호지 항성 연산자

수학에서 호지 항성 연산자 또는 호지 항성은 비감소 대칭 이선형 형태로 부여된 유한차원 지향 벡터 공간의 외부 대수학에서 정의한 선형 지도다. 연산자를 대수적 요소에 적용하면 원소의 호지 듀얼이 생성된다. 이 지도는 W. V.D.에 의해 소개되었다. 호지.

예를 들어, 지향적인 3차원 유클리드 공간에서, 지향적인 평면은 두 개의 기본 벡터의 외부 제품으로 표현될 수 있고, 그것의 Hodge 이중은 그들의 교차 생산물에 의해 주어진 정상 벡터다. 반대로, 어떤 벡터는 그것과 수직인 방향 평면에 이중적이며, 적절한 바이벡터를 가지고 있다. 이것을 n차원 벡터 공간에 일반화하면 호지별은 (n – k)-벡터에 대한 k-벡터의 일대일 매핑이다. 이러한 공간의 치수는 이항계수$({\displaystyle n\genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}$ ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{k}{}}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$(${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{n}{}}$- $){\$

항성 운영자의 자연성은 사이비-리만 다지기의 등각 묶음, 즉 차동 k-폼에 적용할 때 차동 기하학에서 역할을 할 수 있다는 것을 의미한다. 이를 통해 외부 파생상품의 호지 부선으로서 코드프레이션을 정의할 수 있으며, 라플라스-데 람 연산자로 이어진다. 이것은 벡터장의 분리가 구배 연산자와 반대되는 코드주로서 실현될 수 있는 3차원 유클리드 공간의 경우를 일반화하며, 함수에 대한 라플라스 연산자는 그 구배 분산이 된다. 중요한 적용은 닫힌 리만 다지관의 미분형(美分形)의 호지 분해다.

k-벡터에 대한 공식 정의

V는 여기서 내부 제품이라고 하는$$비감속 대칭 이선형 form${\displaystyle }$,${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \{}${ {\$displaystyle \langle \cdot \angle }$을(를) 가진 n차원 벡터 공간이 되게 하라. 이것은 k-벡터 $\alpha$ ,$\beta$ $\$k $\stackrel{}{k}$ $\stackrel{}{}$ $(\textstyle \alpha ,\beta \in \bigwedge$ ^{\!$k$)에 내부 제품을 유도한다.$}V}$, for ${\displaystyle 0\leq k\leq n}$, by defining it on decomposable k-vectors ${\displaystyle \alpha =\alpha _{1}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}}$ and ${\displaystyle \beta =\beta _{1}\wedge \cdots \wedge \beta _{k}}$ to equal the Gram determinant^{[1]: 14}

${\displaystyle \langle \langle \langle =\det \left(\left\langle \langle _{i}\right}\langle _{i,j=1}^{k}\right)}}$

$\bigwedge \stackrel{}{}$ V ${\textstyle \bigwedge ^{\!k$로 확장됨선형성을 통해$$ $}V}.$

단위 n-벡터 $\Omega {\displaystyle }$Ω ${\displaystyle n^{}}$ ${\displaystyle \omega \in {\textstyle \bigwedge }^{\!n$${}V}$은(는) 방향 맞춤법$$ 기반${\displaystyle }${${\displaystyle {e\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$… , ${\displaystyle e_{}}$ $}$ {\$displaystyle$\{$e_{1},\ldots, e_{n}\}}}}$의 측면에서 다음과 같이 정의된다$$.

$\displaystyle \omega \ :=\ e_{1}\cdots \cdots \cdots \re_{n}.}$

호지 항성 연산자는 $0{\displaystyle \mathrm{}}$≤ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 0\leq k\leq n}$에 대해 k-벡터를 (n – k)-벡터에 매핑하는 V의 외부 대수학 선형 연산자로$,$ 다음과 같은 속성을 가지고 있으며, 이 연산자는 이를 완전히 정의한다.^{[1]: 15}

${\displaystyle \alpha \wedge ({\star }\beta )=\langle \alpha ,\beta \rangle \,\omega }$ for every pair of k-vectors ${\displaystyle \alpha ,\beta \in {\textstyle \bigwedge }^{\!k}V.}$

$\bigwedge {\displaystyle {}^n}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$공간에 다달이 있다.$V^{*}}$of n-forms (alternating n-multilinear functions on ${\displaystyle V^{n}}$), the dual to ${\displaystyle \omega }$ is the volume form ${\displaystyle \det }$, the function whose value on ${\displaystyle v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{n}}$ is the determinant of the ${\disp$$e{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ -message의$$$$ ${\displaystyle {vi}_{}}$ ${\$의 열 벡터에서 조립한 $레이스타일$ n$\message$$.$

위의 방정식에$$ ${\displaystyle det}$ ${\displaystyle \det }$을(를) 적용하면 다음과 같은 이중 정의를 얻을 수 있다.

