균일 타일링

기하학에서 균일한 타일링은 정점 변환의 제약으로 일반 폴리곤 면에 의한 면의 다듬기이다.

균일한 기울기는 유클리드 평면과 쌍곡면 모두에 존재할 수 있다. 균일 기울기는 구의 균일 기울기로 간주할 수 있는 유한 균일 다면체와 관련이 있다.

대부분의 균일한 기울기는 기본 영역 내부의 대칭 그룹과 단수 발전기 점으로 시작하는 와이토프 건설로부터 만들어질 수 있다. 평면 대칭 그룹은 다각형 기본 영역을 가지며 순차 정점에서의 미러 순서에 의해 표현되는 그룹 이름으로 나타낼 수 있다.

기본 도메인 삼각형은 (p q r)이고, 오른쪽 삼각형(p q 2)이며, 여기서 p, q, r은 1보다 큰 정수다. 삼각형은 p, q, r의 값에 따라 구면 삼각형, 유클리드 평면 삼각형 또는 쌍곡면 삼각형으로 존재할 수 있다.

직삼각형 도메인에 대해 수정된 Schléfli 기호로부터 이러한 그림들의 이름을 붙이는 많은 기호 체계들이 있다: (p q 2) → {p, q}. Coxeter-Dynkin 도표는 가장자리에 p, q, r 라벨이 붙어 있는 삼각형 그래프다. r = 2인 경우 순서 2 도메인 노드는 반사를 생성하지 않으므로 그래프는 선형이다. Wythoff 기호는 3개의 정수를 취하여 수직 막대( )로 구분한다. 제너레이터 포인트가 도메인 노드 반대쪽 미러에서 벗어나면 막대 앞에 주어진다.

마지막으로 기울기는 정점 구성, 즉 각 정점 주위의 다각형 순서로 설명할 수 있다.

모든 균일한 틸팅은 일반 틸팅에 적용되는 다양한 작업으로 시공할 수 있다. Norman Johnson에 의해 명명된 이러한 작업은 잘림(절단 정점), 정류(가장자리가 사라질 때까지 절삭 정점), 그리고 잘림(절단 가장자리)이라고 불린다. 전지훈련은 잘림과 알림이 결합된 수술이다. 스너빙(snubbing)은 잡종 절단 형태의 대체 절단 작업이다. (동일 다면체# 참조)자세한 내용은 와이토프 건설 사업자를 참조하십시오.)

콕시터 그룹

평면의 Coxeter 그룹은 Wythoff 구조를 정의하며 Coxeter-Dynkin 다이어그램으로 나타낼 수 있다.

다음 항목을 포함하여 정수 주문 그룹의 경우:

유클리드 평면
오비폴드 대칭	콕시터군			메모들
작은
*333	(3 3 3)	${\displaystyle {\tilde{A}_{2}}:$	[3^[3]]	반사형 3개, 스너브 1개
*442	(4 4 2)	${\displaystyle {\tilde{B}_{2}}:$	[4,4]	반사형 5개, 스너브 1개
*632	(6 3 2)	${\tilde{G}_{2}$	[6,3]	반사형 7개, 스너브 1개
*2222	(∞ 2 ∞ 2)	${\tilde {I}}_{1}$ ~ ${\tilde {I}}_{1}$ ${\$ × ${\tilde {I}}_{1}$ ${\tilde {I}}_{1}$ ~ ${\tilde {I}}_{1}$ ${\$ }	[∞,2,∞]	반사형 3개, 스너브 1개
비컴팩트(프리제)
*∞∞	(∞)	${\tilde{I}_{1}:{1$	[∞]
*22∞	(2 2 ∞)	${\tilde {I}}_{1}$ ~ ${\tilde {I}}_{1}$ ${\$ × ${\tilde {I}}_{1}$ ${\tilde {A}}_{2}$ ~ ${\tilde {A}}_{2}$ ${\$ }}	[∞,2]	반사형 2개, 스너브 1개

