메르센 소수와 완전수 목록

List of Mersenne primes and perfect numbers
Cuisenaire rods showing the proper divisors of 6 (1, 2, and 3) adding up to 6
6을 완벽한 수치로 시각화
A graph plotting years on the x-axis with the number of digits of the largest known prime logarithmically on the y-axis, with two trendlines
연도별 가장 큰 소수의 자릿수를 나타내는 로그 그래프이며, 거의 대부분이 메르센 소수입니다.

메르센 소수와 완전수는 수 이론에서 서로 깊이 연결된 두 종류의 자연수이다.메르센 소수(Mersenne prime)는 Marin Mersenne의 이름을 딴 소수이며, 일부 양의 정수 p에 대해 2 - 1로 표현될p 수 있다.예를 들어, 3은 메르센 소수이며 2 - [1][2]1로2 표현될 수 있기 때문에 메르센 소수이다.메르센 소수에 해당하는 숫자 p는 소수여야 하지만, 모든 p가 메르센 소수로 이어지는 것은 아니다(예: 2-111 = 2047 = 23 × 89).[3]한편, 완전수는 양수 고유 제수의 합과 같은 자연수이며, 이는 숫자 자체를 제외한 제수이다.따라서 6의 적절한 제수는 1, 2, 3이고 1 + 2 + 3 = [2][4]6이기 때문에 6은 완벽한 숫자입니다.

메르센 소수와 짝수 사이에는 일대일 대응이 있다.이것은 유클리드에 기인한다-유클리드에 의해 부분적으로 증명되고 레온하르트 오일러에 의해 완성된 오일러 정리: 짝수는 2 × (2p - 1) 형식으로p − 1 표현될 수 있는 경우에만 완벽하다. 여기서p 2 - 1은 메르센 소수이다.다시 말해, 그 표현에 맞는 모든 숫자는 완벽하지만, 모든 완벽한 숫자는 그 형태에 들어맞습니다.예를 들어 p = 2의 경우, 22 - 1 = 3은 소수이고, 22 − 1 × (22 - 1) = 2 × 3 = 6이 [1][5][6]완벽하다.

메르센 소수가 무한히 많고 심지어 완벽한 [2][6]수가 있는지는 현재 미해결 문제이다.메르센 소수의 빈도는 렌스트라-포메랑스-바그스타프 추측의 주제이며, 이는 주어진 x보다 메르센 소수의 예상 수가 (eγ / log 2) × log x이며, 여기서 e는 오일러의 수이고, θ는 오일러의 상수이고, log는 자연 [7][8][9]로그이다.홀수 완전수가 존재하는지 여부도 알 수 없습니다. 홀수 완전수에 대한 다양한 조건이 증명되었습니다.[10] 하한 10도1500 포함됩니다.

다음은 현재 알려진 모든 메르센 소수 및 완전수 목록과 그에 대응하는 지수 p이다.2022[업데이트]로 51으로 알려져 메르센(며 따라서 숫자를 완벽한)primes, 가장 큰 17의 분산 컴퓨팅 프로젝트 위대한 인터넷 메르센 총리 검색하거나, GIMPS.[2]뉴 메르센 소수 수열이야는 Lucas-Lehmer 시험(LLT), binar을 효율적이다 메르센 소수는 소수 판별 법을 이용하여 발견되다는 사실을 발견해 있다.컴퓨터 y를 [2]참조해 주세요.

표시되는 순위는 현재 2022년 기준으로 알려진 지수 중 하나이며, 이보다 작은 순위가 발견되면 순위가 변경될 수 있다.GIMPS에 따르면 2021년 [11]10월 현재 48번째 작동 지수 p = 57,885,190보다 작은 모든 가능성이 확인 및 검증되었다.발견년도와 발견자는 메르센 소수이다. 왜냐하면 완벽한 숫자는 바로 유클리드에 이어지기 때문이다.오일러 정리「GIMPS/name」이라고 하는 디스커버러는, 그 사람이 사용하고 있는 하드웨어에 의한 GIMPS 디스커버리를 나타냅니다.이후의 엔트리는 매우 길기 때문에 각 번호의 첫 번째와 마지막 6자리만 표시됩니다.

