구형좌표계

Spherical coordinate system
물리학에서 일반적으로 사용되는 구형 좌표(r, φ, φ) : 방사상 거리 r(원점까지의 거리), 극각 θ(theta) (극축에 대한 각도), 방위각 φ(phi) (초기 자오선 평면으로부터의 회전 각도) 기호 ρ (rho)는 r 대신 자주 사용된다.
수학에서 흔히 사용되는 구형 좌표(r, φ, φ) : 방사상 거리 r, 방위각 θ, 극각 φ. θφ의 의미는 물리학 규약에 비해 교환되어 왔다. 물리학과 마찬가지로 원통형 및 2D 극좌표에서 r 과의 혼동을 피하기 위해 r 대신 ρ(rho)를 사용하는 경우가 많다.
수학 규약에서 단위 구에 대한 점 P의 반지름 거리, 극각 및 방위각을 나타내는 지구. 이 이미지에서 r은 4/6이고, θ은 90°, φ은 30°이다.

수학에서 구면 좌표계는 점의 위치가 고정된 원점에서 그 점의 반지름 거리, 고정된 정점 방향에서 측정한 극각, 그리고 파를 이루는 기준면에서 직교 투영방위각 등 세 개의 숫자로 지정되는 3차원 공간좌표계다.ss를 통해 해당 평면의 고정된 기준 방향에서 측정된 정점에 직교한다. 극좌표계의 입체적인 버전으로 볼 수 있다.

반지름 거리는 반지름 또는 반지름 좌표라고도 한다. 극각은 콜로티도, 절정각, 정상각 또는 경사각이라고 할 수 있다.

기호의 사용과 좌표의 순서는 출처와 분야마다 다르다. 이 글에서는 물리학에서 자주 접하는 ISO 규약을[1] 사용한다: ( , ,) 은 방사상 거리, 극각 및 방위각도를 제공한다. 많은 수학책에서 ( , ) 또는( r ,\은 radial distance, φ의 뜻을 바꾸어 준다. z축으로부터의 반지름에 r과 같은 다른 규약도 사용되기 때문에 기호의 의미를 확인하는 데 큰 주의가 필요하다.

지리적 좌표계의 관례에 따라 위도, 경도, 높이(고도)로 위치를 측정한다. 다양한 좌표에 대한 다른 항과 다른 기본 평면에 기초한 다수의 천체 좌표계가 있다. 수학에 사용되는 구형 좌표계에서는 일반적으로 도보다는 라디안을 사용하고 북쪽(0°)에서 동쪽(+90°)까지 시계방향 대신 x축에서 y축까지 시계 반대방향으로 방위각을 측정한다. 수평 좌표계처럼.[2] 극각은 흔히 기준면에서 측정한 표고각으로 대체하여 표고각 0이 수평선에 오도록 한다.

구형 좌표계는 2차원 극좌표계를 일반화한다. 고차원 공간으로도 확장될 수 있으며, 이를 초심 좌표계라고 한다.

정의

구형 좌표계를 정의하려면 두 개의 직교 방향, 즉 정점방위 참조와 공간의 원점을 선택해야 한다. 이러한 선택은 원점을 포함하고 정점에 수직인 기준면을 결정한다.P의 구형 좌표는 다음과 같이 정의된다.

  • 반경 또는 방사상 거리는 원점 O에서 P까지의 유클리드 거리다.
  • 기울기(또는 극각)는 정점 방향과 선 세그먼트 OP 사이의 각도다.
  • 방위각(또는 방위각)은 방위각 기준 방향에서 기준면에 있는 선 세그먼트 OP의 직교 투영까지 측정한 부호각이다.

방위각의 기호는 무엇이 정점을 도는 긍정적인 감각인지를 선택함으로써 결정된다. 이 선택은 임의적이며 좌표계의 정의의 일부분이다.

입면각은 90도 (π/2 라디안)에서 기울기 각도를 뺀다.

기울기가 0도 또는 180도(반복 라디안)일 경우 방위각은 임의적이다. 반경이 0이면 방위각과 기울기가 모두 임의로 된다.

선형대수학에서는 원점 O에서 점 P까지의 벡터를 흔히 P위치 벡터라고 부른다.

관습

세 개의 좌표를 나타내기 위해 그리고 그것들이 작성되어야 하는 순서를 위해 몇 가지 다른 규약이 존재한다. 각각 방사상 거리, 경사(또는 고도) 및 방위각을 나타내기 위해 , ,\을 사용하는 것은 물리학의 일반적인 관례로서 ISO 표준 80000-2:2019ISO 31-11(1992년)의 이전 버전에서 지정된다.

