물리학에서 일반적으로 사용되는 구형 좌표(r, φ, φ) : 방사상 거리 r(원점까지의 거리), 극각 θ(theta) (극축에 대한 각도), 방위각 φ(phi) (초기 자오선 평면으로부터의 회전 각도) 기호 ρ (rho)는 r 대신 자주 사용된다.
수학에서 흔히 사용되는 구형 좌표(r,φ, φ) : 방사상 거리 r, 방위각 θ, 극각 φ. θ과 φ의 의미는 물리학 규약에 비해 교환되어 왔다. 물리학과 마찬가지로 원통형 및 2D 극좌표에서 r 값과의 혼동을 피하기 위해 r 대신 ρ(rho)를 사용하는 경우가 많다.
수학 규약에서 단위 구에 대한 점 P의 반지름 거리, 극각 및 방위각을 나타내는 지구. 이 이미지에서 r은 4/6이고, θ은 90°, φ은 30°이다.
수학에서 구면 좌표계는 점의 위치가 고정된 원점에서 그 점의 반지름 거리, 고정된 정점 방향에서 측정한 극각, 그리고 파를 이루는 기준면에서 직교 투영의 방위각 등 세 개의 숫자로 지정되는 3차원 공간의 좌표계다.ss를 통해 해당 평면의 고정된 기준 방향에서 측정된 정점에 직교한다. 극좌표계의 입체적인 버전으로 볼 수 있다.
반지름 거리는 반지름 또는 반지름 좌표라고도 한다. 극각은 콜로티도, 절정각, 정상각 또는 경사각이라고 할 수 있다.
기호의 사용과 좌표의 순서는 출처와 분야마다 다르다. 이 글에서는 물리학에서 자주 접하는 ISO 규약을[1] 사용한다: ( , ,) 은 방사상 거리, 극각 및 방위각도를 제공한다. 많은 수학책에서 ( , ) 또는( r,\은 radial distance, φ의 뜻을 바꾸어 준다. z축으로부터의 반지름에 r과 같은 다른 규약도 사용되기 때문에 기호의 의미를 확인하는 데 큰 주의가 필요하다.
지리적 좌표계의 관례에 따라 위도, 경도, 높이(고도)로 위치를 측정한다. 다양한 좌표에 대한 다른 항과 다른 기본 평면에 기초한 다수의 천체 좌표계가 있다. 수학에 사용되는 구형 좌표계에서는 일반적으로 도보다는 라디안을 사용하고 북쪽(0°)에서 동쪽(+90°)까지 시계방향 대신 x축에서 y축까지 시계 반대방향으로 방위각을 측정한다. 수평 좌표계처럼.[2] 극각은 흔히 기준면에서 측정한 표고각으로 대체하여 표고각 0이 수평선에 오도록 한다.
구형 좌표계는 2차원 극좌표계를 일반화한다. 고차원 공간으로도 확장될 수 있으며, 이를 초심 좌표계라고 한다.
세 개의 좌표를 나타내기 위해 그리고 그것들이 작성되어야 하는 순서를 위해 몇 가지 다른 규약이 존재한다. 각각 방사상 거리, 경사(또는 고도) 및 방위각을 나타내기 위해 , ,\을 사용하는 것은 물리학의 일반적인 관례로서 ISO 표준80000-2:2019 및 ISO 31-11(1992년)의 이전 버전에서 지정된다.
그러나 일부 저자들(수학자 포함)은 반경 거리에는 ρ, 경사(또는 고도)에는 φ, 방위각에는 θ, z축으로부터의 반경에 r을 사용하며, 이는 "일반적인 극좌표 표기법의 논리적 확장"을 제공한다.[3] 일부 저자는 또한 기울기(또는 고도) 이전의 방위각을 열거할 수도 있다. 이러한 선택의 일부 조합은 좌표계를 초래한다. 표준 규약 , , ) 은 방위각에서 θ을 자주 사용하는 2차원 극좌표 및 3차원 원통 좌표에 대한 통상적인 표기법과 충돌한다.[3]
각도는 일반적으로 도(°) 또는 라디안(radian)으로 측정되며, 여기서 360° = 2π rad이다. 학위는 지리, 천문학, 공학에서 가장 흔한 반면, 라디안은 수학, 이론 물리학에서 흔히 사용된다. 방사상 거리 단위는 대개 문맥에 의해 결정된다.
