초입비

수학에서 초입자 비율(superpartic number 또는 epimoric ratio)은 2개의 연속 정수 비율이다.

특히 비율이 다음과 같은 형태를 취한다.

${\displaystyle \frac{n}{}}$${\displaystyle \frac{}{}}$+ ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$= ${\displaystyle 1}$+ 1 ${\displaystyle \frac{n}{}}$ ${\$frac $스타일 {\frac {n+1}{n$}{n$}=1+{\frac$ {$1}{n}}$ 여기서 n은 양의 정수다.

따라서 다음과 같다.

초특수란 큰 숫자가 적은 숫자를 포함하고, 그 숫자와 비교되는 동시에 그것의 한 부분을 포함하는 것을 말한다. 예를 들어, 3과 2를 비교할 때 2를 포함하고, 3은 2의 절반인 1을 더 포함한다. 3과 4를 비교했을 때 각각 3을 포함하고, 4는 3과 3의 3분의 1인 1을 더 가지고 있다. 다시 5와 4를 비교했을 때 4를 포함하고, 5는 1을 더 가지고 있는데, 이것은 4의 4번째 부분인 것이다.

— Throop (2006), ^[1]

초특량 비율은 니코마쿠스가 논문 '산술 입문'에서 쓴 것이다. 비록 이 숫자들이 현대 순수 수학에서 응용이 되지만, 이 이름으로 가장 많이 초중간 비율을 언급하는 연구 영역은 음악^[2] 이론과 수학의 역사다.^[3]

수학적 특성

Leonhard Euler가 관찰한 바와 같이, 초입자수(복수 초입자 비율도 포함, 단위 분수에 1이 아닌 정수를 추가하여 형성된 숫자)는 정확히 두 항 후에 계속되는 분수가 끝나는 합리적인 수이다. 한 항에서 지속 분수가 끝나는 숫자는 정수인 반면, 나머지 숫자는 지속 분수에 3개 이상의 항이 있는 경우 초분수적이다.^[4]

월리스 제품

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdots ={\frac {4}{3}}\cdot {\frac {16}{15}}\cdot {\frac {36}{35}}\cdots =2\cdot {\frac {8}{9}}\cdot {\frac {24}{25}}\cdot {\frac {48}{49}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}:}$

비합리적인 숫자 π을 여러 가지 면에서 초특수 비율과 그 반대들의 산물로서 나타낸다. 또한 π에 대한 라이프니즈 공식을 분자로 각 용어가 소수로서 소수, 4의 가장 가까운 배수를 분모로 하는 초특수 비율의 오일러 산물로 변환할 수도 있다.^[5]

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}={\frac {3}{4}}\cdot {\frac {5}{7}}{8}}\frac {11}{12}}}}{12}}}\frac\16\cdots}{17\cdots}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

그래프 이론에서, 초특수 숫자(또는 그들의 왕복수, 1/2, 2/3, 3/4 등)는 무한 그래프의 상위 밀도의 가능한 값으로 Erdős-Stone 정리를 통해 발생한다.^[6]

기타 응용 프로그램

조화에 관한 연구에서는 많은 음악적 간격을 초간격으로 표현할 수 있다(예를 들어 옥타브 등가성으로 인해 9/1은 초간격비 9/8로 표현할 수 있다). 실제로 비율이 초특급인지 아닌지는 프톨레마이오스가 음악적 조화를 이루는데 가장 중요한 기준이었다.^[7] 이 적용에서, Størmer의 정리는 주어진 한계에 대해 가능한 모든 초간격 숫자, 즉 분자와 분모가 모두 부드러운 숫자인 이 형식의 모든 비율을 나열하는 데 사용될 수 있다.^[2]

이러한 비율은 시각적 조화에 있어서도 중요하다. 디지털 사진에서는 4:3과 3:2의 가로 세로 비율이 일반적이며,^[8] 7:6과 5:4의 가로 세로 비율이 각각 중간 형식과 대형 형식 사진에서 사용된다.^[9]

비율 이름 및 관련 간격

인접한 양의 정수의 모든 쌍은 초특정 비율을 나타내며, 유사하게 고조파 시리즈(음악)의 모든 인접 고조파 쌍은 초특정 비율을 나타낸다. 많은 개별적인 초특정 비율들은 역사적 수학이나 음악 이론에서 그들만의 이름을 가지고 있다. 여기에는 다음이 포함된다.

예

비율	센트	이름/뮤지컬 간격	Ben Johnstonnotation 위 C	오디오
2:1	1200	이중:[a] 옥타브	C'
3:2	701.96	동음이의어:[a] 완벽한 5번째	G
4:3	498.04	sesquitertium:[a] 완벽한 4번째	F
5:4	386.31	세시콰르툼:[a] 제3장조	E
6:5	315.64	세시quintum:[a] 마이너 세 번째	E♭
7:6	266.87	소수점 이하 3위	E♭
8:7	231.17	9진수 소령 2	D-
9:8	203.91	sesquioctavum:[a] major second.	D
10:9	182.40	세스퀴노나:[a] 단조로운 음색	D-
11:10	165.00	더 큰 미해결 중성초	드♭-
12:11	150.64	덜 불변의 중성초	D↓
15:14	119.44	십진음 이음 반음	C♯
16:15	111.73	그냥 이음 반음.	D♭-
17:16	104.96	소이음 반음	C♯
21:20	84.47	9분의 1 색도 반음계	D♭
25:24	70.67	색채 반음계	C♯
28:27	62.96	9분의 3음.	D♭-
32:31	54.96	31번째 하모닉, 하등 사분음	D♭-
49:48	35.70	십진수 주사.	D♭
50:49	34.98	십진 육음	B♯-
64:63	27.26	9진수 쉼표, 부화문로63번길	C-
81:80	21.51	동의어 쉼표	C+
126:125	13.79	십진 반감	D
128:127	13.58	제127회 하화음
225:224	7.71	십진법.	B♯
256:255	6.78	제255회 하화음	D-
4375:4374	0.40	라기스마	c-

이러한 용어의 근원은 3:2의 비율을 설명하는 라틴어 sesqui- "1과 1/2" (semis "aff"와 -que "및"에서)에서 유래한다.

메모들

인용구

외부 링크

• 데이비드 캔라이트(David Canright)가 펜타톤 음계를 구성하기 위해 적용한 초특수 수치.
• 데 인스티튜트 산술가, 아니시우스 만리우스 세베리누스 보에티우스의 해방 2세