폰 노이만 대수

수학에서 폰 노이만 대수 또는 W*-알제브라(W*-algebra)는 약한 연산자 토폴로지에서 닫히고 ID 연산자를 포함하는 힐버트 공간의 경계 연산자의 *-알제브라다. 이것은 특별한 종류의 C*-알지브라 입니다.

폰 노이만 알헤브라는 원래 존 폰 노이만이 도입했는데, 그의 단일 연산자, 집단 표현, 에고다이컬 이론, 양자 역학에 대한 연구로 동기부여가 되었다. 그의 이중 정리는 분석적 정의가 대칭의 대수로서 순수하게 대수적 정의와 동등하다는 것을 보여준다.

폰 노이만 알헤브라의 두 가지 기본적인 예는 다음과 같다.

The ring $L^{\infty }(\mathbb {R} )$ of essentially bounded measurable functions on the real line is a commutative von Neumann algebra, whose elements act as multiplication operators by pointwise multiplication on the Hilbert space $L^{2}(\mathbb {R} )$ of square-integrable 기능들
힐버트 공간 ${\mathcal {H}}$ ${\$ ${\mathcal$ { $B}({\$ $mathcal {H}})$ 에 대한 모든 경계 연산자 ${\mathcal {B}}({\mathcal {H}})$ 중 ${\mathcal {B}}({\mathcal {H}})$ B ${\mathcal {B}}({\mathcal {H}})$ {\mathcal {H $}}$ 은(는) 폰 노이만 대수학이며 ${\mathcal {H}}$ , 힐버트 공간의 치수가 $적어도$ 2{\ $displaystystyle$ 2 $}$ 인 경우 비계산적이다 $2$

폰 노이만 algebras 먼저 폰 노이만(1930년)에 의해 1929년에, 그는, 프란시스 머레이는 사업자들의 링의 원래 이름으로, 신문 1930년대와 1940년대(F.J. 머레이&J.vonNeumann1936년, 1937년, 1943년, J.vonNeumann1938년, 1940년, 1943년, 1949년)로 쓰여진 시리즈의 v의 수집된 작품으로 발간된 기본적인 이론을 개발했다 연구되었다N의유만(유만)

폰 노이만 알헤브라의 입문서는 존스(2003) 와세르만(1991년 )의 온라인 노트와 딕스미어(1981년), 슈워츠(1967년), 블랙다르(2005년), 사카이(1971년)의 저서에 실려 있다. 다케사키(1979)의 세 권의 저서는 그 이론에 대한 백과사전을 들려준다. Connes(1994)가 쓴 이 책은 더 진보된 주제들을 논하고 있다.

정의들

폰 노이만 알헤브라를 정의하는 세 가지 일반적인 방법이 있다.

첫 번째 가장 일반적인 방법은 약하게 닫힌 *-힐버트 공간의 경계 연산자(Hilbert 공간)의 알제라(algebras)로 정의하는 것이다. 이 정의에서 약한(운영자) 위상은 강한(초경량) 또는 약한(초경량) 운영자 위상을 포함한 많은 다른 공통 위상으로 대체될 수 있다. 표준 위상에서 폐쇄된 경계 연산자의 *알제브라는 C*알제브라스여서, 특히 폰 노이만 대수학은 C*알제브라다.

두 번째 정의는 von Neumann 대수학이란 무의식(*- 연산)에 의해 폐쇄된 경계 연산자의 하위 대수학이며, 이중 일치 또는 동등하게 *에 따라 폐쇄된 일부 하위 대수학의 공통점이다. 폰 노이만(Von Neumann 1930)의 이중 일치 정리(von Neumann 1930)는 처음 두 정의는 등가라고 말한다.

처음의 두 정의는 폰 노이만 대수학을 힐베르트의 주어진 공간에 작용하는 연산자 집합으로 구체적으로 설명한다. 사카이(1971)는 폰 노이만 알헤브라스도 선험을 가진 C*-알게브라스로서 추상적으로 정의할 수 있다는 것을 보여주었다. 다시 말해서 바나흐 공간이라고 여겨지는 폰 노이만 대수학은 선험이라고 불리는 몇몇 다른 바나흐 공간의 이중이다. 폰 노이만 대수학의 선례는 사실 이소모르퍼리즘에 따라 독특하다. 일부 저자들은 힐베르트 우주 작용과 함께 알헤브라의 경우 "본 노이만 대수"를, 추상적인 개념은 "W*-알제브라"를 사용하므로, 폰 노이만 대수학은 힐베르트 공간과 함께 W*-알제브라, 그리고 힐베르트 공간에서는 적절한 충실한 단일 작용이다. 폰 노이만 대수학의 구체적이고 추상적인 정의는 C*-알제브라(C*-algebra)의 구체적이고 추상적인 정의와 유사하며, 힐버트 공간에 있는 연산자의 노르말-폐쇄 *알제브라(Aa* = a*) 또는 바나흐 *-알제브라(Banach *-algebra)로 정의할 수 있다.

용어.

폰 노이만 대수 이론의 일부 용어는 혼동될 수 있으며, 용어는 종종 주제 밖의 다른 의미를 갖는다.

인자는 사소한 중심이 있는 폰 노이만 대수, 즉 스칼라 연산자로만 구성된 중심이다.
유한 폰 노이만 대수는 유한 인자의 직접적 적분인 대수를 말한다(본 노이만 대수는 충실한 정상적 트라이앵글 상태 has: M →ℂ, http://perso.ens-lyon.fr/gaboriau/evenements/IHP-trimester/IHP-CIRM/Notes=Cyril=finite-vonNeumann.pdf) 참조. 이와 유사하게, 적절히 무한대의 폰 노이만 알헤브라는 적절한 무한대의 요소들의 직접적인 적분이다.
분리 가능한 힐버트 공간에 작용하는 폰 노이만 대수학을 분리형이라고 한다. 이러한 알헤브라는 표준 위상에서는 거의 분리할 수 없다는 점에 유의하십시오.
힐버트 공간의 경계 연산자 집합에 의해 생성된 폰 노이만 대수는 그러한 연산자를 모두 포함하는 가장 작은 폰 노이만 대수다.
두 개의 힐버트 공간에 작용하는 두 개의 폰 노이만 알헤브라의 텐서 제품은 힐버트 공간의 힐버트 공간 텐서 제품에 대한 연산자로 간주되는 그들의 대수적 텐서 제품에 의해 생성된 폰 노이만 대수라고 정의된다.