쌍곡면
오비폴드 대칭	콕시터군		메모들
작은
*pq2	(p q 2)	[p,q]	2(p+q) < pq
*pqr	(p q r)	[(p,q,r)]	pq+pr+pr+property < pqr
파라콤팩트
*∞p2	(p ∞ 2)	[p,pi]	p>=3
*∞pq	(p q ∞)	[(p,q,cs)]	p,q>=3, p+q>6
*화이트립	(p ∞ ∞)	[(p,p,page,properties)]	p>=3
*∞∞∞	(∞ ∞ ∞)	[(∞,∞,∞)]

유클리드 평면의 균일한 기울기

유클리드 평면에 (4 4 2), (6 3 2), (3 3 3)의 기본 삼각형으로 구성된 대칭 그룹이 있다. 각각은 평면을 기본 삼각형으로 나누는 일련의 반사선으로 표현된다.

이 대칭 그룹은 3개의 규칙적인 기울기와 7개의 반정형 기울기를 만든다. 많은 반정형 기울기는 다른 대칭 생성자에서 반복된다.

(2 2 2 2)로 대표되는 프리즘 대칭 그룹은 일반적으로 직사각형의 기본 영역을 가질 수 있는 평행 미러의 두 세트로 대표된다. 그것은 새로운 기울기를 발생시키지 않는다.

무한 기본 영역을 가진 (제2장 2)로 대표되는 추가적인 프리즘적 대칭 그룹. 그것은 두 개의 획일적인 기울기, 즉 아페이로겐 프리즘과 아페이로겐 항정신병증을 구성한다.

이 두 프리즘 틸팅의 유한 면의 적재는 평면의 비 와이토피아 유니폼 타일링 하나를 구성한다. 그것은 길이가 긴 삼각형 타일링이라고 불리며, 정사각형과 삼각형의 층이 번갈아 가며 구성되어 있다.

직각 기본 삼각형: (p q 2)

(p q 2)	자금을 마련하다. 삼각형	부모	잘림	수정됨	비트런어드	양방향으로 (iii)	알 수 있는	옴니트런어드 (칸티트런치)	스너브
와이토프 기호		q p 2	2시 15분	2p q	2p q	p Q 2	p Q 2	p Q 2	p Q 2
슐레플리 기호		{p,q}	t{p,q}	r{p,q}	2t{p,q}=t{q,p}	2r{p,q}={q,p}	rr{p,q}	tr{p,q}	sr{p,q}
콕시터 다이어그램
정점 구성.		p^q	Q.2p.2p	(p.q)²	페이지 2q.2q	q^p	페이지 4.4	4.2p.2q	3.3.p. 3.q
사각 타일링 (4 4 2)	0	{4,4}	4.8.8	4.4.4.4	4.8.8	{4,4}	4.4.4.4	4.8.8	3.3.4.3.4
육각 타일링 (6 3 2)	0	{6,3}	3.12.12	3.6.3.6	6.6.6	{3,6}	3.4.6.4	4.6.12	3.3.3.3.6

일반 기본 삼각형: (p q r)

와이토프 기호 (p q r)	자금을 마련하다. 삼각형	q p r	rq p	r p q.	r p q.	p q r	p q r	p q r	p q r
콕시터 다이어그램
정점 구성.		(p.q)^r	r.2p.q.2p	(p.r)^q	Q.2r.p. 2r.	(q.r)^p	Q.2r.p. 2r.	R.2q.p. 2q.	3.r.3.q.3.p.
삼각형 (3 3 3)	0	(3.3)³	3.6.3.6	(3.3)³	3.6.3.6	(3.3)³	3.6.3.6	6.6.6	3.3.3.3.3.3

단순하지 않은 기본 도메인

단순함이 아닌 유클리드 2-공간에서 가능한 유일한 기본 영역은 직사각형(직사각형 2㎛ 2)이며, Coxeter 다이어그램은 다음과 같다. 그것으로부터 생성된 모든 형태는 정사각형의 타일링이 된다.