그러나 일부 저자들(수학자 포함)은 반경 거리에는 ρ, 경사(또는 고도)에는 φ, 방위각에는 θ, z축으로부터의 반경에 r을 사용하며, 이는 "일반적인 극좌표 표기법의 논리적 확장"을 제공한다.[3] 일부 저자는 또한 기울기(또는 고도) 이전의 방위각을 열거할 수도 있다. 이러한 선택의 일부 조합은 좌표계를 초래한다. 표준 규약 , , ) 은 방위각에서 θ을 자주 사용하는 2차원 극좌표 및 3차원 원통 좌표에 대한 통상적인 표기법과 충돌한다.[3]

각도는 일반적으로 (°) 또는 라디안(radian)으로 측정되며, 여기서 360° = 2π rad이다. 학위는 지리, 천문학, 공학에서 가장 흔한 반면, 라디안은 수학, 이론 물리학에서 흔히 사용된다. 방사상 거리 단위는 대개 문맥에 의해 결정된다.

이 시스템을 물리적 3공간으로 사용할 경우, 기준면의 기준 방향에서 시계 반대방향으로 측정되는 방위각에는 평면의 정점면에서 볼 수 있는 양의 기호를 사용하는 것이 관례다. 특히 "zenith" 방향이 북쪽이고 포지티브 방위각(경도) 각도가 일부 원주 자오선으로부터 동쪽으로 측정되는 지리적 좌표에 이 관례가 사용된다.

주요 협약
좌표 해당 지역 지리적 방향
(Z, X, Y)
오른손/왼손으로
(r, θinc, φaz,right) (U, S, E) 맞다
(r, φaz,right, θel) (U, E, N) 맞다
(r, θel, φaz,right) (U, N, E) 남겨진
참고: Easting(E), Northing(N), 상향(U) 국부 방위각은 예를 들어 (U, S, E)의 경우 S에서 E까지 시계 반대방향으로 측정된다.

고유좌표

모든 구형 좌표 트리플트 ) 은 3차원 공간의 단일 지점을 지정한다. 반면에 모든 점에는 등가 구면 좌표가 무한히 많다. 각도를 스스로 바꾸지 않고, 따라서 점을 바꾸지 않고 어느 한 각도 측정치에서든 전체 회전 수를 추가하거나 뺄 수 있다. 또한 (- ) (가) 모든 r, and, θ, φ에 대해( \) 과 동등하다는 관습과 함께 음의 방사상 거리를 허용하는 것도 여러 맥락에서 편리하다. 더구나( ,- ,) θ, + ), 과 같다

각 점에 대해 고유한 구면 좌표 세트를 정의할 필요가 있을 경우, 그 범위를 제한해야 한다. 일반적인 선택은

r ≥ 0,
0° ≤ θ ° 180°(π rad, rad, rad, rad, rad)
0° ≤ φ < < 360° (2π rad)).

그러나 방위각 φ [0, 360도] 대신 라디안 단위로 (-180°, +180°], (-180°, +180°), 또는 (-180, +180°)로 제한되는 경우가 많다. 이것은 지리적 경도의 표준 규약이다.

범위 [0°, 180°] 경사가 [-90°, +90°]에 해당함 입면(입면)을 위해

이러한 제한에도 불구하고 θ이 0° 또는 180°인 경우(경사는 90° 또는 -90°) 방위각은 임의적이며, r이 0이면 방위각과 경사/경사 모두 임의적이다. 좌표를 고유하게 만들기 위해 이 경우 임의 좌표가 0이라는 규약을 사용할 수 있다.

플로팅

구면 좌표(r, θ, φ)에서 점을 그리려면(r, θ, φ) 여기서 θ은 원점에서 정점 방향으로 r단위를 이동하고 az으로 방위 기준 방향으로 회전하며, φ은 정점에 대해 적절한 방향으로 회전한다.

적용들

평면에서도 2차원 데카르트 좌표계가 유용하듯이 구면에서도 2차원 구면 좌표계가 유용하다. 이 체계에서는 구를 단위 구로서 취하므로 반지름은 통일성이므로 일반적으로 무시할 수 있다. 이러한 단순화는 회전 행렬과 같은 물체를 다룰 때도 매우 유용할 수 있다.

구형 좌표는 구체 내부의 볼륨 통합, 집중된 질량이나 충전을 둘러싼 잠재적 에너지장 또는 행성의 대기 중 지구 기후 시뮬레이션과 같이 한 점에 대해 어느 정도 대칭이 있는 시스템을 분석하는 데 유용하다. 데카르트 방정식 x2 + y2 + z2 = c2 있는 구면에는 구면 좌표에 단순 방정식 r = c가 있다.

많은 물리적 문제에서 발생하는 두 가지 중요한 부분 미분 방정식라플레이스의 방정식헬름홀츠 방정식은 구면 좌표에서 변수의 분리를 허용한다. 그러한 방정식에 대한 용액의 각도 부분은 구형 고조파 형태를 취한다.