${\displaystyle \det(\displaysty \det)=\langle \langle \langle .}$

or equivalently, taking ${\displaystyle \alpha =\alpha _{1}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}}$, ${\displaystyle \beta =\beta _{1}\wedge \cdots \wedge \beta _{k}}$, and ${\displaystyle \star \beta =\beta _{1}^{\star }\wedge \cdots \wedge \be$$ta _{n-k}^{\star$ $\}\}\}$ :

$\det \left(\langle \det \{1}\cdots \cdots \det \dets \dets \n1}{n-k}^{n-k}}\right)\\\\\det \detteput(\langle \langle \lip)\look.}$

즉, k-벡터의 직교 기준을 $e{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {I{}_{}}_{}{}_{}}$= ${\displaystyle \text{e}{}_{}}$ ${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle \cdots }$ ${\displaystyle \cdots }$ ${\displaystyle {k_{}}_{}}$ e$$k {\$displaystyle e_{.$나는}=\ e_{i_{1}}\wedge \cdots e_{i_{k}\wedge}}나는{나는 1개체, ⋯<나는 k}{\displaystyle I=\{i_{1}&lt원 모든 하위 집합을 다스리고, \cdots <, i_{k}\}}[n]){1,…, n}{\displaystyle[n]=\{1,\ldots ,n\}}, 호지 dual은(n– k)-vector은 상보적인에 해당하는 나는 ¯을 세웠다)[n]∖ 나는 갈{나는 1¯ \.<>⋯<> n- ${\$ {$i}_{1}<\cdots <{\bar$ {$i}_{n-k}\right\}}}}$:

${\displaystyle {\star }e_{I}=(-1)^{\sigma(I)}e_{\bar{I},}$

where ${\displaystyle (-1)^{\sigma (I)}}$ is the sign of the permutation ${\displaystyle \sigma (I)=i_{1}\cdots i_{k}{\bar {i}}_{1}\cdots {\bar {i}}_{n-k}}$.

Hodge star는 직교 기준에서 직교 기준까지 취하기 때문에, 외부 대수학 $\{$ $V$ ${\textstyle \bigwedge V}$에 대한 등위법이다$.$

기하학적 설명

호지 별은 V의 아공간 W와 (내부 제품에 관한) 직교 아공간 사이의 일치에 의해 동기가 부여되며, 각 공간은 방향과 수치적 스케일링 계수가 부여된다. 구체적으로는 0이 아닌 분해 가능한 k-벡터 $w{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \cdots }$ ${\displaystyle {}_{}}$ k ${\displaystyle \bigwedge \stackrel{}{}}$ ⋀ w ${\displaystyle w_{}}$ k k ${\displaystyle \stackrel{}{v}}$ v v ${\displaystyle \stackrel{}{}}$ v {$${ { { { { { { { \$patchstyle w_{1}\cdots \wedge w_{k}\textstyledata$.$}V}$ corresponds by the Plücker embedding to the subspace ${\displaystyle W}$ with oriented basis ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{k}}$, endowed with a scaling factor equal to the k-dimensional volume of the parallelepiped spanned by this basis (equal to the Gramian, the determinant of the matrix of inner products${\displaystyle w_{}}$ w i ,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \langle w_{i},w_{j}\angle }.$ 분해할 수 있는 벡터에 작용하는 호지 별은 분해할 수 있는 (n - k)-벡터로 쓰일 수 있다.

${\displaystyle \star (w_{1}\cdots \cdots \cdots w_{k}\,=\,u_{1}\cdots \cdots \reason u_{n-k},}$

where ${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n-k}}$ form an oriented basis of the orthogonal space ${\displaystyle U=W^{\perp }\!}$. Furthermore, the (n − k)-volume of the ${\displaystyle u_{i}}$-parallelepiped must equal the k-volume of the ${\displaystyle w_{i}}$-parallelepiped, 그리고 ${\displaystyle {w\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$w ${\displaystyle k_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}{u\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$, …${\displaystyle u_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ -${\displaystyle {}_{}}$k ${\$은(는) V의 지향적 기초를 형성해야$$ 한다.

일반 k-벡터는 분해 가능한 k-벡터의 선형 결합으로, 호지 별의 정의는 이를 선형이라고 정의함으로써 일반 k-벡터로 확장된다.

예

2차원

정규화된 유클리드 측정 기준과 순서에 의해 주어진 방향(x, y)으로 2차원에서 k-폼의 호지 항성은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle {\dx\ligned}{\star }\\1&=dx\dx\{\star }\,dx\}\,dy&=-dx\{\star }}(dx\dyline dy)&=1.\end{정렬}}}$

표준 단면 형태를 미터법으로 하여 실제 벡터공간으로 간주되는 복잡한 평면에서는 호지별은 좌표의 홀로모형 변화하에서도 불변한다는 놀라운 성질을 가지고 있다. w의 z)x+iy은 적인. 기능)u+iv, 다음 Cauchy–Riemann 등식으로 우리가{그.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den다.디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}∂x/∂u)∂y/∂v과 ∂y/∂u)−∂x/∂v. 새 좌표에서