폰 노이만 대수학의 위상에 대해 잊어버림으로써, 우리는 그것을 (유니탈) *알제브라, 또는 단지 반지라고 생각할 수 있다. 폰 노이만 알헤브라는 반계통이다: 모든 미세하게 생성된 투영 모듈의 하위절은 그 자체로 투영적이다. 베어 *링과 AW*-알게브라를 포함한 폰 노이만 알헤브라의 기저 고리를 공리화하려는 시도가 여러 차례 있었다. 유한 폰 노이만 대수의 관계 운영자의 *-알제브라는 폰 노이만 정규 링이다.(본 노이만 대수 자체는 일반적으로 폰 노이만 정규 링이 아니다.)

통신 폰 노이만 알헤브라스

상호작용이 가능한 폰 노이만 알헤브라와 측정 공간 사이의 관계는 상호작용이 가능한 C*-알게브라와 국소적으로 컴팩트한 하우스도르프 공간 사이의 관계와 유사하다. 모든 정류 폰 노이만 대수는 어떤 측정 공간(X, μ)에 대해 L^∞(X)과 이형이며, 반대로 모든 σ-피니트 측정 공간 X에 대해 *-알제브라 L^∞(X)은 폰 노이만 대수다.

이러한 유사성 때문에 폰 노이만알헤브라의 이론은 비확정적 측량 이론으로 불려온 반면, C*알게브라의 이론은 때때로 비확정적 위상(Connes 1994)이라고 불린다.

투영

E = EE = E*인 폰 노이만 대수에서 연산자 E는 투영이라고 불린다. 이들은 닫힌 하위 공간에 H의 직교 투영을 제공하는 연산자다. 힐베르트 공간 H의 하위 공간은 M에서 어떤 투영 영상이라면 폰 노이만 대수 M에 속한다고 한다. 이것은 M의 투영과 M에 속하는 서브 스페이스 사이에 1:1의 일치성을 확립한다. 비공식적으로 이것들은 M의 요소를 사용하여 설명될 수 있는 닫힌 서브 스페이스 또는 M이 "알고 있다"는 것이다.

M에 있는 연산자의 영상과 M에 있는 연산자의 커널의 폐쇄가 M에 속함을 알 수 있다. 또한, M에 속하는 모든 아공간 M의 연산자에 의한 영상의 폐쇄도 M에 속한다(이러한 결과는 극 분해의 결과임).

투영 비교 이론

투영의 기본 이론은 머레이 & 폰 노이만(1936년)에 의해 고안되었다. M에 속하는 두 개의 서브스페이스를 (Murray-von Neumann) 등가라고 하며, 폰 노이만 대수의 요소인 다른 하나에 부분 이형적으로 첫 번째 이형계를 매핑하는 경우 (Murray-von Neumann) 등가라고 한다(M이 서브스페이스를 이형체라는 것을 "알고 있는 경우"). 이는 해당 서브스페이스가 등가인 경우 E를 F와 동등하게 정의하거나, 다시 말하면 E의 이미지를 F의 영상에 등가적으로 매핑하고 폰 노이만 대수학의 한 요소인 H의 부분 등가치가 있는 경우에 투영에 자연 등가 관계를 유도한다. 이것을 언급하는 또 다른 방법은 만약 E=u*와 M의 일부 부분 등위계에 대해 F=u*와 F=u*u가 같다면 E는 F와 동등하다는 것이다.

동등성 관계 ~ 따라서 정의되는 것은 다음과 같은 의미로 첨가된다. E₁ ~ F 및₁ E ~ F라고₂₂ 가정합시다. E₁ ⊥ E와₂ F₁ ⊥ F이면₂ E + E₁ ~ F₂ + F₁₂. ~의 정의에서 단일성 등가성을 요구할 경우, 즉, u*Eu = 일부 단일성 u의 경우 F와 동등하다고 말할 경우 일반적으로 긍정성이 유지되지 않는다.

M에 속하는 서브스페이스는 포함에 의해 부분적으로 순서가 정해지며, 이는 부분 순서의 ≤을 유도한다. 또한 투영의 동등성 등급 집합에는 투영의 부분 순서 ≤에 의해 유도되는 자연적인 부분 순서가 있다. M이 인자인 경우, ≤은 아래 추적의 절에 기술된 투영의 동등성 등급에 대한 총 순서다.

투영(또는 M에 속하는 아공간) E는 E에 해당하는 F < E (F meaning E와 F ≠ E를 의미)가 없는 경우 유한 투영이라고 한다. 예를 들어, 모든 유한차원 투영(또는 서브 스페이스)은 유한하지만(힐버트 공간 사이의 등각도는 고정된 차원을 남겨두기 때문에), 무한 차원 힐버트 공간의 ID 연산자는 그 자체의 적절한 부분 집합에 대해 등축적으로 이형성이기 때문에 그 위에 있는 모든 경계 연산자의 폰 노이만 대수학에서는 유한하지 않다.그러나 무한 치수 보조공간은 유한할 수 있다.

직교 돌출부는 L^∞(R)에서 지시기 기능의 비확정적 유사점이며, L^∞(R)는 지시기 기능에 의해 생성된 하위 공간의 ·폐쇄점이다_∞. 마찬가지로, 폰 노이만 대수학은 그 투영에 의해 생성된다; 이것은 자기 적응 연산자에 대한 스펙트럼 정리의 결과물이다.

유한인자의 투영은 연속 지오메트리를 형성한다.

요인들

중심부가 신분 연산자의 배수로만 구성된 폰 노이만 대수 N을 인자라고 한다. 폰 노이만(1949) 하브텍스트 오류: 대상 는 분리 가능한 힐버트 공간에 있는 모든 폰 노이만 대수는 인자의 직접 적분과는 이형성이 있음을 보여주었다. 이 분해는 본질적으로 독특하다. 따라서 분리 가능한 힐버트 공간에 폰 노이만 알헤브라의 이형성 계급을 분류하는 문제는 요인의 이형성 계급을 분류하는 문제로 축소될 수 있다.