쌍곡면의 균일한 기울기

쌍곡면에는 볼록 정규 다각형의 균일한 기울기가 무한히 많으며, 각각 다른 반사 대칭군(p q r)에 기초한다.

샘플링은 푸앵카레 디스크 투영과 함께 여기에 보여진다.

Coxeter-Dynkin 다이어그램은 실제로 삼각형이지만 첫 번째 노드에 연결된 후행 세그먼트 r과 함께 선형 형태로 주어진다.

새로운 형태를 생성할 수 있는 (2 2 2 2) 3으로 시작하는 4각형 기본 도메인을 가진 쌍곡면에 추가적인 대칭 그룹이 존재한다. 또한 (2.3절)과 같이 정점을 무한에 배치하는 기본 도메인도 있다.

직각 기본 삼각형: (p q 2)

(p q 2)	자금을 마련하다. 삼각형	부모	잘림	수정됨	비트런어드	양방향으로 (iii)	알 수 있는	옴니트런어드 (칸티트런치)	스너브
와이토프 기호		q p 2	2시 15분	2p q	2p q	p Q 2	p Q 2	p Q 2	p Q 2
슐레플리 기호		t{p,q}	t{p,q}	r{p,q}	2t{p,q}=t{q,p}	2r{p,q}={q,p}	rr{p,q}	tr{p,q}	sr{p,q}
콕시터 다이어그램
정점수		p^q	(q.2p.2p)	(p.q.p.q)	(p. 2q.2q)	q^p	(p. 4.q.4)	(4.2p.2q)	(3.3.p. 3.q)
(5 4 2)	V4.8.10	{5,4}	4.10.10	4.5.4.5	5.8.8	{4,5}	4.4.5.4	4.8.10	3.3.4.3.5
(5 5 2)	V4.10.10	{5,5}	5.10.10	5.5.5.5	5.10.10	{5,5}	5.4.5.4	4.10.10	3.3.5.3.5
(7 3 2)	V4.6.14	{7,3}	3.14.14	3.7.3.7	7.6.6	{3,7}	3.4.7.4	4.6.14	3.3.3.3.7
(8 3 2)	V4.6.16	{8,3}	3.16.16	3.8.3.8	8.6.6	{3,8}	3.4.8.4	4.6.16	3.3.3.3.8

일반 기본 삼각형(p q r)

와이토프 기호 (p q r)	자금을 마련하다. 삼각형	q p r	rq p	r p q.	r p q.	p q r	p q r	p q r	p q r
콕시터 다이어그램
정점수		(p.r)^q	(r.2p.q.2p)	(p.q)^r	(q.2r.p. 2r)	(q.r)^p	(r.2q.p. 2q)	(2p.2q.2r)	(3.r.3.q.3.p)
(4 3 3)	V6.6.8	(3.4)³	3.8.3.8	(3.4)³	3.6.4.6	(3.3)⁴	3.6.4.6	6.6.8	3.3.3.3.3.4
(4 4 3)	V6.8.8	(3.4)⁴	3.8.4.8	(4.4)³	3.6.4.6	(3.4)⁴	4.6.4.6	6.8.8	3.3.3.4.3.4
(4 4 4)	V8.8.8	(4.4)⁴	4.8.4.8	(4.4)⁴	4.8.4.8	(4.4)⁴	4.8.4.8	8.8.8	3.4.3.4.3.4

균일 기울기 목록 확대

균일 기울기 목록을 확장할 수 있는 여러 가지 방법이 있다.

정점 수치는 역행하는 얼굴을 가질 수 있고 정점을 한 번 이상 돌 수 있다.
별 폴리곤 타일을 포함할 수 있다.
아페이로곤, {∞}은(는) 타일링 면으로 사용할 수 있다.
기와가 가장자리에서 가장자리로 만나는 제한은 완화될 수 있어 피타고라스 타일링과 같은 추가 기울기가 가능하다.

역곡선이 있는 대칭 그룹 삼각형에는 다음이 포함된다.

