잘림(지오메트리)

Truncation (geometry)
Regular polygon truncation 4 1.svg
잘린 정사각형은 정규 8각형:
t{4} = {8}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.png = CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.png 		Truncated hexahedron.png
잘린 큐브
t{4,3} 또는 		Truncated cubic honeycomb1.jpg
잘린 입방형 벌집
t{4,3,4} 또는

기하학에서 잘림이란 폴리토프 정점을 자르는 모든 차원의 작업을 말하며, 각 정점 대신 새로운 면을 만든다. 이 용어는 케플러의 아르키메데스 고형물 이름에서 유래되었다.

균일 절단

일반적으로 모든 다면체(또는 다면체)는 콘웨이 다면체 표기법 절단 작업에서와 같이 절단 깊이에 대한 자유도로 절단할 수 있다.

일반적으로 암시되는 특별한 종류의 잘림은 균일한 잘림이며, 가장자리 길이가 동일한 결과 균일한 다면체(또는 일반 다면체)를 생성하는 일반 다면체(또는 일반 다면체)에 적용되는 잘림 연산자다. 자유도는 없으며, 일반 다면체처럼 고정된 기하학을 나타낸다.

일반적으로 모든 단일 링으로 된 균일한 폴리에스테르는 균일한 잘림을 가지고 있다. For example, the icosidodecahedron, represented as Schläfli symbols r{5,3} or , and Coxeter-Dynkin diagram CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png or CDel node 1.pngCDel split1-53.pngCDel nodes.png has a uniform truncation, the truncated icosidodecahedron, represented as tr{5,3} or . Coxeter-Dynkin 다이어그램에서 잘림 효과는 링이 있는 노드에 인접한 모든 노드에 링을 거는 것이다.

일반 삼각형 타일링 {3,6}에 대해 균일한 절단 작업을 수행하면 일반 육각 타일링 {6,3}이(가) 발생한다.

다각형 절단

잘린 n면 다각형은 2n면(에지)을 갖는다. 균일하게 잘린 일반 다각형은 또 다른 일반 다각형이 될 것이다. t{n}는 {2n}이다. 완전한 절단(또는 정류) r{3}은 이중 위치의 또 다른 일반 다각형이다.

일반 다각형은 Coxeter-Dynkin 도표, , 그리고 그것의 균일한 잘림, 그리고 그것의 완전한 잘림으로도 표현될 수 있다. 그래프는 Coxeter 그룹 I2(n)을 나타내며, 각 노드는 거울을 나타내며, 가장자리는 거울 사이의 각도 //n을 나타내며, 원은 거울 하나 또는 두 거울 둘레에 주어져 어떤 것이 활성 상태인지 보여준다.

삼각형의 모수 잘라내기
Regular truncation 3 0.0.svg
{3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png 		Regular truncation 3 0.2.svg Regular truncation 3 0.333.svg
t{3} = {6}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png 		Regular truncation 3 0.45.svg Regular truncation 3 0.5.svg
r{3} = {3}
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png

항성 다각형도 잘릴 수 있다. 잘린 펜타그램 {5/2}은(는) 펜타곤처럼 보이지만 실제로는 두 세트의 중첩 정점과 가장자리가 있는 이중 덮개(디제너레이션) 디카곤({10/2})이다. 잘린 위대한 헵타그램 {7/3}은(는) 테트라데카그램 {14/3}을(를) 제공한다.

일반 다면체 및 틸팅 이상의 균일한 절단

정류할 수 없는 큐브 절단

플라토닉 고형물이나 일반 기울기에 '트런케이션'을 적용하면 대개 '통일형 잘림'이 암시되는데, 이는 원래 얼굴이 원래 형태보다 두 배나 많은 면의 일반 다각형이 될 때까지 잘라내는 것을 의미한다.