${\displaystyle \alpha)=\ p\,dx+q\,dy\ =\ \left(p{\frac{)}{\partial 너}}+q{\frac{\partial는 y}{\partial 너}}\right\partial)\,du+\left(p{\frac{\partial)}{\partial v}}+q{\frac{\partial는 y}{\partial v}}\right)\,dv\ =\ p_{1}du+q_{1}\,dv,}.$

하도록

${\displaystyle{\begin{정렬}{\star}\alpha&=-q_ᆯ\,du+p_ᆰ\,dv\\[4pt]&, =-\leftᆪdu+\leftᆫdv\\[4pt]&, =-q\left({\frac{)\partial}{\partial 너}}du+{\frac{)\partial}{\partial v}}dv\right)+p.\left({\frac {이\partial}{마\partial}}du+{\frac{이\partial}{v\partial}}dv\right)\\[4pt]&, =-q\,dx+p\,dy,\end{정렬}}}.$

본원 불변성을 입증하는 것.

삼차원

는 호지 스타 운영자의 흔한 예는 경우 nx3, 벡터와 bivectors들의 왕래로 볼 수 있다. 특히, 유클리드의 R3는 d와 같이, d는 y, one-forms 자주 벡터 미적분학에서 사용되는 dz{\displaystyle dx,dy,dz}로, 그 알게 된다.

${\displaystyle{\begin{정렬}{\star}\,dx&,=dy\wedge dz\\{\star}\,dy&,=dz\wedge dx\\{\star}\,dz&,=dx\wedge에.\end{정렬}}}$

그 호지 스타 3차원:[2]에서 외부와 외적 관련이 있습니다.

${\displaystyle{\star}(\mathbf{너}\wedge{v\mathbf})=\mathbf{u}\times{v}\qquad{\star}(\mathbf{너}\mathbf{v}\times)=\mathbf{u}\mathbf{v}\wedge.}\mathbf.$

그래서는 이중 벡터와 A와 반대로 연관되어 있는 A=[2]는 각각 축성 벡터, A{\displaystyle \mathbf{A}={\star}\mathbf{를},\ ⋆는=⋆ 3치수에 시행되며, 때로는 호지 스타, 음}. 그 어느 별이 될 수도 있inte 축 방향 벡터와 bivectors 사이에 유질 동상 \mathbf{를}={\star}\mathbf{A}을 제공한다.rprEted 축과 축 주변의 극미한 회전의 속도는 축 벡터의 길이가 기하학적 통신의 한 형태. 벡터 공간 V{V\displaystyle}에 내부의 제품입니다!}이중적 공간과 함께, 그리고 일부 선형 사업자의 나는 우주:V→ V{나는\displaystyle V{V\displaystyle}식별해 주는 유질 동상 V≅ V∗{\displaystyle V\cong V^{*}\을 준다.V\to V}는 자연스럽게 텐서 제품 V∗ ⊗ V≅ V⊗ V{\displaystyle V^{*}\ 동형이다!\!}. 따라서 V의)R3{\displaystyle V=\mathbb{R}^{3}}V\cong V\otimes V\otimes, 별 매핑 ⋆:V→ ⋀ 2V⊂ V⊗ V{\displaystyle\textstyle \star:V\to\bigwedge ^{년!2.}년!V\subset V\otimes V}은 이중 벡터 ⋆ v에 각 벡터 v{\displaystyle \mathbf{v}}이 걸린다 ∈ V⊗ V{\displaystyle\star \mathbf{v}\in V\otimes V}, 해당합니다는 선형 작용 표 나는 v:V→ V{\displaystyle L_{\mathbf{v}}:.V\to V}. 특히, 나는 v{\displaystyle L_{\mathbf{v}은 극미한 회전에 해당합니다}}는 비대칭의 사업자인:저것은, 그 축 v주변의 거시적 회전{\displaystyle \mathbb{v}}매트릭스 지수exp⁡( 있어 나는 건물){\displaystyle \exp(tL_{\mathbf{v}})}을 준다.기초 d에 존경을 받게 한다.), d는 y으로, R3dz{\displaystyle dx,dy,dz}{\displaystyle \mathbb{R}^{3}}, 텐서 d)⊗ d y{\displaystyle dx\otimes 보다 많이}를 좌표 매트릭스에 1d){\displaystyle dx}분쟁에, 삭제 y{\displaystyle에}칼럼 등, 쐐기를 d)∧., 해당합니다− d:⊗ d){\displaystyle dx\wedge dy\,=\,dx\otimes dy-dy\otimes dx}에스파냐의 Y)d)⊗은 d야는 교대 행렬[010− 100000]{\displaystyle\scriptscriptstyle \left는 경우에는{\begin{배열}{rrr}\,0\!\!&\!\!1&.\!\!\!\!0\!\!\.\와 같이!\!\!\\[-.5em]\,\!-1\!\!&\!\!0\!\!&\!\!\!\!0\!\!\.\와 같이!\!\!\\[-.5em]\,0\!\!&\!\!0\!\!&\!\!\!\!0\!\!\.\와 같이!\!\!\end{배열}}년!\!\!\right 해결}등 즉, 우리는 그 인기 가수가 연산자 해석할 수 있습니다. 있다.