이 시스템을 물리적 3공간으로 사용할 경우, 기준면의 기준 방향에서 시계 반대방향으로 측정되는 방위각에는 평면의 정점면에서 볼 수 있는 양의 기호를 사용하는 것이 관례다. 특히 "zenith" 방향이 북쪽이고 포지티브 방위각(경도) 각도가 일부 원주 자오선으로부터 동쪽으로 측정되는 지리적 좌표에 이 관례가 사용된다.
주요 협약
좌표
해당 지역 지리적 방향 (Z, X, Y)
오른손/왼손으로
(r, θinc, φaz,right)
(U, S, E)
맞다
(r, φaz,right, θel)
(U, E, N)
맞다
(r, θel, φaz,right)
(U, N, E)
남겨진
참고: Easting(E), Northing(N), 상향(U) 국부 방위각은 예를 들어(U,S, E)의 경우 S에서 E까지 시계 반대방향으로 측정된다.
고유좌표
모든 구형 좌표 트리플트 ) 은 3차원 공간의 단일 지점을 지정한다. 반면에 모든 점에는 등가 구면 좌표가 무한히 많다. 각도를 스스로 바꾸지 않고, 따라서 점을 바꾸지 않고 어느 한 각도 측정치에서든 전체 회전 수를 추가하거나 뺄 수 있다. 또한 (- ) 이(가) 모든 r, and, θ, φ에 대해( \) 과 동등하다는 관습과 함께 음의 방사상 거리를 허용하는 것도 여러 맥락에서 편리하다. 더구나( ,- ,) 은 θ, + ∘), 과 같다
각 점에 대해 고유한 구면 좌표 세트를 정의할 필요가 있을 경우, 그 범위를 제한해야 한다. 일반적인 선택은
r ≥ 0,
0° ≤ θ ° 180°(π rad, rad, rad, rad, rad)
0° ≤ φ < < 360° (2π rad)).
그러나 방위각 φ은 [0, 360도] 대신 라디안 단위로 (-180°, +180°],(-180°, +180°), 또는 (-180, +180°)로 제한되는 경우가 많다. 이것은 지리적 경도의 표준 규약이다.
범위 [0°, 180°] 경사가 [-90°, +90°]에 해당함 입면(입면)을 위해
이러한 제한에도 불구하고 θ이 0° 또는 180°인 경우(경사는 90° 또는 -90°) 방위각은 임의적이며, r이 0이면 방위각과 경사/경사 모두 임의적이다. 좌표를 고유하게 만들기 위해 이 경우 임의 좌표가 0이라는 규약을 사용할 수 있다.
플로팅
구면 좌표(r,θ,φ)에서 점을 그리려면(r, θ, φ) 여기서 θ은 원점에서 정점 방향으로 r단위를 이동하고 az으로 방위 기준 방향으로 회전하며, φ은 정점에 대해 적절한 방향으로 회전한다.
적용들
평면에서도 2차원 데카르트 좌표계가 유용하듯이 구면에서도 2차원 구면 좌표계가 유용하다. 이 체계에서는 구를 단위 구로서 취하므로 반지름은 통일성이므로 일반적으로 무시할 수 있다. 이러한 단순화는 회전 행렬과 같은 물체를 다룰 때도 매우 유용할 수 있다.
구형 좌표는 구체 내부의 볼륨 통합, 집중된 질량이나 충전을 둘러싼 잠재적 에너지장 또는 행성의 대기 중 지구 기후 시뮬레이션과 같이 한 점에 대해 어느 정도 대칭이 있는 시스템을 분석하는 데 유용하다. 데카르트 방정식 x2+ y2+ z2= c가2 있는 구면에는 구면 좌표에 단순 방정식r = c가 있다.
많은 물리적 문제에서 발생하는 두 가지 중요한 부분미분방정식인 라플레이스의 방정식과 헬름홀츠 방정식은 구면 좌표에서 변수의 분리를 허용한다. 그러한 방정식에 대한 용액의 각도 부분은 구형 고조파 형태를 취한다.
