톤네츠

Tonnetz
톤네츠의 현대식 렌더링.A단조삼각형은 짙은 청색, C단조삼각형은 짙은 빨강색이다.토러스(torus)로 해석되는 톤네츠(tonnetz)는 12개의 노드(pitches)와 24개의 삼각형(triads)을 가지고 있다.

음악적 튜닝과 조화에서 톤네츠(독일어 '톤 네트워크'용)는 1739년 레온하르트 오일러가 처음 설명한 톤 공간을 나타내는 개념 격자 도표다.[1]톤네츠의 다양한 시각적 표현은 유럽 고전 음악에서 전통적인 조화 관계를 보여주는 데 사용될 수 있다.

1900년까지의 역사

오일러스 톤네츠

톤네츠는 원래 레온하르트 오일러의 1739년 작 텐타멘 노바에 테오리아에 뮤직 e certissisisis harmen novae ex certistisis harmiae principicis dilucide expositae에 등장했다.왼쪽에서 찍은 오일러의 톤네츠(Tonnetz)는 완벽한 5번째와 주요한 3번째의 삼차 관계를 보여준다: 이미지 맨 위에 있는 것은 노트 F이고, 왼쪽 아래는 C(F 위의 완전한 5번째), 오른쪽은 A(F 위의 3번째 메이저)이다.톤네츠는 1858년 에른스트 나우만에[failed verification] 의해 재발견되었고, 1866년 아서 폰 오팅겐의 논문에서 전파되었다.오팅겐과 영향력 있는 음악학자 휴고 리만(수학자 베른하르트 리만과 혼동하지 않음)은 화음과 키 사이의 변조 사이의 조화 운동을 도표로 나타낼 수 있는 공간의 용량을 탐구했다.톤네츠에 대한 비슷한 이해는 19세기 후반 많은 독일 음악 이론가들의 작품에서 나타났다.[2]

오팅겐과 리만은 둘 다 순수한 간격을 사용하는 억양을 통해 차트의 관계를 정의하고 있다고 생각했다.하나는 톤네츠의 수평줄 중 하나를 무한정 뻗어 완벽한 5분의 1의 끝없는 순서를 형성할 수 있다: F-C-G-D-A-E-F#-C#-G#-D#-A#-E#-B#-Fx-Cx-Gx(등).F부터 시작해서 12번의 완벽한 5분의 1을 지나면 E#에 도달한다.단지 억양에 있어서 완벽한 5분의 1은 현재에 더 흔하게 사용되는 동등한 기질 튜닝 시스템에 사용되는 손상된 5분의 1보다 약간 더 크다.이것은 F에서 시작하는 12 5분의 1을 쌓을 때, 우리가 도달하는 E#는 우리가 시작했던 F에서 7 옥타브 위에 있지 않다는 것을 의미한다.따라서 오팅겐과 리만의 톤네츠는 실제로 어떠한 투구도 반복하지 않고 모든 방향으로 무한히 확장되었다.

톤네츠가 19세기 독일 이론가들에게 호소한 것은 톤의 거리와 톤의 관계를 공간적으로 표현할 수 있게 해준다는 점이었다.예를 들어, 글의 시작 부분에 있는 그래픽에 있는 어두운 파란색 A 마이너 트라이어드를 보면, A와 E 정점을 공유하는 평행한 큰 트라이어드(A-C#-E)가 바로 아래의 삼각형이다.A단조 C장조(C-E-G)의 상대 전공은 C와 E 정점을 공유하는 오른쪽 상단 인접 삼각형이다.A단조 E장조(E-G#-B)의 지배적인 3중주는 E 정점을 대각선으로 가로지르며 다른 정점을 공유하지 않는다.한 가지 중요한 점은 한 쌍의 삼각형 사이의 모든 공유 정점은 화음 사이의 공유된 피치 - 정점들이 더 많이 공유될수록 화음은 더 많은 공유된 피치를 갖게 된다는 것이다.이는 음이 바뀔 때 화음 사이의 움직임이 더 부드러워지는 것으로 간주되는 파시모닉 음성 리드선의 원리를 시각화한다.이 원리는 전통적 톤 관계를 자주 피했던 바그너와 같은 19세기 후반 작곡가의 음악을 분석하는 데 특히 중요하다.[2]

20세기 재해석

주요 기사:네오리만 이론
네오-리만 음악 이론의 PLR 연산을 단음 Q에 적용했다.