Murray & von Neumann(1936년)은 모든 요인이 아래에 설명된 세 가지 유형 중 하나를 가지고 있다는 것을 보여주었다. 유형 분류는 인자가 아닌 폰 노이만 알헤브라스까지 확장될 수 있으며, 폰 노이만 대수학은 유형 X 인자의 직접 적분으로 분해될 수 있다면 유형 X이다. 예를 들어, 모든 정류 폰 노이만 대수학에는 유형 I가₁ 있다. 모든 폰 노이만 대수학은 유형 I, II, III의 폰 노이만 알헤브라의 합으로 고유하게 쓰일 수 있다.

요인을 세분류로 나누는 몇 가지 다른 방법이 있다.

인자는 I형이 있으면 이산(또는 때때로 길들여짐)이라 하고, II형이나 III형이 있으면 연속(또는 때때로 야생)이라 한다.
인자는 I형이나 II형이 있으면 반나이트라고 하고, 타입 III가 있으면 순수하게 무한하다.
인자는 투영 1이 유한하고 그렇지 않으면 적절히 무한하면 유한하다고 한다. 타입 I과 II의 인자는 유한하거나 적절히 무한할 수 있지만 타입 III의 인자는 항상 적절하게 무한하다.

I형 요인

인자는 최소 투영 E ≠ 0이 있는 경우, 즉 투영 E가 0 < F < E가 있는 다른 투영 F가 없는 경우 I형이라고 한다. 제1형식의 어떤 요소도 힐버트 공간의 모든 경계 연산자의 폰 노이만 대수학과는 이형성이 있다. 모든 기형수에 대한 힐버트 공간이 하나 있기 때문에 제1형식의 이형성 등급은 기형수와 정확히 일치한다. 많은 저자들이 폰 노이만 알헤브라를 분리 가능한 힐베르트 공간에서만 생각하기 때문에 유한 차원 n의 힐베르트 공간에서는 한정된 연산자를 타입 I의_n 인자로, 그리고 타입 I의_∞ 인자인 분리 가능한 무한 차원 힐베르트 공간에서는 경계 연산자를 부르는 것이 관례다.

II형 요인

인수는 최소 돌출부가 없지만 0이 아닌 유한 돌출부가 있는 경우 타입 II라고 한다. 이는 모든 투영 E는 Murray-von Neumann 등가이며 E = F + G를 만족하는 두 개의 투영 F와 G가 있다는 점에서 "할당"될 수 있음을 암시한다. 타입 II 인자의 식별 연산자가 유한하면 인자는 타입₁ II라고 하고, 그렇지 않으면 타입_∞ II라고 한다. 타입 II의 가장 잘 이해되는 인자는 하이퍼피니트 타입 II₁ 인자와 Murray & von Neumann(1936년)에 의해 발견된 하이퍼피니트 타입_∞ II 인자이다. 이것들은 타입 II와₁ 타입 II의_∞ 독특한 하이퍼피니트 요인이다; 집중적인 연구의 대상인 이들 타입의 다른 요소들은 셀 수 없이 많다. Murray & von Neumann(1937년)은 타입₁ II의 인자가 고유한 유한 전리학적 상태를 가지고 있다는 근본적인 결과를 증명했으며, 투영의 흔적 집합은 [0,1]이다.

타입 II의_∞ 인자는 반나이트 트레이스를 가지며, 리스케일링까지 고유하며, 투영된 트레이스의 집합은 [0,192]이다. λ의 인자에 의해 추적을 재조정하는 자동형성이 있는 실수 λ의 집합을 타입_∞ II 인자의 기본 집단이라고 한다.

타입 II₁ 인자와 무한 타입 I 인자의 텐서 제품은_∞ 타입 II를 가지며, 반대로_∞ 타입 II의 인자는 이와 같이 구성될 수 있다. 타입 II₁ 인자의 기본 그룹은 타입 I의 무한(분리 가능한) 인자를 가진 텐서 제품의 기본 그룹으로 정의된다. 여러 해 동안 근본적인 집단이 양의 실체 집단이 아닌 타입 II 인자를 찾는 것은 공공연한 문제였지만, 그 후 콘네스는 카즈단의 재산(T)을 가진 카운트할 수 있는 이산 집단의 폰 노이만 그룹 대수학(사소한 표현은 이중 공간에서 고립된다)이 셀 수 있는 근본적 그루(SL(3,Z)를 가지고 있다는 것을 보여주었다.이어 소린포파는 SL(2,Z)에² 의한 Z의 반간접 제품을 포함한 특정 집단에 대해 기본 집단이 사소한 것일 수 있다는 것을 보여주었다.

타입 II₁ 인자의 예로는 모든 비종교적 결합 등급이 무한할 정도로 계수 가능한 무한 이산 그룹의 폰 노이만 그룹 대수학이다. 맥더프(1969)는 비이성형 폰 노이만 그룹 알헤브라를 가진 그러한 집단의 헤아릴 수 없는 가족을 발견했고, 따라서 헤아릴 수 없이 다양한 분리형 타입 II 요인의₁ 존재를 보여주었다.

타입 III 요인

마지막으로 타입 III 인자는 0이 아닌 유한 추정치를 전혀 포함하지 않는 요인이다. 그들의 첫 번째 논문에서 머레이 & 폰 노이만(1936년)은 그들이 존재하는지 여부를 결정할 수 없었다; 첫 번째 예는 나중에 폰 노이만(1940년)에 의해 발견되었다. 식별 연산자는 그러한 요인에서는 항상 무한하기 때문에, 과거에는 타입 III라고_∞ 불리기도 했지만, 최근에는 그 표기법이 표기 III로_λ 대체되고 있는데, 여기서 λ은 구간[0,1]의 실수다. 만약 Connes 주파수(그것의 모듈형 그룹의)는 1λ의 0<>이 Connes 주파수가 모든 적분 권한, λ<>1, 다음형은 IIIλ 좀 더 정밀하게, 그때의 요소 형식 III0고, 긍정적인 reals의 Connes 주파수가 모두 긍정적 reals 다음형은 III1.(Connes 주파수는 닫힌 서브 그룹이기 때문에, 이것은은 얼마나 자주'o'를이다nly possI dels.) 타입 III 인자에 대한 유일한 추적은 0이 아닌 모든 양의 원소에서 값 ∞을 취하며, 0이 아닌 두 개의 투영은 동등하다. 한때 타입 III 인자는 난치할 수 있는 객체로 간주되었지만, 토미타–다케사키 이론은 좋은 구조 이론으로 이어졌다. 특히 어떤 타입 III 인자는 타입 II_∞ 인자의 교차된 제품과 실수로 표준적인 방법으로 작성할 수 있다.