또 다른 용도는 인체공학적 설계로, 여기서 r은 정지된 사람의 팔 길이이며 각도는 팔을 뻗을 때의 방향을 설명한다.
첫 번째 근사치에 대해 지리적 좌표계는 -90° ≤ φ ≤ 90° 범위에서 적도 평면의 북쪽 도에 경사각(위도)을 사용한다. 위도는 지구 중심에서 측정되고 ψ, q,q, φc, φg 또는 측지 위도에 의해 다양하게 지정되며 관찰자의 국부 수직으로 측정되며 일반적으로 지정된 φ이다. 극각은 위도를 뺀 90도, 범위는 0~180도인 것으로 지리학에서는 colatitude라고 한다.
일반적으로 λ으로 나타내는 방위각(경도)은 일부 종래의 기준 자오선(가장 일반적으로 IERS 기준 자오선)에서 동이나 서쪽으로 측정되므로 그 영역은 -180° - 180°이다.지구나 다른 고체 천체의 위치의 경우, 기준면은 보통 회전 축에 수직인 평면으로 취한다.
반지름 거리 대신 지리학자들은 보통 평균 해수면이 될 수 있는 일부 기준 지표면 위 또는 아래의 고도(수직 기준)를 사용한다. 반경 거리 r은 약 6,360 ± 11 km(3,952 ± 7 마일)인 지구의 반지름을 추가하여 고도에서 계산할 수 있다.
그러나 현대의 지리적 좌표계는 상당히 복잡하며, 이러한 간단한 공식에 의해 암시된 위치가 수 킬로미터 정도 틀릴 수도 있다. 위도, 경도, 고도의 정확한 표준 의미는 현재 세계측지계(WGS)에 의해 정의되고 있으며, 극지방에서의 지구의 평탄화(약 21km 또는 13마일)와 그 밖의 많은 세부사항을 고려한다.
일련의 천문 좌표계를 사용하여 다른 기본 평면에서 입면 각도를 측정한다. 이 기준면들은 관측자의 지평선, 천적도(지구의 자전에 의해 정의됨), 황적도(지구가 태양 주위를 도는 궤도에 의해 정의됨), 지구종단기(태양에 대한 순간방향에 대한 정상), 은하적 적도(은하도의 자전에 의해 정의됨)이다.
구형 좌표계는 많은 3차원 좌표계 중 하나일 뿐이기 때문에 구형 좌표계와의 좌표를 변환하는 방정식이 존재한다.
데카르트 좌표, 평행 좌표.
ISO 규약에서 점의 구형 좌표(즉, 물리: 반지름 r, 경사inclination, 방위φ)는 공식에 의해 데카르트 좌표(x, y, z)에서 구할 수 있다.
φ= 아크탄y/x로 표시된 역 탄젠트는(x,y)의 정확한 사분면을 고려하여 적절히 정의해야 한다.atan2에 대한 기사를 참조하십시오.
대안적으로, 변환은 두 개의 순차적 직사각형에서 극성 변환으로 간주할 수 있다. 여기서R은 (x, y)에서 (R, φ)로 r을 Xy 면에 투영하는 (x, y)에서 (R, ()로, 그리고 (z, R)에서 (r,θ)로 가는 데카르트 zR 면의 두 번째. φ과 θ에 대한 정확한 사분면은 평면 직사각형에서 극으로 변환하는 정확성에 의해 암시된다.
이 공식은 두 계통의 기원이 동일하고, 구형 기준면이 데카르트 xy 면이며, θ은 z 방향에서 기울어진 것이며, 방위각은 데카르트 x 축에서 측정된다고 가정한다(Y 축이 φ =+90°). θ가 정점으로부터의 경사 대신 기준면에서 고도를 측정하면 위의 아크코스는 아크신이 되고, 아래의 cosθ과 sinθ은 전환된다.
반대로 데카르트 좌표는 구면 좌표(반경r, 경사θ, 방위φ)에서 검색할 수 있으며, 여기서 r ∈[0, ∞],φ [0, π],φ [0, 2π], φ [0, 2π], by에 의해 검색된다.
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