${\displaystyle \mathbf {v} =a\,dx+b\,dy+c\,dz\quad \longrightarrow \quad \star {\mathbf {v} }\ \cong \ L_{\mathbf {v} }\ =\left[{\begin{array}{rrr}0&c&-b\\-c&0&a\\b&-a&0\end{array}}\right].}$

Under this correspondence, cross product of vectors corresponds to the commutator Lie bracket of linear operators: ${\displaystyle L_{\mathbf {u} \times \mathbf {v} }=L_{\mathbf {u} }L_{\mathbf {v} }-L_{\mathbf {v} }L_{\mathbf {u} }}$.

4차원

${\displaystyle \mathrm{n}}$ =${\displaystyle }$4 ${\displaystyle n=4}$인 경우$,$ 호지 별은 두 번째 외부 전원의 내형성(즉, 4 - 2 = 2 이후 2-forms를 2-forms에 매핑)으로 작용한다. 미터법 텐서(metric tensor)의 서명이 모두 양수라면(즉, 리만 다관절에서) 호지 별은 비자발적인 것이다. 서명이 혼합된 경우, 즉 사이비-리만니아어인 경우, 두 번 적용하면 인수가 기호로 되돌아간다(아래 § Duality 참조). 4차원의 2형식의 이 특별한 내형성 특성은 자기이중성과 반자기이중 2형식의 자연 기하학적 객체를 연구하게 만든다. 즉, 고유값${\displaystyle }$± $[\displaystyle \pm 1}($또는 서명에 ${\displaystyle \mathrm{따라}}{\displaystyle }$± i ${\displaystyle \pm i$로 호지 별작용을 "대각화"하는 근거를 가지고 2형식의 공간을 4차원으로 설명할 수 있다.

For concreteness, we discuss Hodge dual in Minkowski spacetime where ${\displaystyle n=4}$ with metric signature ${\displaystyle (-+++)}$ and coordinates ${\displaystyle (t,x,y,z)}$. The volume form is oriented as ${\displaystyle \varepsilon _{0123}=1}$. For one-forms,

$#\displaystyle {\dt&=-dx\dx\dj\\\\star dx&=-dt\dx\dx\dx\d}dt\dx\dined}dj\dx\dined}}dj&=dt\dx\dined {liged}$

2시 30분동안

${\displaystyle {\begin{aligned}\star (dt\wedge dx)&=-dy\wedge dz\,,\\\star (dt\wedge dy)&=-dz\wedge dx\,,\\\star (dt\wedge dz)&=-dx\wedge dy\,,\\\star (dx\wedge dy)&=dt\wedge dz\,,\\\star (dx\wedge dz)&=-dt\wedge dy\,,\\\star (dy\wedge dz)&=dt\wedge dx\,.\end{정렬}}}$

이것들은 다음과 같이 지수 표기법에 요약되어 있다.

${\displaystyle {\fraced}\star (dx^{\mu }}&=\eta ^{\mu \dada }\varepsilon _{\nu \rho \sigma }{\frac {1}{3!}}dx^{\nu }\wedge dx^{\rho }\wedge dx^{\sigma }\,,\\\star (dx^{\mu }\wedge dx^{\nu })&=\eta ^{\mu \kappa }\eta ^{\nu \lambda }\varepsilon _{\kappa \lambda \rho \sigma }{\frac {1}{2!}}}}dx^{\rho }\reason dx^{\\ma }\,\end{정렬}}}$

로렌츠 서명에 3, 4개의 폼에 대한 호지 이중은 홀수 순위 폼의 ${\displaystyle \mathrm{경우}}$ (${\displaystyle \star {}^{}}$) ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= 1 ${\displaystyle (\star )^{2}=1},$ 짝수 순위 폼의 ${\displaystyle {경우\mathrm{}}^{}}$${\displaystyle (\star {}^{}}$) 2${\displaystyle {}^{}}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle (\star )^{2}=-1}$에서 쉽게 추론할 수 있다. An easy rule to remember for these Hodge operations is that given a form ${\displaystyle \alpha }$, its Hodge dual ${\displaystyle {\star }\alpha }$ may be obtained by writing the components not involved in ${\displaystyle \alpha }$ in an order such that ${\displaystyle \alpha \w$에지}경우에만 α{\displaystyle \alpha}dt{\displaystyle dt}가 들어 있.[검증 필요한]을 더 빼기 기호.α{\displaystyle \alpha}은space-associated 형태 해야의 이상한 해당( 들어(+---)하나는 빼기 기호에){\displaystyle을 들어가지 않을 것이다dx\wedge dy\wedge dz(\star \alpha)=dt\wedge.dx}, d y{\d$isplaystyle dy}$ 및$$ $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle dz}$ .)$$

참고로, 조합은

${\displaystyle {\begin{aligned}(dx^{\mu }\wedge dx^{\nu })^{\pm }:={\frac {1}{2}}{\big (}dx^{\mu }\wedge dx^{\nu }\mp i\star (dx^{\mu }\wedge dx^{\nu }){\big )}\end{aligned}}}$

${\displaystyle \mathrm{호지}}$ 듀얼의 고유값으로$$ ± i$[\displaystyle \pm i}$를 사용한다.

