원-폼(차분 형상)

미분기하학에서 미분 다양체 위의 한 형태는 공접다발의 ^[1]매끄러운 부분입니다.이와 동일하게, $다양체{\displaystyle }$ M ${\displaystyle$ M$}$의 한 형태는 M$${\$displaystyle$ M$}$의 접다발의 전체 공간을 접공간에서 ^[2]각 섬유에 대한$$제한이 $선형$ 함수인 R {\displaystyle \$mathbb {R}$로 매끄럽게 매핑하는 것입니다.상징적으로.

$여기$서 ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ x$${\$displaystyle \alpha_{x}}$는 선형입니다.

종종 하나의 형태가 로컬, 특히 로컬 좌표로 설명됩니다.국소 좌표계에서 원-폼(one-form)은 좌표의 미분들의 선형 조합입니다.

${\displaystyle {fi}_{}}$ ${\$는 매끄러운 함수입니다.이러한 관점에서, 하나의 형태는 한 좌표계에서 다른 좌표계로 전달되는 것에 대한 공변 변환 법칙을 갖습니다.따라서 원-폼은 1차 공변 텐서 필드입니다.

예

가장 기본적인 비중차 미분 원 형태는 "각도의 변화" $형태{\displaystyle }$ d${\displaystyle \theta }$입니다$.$ {\$displaystyle$ d$\theta .}$ 이는$$ atan2 함수의 관점에서 명시적으로 정의될 수 있는 각도 "함수"${\displaystyle }\theta {\displaystyle }$ (${\displaystyle x,y}$)$${\$displaystyle \theta (x,y)}$ (첨가 상수까지만 정의됨)의 도함수로 정의됩니다.도함수를 취하면 전체 도함수에 대해 다음과 같은 공식이 나옵니다.

각도 "$함수$"는 연속적으로 정의될 수 없지만($an2$의 함수는 음의 y {\$displaystyle$ y$}$ - 축을$$ 따라 불연속적입니다), 이 도함수는 원점을 제외하고 연속적으로 정의됩니다.각도의 무한소(그리고 실제로 로컬) 변화가 원점을 제외한 모든 곳에서 정의될 수 있다는 사실을 반영합니다.경로를 따라 이 도함수를 적분하면 경로에 대한 전체 각도 변화가 나타나고, 폐루프 위에 적분하면 감김 ${\displaystyle \mathrm{횟수}}$가${\displaystyle }$2π이 됩니다. ${\displaystyle$ 2$\pi$.}

미분기하학의 언어에서, 이 도함수는 하나의 형태이고, 닫혀 있지만(그 도함수는 0이다) 정확하지는 않고(0 형태의 도함수, 즉 함수가 아니다), 실제로 그것은 구멍 난 평면의 첫 번째 드 람 코호몰로지를 생성합니다.이것은 그러한 형태의 가장 기본적인 예이며, 미분기하학에서 기본적인 예입니다.

함수의 미분

U ⊆ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle$ U$\subseteq \mathbb {R}}$을(를) 열렸다고 $하고$$($예를 들어 ${\displaystyle \mathrm{구간}}$ (${\displaystyle a,}$b$)$ {\$displaystyle (a,$ b$)}),$ 미분 가능 $함수$ f${\displaystyle :}$ ${\displaystyle U}$ → ${\displaystyle R,}${\$displaystyle$ f$:$$도함수{\displaystyle {}^{}}$ f${\displaystyle \text{'}}$가${\$displaystyle$$ $f'}$인 U$\to$ \$mathbb$ {$R},}$$$ 점 ${\displaystyle x_{}}$ 0 ∈ ${\displaystyle U,}${\$displaystyle x_{0}\in$ U$,}$에서 f${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle$ f$,}$의 $미분$ ${\displaystyle \mathrm{df}}${\$displaystyle$ df$}$는 $변수{\displaystyle \mathrm{dx}}$의 특정 선형 맵으로 정의됩니다$.$ {\$displaystyle$ dx$.}$ $구체적$으로, ${\displaystyle \mathrm{df}}$ ${\displaystyle (x_{}}$0,${\displaystyle \cdot }$) : ${\displaystyle \mathrm{dx}}$ ∈ ${\displaystyle {}^{}{\prime }^{}}$ (${\displaystyle x_{}}$0 ) ${\displaystyle \mathrm{dx}.}$ ${\displaystyle$ df$(x_{0}),\cdot$) : $dx\map$ f$'(x_{0}) dx.}$ ($기호$ ${\displaystyle \mathrm{dx}}$ ${\displaystyle$ dx.}의 의미$따라서$ edx$}$은(는) 단순히 선형 $함수$ ${\displaystyle \mathrm{df}}$ ${\displaystyle (x_{}}$0${\displaystyle ,}$$⋅$ )의 인수 또는 독립 변수입니다. ${\displaystyle$df($x_{0},\cdot$ 따라서 $맵$ x $↦$ ${\displaystyle \mathrm{df}}$(${\displaystyle x}$ ${\displaystyle )}${\$displaystyle$x\$mapsto$ df$(x))}$는 각 점 $x$ ${\displaystyle$ x$}$를 선형 $함수$ ${\displaystyle \mathrm{df}}$ ${\displaystyle (x,}$ $⋅$ ${\displaystyle )}$로 보냅니다.$${\$displaystyle$ df$(x,\cdot.$$}$이것은$$ 미분 형식의 가장 간단한 예입니다.

드람코체인 복합체의 관점에서, 0 형태(스칼라 함수)에서 1 형태로 할당된 것, $즉$ f ↦ ${\displaystyle f.}${\$displaystyle$f\$mapstoddf.}$

참고 항목

• Differential form – 적분 기호 뒤에 나타날 수 있는 표현
• 내부 제품 – 점 제품의 일반화; Hilbert spaces를 정의하는 데 사용됨 리디렉션 대상에 대한 간단한 설명을 표시하는 페이지
• 역수 격자 – 고체 물리학에서 중요한 실제 공간 격자의 푸리에 변환
• 텐서 – 기하학적 응용이 있는 대수적 물체

참고문헌