현재 알려진 51개의 메르센 소수 및 해당 완전수 표
순위 p 메르센 소수 메르센 소수 완전수 완벽한 숫자 검출 디스커버 방법 Ref.[12]
1 2 3 1 6 1 고대[a] 고대 그리스 수학자들에게 알려져 있다. 미녹음 [13][14][15]
2 3 7 1 28 2 [13][14][15]
3 5 31 2 496 3 [13][14][15]
4 7 127 3 8128 4 [13][14][15]
5 13 8191 4 33550336 8 c. 1456[b] 익명[c] 트라이얼 부문 [14][15]
6 17 131071 6 8589869056 10 1588[b] 피에트로 카탈디 [2][18]
7 19 524287 6 137438691328 12 [2][18]
8 31 2147483647 10 230584...952128 19 1772 레온하르트 오일러 모듈러 제한이 있는 트라이얼 부문 [19][20]
9 61 230584...693951 19 265845...842176 37 1883년 11월 아이반 M.페르부신 루카스 수열 [21]
10 89 618970...562111 27 191561...169216 54 1911년 6월 랄프 어니스트 파워스 [22]
11 107 162259...288127 33 131640...728128 65 1914년 6월 1일 [23]
12 127 170141...105727 39 144740...152128 77 1876년 1월 10일 에두아르 루카스 [24]
13 521 686479...057151 157 235627...646976 314 1952년 1월 30일 라파엘 M. 로빈슨 SWAC에서의 LLT [25]
14 607 531137...728127 183 141053...328128 366 [25]
15 1,279 104079...729087 386 541625...291328 770 1952년 6월 25일 [26]
16 2,203 147597...771007 664 108925...782528 1,327 1952년 10월 7일 [27]
17 2,281 446087...836351 687 994970...915776 1,373 1952년 10월 9일 [27]
18 3,217 259117...315071 969 335708...525056 1,937 1957년 9월 8일 한스 리젤 BESK에서의 LLT [28]
19 4,253 190797...484991 1,281 182017...377536 2,561 1961년 11월 3일 알렉산더 후르비츠 IBM 7090에서의 LLT [29]
20 4,423 285542...580607 1,332 407672...534528 2,663 [29]
21 9,689 478220...754111 2,917 114347...577216 5,834 1963년 5월 11일 도날드질리스 ILLIAC II의 LLT [30]
22 9,941 346088...463551 2,993 598885...496576 5,985 1963년 5월 16일 [30]
23 11,213 281411...392191 3,376 395961...086336 6,751 1963년 6월 2일 [30]
24 19,937 431542...041471 6,002 931144...942656 12,003 1971년 3월 4일 브라이언트 터커맨 IBM 360/91에서의 LLT [31]
25 21,701 448679...882751 6,533 100656...605376 13,066 1978년 10월 30일 랜던 커트 놀 & 로라 니켈 CDC Cyber 174의 LLT [32]
26 23,209 402874...264511 6,987 811537...666816 13,973 1979년 2월 9일 랜던 커트 놀 [32]
27 44,497 854509...228671 13,395 365093...827456 26,790 1979년 4월 8일 해리 L. 넬슨 & 데이비드 슬로윈스키 Cray-1에서의 LLT [33][34]
28 86,243 536927...438207 25,962 144145...406528 51,924 1982년 9월 25일 데이비드 슬로윈스키 [35]
29 110,503 521928...515007 33,265 136204...862528 66,530 1988년 1월 29일 월터 콜퀴트 & 루크 웰시 NEC SX-2의 LLT [36][37]
30 132,049 512740...061311 39,751 131451...550016 79,502 1983년 9월 19일 데이비드 슬로윈스키 외 (Cray) Cray X-MP에서의 LLT [38]
31 216,091 746093...528447 65,050 278327...880128 130,100 1985년 9월 1일 Cray X-MP/24에서의 LLT [39][40]
32 756,839 174135...677887 227,832 151616...731328 455,663 1992년 2월 17일 Harwell Lab의 Cray-2에 대한 LLT [41]
33 859,433 129498...142591 258,716 838488...167936 517,430 1994년 1월 4일 Cray C90의 LLT [42]
34 1,257,787 412245...366527 378,632 849732...704128 757,263 1996년 9월 3일 Cray T94에서의 LLT [43][44]
35 1,398,269 814717...315711 420,921 331882...375616 841,842 1996년 11월 13일 GIMPS / Joel Armengaud 90MHz Pentium PC의 LLT/Prime95 [45]
36 2,976,221 623340...201151 895,932 194276...462976 1,791,864 1997년 8월 24일 GIMPS / Gordon Spence 100MHz Pentium PC의 LLT/Prime95 [46]
37 3,021,377 127411...694271 909,526 811686...457856 1,819,050 1998년 1월 27일 GIMPS / 롤랜드 클락슨 200MHz Pentium PC의 LLT/Prime95 [47]