선험

어떤 폰 노이만 대수 M에는 사전 M이_∗ 있는데, 이것은 M에 있는 모든 극약 연속 선형 함수의 바나흐 공간이다. 이름에서 알 수 있듯이, M은 (바나흐 공간으로서) 그 앞날의 이중이다. 선행은 M이 이중인 다른 바나흐 공간은 모두 M. 사카이(1971년)에_∗ 대해 표준적으로 이형성이라는 점에서 독특하다. 사카이(1971년)는 사전적 특성의 존재가 C*알헤브라스 중 폰 노이만 알헤브라를 특징으로 한다는 것을 보여주었다.

위에서 주어진 선행의 정의는 M이 작용하는 힐베르트 공간의 선택에 달려 있는 것으로 보이는데, 이것이 극약 위상도를 결정하는 것이기 때문이다. 그러나 선행은 M의 모든 양의 정규 선형 함수에 의해 생성된 공간으로 정의함으로써 M이 작용하는 힐버트 공간을 사용하지 않고도 정의할 수 있다(여기서 "정상"은 자기 조정 연산자의 증가 그물에 적용될 때 우월성을 보존하거나 투영 순서의 증가에 동등하게 적용됨을 의미한다).

선행 M은_∗ 듀얼 M*(M의 모든 정규-연속 선형 함수로 구성됨)의 닫힌 하위 공간이지만 일반적으로 더 작다. M이_∗ (보통) M*와 같지 않다는 증거는 비구축적이며 필수적인 방법으로 선택의 공리를 사용한다; M에_∗ 없는 M*의 명시적 요소를 보여주는 것은 매우 어렵다. 예를 들어, 폰 노이만 대수^∞ l(Z)에 있는 이국적인 양의 선형 형태는 프리 초필터에 의해 주어진다; 그것들은 이국적인 *-호모피즘에 대응하고 Z의 스톤-체크 압축을 묘사한다.

예:

R에 대한 본질적으로 경계된 함수의 폰 노이만 대수^∞ L(R)의 앞부분은 통합 가능한 함수의 바나흐 공간 L¹(R)이다. L^∞(R)의 이중은 L¹(R)보다 절대적으로 크다. 예를 들어, 경계 연속함수⁰_b C(R)의 폐쇄된 하위공간에 대한 Dirac 측정 Δ를₀ 확장하는 L^∞(R)의 기능은 L(R¹)의 함수로 나타낼 수 없다.
힐버트 공간 H에 있는 경계 연산자의 폰 노이만 대수 B(H)의 앞부분은 추적 규범 A = Tr(A)를 가진 모든 추적 클래스 연산자의 바나흐 공간이다. 트레이스 클래스 연산자의 바나흐 공간은 그 자체로 콤팩트 연산자의 C*알지브라(Von Neumann 대수학이 아님)의 이중이다.

무게, 상태 및 트레이스

체중과 그 특수한 경우의 상태와 흔적은 (다케사키 1979년)에서 자세히 논의된다.

폰 노이만 대수의 중량 Ω은 양원소 집합(a*a 형식)에서 [0,196]까지의 선형 지도다.
양의 선형 함수는 Ω(1) 유한(또는 선형성에 의한 전체 대수 Ω의 확장)을 가진 중량을 말한다.
상태는 Ω(1) = 1의 중량이다.
트레이스는 모든 a에 대해 Ω(aa*) = Ω(a*a)을 갖는 중량이다.
삼위일체 상태는 Ω(1) = 1의 추적이다.

어떤 인자는 0이 아닌 투영의 추적이 0이 아니고 투영의 추적이 무한할 경우에만 무한할 수 있는 추적을 가지고 있다. 그런 흔적은 리스케일링하기에 독특하다. 분리가 가능하거나 유한한 요인의 경우, 동일한 추적을 갖는 경우에만 두 개의 투영이 동일하다. 인자의 유형은 다음과 같이 인자의 투영에 걸쳐 이 추적의 가능한 값에서 판독할 수 있다.

유형 I_n: 일부 양의 x에 대해 0, x, 2x, ....,nx(보통 1/n 또는 1로 정규화됨)
Type_∞ I: 일부 양의 x에 대해 0, x, 2x, ....,message(일반적으로 1로 정규화됨)
II₁ 유형: 일부 양의 x에 대해 [0,x](일반적으로 1로 정규화됨).
타입 II_∞: [0,198]
III 유형: {0,610}.

폰 노이만 대수학(von Neumanna 대수학)이 노르말 1 벡터 v를 포함하는 힐버트 공간에 작용한다면 기능 a → (av,v) 이 구조는 정상 상태에서 힐버트 공간에 대한 조치를 취하기 위해 되돌릴 수 있다: 이것은 정상 상태를 위한 GNS 구조다.

인자 위에 있는 모듈

추상적인 분리 가능한 요소가 주어지면, 모듈 분류를 요구할 수 있는데, 이는 그것이 작용하는 분리 가능한 힐버트 공간을 의미한다. 답은 다음과 같다: 그러한 모든 모듈 H에는 M-차원 딤_M(H)이 주어질 수 있다(복잡한 벡터 공간으로서의 치수가 아님). 모듈들이 동일한 M-차원 딤(H)을 가진 경우에만 이형화된다. M-차원(M-dimension)은 첨가물이며, M-dimension이 더 작거나 같은 경우에만 모듈이 다른 모듈의 아공간과 이형화된다.