(4/3 4/3 2) (6 3/2 2) (6/5 3 2) (6 6/5 3) (6 6 3/2)

무한대가 있는 대칭 그룹 삼각망에는 다음이 포함된다.

(4 4/3 ∞) (3/2 3 ∞) (6 6/5 ∞) (3 3/2 ∞)

브란코 그룬바움(Branko Grünbaum)은 1987년 저서 틸링과 패턴에서 12.3절에서 11개의 볼록 형태를 포함한 25개의 균일한 기울기 목록을 열거하고 있으며, 위의 두 확장, 즉 별 다각형 면과 정점 수치를 포함한 14개의 기울기를 더 추가했다.

H.S.M. Coxeter 외 연구진, 1954년 논문 '유니폼 폴리헤드라'의 표 8: Uniform Tesellation에서 처음 3개의 확장을 사용하고 총 38개의 균일한 기울기를 열거한다. 2개의 아페이로곤으로 만든 타일링도 계산하면 총 39개의 균일 틸팅으로 간주할 수 있다.

6개 기울기의 꼭지점은 볼록한 일반 다각형과 아페이로곤 면이다.(Wythoff 기호는 빨간색으로 주어진다.)

21개의 균일한 기울기에 대한 꼭지점 그림.

11개의 볼록한 용액 외에 공유 에지 그래프별로 그룹화된 콕시터 등이 열거한 28개의 균일한 항성 기울기가 아래에 표시되어 있다. 명확하게 하기 위해, 아페이로곤은 처음 7개의 틸팅에서 색칠되지 않으며, 그 이후에는 한 꼭지점 주변의 폴리곤만 색칠된다.

이 세트는 완전하다고 증명되지 않았다.

프리제 그룹 대칭

#^[1]	꼭지점 구성.	와이토프	대칭	메모들
I1	∞.∞		p1m1	(반면 타일 2개, 오더-2 apirogonal tiling)
I2	4.4.∞	∞ 2 2	p1m1	아페이로곤 프리즘
I3	3.3.3.∞	2 2 ∞	p11g	아페이로겐 항정신병

벽지군대칭
맥닐^[1]	그룬바움^[2]	가장자리 도표를 만들다	고체	꼭지점 구성.	와이토프	대칭
I4				4.∞.4/3.∞ 4.∞.-4.∞	4/3 4 ∞	p4m
I5				(3.∞.3.∞.3.∞)/2	3/2 3 ∞	p6m
I6				6.∞.6/5.∞ 6.∞.-6.∞	6/5 6 ∞
I7				∞.3.∞.3/2 ∞.3.∞.-3	3/2 3 ∞
1	15			3/2.12.6.12 -3.12.6.12	3/2 6 6	p6m
1	16			4.12.4/3.12/11 4.12.4/3.-12	2 6 (3/2 6/2)	p6m
2				8/3.4.8/3.∞	4 ∞ 4/3	p4m
	7			8/3.8.8/5.8/7 8/3.8.-8/3.-8	4/3 4 (4/2 ∞/2)
				8.4/3.8.∞ 8.-4.8.∞	4/3 ∞ 4
3				12/5.6.12/5.∞	6 ∞ 6/5	p6m
	21			12/5.12.12/7.12/11 12/5.12.-12/5.-12	6/5 6 (6/2 ∞/2)
				12.6/5.12.∞ 12.-6.12.∞	6/5 ∞ 6
4	18			12/5.3.12/5.6/5	3 6 6/5	p6m
	19			12/5.4.12/7.4/3 12/5.4.-12/5.-4	2 6/5 (3/2 6/2)
	17			4.3/2.4.6/5 4.-3.4.-6	3/2 6 2
5				8.8/3.∞	4/3 4 ∞	p4m
6				12.12/5.∞	6/5 6 ∞	p6m
7	6			8.4/3.8/5 4.8.-8/3	2 4/3 4	p4m
8	13			6.4/3.12/7 -6.4.12/5	2 3 6/5	p6m
9	12			12.6/5.12/7 -12.6.12/5	3 6/5 6	p6m
10	8			4.8/5.8/5 -4.8/3.8/3	2 4 4/3	p4m
11	22			12/5.12/5.3/2 12/5.12/5.-3	2 3 6/5	p6m
12	2			4.4.3/2.3/2.3/2 4.4.-3.-3.-3	비위토피아 사람	cmm
13	4			4.3/2.4.3/2.3/2 4.-3.4.-3.-3	2 4/3 4/3	p4g
14				3.4.3.4/3.3.∞ 3.4.3.-4.3.∞	4/3 4 ∞	p4g