38 6,972,593 437075...193791 2,098,960 955176...572736 4,197,919 1999년 6월 1일 GIMPS / 나얀 하즈랏왈라 350MHz Pentium II 프로세서를 탑재한 IBM Aptiva의 LLT/Prime95 [48]
39 13,466,917 924947...259071 4,053,946 427764...021056 8,107,892 2001년 11월 14일 GIMPS / 마이클 캐머런 800MHz Athlon T-Bird 프로세서를 탑재한 PC의 LLT/Prime95 [49]
40 20,996,011 125976...682047 6,320,430 793508...896128 12,640,858 2003년 11월 17일 GIMPS / 마이클 셰이퍼 2GHz Pentium 4 프로세서를 탑재한 Dell Dimension PC의 LLT/Prime95 [50]
41 24,036,583 299410...969407 7,235,733 448233...950528 14,471,465 2004년 5월 15일 GIMPS / Josh Findley 2.4GHz Pentium 4 프로세서를 탑재한 PC의 LLT/Prime95 [51]
42 25,964,951 122164...077247 7,816,230 746209...088128 15,632,458 2005년 2월 18일 GIMPS / 마틴 노웍 [52]
43 30,402,457 315416...943871 9,152,052 497437...704256 18,304,103 2005년 12월 15일 GIMPS / 커티스 쿠퍼 & 스티븐 분 센트럴 미주리 대학교 PC에서의 LLT/Prime95 [53]
44 32,582,657 124575...967871 9,808,358 775946...120256 19,616,714 2006년 9월 4일 [54]
45 37,156,667 202254...220927 11,185,272 204534...480128 22,370,543 2008년 9월 6일 GIMPS / 한스 마이클 엘베니치 PC에서는 LLT/Prime95 [55]
46 42,643,801 169873...314751 12,837,064 144285...253376 25,674,127 2009년 6월 4일[d] GIMPS/홀수 마그나 스트린드모 3GHz 인텔 Core 2 프로세서를 탑재한 PC의 LLT/Prime95 [56]
47 43,112,609 316470...152511 12,978,189 500767...378816 25,956,377 2008년 8월 23일 GIMPS / Edson Smith 인텔 Core 2 Duo E6600 프로세서를 탑재한 Dell OptiPlex PC의 LLT/Prime95 [55][57][58]
48 57,885,161 581887...285951 17,425,170 169296...130176 34,850,340 2013년 1월 25일 GIMPS / 커티스 쿠퍼 센트럴 미주리 대학교 PC에서의 LLT/Prime95 [59][60]
* 60,109,187 검증되지 않은 최저 마일스톤[e]
49[f] 74,207,281 300376...436351 22,338,618 451129...315776 44,677,235 2016년 1월 7일[g] GIMPS / 커티스 쿠퍼 LLT / Prime95 on PC with Intel Core i7-4790 processor [61][62]
50[f] 77,232,917 467333...179071 23,249,425 109200...301056 46,498,850 December 26, 2017 GIMPS / Jonathan Pace LLT / Prime95 on PC with Intel Core i5-6600 processor [63][64]
51[f] 82,589,933 148894...902591 24,862,048 110847...207936 49,724,095 December 7, 2018 GIMPS / Patrick Laroche LLT / Prime95 on PC with Intel Core i5-4590T processor [65][66]
* 108,623,869 Lowest untested milestone[e]

Notes

  1. ^ The first four perfect numbers were documented by Nicomachus circa 100, and the concept was known (along with corresponding Mersenne primes) to Euclid at the time of his Elements. There is no record of discovery.
  2. ^ a b Islamic mathematicians such as Ismail ibn Ibrahim ibn Fallus (1194–1239) may have known of the fifth through seventh perfect numbers prior to European records.[16]
  3. ^ Found in an anonymous manuscript, Clm 14908, dated 1456 and 1461[14][17]
  4. ^ M42,643,801 was first reported to GIMPS on April 12, 2009 but was not noticed by a human until June 4, 2009 due to a server error.
  5. ^ a b As of 12 April 2022[11]
  6. ^ a b c It has not been verified whether any undiscovered Mersenne primes exist between the 48th (M57,885,161) and the 51st (M82,589,933) on this table; the ranking is therefore provisional.
  7. ^ M74,207,281 was first reported to GIMPS on September 17, 2015 but was not noticed by a human until January 7, 2016 due to a server error.

References

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