Cube truncation sequence.svg

이 시퀀스는 전체 큐브와 수정된 큐브 사이의 연속적인 잘라내기 프로세스의 네 단계를 사용하여 큐브 잘라내기 예를 보여준다. 마지막 다면체는 큐옥타면체다. 가운데 이미지는 균일하게 잘린 큐브로서, 슐래플리 기호 t{p,q,...}로 표현된다.

비트 러닝은 원래 가장자리는 모두 제거하지만 원래 면의 내부 부분은 남겨두는 더 깊은 잘림이다. 예: 잘린 옥타헤드론은 비트롤링된 큐브: t{3,4} = 2t{4,3}.

양방향이라고 불리는 완전한 비트런징은 원래 얼굴을 포인트로 축소시킨다. 다면체의 경우, 이것은 이중 다면체가 된다. 예제: 8진법은 큐브를 양방향으로 사용하는 것이다: {3,4} = 2r{4,3}.

또 다른 형태의 잘라내기, 가장자리와 꼭지점을 잘라내고, 원래 가장자리를 제거하고, 직사각형으로 교체하고, 원래 꼭지점을 제거하고, 원래의 일반 다면이나 타일링의 이중 면으로 대체한다.

고차원의 폴리탑은 더 높은 절단을 가지고 있다. 런캐인팅은 면, 모서리 및 정점을 절단한다. 5차원에서는 스테로이션이 세포, 얼굴, 가장자리를 자른다.

에지-트런케이션

큐브 가장자리 잘라내기, 모따기 큐브 만들기

에지-트런케이션은 다면체의 베벨링 또는 채퍼로, 음영과 유사하지만 원래 정점을 유지하고 가장자리를 육각형으로 대체한다. 4-폴리토프에서, 가장자리-활주는 가장자리를 길쭉한 두피라미드 셀로 대체한다.

교대 또는 부분 절단

잘린 큐보타헤드론의 균일한 교대로 균일하지 않은 스너브 큐브가 생긴다.

교대 또는 부분 절단은 원래 정점 중 일부만 제거한다.

부분 절단 또는 교대에서는 정점과 연결 가장자리의 절반이 완전히 제거된다. 수술은 면이 고른 폴리탑에만 적용된다. 얼굴은 면의 절반으로 줄어들고, 사각면은 가장자리로 변한다. 예를 들어, 4면체는 대체 큐브, h{4,3}이다.

감소는 다른 정점을 방해하지 않고 하나 이상의 정점, 가장자리 또는 폴리토프의 면들을 제거하기 위해 존슨 고형물에 관하여 사용되는 보다 일반적인 용어다. 예를 들어 삼두면체(삼두면체)는 정점 3개가 제거된 일반 이두면체로 시작한다.

다른 부분 절단은 대칭 기반이다. 예를 들어 사면체 감소 도면체.

일반화된 잘라내기

빨간색 및 파란색 정점이 있는 큰 다각형 또는 다면체에서 분리된 가장자리에 표시되는 잘라내기 유형. 가장자리가 완전히 잘린 후 방향을 반대로 바꾼다.

선형 자르기 프로세스는 음수이거나 가장자리의 중간점을 넘어 스스로 교차하는 항성 다면체를 유발하는 파라메트릭 절단을 허용하여 일반 항성 다면체 및 균일한 항성 다면체 일부와 파라메트릭적으로 관련될 수 있다.