${\displaystyle {\mu }\mu }\dx^{\nu }^{\pm i(dx^{\mu }\nu }}^{\pmo }\nu }}}}^{\pm }\mpm\}\ended{aged}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}?$

따라서 자기희생과 반자기희생 2인자라는 이름을 가질 자격이 있다. 밍코프스키가 자기이중 및 반자기이중 부문에서 스페이스타임의 기하학, 즉 운동학을 이해하는 것은 수학적 측면과 물리적 관점 모두에서 통찰력 있는 것으로 밝혀져 회전-헬리시티 형식주의나 트위스터 이론과 같은 현대 물리학에서 2회전 언어의 사용에 접촉하게 된다.

등정불변도

호지 별은 2n 차원 벡터 공간 V의 n 형태에 따라 일정하게 불변한다. 즉, $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$이(가) $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$ 및$$ > ${\displaystyle \lambda$>0에 대한 메트릭인$$ 경우 유도 호지 항성

$\displaystyle \star _{g}\star _{\lambda g}\colon \lambda ^{n}V로 \lambda ^{n}V}$

똑같다.

예: 3차원의 파생상품

$\star {\displaystyle }$ ${\displaystyle \star }$ 연산자와$$ 외부 파생상품 d의 조합은 3차원 유클리드 공간에서 벡터장에 대한 고전 연산자의 그라데이션, 컬링, div를 생성한다. 이것은 다음과 같이 해결된다: d는 0-폼(함수)을 1-폼으로, 1-폼은 2-폼으로, 2-폼은 3-폼으로(그리고 3-폼은 0으로 가져간다). 0-form $f{\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$( x${\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$, z${\displaystyle }$) ${\displaystyle f=f(x,y,z)}$의 경우$,$ 구성요소에 작성된 첫 번째 사례는 다음과 같다.

${\displaystyle df={\frac{\frac}{\flac x}\,dx+{\fract f}{\frac y}\dz.}$

The inner product identifies 1-forms with vector fields as ${\displaystyle dx\mapsto (1,0,0)}$, etc., so that ${\displaystyle df}$ becomes ${\textstyle \operatorname {grad} f=\left({\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\par$$tial y},{\frac {\preason$ f$}{\preason$ z$}}\오른쪽$

In the second case, a vector field ${\displaystyle \mathbf {F} =(A,B,C)}$ corresponds to the 1-form ${\displaystyle \varphi =A\,dx+B\,dy+C\,dz}$, which has exterior derivative:

${\displaystyle d\varphi =\left({\frac {\partial C}{\partial y}}-{\frac {\partial B}{\partial z}}\right)dy\wedge dz+\left({\frac {\partial C}{\partial x}}-{\frac {\partial A}{\partial z}}\right)dx\wedge dz+\left({\partial B \over \partial x}-{\frac {\partial A}{\partial y}}\right)dx\wedge dy.}$

호지 별을 적용하면 다음과 같은 1-폼이 주어진다.

${\displaystyle \star d\varphi =\left({\partial C \over \partial y}-{\partial B \over \partial z}\right)\,dx-\left({\partial C \over \partial x}-{\partial A \over \partial z}\right)\,dy+\left({\partial B \over \partial x}-{\partial A \over \partial y}\right)\,dz,}$

which becomes the vector field ${\textstyle \operatorname {curl} \mathbf {F} =\left({\frac {\partial C}{\partial y}}-{\frac {\partial B}{\partial z}},\,-{\frac {\partial C}{\partial x}}+{\frac {\partial A}{\partial$$z},\,{\frac {\partial B}{\partial$ x$}-{\partial A}{\partial y}\오른쪽$ .

In the third case, ${\displaystyle \mathbf {F} =(A,B,C)}$ again corresponds to ${\displaystyle \varphi =A\,dx+B\,dy+C\,dz}$. Applying Hodge star, exterior derivative, and Hodge star again:

${\displaystyle{\begin{정렬}\star \varphi&=A\,dy\wedgedz-B\,dx\wedgedz+C\,dx\wedge dy,\\d{\star \varphi}&, =\left({\frac{\partial A}{\partial x}}와{\frac{\partial B}{\partial는 y}}와{\frac{\partial C}{\partial z}}\right)dx\wedgedy\wedgedz,\\\star d{\star \varphi}&, ={\frac{A\partial}{x\partial}}+{\frac{\partial B}{이\partial}}와{\frac{\par.tial C}{\partial z}}=\operatorname {div} \mathbf {F} .\end{arged}}}}$

이 표현의 한 가지 장점은 모든 경우에 참인 d² = 0이라는 정체성이 특수한 경우로서 두 가지 다른 정체성을 가지고 있다는 것이다: 1) curl grad f = 0, 2) div curl F = 0. 특히 맥스웰의 방정식은 외부 파생물과 호지별의 관점에서 표현하면 특히 단순하고 우아한 형태를 띤다. $\star {\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle \star d\star }(-$1의 적절한 힘으로 곱함)이라는 표현은 코드프렌더라고 불리며, 아래 글에서 더 나아가 어떤 차원에 대해서도 완전한 일반성으로 정의된다.

