어그램으로 표현된다.이것은 모든 정류된 n-단순과 함께 n-단순 패싯으로 구성됩니다.이는 모든 $x+y+\cdots \in \mathbb {Z}$ x + $x+y+\cdots \in \mathbb {Z}$ + $x+y+\cdots \in \mathbb {Z}$ Z $(\$ x+ $y+\cdots\in\mathbb {Z$ 를 따라 세분화된 후 하이퍼큐브 끝의 단순화가 규칙화될 때까지 주 대각선을 따라 늘어나는 n차원 하이퍼큐브 벌집이라고 생각할 수 있습니다.n-단순 벌집의 꼭지점 도형은 확장된 n-단순이다.

2차원에서 벌집 모양은 삼각형 타일을 나타내며, Coxeter 그래프는 평면을 번갈아 색칠된 삼각형으로 채웁니다.3차원에서는 콕서터 그래프로 사면체와 팔면체 셀이 번갈아 공간을 채우는 사면체-팔면체 벌집을 나타낸다.4차원에서는 5셀 및 정류된 5셀 패싯을 가진 Coxeter 그래프를 사용하여 5셀 벌집이라고 합니다.5차원에서는 5심플렉스 벌집이라고 불리며, 콕서터 그래프는 5심플렉스, 정류된 5심플렉스 및 양방향 5심플렉스 패싯으로 공간을 채웁니다.6차원에서는 Coxeter 그래프가 6-simplex로 공간을 채우고, 6-simplex로 정류된 6-simplex 및 양방향 6-simplex 패싯을 사용하여 6-simplex 벌집이라고 합니다.

차원별

n	$({displaystyle {A}}_{2+})$	테셀레이션	꼭지점 도형	정점 도형당 면수	정점 도형당 정점 수	엣지
1	$(\displaystyle {A}}_{1})$	아페이로곤		1	2	-
2	$(\displaystyle {A}}_{2})$	삼각 타일링 2파운드 벌집	육각형 (절단 삼각형)	3+3 삼각형	6	선분
3	$(\displaystyle {A}}_{3})$	사면체-팔면체 벌집 3파운드 벌집	육팔면체 (캔텔레이트된 사면체)	4+4 사면체 6 정류 사면체	12	직사각형
4	$({displaystyle {A}}_{4})$	4파운드 벌집	Runcated 5 셀	5 + 5 슬롯 10+10 정류 5기통	20	삼각 반체제
5	$({displaystyle {A}}_{5})$	5파운드 벌집	입체화 5-심플렉스	6 + 6 5 소켓x 15+15 수정 완료 5-199x 20 쌍방향 5 소켓x	30	사면체 반작용
6	$(\displaystyle {A}}_{6})$	6파운드 벌집	펜텔레이티드 6-심플렉스	7+7 6비트x 21+21 정류된 612x 35+35 양방향 6비트x	42	4169배 안티프리즘
7	$({displaystyle {A}}_{7})$	7파운드 벌집	7단독화	8+8 7비트x 28+28 정류된 7186x 56+56 양방향 712x 70(삼정위화 7186x)	56	565배 안티프리즘
8	$(\displaystyle {A}}_{8})$	8파운드 벌집	7단형 심플렉스	9+9 8비트x 36+36 수정 완료 818x 84+84 양방향 812x 126+8125×3정렬화	72	665배 안티프리즘
9	$(\displaystyle {A}}_{9})$	9파운드 벌집	옥텔레이티드 9-단순	10+10 9비트x 45+45 수정 완료912x 120+120 양방향 912x 210+210 9-1999x 252개의 4진법 9-1999x	90	7180배 안티프리즘
10	$(\displaystyle {A}}_{10})$	10파운드 벌집	엔네크레이트된 10-단순수	11+11 10-1996x 55+55 정류 10-1996x 165+165 쌍방향 10-199x 330+330 삼정형 10-199x 462+462 사배정 10~126x	110	8180x 안티프리즘
11	$(\displaystyle {A}}_{11})$	114 x 벌집	절단된 11-심플렉스	12+12 11-1996x 66+66 수정 완료 11-1996x 220+220 양방향 11-1993x 495+495 (3정렬화)11-1996x 792+792 (4진법)11-1992x 924 5방향 11-1996x	132	9169x 안티프리즘
12	$(\displaystyle {A}}_{12})$	124 x 벌집	...	...	...	...