자가이중 틸팅

The {4,4} square tiling (black) with its dual (red).

틸링은 또한 스스로 이중화 될 수 있다. 슐래플리 기호 {4,4}이(가) 있는 사각 타일링은 자체 이중이며, 여기에 표시된 것은 서로 이중으로 된 두 개의 사각 틸팅(빨간색 및 검은색)이다.

항성 다각형을 사용한 균일한 기울기

이 예에서 4.8^*
_π/8.4^**
_π/4.8은^*
_π/4 큰 사각형 때문에 가장자리가 아닌 것으로 간주되지만 콜린어 가장자리가 쌍으로 이루어진 별 폴리곤으로 해석될 수 있다.

항성 다각형을 변이 2배 많은 비콘벡스 다각형으로 보면 항성 다각형이 가능하고, 이를 일반 다각형으로 세면 균일한 타일링이 가능하다. 이러한 다각형은 외부 이음각 α를 갖는 동위원소 비콘벡스 2N곤에 대해 {N_α}이라는 레이블이 붙는다. 그것의 외부 정점은 N^*
_α, 내부 N으로^**
_α 표시된다. 정의로 확장하려면 폴리곤이 2개만 있는 모서리는 정점으로 간주되지 않아야 한다. 타일링은 모든 꼭지점 주위의 볼록 및 비콘벡스 다각형의 주기적 시퀀스로써 그것의 꼭지점 구성에 의해 정의된다. 조정 가능한 각도 α를 가진 4개의 균일한 틸팅과 특정 각도에서만 작동하는 18개의 균일한 틸팅이 있다.^[3]

이 모든 기울기는 2-밸런스 정점이 무시되고 사각면이 디곤으로 되어 하나의 가장자리로 축소되는 볼록한 일반 폴리곤을 가진 일반적인 균일 기울기와 위상적으로 관련되어 있다.

항성 다각형이 있는 4개의 균일한 틸팅, 각도 α
3.6^* _α.6^** _α 위상학 3.12.12	4.4^* _α.4^** _α 위상학 4.8.8	6.3^* _α.3^** _α 위상학 6.6.6	3.3^* _α.3.3^** _α 위상학 3.6.3.6

항성 다각형이 있는 17개의 제복 틸팅
4.6.4^* _π/6.6 위상학 4.4.4.4	(8.4^* _π/4)² 위상학 4.4.4.4	12.12.4^* _π/3 위상학 4.8.8	3.3.8^* _π/12.4^** _π/3.8^* _π/12 위상학 4.8.8	3.3.8^* _π/12.3.4.3.8^* _π/12 위상학 4.8.8	3.4.8.3.8^* _π/12 위상학 4.8.8
5.5.4^* _4π/10.5.4^* _π/10 위상학 3.3.4.3.4	4.6^* _π/6.6^** _π/2.6^* _π/6 위상학 6.6.6	(4.6^* _π/6)³ 위상학 6.6.6	9.9.6^* _4π/9 위상학 6.6.6	(6.6^* _π/3)² 위상학 3.6.3.6	(12.3^* _π/6)² 위상학 3.6.3.6
3.4.6.3.12^* _π/6 위상학 4.6.12	3.3.3.12^* _π/6.3.3.12^* _π/6 위상학 3.12.12	18.18.3^* _2π/9 위상학 3.12.12	3.6.6^* _π/3.6 위상학 3.4.6.4	8.3^* _π/12.8.6^* _5π/12 위상학 3.4.6.4	9.3.9.3^* _π/9 위상학 3.6.3.6

다각형을 교대로 사용한 균일한 기울기

{p_α} 형식의 별 다각형은 두 각도가 교차하는 볼록 2p-곤을 나타낼 수도 있는데, 가장 간단한 것은 광맥버스 {2_α}이다. 이를 일반 다각형으로 허용하면 아래 예와 같이 더 균일한 기울기가 생성된다.