위와 같은 연산의 관점에서 라플라시안 Δ f = div grad f도 얻을 수 있다.

${\displaystyle \Delta f=\star df}={\frac {\partial x^{2}}+{\partial y^{2}}+{\partial y^{2}}}+{\partial y^{partial y^}{2}f}{partial z^{2}}.}$

The Laplacian can also be seen as a special case of the more general Laplace–deRham operator ${\displaystyle \Delta =d\delta +\delta d}$ where ${\displaystyle \delta =(-1)^{k}\star d\star }$ is the codifferential for ${\displaystyle k}$-forms. 모든 $함수{\displaystyle }$ f$${\$displaystyle f$}은$$ $0-form$이고${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \mathrm{f}}$ =$$0 {\$displaystyle \delta f=$0}이므로$$ 일반 라플라시안(Laplacian)으로 감소한다. 위의$$ $1-형식{\displaystyle }$ {$${\$displaystyle \varphi$}의 경우, 코드주석은 $\Delta {\displaystyle }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle \star }$ d${\displaystyle }$⋆ ⋆ ${\displaystyle \delta =-\star d\bpi }}$이며, 플러그와 츄그 후에 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaysty \varphi$ $\}$에 작용하는 라플라크ian을 얻는다.

이중성

Hodge 별을 두 번 적용하면 해당 부호를 제외하고 k-벡터가 변경되지 않음: $\eta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ V ${\displaystyle \eta \in {\textstyle \bigwedge }^{k}V}$에 대해, n차원 공간 V에 다음과$$ 같이 지정되었다.

${\displaystyle {\star }{\star }\eta =(-1)^{k(n-k)s\eta ,}$

여기서 s는 V에 대한 내부 제품 서명의 패리티, 즉 어떤 기준으로든 내부 제품 매트릭스의 결정 인자의 기호다. 예를 들어, n = 4이고 내부 제품의 서명이 (+ - -) 또는 (+ + + +)인 경우 s = -1이다. 리만 다지관(유클리드 공간 포함)의 경우, 우리는 항상 s = 1을 가지고 있다.

위의 ID는 $\star {\displaystyle }$ ${\displaystyle \star}$의 역이 다음과 같이 주어질 수 있음을$$ 암시한다.

${\displaystyle {\bigwedge }^{-1}:~{\displaystyle \bigwedge }^{\!k}{{V&\to {\textstyle \bigwedge }^{\\n-k}V\\\eta &\mapsto(-1)^{k(n-k)}\s{\star }\eta \ended}}}}}}$

n이 홀수일 경우 k(n - k)가 짝수인 반면, n이 짝수일 경우 k(n - k)의 패리티가 k이다. 따라서 다음과 같다.

${\displaystyle {\star }^{-1}={\preason{case}s{\star }&n{\text}는 홀수*\\(-1)^{k}s{\star }&n{\text}는 짝수{case}}}}}}}}}}}}$

여기서 k는 원소가 작용하는 정도를 말한다.

다지관 온

n차원 지향 사이비-리만 다지관 M의 경우, 위 구성을 각 등각 공간 $T{\displaystyle {}_{}^{}}$ p${\displaystyle {}_{}^{}}$ M ${\displaystyle {\text}$에 적용한다.$T}}_{p}^{*}M}$과(와) 그 외력 $\wedge {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ M ${\displaystyle \wedge ^{k}{\text{$$T}}_{p}^{*}M$ 따라서 차동 $k-forms{\displaystyle }$ ∈${\displaystyle }$∈ ${\displaystyle {\Omega }^{}}$ k${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle }$M${\displaystyle }$) = ${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$(${\displaystyle {}^k}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ T${\displaystyle {}^{}}$m${\displaystyle M{}^{}}$ )$${\$displaysty \제타 \in \Oomega ^{k}=\Gamma \left(\wedge$^{k}{k$}}}{\text$}}}}}{\text}}}}{\text}}}{\text}}}}}{\text}}}}}}}}}{\text$}}}}$$T}}^{*}\!$$M\right)},$${\displaystyle 번들{}^{}}$ ${\displaystyle {sectionsk}^{}}{\displaystyle {}^{}{\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ M → ${\displaystyle \wedge ^{k}\mathrm {T} ^{*}\!$$M\to M$ 리만 메트릭스는 $\wedge {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle \wedge ^{k}{\text${\text${$$T}}_{p}^{*}M}$ 각$$ 지점 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \in }$ M ${\displaystyle p\in$ M$\}.$ k-form$form{\displaystyle }${\$displaystyle$ \$zeta }}$의 Hodge 듀얼을 정의하고$,$ $\star {\displaystyle }$ ${\displaystystyle {\}\zeta$}을(n – k) 만족스러운 고유 폼으로$$ 정의한다.