모듈은 주기 분리 벡터를 가지고 있으면 표준이라고 불린다. 각 요인은 이소모르프까지 독특한 표준 표현을 가지고 있다. 표준표현에는 JMJ = M′과 같은 반선형 비자발 J가 있다. 유한요인의 경우 GNS구축에 의해 표준모듈이 고유 정상전위상태에 적용되고 M-차원(M-dimension)이 표준화되어 표준모듈이 M-dimension 1을 갖는 반면 무한요인의 경우 표준모듈은 M-dimen이 있는 모듈이다.∞과 같은 사이온

모듈의 가능한 M-dimension은 다음과 같이 제공된다.

유형_n I(n 유한): M-치수는 0/n, 1/n, 2/n, 3/n, ..., ∞의 어느 것이 될 수 있다. 표준 모듈은 M-치수 1(및 복잡한 치수 n²).
제1종_∞ M-차원(M-dimension)은 0, 1, 2, 3, ..., ∞의 어느 하나일 수 있다. B(H)의 표준 표현은 H hH이며, M-dimension은 ∞이다.
II₁ 유형: M-차원(M-dimension)은 [0, ∞]의 어떤 것이든 될 수 있다. 표준 모듈 M-dimension 1을 갖도록 표준화한다. M-차원(M-dimension)은 모듈 H의 연결 상수라고도 한다.
II_∞ 유형: M-차원(M-dimension)은 [0, ∞]의 어떤 것이든 될 수 있다. 일반적으로 그것을 정상화시키는 표준적인 방법은 없다; 인자는 M-dimension에 상수를 곱한 외부 자동화를 가질 수 있다. 표준 표현은 M-dimension ∞을 가진 표현이다.
III 유형: M-차원(M-dimension)은 0 또는 ∞일 수 있다. 0이 아닌 두 개의 모듈은 이형이며, 0이 아닌 모든 모듈은 표준이다.

아메나블 폰 노이만 알헤브라스

콘(1976년) 등은 분리 가능한 힐버트 공간 H의 폰 노이만 대수 M에 대한 다음과 같은 조건이 모두 동등하다는 것을 증명했다.

M은 하이퍼피니트 또는 AFD 또는 대략 유한 치수 또는 대략 유한 치수: 이것은 대수가 조밀한 결합을 가진 유한 치수 하위 골격의 오름차순을 포함함을 의미한다. (경고: 일부 저자는 "하이퍼피니트"를 사용하여 "AFD 및 유한"을 의미한다.)
M은 어메니블: 이것은 정상적인 이중 Banach 바이모듈에서 값을 갖는 M의 파생이 모두 내측이라는 것을 의미한다.^[1]
M은 Schwartz의 속성 P를 가지고 있다: H의 경계 연산자 T에 대해 약한 연산자 uTu* 요소의 닫힌 볼록 선체에 M과 통근하는 요소가 포함되어 있다.
M은 반비례적이다: 이것은 M에서 M까지의 아이덴티티 맵이 유한 등급의 완전히 양의 맵의 약한 점괘 한계임을 의미한다.
M은 재산 E나 하케다-를 가지고 있다.Tomiyama 확장 속성: 이것은 H에서 M까지 경계 연산자로부터 Norm 1의 투영이 있다는 것을 의미한다.
M은 주입식이다: 모든 유니탈 C*-알지브라 A에서 M까지의 1을 포함하는 자칭 닫힌 하위 공간에서 완전히 양의 선형 지도를 A에서 M까지 완전히 양의 지도로 확장할 수 있다.

위의 알헤브라의 종류에 대해 일반적으로 받아들여지는 용어는 없다; 콘스는 아메나블이 표준 용어가 되어야 한다고 제안했다.

어메니블 인자는 분류되었다: 0_n < λ ≤ 1>에 대해서는 각 타입 I_∞₁, II, II_∞, III_λ, III가 있으며, 타입 III의₀ 인자는 특정 에고딕적 흐름에 해당된다. (타입 III에₀ 대해서는 이것을 분류라고 하는 것은 해당 에고딕적 흐름을 분류하는 쉬운 방법이 없는 것으로 알려져 있기 때문에 약간 오해가 있다.) I형과 II형의₁ 경우는 머레이 & 폰 노이만(1943년)이 분류했고, 나머지 것은 해거업이 완성한 타입 III₁ 사건을 제외하고 코네스(1976년)가 분류했다.

모든 어메니블 인자는 단일 에고다이얼 변환을 위해 머레이와 폰 노이만의 그룹 측정 공간 구조를 사용하여 구성할 수 있다. 사실 그것들은 정확하게 아벨리안 폰 노이만 알헤브라스 L^∞(X)에 Z 또는 Z/nZ의 자유로운 에고딕 작용에 의해 교차된 제품으로서 발생하는 요인이다. 제1종 요인은 측정 공간 X가 원자적이고 작용이 전이적일 때 발생한다. X가 확산되거나 비원자일 때는 측정공간으로서 [0,1]에 해당한다. 타입 II 인자는 X가 Z의 작용에 따라 불변성인 등가 유한(II₁) 또는 무한(II_∞) 측정을 인정할 때 발생한다. 제3형 인자는 불변측정치가 없는 나머지 경우에 발생하지만 불변측정 등급만 있는 경우: 이러한 인자를 크리거 인자라고 한다.

폰 노이만 알헤브라의 텐서 제품

두 힐버트 공간의 힐버트 공간 텐서 제품은 그들의 대수 텐서 제품의 완성이다. 폰 노이만알헤브라의 텐서 제품(고리로 간주되는 알헤브라의 대수 텐서 제품의 완성)을 정의할 수 있는데, 이것은 다시 폰 노이만 대수학이며, 해당 힐베르트 공간의 텐서 제품에 작용한다. 유한한 알헤브라의 텐서 곱은 유한하며, 무한대수와 0이 아닌 대수의 텐서 곱은 무한대이다. 폰 노이만알헤브라스(I, II 또는 III) 두 개의 텐서 제품 타입은 그 종류 중 최대 타입이다. 텐서 제품에 대한 정류 정리에는 다음과 같이 명시되어 있다.

(M\otimes N)^{\premy }=M^{\premy }\otimes N^{\premy }}

여기서 M′은 M의 공통점을 나타낸다.