네오 리만 음악 이론가 데이비드 르윈, 브라이언 혜리 등의 최근 연구는 톤네츠를 부활시켜 음치 구조의 특성을 더욱 탐구했다.[2]현대의 음악 이론가들은 일반적으로 동등한 기질을 사용하여,[2] 그리고 피치의 옥타브 전이 구별되지 않는 피치 클래스를 사용하여 톤네츠를 구성한다.평등한 기질 아래, 앞서 언급한 끝없는 상승 5분의 연속이 순환이 된다.네오 리만 이론가들은 전형적으로 극소수 동등성을 가정하고 있다(즉, Ab = G#), 따라서 19세기 톤네츠의 2차원 평면은 그 자체로 서로 다른 두 방향으로 순환하며, 수학적으로 토루스에게 이형이다.이론가들은 수학적 집단 이론을[citation needed] 이용하여 이 새로운 순환 버전의 구조를 연구해왔다.

네오 리만 이론가들은 또한 톤네츠를 사용하여 비 톤올 삼파디드 관계를 시각화했다.예를 들어, 글의 시작 부분에 있는 도표에서 C에서 왼쪽으로 올라가는 대각선은 C-Ab-E-C의 3분의 3으로 옥타브의 구분을 형성한다. (E는 실제로 Fb이고, 최종 C는 Dbb이다.)리차드 콘은 이 세 개의 피치(C장조, Ab장조, E장조)에 구축된 일련의 트라이애드는 전통적인 기능적 조화의 개념을 사용하여 적절하게 설명할 수 없지만, 이 사이클은 부드러운 음성 유도 및 톤네츠에서 쉽게 관찰할 수 있는 다른 중요한 그룹 특성을 가지고 있다고 주장한다.[3]

다른 그래픽 시스템과의 유사성

조화[when?] 표 노트 레이아웃은 최근 개발된 음악 인터페이스로, 톤네츠와 위상적으로 동등한 노트 레이아웃을 사용한다.

싱토닉 기질의 톤네츠는 연속적인 완벽한 5분의 1의 선, 연속적인 3분의 1의 선, 그리고 연속적인 3분의 1의 선을 연결함으로써 주어진 이소모르픽 키보드에서 파생될 수 있다.[4]톤네츠 그 자체처럼 이형 키보드는 튜닝 불변형이다.싱토닉 기질의 토폴로지는 일반적으로 원통형이다.

톤네츠는 이형 키보드의 음에 맞춰 정렬했다.
동봉된 화음을 보여주는 톤네츠.대문자화된 화음('Xx')은 장음이고, 다른 화음('xx')은 소음음음이다.

톤네츠는 쇤베르크의 지역 차트의 이중 그래프로,[5] 물론 그 반대도 마찬가지다.음악적 인식에 대한 연구는 인간의 뇌가 톤의 관계를 처리하기 위해 "지역별 차트"를 사용한다는 것을 증명했다.[6]

참고 항목

참조

  1. ^ Euler, Leonhard (1739). Tentamen novae theoriae musicae ex certissismis harmoniae principiis dilucide expositae (in Latin). Saint Petersburg Academy. p. 147.
  2. ^ a b c d Cohn, Richard (1998). "Introduction to Neo-Riemannian Theory: A Survey and a Historical Perspective". Journal of Music Theory. 42 (2 Autumn): 167–180. doi:10.2307/843871. JSTOR 843871.
  3. ^ Cohn, Richard (March 1996). "Maximally Smooth Cycles, Hexatonic Systems, and the Analysis of Late-Romantic Triadic Progressions". Music Analysis. 15 (1): 9–40. doi:10.2307/854168. JSTOR 854168.
  4. ^ Milne, A.; Sethares, W. A.; Plamondon, J. (2007). "Invariant fingerings across a tuning continuum". Computer Music Journal. 31 (4 Winter): 15–32. doi:10.1162/comj.2007.31.4.15. S2CID 27906745.
  5. ^ Schoenberg, Arnold; Stein, L. (1969). Structural Functions of Harmony. New York: Norton. ISBN 978-0-393-00478-6.
  6. ^ Janata, Petr; Jeffrey L. Birk; John D. Van Horn; Marc Leman; Barbara Tillmann; Jamshed J. Bharucha (December 2002). "The Cortical Topography of Tonal Structures Underlying Western Music". Science. 298 (5601): 2167–2170. Bibcode:2002Sci...298.2167J. doi:10.1126/science.1076262. PMID 12481131. S2CID 3031759.

외부 링크