$\displaystyle \eta \eta \note \\zeta \langle \eta,\zeta \rangle \,\omega }$

$모든{\displaystyle }$ k-form $\eta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \eta }$에 대해$,$ 여기서 $⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle \eta }$, ⟩ ${\displaystyle \{}$ { {$$\$displaystyle$$$\$langle$ \$eta }$은 M$$${\displaystystyle M$의 실제 값 함수이며$$, 볼륨 형식 $\Omega {\displaystyle }$ ${\disman$ 메트릭에 의해 유도된다$.$ $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M$에 이 방정식을 통합하여 오른쪽이 K-forms에 L ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ L$^{2}}($제곱 통합형) 내측 제품이 되고, 우리는 다음을 얻는다.

$\displaystyle \int _{M}\eta \wedge {\star \\zeta \\langle \eta,\zeta \rangle \!\rangle .}$

보다 일반적으로 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$이(가) 지향적이지 않다면 k-폼의 호지별을 (n – k)-pseudo 차등형식, 즉 규범적 선다발에서 값을 갖는 차등형식으로 정의할 수 있다.

색인 표기법으로 계산

We compute in terms of tensor index notation with respect to a (not necessarily orthonormal) basis ${\textstyle \left\{{\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right\}}$ in a tangent space ${\displaystyle V=T_{p}M}$ and its dual basis ${\displaystyle \{dx_{1},\ldots ,dx_{n}\}}$ in ${\displaystyle V^{*}=T_{p}^{*}M}$, having the metric matrix ${\textstyle (g_{ij})=\left(\left\langle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}},{\frac {\partial }{\partia$$l$ $x_{j}}\right\rangle$\rigle \rigle \$right)$${\displaystyle }$및 그 $($ j ${\displaystyle {}^{}}$ = (${\displaystyle {}_{}}$ x i${\displaystyle {}_{}}$, d x ${\displaystyle j_{}}$ )$displaystyle (g^{ij}=(\langle dx_{i},dx_{j}}\rangele$ $)\}\}\}\}.$ 분해 가능한 k-폼의 Hodge 이중은 다음과 같다.

${\displaystyle \star \left(dx^{i_{1}}\put \n-k)\\\\\\\\frac {\sqrt{\det[g_{ab}]{n-k!}}}g^{i_{1}j_{1}j_{1}}\cdots g^{i_{k}j_{k}}\varepsilon_{j_{n}\n}}}}{j_{n}dx^{n}}}}}}}{n}}}}}}}\cdx^{n}}}}}}}\cdv.}$

Here ${\displaystyle \varepsilon _{j_{1}\dots j_{n}}}$ is the Levi-Civita symbol with ${\displaystyle \varepsilon _{1\dots n}=1}$, and we implicitly take the sum over all values of the repeated indices ${\displaystyle j_{1},\ldots ,j_{n}}$. 요인$({\displaystyle n}$- k${\displaystyle )!}$ ${\displaystyle(n-k)!$$}}$은(는) 이중 계수를 설명하며, 합계 지수를 하여 + 1< ${\$j_${n$ . 로렌츠 다지관에 대한 접선 공간의 경우 음수일 수 있으므로 결정 인자의 절대값이 필요하다.

임의의 차등형식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\\displaystyle \=\\\frac {1}{k!}}\alpha _{i_{1},\dots ,i_{k}}dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k}}\ =\ \sum _{i_{1}<\dots <i_{k}}\alpha _{i_{1},\dots ,i_{k}}dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k}}.}$

요인 $k{\displaystyle }$! ${\displaystyle k!}$이(가) 다시 포함되어 상승하지 않는 지수를 허용할 때 이중 계수를 고려하십시오. $\alpha {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {i{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}}_{}}$, …${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {i_{}}_{}}$ k$${\$displaystyle \alpha _{{$1},\$dots,i_{$k}} 성분의 이중성을 정의하여$$ 양식의 Hodge 이중은 다음과 같이 제공하고자 한다.

${\displaystyle \star \cHB ={\frac {1}{(n-k)!}}}}(\star \ \ )_{i_{k+1},\i_{n}dx^{i_{k+1}}\i1}\i1\i1\i1\i1\i1}\i1\i1\i1\i1\i1}.}$

$d{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {i{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle \cdots }$ ${\displaystyle \cdots }$ d x ${\displaystyle {i{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {k_{}}^{}}$ ${\$의 Hodge 듀얼에 대해 위의 식을 사용하여 다음 사항을 확인할 수 있다$.$^[3]

${\displaystyle (\star \alpha )_{i_{k+1},\i_{n}}={\frac {\\sqrt{\det[g_{ab}]{k!}}\cHB ^{i_{1},\i_{k}\,\,\\varepsilon _{i_{1},\i_{n}}.}$

비록 이 표현을 어떤 텐서 $\alpha {\displaystyle }${\$displaystyle \alpha$ $\}$에나 적용할 수 있지만, 완전히 대칭이 반대인 Levi-Civita 기호를 사용한 수축은 텐서의 전체 대칭 부분을 제외한 모든 부분을 취소하기 때문에 결과는 비대칭이다. 따라서 그것은 호지 별을 적용한 후 대칭에 해당된다.