무한한 수의 폰 노이만 알헤브라의 텐서적인 산물은 순진하게 행해진다면 대개 터무니없이 큰 분리할 수 없는 대수학이다. 대신에 폰 노이만(1938년)은 폰 노이만 알헤브라의 각 주(State)를 선택해야 한다는 것을 보여주었고, 이것을 이용하여 힐버트 공간과 (합리적으로 작은) 폰 노이만 대수(Von Neumann)의 제작에 사용할 수 있는 대수 텐서 제품에 대한 상태를 정의한다. 아라키앤우즈(1968)는 모든 요인이 유한 행렬 알헤브라스인 경우를 연구했다. 이러한 요인을 아라키-우즈인자 또는 ITPFI인자(ITPFI는 "유한 타입 I인자의 무한 텐서 제품"을 의미한다)라고 한다. 무한 텐서 제품의 유형은 상태가 변함에 따라 극적으로 달라질 수 있다. 예를 들어, 무한히 많은 I형₂ 요인의 무한 텐서 제품은 상태 선택에 따라 어떤 유형도 가질 수 있다. 특히 파워스(1967)는 유형 I₂ 인자의 무한 텐서 제품을 취함으로써 0 < λ < 1, 이른바 파워스 인자에 대한 비 이형성 하이퍼피나이트 타입 III_λ 인자의 헤아릴 수 없는 계열을 찾아냈으며, 각각은 다음과 같은 상태가 주어진다.

x\mapsto{\rm}{\begin{pmatrix}{1\lambda +1}&0\{\lambda \over \lambda +1}\\end{pmatrix}x.

타입 III가₀ 아닌 모든 하이퍼피나이트 폰 노이만 알헤브라는 아라키-우드 인자에 이형성이지만, 타입 III는₀ 셀 수 없이 많다.

바이모듈 및 하위 인자

바이모듈(또는 통신)은 두 개의 통근하는 폰 노이만 알헤브라의 모듈 작용을 가진 힐버트 공간 H이다. 바이모듈은 모듈의 그것보다 훨씬 더 풍부한 구조를 가지고 있다. 두 요인에 대한 모든 바이모듈은 항상 하위 요인을 제공하는데, 한 요인은 항상 다른 요인의 공통점에 포함되어 있기 때문이다. 또한 바이모듈에 대한 Connes 때문에 미묘한 상대 텐서 제품 운용도 있다. Vaughan Jones에 의해 시작된 하위 요인 이론은 겉으로 보기에 서로 다른 두 관점을 조정한다.

바이모듈은 이산 그룹 Ⅱ의 폰 노이만 그룹 대수 M에도 중요하다. 실제로 V가 γ의 단일 표현인 경우, × × of의 대각선 부분군으로서 γ과 관련하여, l²(,, V)에 해당하는 유도 표현은 당연히 M의 통근용 사본 2부를 위한 바이모듈이다. γ의 중요한 표현 이론적 특성은 바이모듈의 관점에서 전적으로 공식화될 수 있으며, 따라서 폰 노이만 대수학 자체에 이치에 맞다. 예를 들어 콘과 존스는 폰 노이만 알헤브라에 대한 카즈단의 재산(T)의 아날로그에 대한 정의를 이런 식으로 내렸다.

비아멘터블인자

유형 1의 폰 노이만 알헤브라는 항상 순응할 수 있지만, 다른 유형에는 분류하기가 매우 어려워 보이거나 심지어 서로 구별하기조차 어려운 서로 다른 비-어메인 요소들이 헤아릴 수 없이 많다. 그럼에도 불구하고, Voiculescu는 그룹 측정 공간구축에서 오는 비-감영적 요인의 등급이 자유집단의 그룹 폰 노이만 알헤브라스에서 오는 등급과 분리되어 있음을 보여주었다. 이후 오자와 나루타카(小澤一郞)는 쌍곡집단의 그룹 폰 노이만 알헤브라가 2형₁₁ 인자의 텐서(tensor) 제품으로 간주할 수 없는 인자를 생산한다는 것을 증명했는데, 리밍 게가 보이쿠슈쿠의 자유 엔트로피를 이용한 자유 그룹 인자에 대해 먼저 입증한 결과였다. 포파의 비아멘탈적 요인의 근본적인 그룹에 대한 연구는 또 다른 중요한 발전을 나타낸다. "초고분자 너머"라는 요소 이론은 현재 빠르게 확장되고 있으며, 많은 새롭고 놀라운 결과들이 있다; 그것은 기하학적 집단 이론과 에고다이즘 이론에서 강체 현상들과 밀접한 관계를 가지고 있다.

예

σ-핀라이트 측정 공간의 본질적으로 경계된 함수는 L² 함수에 작용하는 정류(타입₁ I) 폰 노이만 대수학을 형성한다. 일반적으로 병리학적으로 간주되는 특정 비-마지막 측정 공간의 경우, L^∞(X)은 폰 노이만 대수학(Von Neumann 대수학)이 아니다. 예를 들어, 측정 가능한 집합의 al-알게브라는 셀 수 없는 집합에서 카운트 가능-카운트 가능 대수일 수 있다. 근본적인 근사치 정리는 카플란스키 밀도 정리로 나타낼 수 있다.
힐베르트 공간의 경계 연산자들은 폰 노이만 대수학, 실로 제1형식 인자를 형성한다.
우리가 Hilbert 공간 H에 그룹 G의 단일 대표성을 가지고 있다면, G와 함께 통근하는 경계 연산자들은 폰 노이만 대수 G′를 형성하고, 그 예상은 G.에 따른 H 불변성의 닫힌 하위공간과 정확히 일치한다. 등가 하위 표현은 G.의 동등한 예상에 해당한다. G의 이중 정류자 G′′도 폰 노이만 대수학이다.
이산 그룹 G의 폰 노이만 그룹 대수(Von Neumann 그룹 대수)는 H = l²(G) 통근에 있는 모든 경계 연산자의 대수로서, H에서 우측 곱셈을 통해 G의 작용을 한다. 하나는 이것이 원소 g ∈ G로 왼쪽에서 곱셈에 해당하는 연산자에 의해 생성된 폰 노이만 대수라는 것을 보여줄 수 있다. G의 모든 비종속적 결합 등급이 무한하면(예를 들어, 비종속적 결합 집단) 인자(타입 II₁)이며, 추가 G가 유한 부분군의 조합이라면(예를 들어, 유한한 수의 원소를 제외한 모든 정수의 모든 순열의 그룹) 타입₁ II의 하이퍼피니트 인자이다.
두 폰 노이만 알헤브라의 텐서 생산물 또는 주를 가진 카운트할 수 있는 숫자의 텐서 제품은 위의 절에서 설명한 폰 노이만 대수학이다.
이산(또는 더 일반적으로 국소적으로 콤팩트한) 그룹에 의한 폰 노이만 대수의 교차된 산물은 정의될 수 있으며, 폰 노이만 대수다. 특별한 경우는 머레이와 폰 노이만과 크리거 인자의 집단 측정 공간구축이다.
측정 가능한 동등성 관계와 측정 가능한 그룹형 폰 노이만 알헤브라를 정의할 수 있다. 이러한 예는 폰 노이만 그룹 알제브라와 그룹 측정 공간구성을 일반화한다.