또 다른 용도는 인체공학적 설계로, 여기서 r은 정지된 사람의 팔 길이이며 각도는 팔을 뻗을 때의 방향을 설명한다.

6개 주파수에서 구면 극성도를 이용한 산업용 확성기의 출력 패턴

확성기 출력 패턴의 3차원 모델링을 사용하여 성능을 예측할 수 있다. 주파수에 따라 패턴이 크게 변화하기 때문에 넓은 주파수 선택에서 여러 극성도가 필요하다. 극성 플롯은 많은 확성기가 낮은 주파수에서 전방향성을 지향한다는 것을 보여주는 데 도움이 된다.

구면 좌표계는 3D 게임 개발에서도 흔히 사용되며, 카메라를 플레이어의 위치[citation needed] 중심으로 회전시킨다.

지리학에서는

첫 번째 근사치에 대해 지리적 좌표계-90° φ 90° 범위에서 적도 평면의 북쪽 도에 경사각(위도)을 사용한다. 위도는 지구 중심에서 측정되고 ψ, q, q, φc, φg 또는 측지 위도에 의해 다양하게 지정되며 관찰자의 국부 수직으로 측정되며 일반적으로 지정된 φ이다. 극각은 위도를 뺀 90도, 범위는 0~180도인 것으로 지리학에서는 colatitude라고 한다.

일반적으로 λ으로 나타내는 방위각(경도)은 일부 종래의 기준 자오선(가장 일반적으로 IERS 기준 자오선)에서 동이나 서쪽으로 측정되므로 그 영역은 -180° - 180°이다. 지구나 다른 고체 천체의 위치의 경우, 기준면은 보통 회전 축에 수직인 평면으로 취한다.

반지름 거리 대신 지리학자들은 보통 평균 해수면이 될 수 있는 일부 기준 지표면 위 또는 아래의 고도(수직 기준)를 사용한다. 반경 거리 r은 약 6,360 ± 11 km(3,952 ± 7 마일)인 지구의 반지름을 추가하여 고도에서 계산할 수 있다.

그러나 현대의 지리적 좌표계는 상당히 복잡하며, 이러한 간단한 공식에 의해 암시된 위치가 수 킬로미터 정도 틀릴 수도 있다. 위도, 경도, 고도의 정확한 표준 의미는 현재 세계측지계(WGS)에 의해 정의되고 있으며, 극지방에서의 지구의 평탄화(약 21km 또는 13마일)와 그 밖의 많은 세부사항을 고려한다.

행성 좌표계는 지리적 좌표계와 유사한 제형을 사용한다.

천문학에서

일련의 천문 좌표계를 사용하여 다른 기본 평면에서 입면 각도를 측정한다. 이 기준면들은 관측자의 지평선, 천적도(지구의 자전에 의해 정의됨), 황적도(지구가 태양 주위를 도는 궤도에 의해 정의됨), 지구종단기(태양에 대한 순간방향에 대한 정상), 은하적 적도(은하도의 자전에 의해 정의됨)이다.

좌표계 변환

구형 좌표계는 많은 3차원 좌표계 중 하나일 뿐이기 때문에 구형 좌표계와의 좌표를 변환하는 방정식이 존재한다.

데카르트 좌표, 평행 좌표.

ISO 규약에서 점의 구형 좌표(즉, 물리: 반지름 r, 경사 inclination, 방위 φ)는 공식에 의해 데카르트 좌표(x, y, z)에서 구할 수 있다.

φ = 아크탄 y/x로 표시된 역 탄젠트 (x, y)의 정확한 사분면을 고려하여 적절히 정의해야 한다. atan2에 대한 기사를 참조하십시오.

대안적으로, 변환은 두 개의 순차적 직사각형에서 극성 변환으로 간주할 수 있다. 여기 R은 (x, y)에서 (R, φ)로 r을 Xy 면에 투영하는 (x, y)에서 (R, ()로, 그리고 (z, R)에서 (r, θ)로 가는 데카르트 zR 면의 두 번째. φθ에 대한 정확한 사분면은 평면 직사각형에서 극으로 변환하는 정확성에 의해 암시된다.

이 공식은 두 계통의 기원이 동일하고, 구형 기준면이 데카르트 xy 면이며, θz 방향에서 기울어진 것이며, 방위각은 데카르트 x 축에서 측정된다고 가정한다(Y 축이 φ = +90°). θ가 정점으로부터의 경사 대신 기준면에서 고도를 측정하면 위의 아크코스는 아크신이 되고, 아래의 cos θsin θ은 전환된다.