$\Omega {\displaystyle }$ =${\displaystyle {}^{}}$ 1 = ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ n${\displaystyle {}^{}}$V $\$ {\$displaystyle \omega$=\$star 1\$in \$wedge ^{n}$V^{*}}}}}은(는) 다음과 같은 방법으로 단위 부피 형식을 제공한다$$.

${\displaystyle \cdots \x^{n}}{\좌측 \det[g_{ij}]\right }\}\\\\cdots \cdots \cdx^{n}.}$

코디프페우먼

다지관에서 호지 별의 가장 중요한 적용은 k-폼에서 코드주$$ ${\displaystyle \delta }$를 정의하는 것이다. 내버려두다

${\displaystyle \property =(-1)^{n(-1)+1}s\\\\\d{\d(-1)^{k}\,{\star }^{-1}d{\star }}}}}}}}}}}}s\\\\\\\capt{-}d{\star }}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$은(는) 외부 파생 모델 또는 차등이며, $s{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ 리만 다지관의 경우$$ s = 1 ${\displaystyle s=1}$이다. 그러면

${\displaystyle d:\Oomega ^{k}(M)\to \Oomega ^{k+1}(M)}$

하는 동안에

$\displaystyle \delta :\Oomega ^{k}(M)\to \Oomega ^{k-1}(M).}$

코드프렌더는 외부 파생상품과 대조적으로 외부 대수학에서 반분하지 않는다.

코디프유는 정사각형 통합형 내측 제품에 대한 외부 파생물의 부선이다.

$\displaystyle \langle \!\langle \eta,\jeta \langle \langle \!\langle \!}$

여기서 $\zeta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \zeta }$은(는) (k + 1) 형식이고 $\eta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \eta }$은(는) k 형식이다. 이 정체성은 스톡스의 정리로부터 매끄러운 형태를 위한 것이다.

${\displaystyle 0\ =\ \int _{M}d(\eta \wedge {\star }\zeta )\ =\ \int _{M}\left(d\eta \wedge {\star }\zeta -\eta \wedge {\star }(-1)^{k+1}\,{\star }^{-1}d{\star }\zeta \right)\ =\ \langle \!\langle d\eta ,\zeta \rangle \!\rangle -\langle \!\langle \eta ,\delta \zeta \rangle \!\rangle ,}$

제공된 M의 경계가 비어 있거나, ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \eta }$ 또는$$ $\star {\displaystyle }$ ${\displaystyle \star \zeta }$의 경계 값이 0인 경우. (위의 적절한 정의는 매끄러운 형태의 공간에 닫히고 완성되는 위상학적 벡터 공간을 명시할 것을 요구한다. The Sobolev space is conventionally used; it allows the convergent of a sequence of forms ${\displaystyle \zeta _{i}\to \zeta }$ (as ${\displaystyle i\to \infty }$) to be interchanged with the combined differential and integral operations, so that ${\displaystyle \langl$$e \\langle \eta,\langle \jeta _{i}\angle \!\angle \$to $\langle \eta},$ \langle $\jeta \rangle }$에 수렴하는 시퀀스도 $마찬가지$로 ${\displaysty \eta$}에 수렴한다.$$

차등이 d ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle d^{2}=0}$을$($를) 만족하므로 코드프렌더에는 해당 속성이 있다.

${\dapplaystyle \property \d}{{2}=s^{\star }d{\d}d{\star }d{}d(n-k)s^{3}{\d^{}{\star }=0.}$

Laplace-deRham 연산자는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \Delta =(\delta +d)^{2}=\delta d+d\delta }$

그리고 호지 이론의 핵심에 놓여있다. 대칭:

$\delta \langle \!\langle \Delta \zeta ,\eta \langle \!\langle \zeta ,\delta \eta \rangle \!\langle }$

음수가 아닌 경우:

$\displaystyle \langle \!\langle \Delta \eta ,\eta \rangle \geq.}$

호지 별은 조화로운 형태를 조화로운 형태로 보낸다. 호지 이론의 결과, 데 람 코호몰로지(De Rham cohomology)는 조화 k-forms의 공간과 자연적으로 이형성이며, 따라서 호지별은 코호몰로지 집단의 이형성을 유도한다.

${\displaystyle {\star }:H_{\Delta }^{k}(M)\to H_{\Delta }^{n-k}(M),}$

이는 다시 그것의 이중 공간을 가진 H ^k(M)의 Poincaré 이중성을 통해 표준적인 식별을 제공한다.

인용구

참조