적용들

폰 노이만 알헤브라는 매듭 이론, 통계 역학, 양자장 이론, 국소 양자 물리학, 자유 확률, 비확률 기하학, 표현 이론, 기하학, 확률과 같은 수학의 다양한 분야에서 응용 분야를 발견했다.

예를 들어, C*-algebra는 확률 이론에 대한 대체 공리화를 제공한다. 이 경우 방법은 Gelfand-Naimark-Segal 건설이라는 이름으로 진행된다. 이는 측정과 통합에 대한 두 가지 접근방식과 유사하며, 여기에서 세트의 측정치를 먼저 구성하고 나중에 통합을 정의하거나, 통합을 먼저 구성하고 설정된 측정치를 특성 함수의 통합으로 정의할 수 있다.

참고 항목

참조

^ Connes, A (May 1978). "On the cohomology of operator algebras". Journal of Functional Analysis. 28 (2): 248–253. doi:10.1016/0022-1236(78)90088-5.

Araki, H.; Woods, E. J. (1968), "A classification of factors", Publ. Res. Inst. Math. Sci. Ser. A, 4 (1): 51–130, doi:10.2977/prims/1195195263미스터0244773
Blackadar, B. (2005), Operator algebras, Springer, ISBN 3-540-28486-9, corrected manuscript (PDF), 2013
Connes, A. (1976), "Classification of Injective Factors", Annals of Mathematics, Second Series, 104 (1): 73–115, doi:10.2307/1971057, JSTOR 1971057
Connes, A. (1994), Non-commutative geometry, Academic Press, ISBN 0-12-185860-X.
Dixmier, J. (1981), Von Neumann algebras, ISBN 0-444-86308-7 (의 번역본, 폰 노이만 알헤브라에 관한 첫 번째 책)
Jones, V.F.R. (2003), von Neumann algebras (PDF); 과정의 불완전한 노트.
Kostecki, R.P. (2013), W*-algebras and noncommutative integration, arXiv:1307.4818, Bibcode:2013arXiv1307.4818P.
McDuff, Dusa (1969), "Uncountably many II₁ factors", Annals of Mathematics, Second Series, 90 (2): 372–377, doi:10.2307/1970730, JSTOR 1970730
Murray, F. J. (2006), "The rings of operators papers", The legacy of John von Neumann (Hempstead, NY, 1988), Proc. Sympos. Pure Math., 50, Providence, RI.: Amer. Math. Soc., pp. 57–60, ISBN 0-8218-4219-6 폰 노이만 알헤브라의 발견에 대한 역사적 설명.
이 논문은 그들의 기본적 특성과 유형 I, II, III로 나누어져 있으며, 특히 유형 I이 아닌 요인을 찾아낸다Murray, F.J.; von Neumann, J. (1936), "On rings of operators", Annals of Mathematics, Second Series, 37 (1): 116–229, doi:10.2307/1968693, JSTOR 1968693.
이것은 인자의 추적의 특성을 연구하는 이전 논문의 연속이다Murray, F.J.; von Neumann, J. (1937), "On rings of operators II", Trans. Amer. Math. Soc., American Mathematical Society, 41 (2): 208–248, doi:10.2307/1989620, JSTOR 1989620.
인자가 이형일 때, 그리고 특히 타입 II의₁ 거의 모든 유한 인자가 이형일 때 연구한다Murray, F.J.; von Neumann, J. (1943), "On rings of operators IV", Annals of Mathematics, Second Series, 44 (4): 716–808, doi:10.2307/1969107, JSTOR 1969107.
Powers, Robert T. (1967), "Representations of Uniformly Hyperfinite Algebras and Their Associated von Neumann Rings", Annals of Mathematics, Second Series, 86 (1): 138–171, doi:10.2307/1970364, JSTOR 1970364
Sakai, S. (1971), C*-algebras and W*-algebras, Springer, ISBN 3-540-63633-1
Schwartz, Jacob (1967), W-* Algebras, ISBN 0-677-00670-5
Shtern, A.I. (2001) [1994], "von Neumann algebra", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
Takesaki, M. (1979), Theory of Operator Algebras I, II, III, ISBN 3-540-42248-X
폰 노이만 알헤브라에 관한 최초의 논문von Neumann, J. (1930), "Zur Algebra der Funktionaloperationen und Theorie der normalen Operatoren", Math. Ann., 102 (1): 370–427, Bibcode:1930MatAn.102..685E, doi:10.1007/BF01782352.
von Neumann, J. (1936), "On a Certain Topology for Rings of Operators", Annals of Mathematics, Second Series, 37 (1): 111–115, doi:10.2307/1968692, JSTOR 1968692. 초경량 위상(Ultrastrong 토폴로지를 정의한다.
이것은 힐버트 공간의 무한한 텐서 생산물과 그것에 작용하는 알제브라에 대해 논한다von Neumann, J. (1938), "On infinite direct products", Compos. Math., 6: 1–77.
이것은 타입 III의 인자의 존재를 보여준다von Neumann, J. (1940), "On rings of operators III", Annals of Mathematics, Second Series, 41 (1): 94–161, doi:10.2307/1968823, JSTOR 1968823.
이것은 폰 노이만 알헤브라의 명백한 위상학적 특성들이 순전히 대수학적으로 정의될 수 있다는 것을 보여준다von Neumann, J. (1943), "On Some Algebraical Properties of Operator Rings", Annals of Mathematics, Second Series, 44 (4): 709–715, doi:10.2307/1969106, JSTOR 1969106.
이것은 폰 노이만 대수학을 요인의 합이나 적분으로 쓰는 방법을 논한다von Neumann, J. (1949), "On Rings of Operators. Reduction Theory", Annals of Mathematics, Second Series, 50 (2): 401–485, doi:10.2307/1969463, JSTOR 1969463.
폰 노이만의 폰 노이만 알헤브라에 대한 논문von Neumann, John (1961), Taub, A.H. (ed.), Collected Works, Volume III: Rings of Operators, NY: Pergamon Press 재인쇄
Wassermann, A. J. (1991), Operators on Hilbert space