반대로 데카르트 좌표는 구면 좌표(반경 r, 경사 θ, 방위 φ)에서 검색할 수 있으며, 여기서 r [0, ∞], φ [0, π], φ [0, 2π], φ [0, 2π], by에 의해 검색된다.

원통좌표

원통형 좌표( 반지름 ρ, 방위각 φ, 고도 z)는 공식에 의해 구형 좌표(중앙 반지름 r, 경사 az, 방위각 into)로 변환할 수 있다.

반대로 구면 좌표는 공식에 의해 원통형 좌표로 변환될 수 있다.

이 공식은 두 계통의 원점과 기준면이 동일하고, 방위각 φ을 같은 축에서 같은 감각으로 측정하며, 구형각 θ은 원통형 z축으로부터 기울어진 것으로 가정한다.

일반화

구면 좌표 수정 버전을 사용하여 데카르트 좌표에서 타원체 처리도 가능하다.

P를 레벨 세트로 지정된 타원체로 설정

ISO 규약에서 P 지점의 수정된 구형 좌표(즉, 물리: 반지름 r, 경사 inclination, 방위 φ)는 공식에 의해 데카르트 좌표(x, y, z)에서 얻을 수 있다.

다음과 같은 최소 볼륨 요소가 제공됨

제곱근 인자는 다음 열에서 상수를 추출할 수 있는 결정 인자의 속성에서 나온다.

구형 좌표에서의 통합 및 분화

구형 좌표에서의 단위 벡터

다음 방정식(Iyanaga 1977)은 논의된 물리학 규약에서와 같이 콜로티도 θz(극) 축으로부터의 기울기(x, y, z는 상호 정상이기 때문에 대략적으로)라고 가정한다.

(r, θ, φ)에서 (r + dr, dr, dθ, φ)까지의 최소 변위를 위한 선 요소는 다음과 같다.

어디에

각각 r, θ, φ의 증가방향에 있는 국소직교 단위 벡터이며, x,, , 은 데카르트 좌표에서 단위 벡터다. 이 오른손 좌표 트리플트로의 선형 변환은 회전 행렬이다.

미분선 요소를 입증하는 공식의 일반적인 형태는 다음과[4] 같다.

즉, 의 변경은 개별 좌표의 변경에 해당하는 개별 변경으로 분해된다.

이를 현재 사례에 적용하려면 이(가) 각 좌표에 따라 어떻게 변화하는지 계산해야 한다. 사용된 규약에서,

그러므로,

원하는 계수는 다음과 같은 벡터의 크기:[4]

이때 (정수) 반지름 r에서 구면 표면의 θ에서 θ에서 θ + , φ에서 φ ~ φ + 에 이르는 표면 원소가 된다.

따라서 차동 솔리드 각도는

극각 θ 상수(원점 정점을 갖는 원뿔) 표면의 표면 요소는 다음과 같다.

방위각 φ 상수(수직 반평면) 표면의 표면 요소는 다음과 같다.

r ~ r + dr, , ~ θ + , φ ~ θ ~ φ + 에 이르는 부피 요소는 부분파생상품의 제이콥 매트릭스 결정요인에 의해 지정된다.

따라서 예를 들어 함수 f(r, θ, φ)는 ℝ의3 모든 포인트에 걸쳐 3중 적분으로 통합될 수 있다.

이 시스템의 연산자는 그라데이션, 발산, 및 (scalar) 라플라시안(scalar)에 대한 다음과 같은 표현으로 이어진다.

나아가 카르테시아 좌표에서 역자코비안(역자코비안)은 다음과 같다.

구형 좌표계의 미터법 텐서= J J .

구면 좌표에서의 거리

구형 좌표에서 two이 방위 좌표인 두 점을 부여한다.

두 점 사이의 거리는 다음과 같이 표현할 수 있다.

운동학

구형 좌표에서 점의 위치는 다음과 같이 기록된다.

그 속도는 그때다.

그리고 그 가속도는

각운동량은

상수 φ 또는 다른 θ = π/2의 경우 극좌표에서 벡터 미적분학으로 감소한다.

이에 상응하는 각운동량 운영자는 위의 위상 공간 개편을 따른다.

참고 항목

메모들

  1. ^ "ISO 80000-2:2019 Quantities and units — Part 2: Mathematics". ISO. pp. 20–21. Item no. 2-17.3. Retrieved 2020-08-12.
  2. ^ Duffett-Smith, P and Zwart, J, 페이지 34.
  3. ^ Jump up to: a b Eric W. Weisstein (2005-10-26). "Spherical Coordinates". MathWorld. Retrieved 2010-01-15.
  4. ^ Jump up to: a b "Line element (dl) in spherical coordinates derivation/diagram". Stack Exchange. October 21, 2011.

참고 문헌 목록

외부 링크