예
3.2.6.2* 위상학 3.4.6.4	4.4.4.4 위상학 4.4.4.4	(2^* _π/6.2^** _π/3)² 위상학 4.4.4.4	2^* _π/6.2^* _π/6.2^ _π/3.2^ _π/3 위상학 4.4.4.4	4.2^* _π/6.4.2^** _π/3 위상학 4.4.4.4

참고 항목

참조

^ ^a ^b 짐 맥닐
^ 타일 및 패턴, 표 12.3.1 페이지 640
^ 틸링과 패턴 브란코 그뤼엔바움, G.C. 셰퍼드, 1987. 2.5 틸링 별 폴리곤, pp.82-85.

Norman JohnsonUniform Polytopes, 원고(1991)
- N.W. 존슨: 균일다각체와 허니컴의 이론, 박사학위. 1966년 토론토 대학교의 논문
Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (1987). Tilings and Patterns. W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-1193-1. (별도 기울기 섹션 12.3)
H. S. M. Coxeter, M. S. Longuet-Higgins, J. C. P. Miller, Uniform Polyedra, Phil. Trans. 1954, 246 A, 401–50 JSTOR 91532(표 8)

외부 링크

v t 치수 2-9의 기본 볼록 정규 및 균일한 벌집
공간	가족	${\tilde{A}_{n-1$	${\tilde{C}_{n-1$	${\tilde{B}_{n-1$	${\tilde{D}_{n-1$	${\tilde {G}}_{2}$ ~ ${\tilde {G}}_{2}$ ${\$ G} ${\tilde {G}}_{2}$ ${\tilde {F}}_{4}$ 2}} ${\tilde {F}}_{4}$ / F ~ 4 {\ $displaystyle {\tilde{F}_{4}}$ ${\tilde {F}}_{4}$ / ${\tilde {E}}_{n-1}$ ~ ${\tilde {E}}_{n-1}$ ${\$ }
E²	균일 타일링	{3^[3]}	δ₃	Δ₃	Δ₃	육각형
E³	균일볼록 벌집	{3^[4]}	δ₄	Δ₄	Δ₄
E⁴	제복4벌집	{3^[5]}	δ₅	Δ₅	Δ₅	24셀 벌집
E⁵	제복5벌집	{3^[6]}	δ₆	Δ₆	Δ₆
E⁶	제복6벌집	{3^[7]}	δ₇	Δ₇	Δ₇	2₂₂
E⁷	제복7허니콤	{3^[8]}	δ₈	Δ₈	Δ₈	1₃₃ • 3₃₁
E⁸	제복8벌집	{3^[9]}	δ₉	Δ₉	Δ₉	1₅₂ • 2₅₁ • 5₂₁
E⁹	제복9벌집	{3^[10]}	δ₁₀	Δ₁₀	Δ₁₀
E¹⁰	제복10벌집	{3^[11]}	δ₁₁	Δ₁₁	Δ₁₁
E^n-1	제복(n-1)-벌집합	{3^[n]}	δ_n	Δ_n	Δ_n	1_k2 • 2_k1 • k₂₁

[mcneill-1] 짐 맥닐

[2] 타일 및 패턴, 표 12.3.1 페이지 640

[3] 틸링과 패턴 브란코 그뤼엔바움, G.C. 셰퍼드, 1987. 2.5 틸링 별 폴리곤, pp.82-85.

[1]

[2]

[3]

Search