  • 얕은 잘림 - 가장자리는 길이가 줄어들고 면은 두 배나 많은 면으로 잘리며, 새로운 면은 이전 정점을 중심으로 형성된다.
  • 균일 자르기는 가장자리 길이가 같은 특별한 경우다. 정사각형 면이 옥타곤이 되는 잘린 정육면체 t{4,3}, 새로운 삼각형 면이 정점이다.
  • 반대편(Anterruntation) 역방향 얕은 잘림, 안쪽으로가 아니라 원래 가장자리에서 바깥쪽으로 잘림. 이렇게 되면 폴리토프는 원래처럼 보이지만, 이중의 일부가 자신의 모서리에 이중 절삭되는 대신 모서리에 매달려 있게 된다.
  • 전체 절단 또는 수리 - 가장자리가 점으로 축소되는 얕은 절단 한계. 큐옥타헤드론, r{4,3}이 그 예다.
  • 비대칭(Advrunation) 정정을 지나 원래의 가장자리를 뒤엎고 자기 절절이 나타나게 하는 형태의 잘림.
  • Quasitrunation(Quasitrunation) 반전된 가장자리가 원래 가장자리보다 길어지는 비대화보다 훨씬 더 멀리 가는 잘림 형태. 모든 얼굴들을 역행(즉, 꼭지점 주위를 거꾸로 도는 것)으로 처리함으로써 원래의 폴리토프에서 생성될 수 있다. 예를 들어 사각형을 퀘이스트런코팅하면 정규 옥타그램(t{4,3}={8/3})이 제공되며, 큐브에 퀘이스트런코팅하면 균일한 스텔링된 육면체, t{4/3,3}이 제공된다.
사각형의 잘라내기
Types of truncation on square4.png
정사각형의 잘라내기 유형, {4}, 빨간색 원래 가장자리 표시 및 청록색에 새 잘린 가장자리 표시. 균일하게 잘린 정사각형은 정규 팔각형, t{4}={8}. 완전히 잘린 정사각형은 대각선 방향의 새로운 정사각형이 된다. 정점은 1-4의 시계 반대 방향으로 배열되며, 정점 쌍은 a와 b로 잘린다.
큐브의 잘라내기
Cube truncation 3.75.png
⇨ taC 		Cube truncation 0.00.png
큐브
{4,3}C 		Cube truncation 0.25.png
⇨ tC 		Cube truncation 0.50.png
잘림
t{4,3}tC 		Cube truncation 0.75.png
⇨ tC 		Cube truncation 1.00.png
잘라내기 완료
r{4,3}AC 		Cube truncation 1.25.png
⇩ thC
Cube truncation 3.50.png
반독점 tCa 		Cube truncation 1.50.png
비대화 tCh
Cube truncation 3.25.png
⇧ taC 		Cube truncation 3.00.png
쿼리 완료
ACq 		Cube truncation 2.75.png
⇦ 		Cube truncation 2.50.png
퀘이시트런지화
t{4/3,3}tqC 		Cube truncation 2.25.png
⇦ tqC 		Cube truncation 2.00.png
완전 비대화 ACh 		Cube truncation 1.75.png
⇦ thC

참고 항목

참조

  • Coxeter, H.S.M. 정규 폴리토페스, (3판, 1973), Dover 에디션, ISBN0-486-61480-8 (pp. 145–154 제8장: 절단)
  • Norman JohnsonUniform Polytopes, 원고(1991)
    • N.W. 존슨: 균일다각체와 허니컴의 이론, 박사학위. 1966년 토론토 대학교의 논문

외부 링크

다면체 연산자
씨앗 잘림 정류 비트런지화 이중 팽창 잡식성 교대
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node n1.pngCDel q.pngCDel node n2.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel q.pngCDel node h.png CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel q.pngCDel node h.png
Uniform polyhedron-43-t0.svg Uniform polyhedron-43-t01.svg Uniform polyhedron-43-t1.svg Uniform polyhedron-43-t12.svg Uniform polyhedron-43-t2.svg Uniform polyhedron-43-t02.png Uniform polyhedron-43-t012.png Uniform polyhedron-33-t0.png Uniform polyhedron-43-h01.svg Uniform polyhedron-43-s012.png
t0{p,q}
{p,q} 		t01{p,q}
t{p,q} 		t1{p,q}
r{p,q} 		t12{p,q}
2t{p,q} 		t2{p,q}
2r{p,q} 		t02{p,q}
rr{p,q} 		t012{p,q}
tr{p,q} 		ht0{p,q}
h{q,p} 		ht12{p,q}
s{q,p} 		ht012{p,q}
sr{p,q}