접어서 투영

(2n-1)-단순 허니콤과 2n-단순 허니콤은 두 쌍의 거울을 서로 매핑하고 동일한 정점 배치를 공유하는 기하학적 접기 연산에 의해 n차원 하이퍼큐빅 허니콤에 투영될 수 있다.

$(\displaystyle {A}}_{2})$	$({displaystyle {A}}_{4})$	$(\displaystyle {A}}_{6})$	$(\displaystyle {A}}_{8})$	$(\displaystyle {A}}_{10})$	...
$(\displaystyle {A}}_{3})$	$(\displaystyle {A}}_{3})$	$({displaystyle {A}}_{5})$	$({displaystyle {A}}_{7})$	$(\displaystyle {A}}_{9})$	...
$(\displaystyle {C}}_{1})$	$(\displaystyle {C}}_{2})$	$(\displaystyle {C}}_{3})$	$(\displaystyle {C}}_{4})$	$(\displaystyle {C}}_{5})$	...

키스 번호

각 벌집 정점의 중심에 위치한 접선 n-space로 보이는 이러한 벌집들은 고정된 수의 접촉 구를 가지며 정점 도형의 정점 수에 대응합니다.이것은 2차원 및 3차원에서 가장 높은 키스 수를 나타내지만 더 높은 차원에서는 부족합니다.2차원에서는 삼각타일링은 정육각형으로 배열된 6개의 접선구의 원 패킹을 정의하고, 3차원에는 정육면체 형태로 배열된 12개의 접선구가 있다.4~8차원의 경우 키스수는 20구, 30구, 42구, 56구, 72구이며, 최대해는 각각 24구, 40구, 72구, 126구 및 240구이다.

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레퍼런스

George Olshevsky, Uniform Panoploid Tetracombs, Mancript(2006) (11개의 볼록 균일한 타일링, 28개의 볼록 균일한 벌집, 143개의 볼록 균일한 테트라콤의 전체 목록)
브란코 그룬바움, 3공간 균일한 타일링Geombinatorics 4(1994), 49 - 56.
Norman Johnson 유니폼 폴리토피스, 원고 (1991)
Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes, (3판, 1973년), Dover판, ISBN 0-486-61480-8
만화경: 편집자 H.S.M. 콕서터 선집.아서 셔크, 피터 맥멀런, 앤서니 CThompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Intercience Publication, 1995, ISBN978-0-471-01003-6 [1]
- (페이퍼 22) H.S.M. 콕서터, 정규 및 준정규 폴리토피스 I, [수학]Zeit.46(1940) 380-407, MR 2,10] (1.9 균일한 공간 채우기)
- (문서 24) H.S.M. 콕서터, 정규 및 반정규 폴리토피스 III, [수학]Zeit. 200 (1988) 3-45]

v t 치수 2-9의 기본 볼록 규칙적이고 균일한 벌집
공간	가족	$({displaystyle {A}}_{n-1})$	$({displaystyle {C}}_{n-1})$	$(\displaystyle {B}}_{n-1})$	$({displaystyle {D}}_{n-1})$	$($ 스타일 ${G}_{2})$ / $($ 스타일 { $F}_{4})$ / $($ 스타일 ${E}_{n-1})$
E².	균일한 타일링	{3^[3]}	δ₃	할₃ 수 있다	문제₃	육각형
E³.	균일한 볼록한 벌집	{3^[4]}	δ₄	할₄ 수 있다	문제₄
E⁴.	균일한 4-허니콤	{3^[5]}	δ₅	할₅ 수 있다	문제₅	24셀 벌집
E⁵.	균일한 5벌집	{3^[6]}	δ₆	할₆ 수 있다	문제₆
E⁶.	균일한 6벌집	{3^[7]}	δ₇	할₇ 수 있다	문제₇	2개₂₂
E⁷.	균일한 7벌집	{3^[8]}	δ₈	할₈ 수 있다	문제₈	1₃₃ • 3₃₁
E⁸.	균일한 8벌집	{3^[9]}	δ₉	할₉ 수 있다	문제₉	1₅₂ • 2₅₁ • 5₂₁
E⁹.	균일한 9벌집	{3^[10]}	δ₁₀	할₁₀ 수 있다	문제₁₀
E¹⁰.	균일한 10벌집	{3^[11]}	δ₁₁	할₁₁ 수 있다	문제₁₁
E^n-1.	균일한 (n-1)-벌집	{3^[n]}	δ_n	할_n 수 있다	문제_n	1_k2 • 2_k1 • k₂₁

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