[1] Connes, A (May 1978). "On the cohomology of operator algebras". Journal of Functional Analysis. 28 (2): 248–253. doi:10.1016/0022-1236(78)90088-5.

[1]

v t 스펙트럼 이론과 -알게브라스
기본개념	비자발성/-알지브라 바나흐 대수 B-알지브라 C-알지브라 비확정 위상 투영 값 측정값 스펙트럼 C-알지브라 스펙트럼 스펙트럼 반지름 연산자 공간
주요 결과	겔판-마주르 정리 겔판트-나이마크 정리 헬프랜드 표현 극분해 단수 값 분해 스펙트럼 정리 정상 C*알게브라의 스펙트럼 이론
특수 요소/운영자	이소스펙트랄 정상 운영자 에르미트어/자체 성도 운영자 유니타리 운영자 구성 단위
스펙트럼	크레인-루트만 정리 정규 고유값 C*-알지브라 스펙트럼 스펙트럼 반지름 스펙트럼 비대칭 스펙트럼 격차
스펙트럼 분해	(연속) 포인트 잔차) 근사점 압축 이산형 스펙터클 애브시사
스펙트럼 정리	보렐 함수 미적분학 미니맥스 정리 양의 연산자 값 측정값 투영 값 측정값 리에즈 프로젝터 리그드 힐버트 공간 스펙트럼 정리 콤팩트 연산자의 스펙트럼 이론 정상 C*알게브라의 스펙트럼 이론
특수 알헤브라스	아메나블 바나흐 대수 대략적인 정체성 포함 바나흐 함수 대수 디스크 대수 균일대수학 폰 노이만 대수 토미타-다케사키 이론
유한 차원	알론-보파나 바운드 바우어-파이크 정리 숫자 범위 슈르-혼 정리
일반화	디락 스펙트럼 필수 스펙트럼 유사점 구조물 공간(Silov 경계)
잡다한	추상지수군 바나흐 대수 코호몰로지 코언-휴이트 인자화 정리 대칭 연산자의 확장 흡수원리 제한 언바운드 연산자
예	비너 대수
적용들	거의 마티외 연산자 코로나 정리 드럼의 모양(Dirichlet eigenvalue)을 들음 열 커널 쿠즈넷소프 미량식 락스 페어 프로토-값 함수 라마누잔 그래프 랠리-파버-크란 불평등 스펙트럼 기하학 스펙트럼법 일반 미분방정식의 스펙트럼 이론 스투름-리우빌 이론 슈퍼스트롱 근사치 전송 연산자 변형 이론 바일법

v t 힐베르트 공간
기본개념	조정 이너 제품 및 L-세미인너 제품 힐버트 공간과 프레힐버트 공간 직교보충제 직교 기준
주요 결과	베셀의 부등식 카우치-슈바르츠 불평등 리에즈 표현
기타 결과	힐버트 투영 정리 파르세발의 정체 양극화 정체성(병렬법)
지도	Hilbert 공간의 컴팩트 연산자 조밀하게 정의됨 에르미트 힐베르트슈미트 정상 자수성가 세실린형 트레이스 클래스 유니타리
예	K 컴팩트가 있는 Cⁿ(K) & n(으) 세갈-바르그만 F

v t 공간 주제 차단
바나흐 공간의 유형	아스플룬드 바나흐(목록) 바나흐 격자 그로텐디크 힐버트(내부 제품 공간) 양극화 정체성) (폴리노멀리) 반사적 리에츠 L-세미인너 제품 (B) 엄밀히 균일) 볼록 균일하게 매끈매끈함 (주치적) 투영) 텐서 제품(힐버트 공간)
바나흐 공간:	바렐라드 F-공간 프레셰트(테임) 국소 볼록(세미나미/밍코스키 기능) 맥키 정규화(일반) 콰시노르메드 고정관념
함수 공간 위상	이중 이중 공간(이중 정규) 연산자 울트라위크 약한(극) 운영자) 강한(극성) 운영자) 울트라스트롱 균일 수렴
선형 연산자	조정 이린린(형식) 운영자 sesquilinar) (Un)경계됨 닫힌 컴팩트(힐버트 공간) (분산)연속 조밀하게 정의됨 프레드홀름(커널) 운영자) 힐베르트슈미트 함수(양수) 사이비-모노톤 정상 핵 자수성가 완전 단수형 트레이스 클래스 전치하다 유니타리
연산자 이론	바나흐 알헤브라스 C알제브라스 연산자 공간 스펙트럼(C-알지브라) 반경) 스펙트럼 이론(ODEs) 스펙트럼 정리) 극분해 단수 값 분해
정리	앤더슨-케이덱 바나흐알라오글루 바나흐-마주르 바나흐-삭스 Barnach-Schauder(개방 매핑) 바나흐-슈타인하우스 (통일된 경계) 베셀의 부등식 카우치-슈바르츠 불평등 닫힌 그래프 폐쇄 범위 에베를린-슈물리안 프로이트스펙트럼 겔판-마주르 겔판-나이마르크 골드스틴 한-바나흐(하이퍼플레인 분리) 카쿠타니 고정점 크레인-밀만 로모노소프의 불변 아공간 맥키아렌스 마주르의 보조정리 M. 리에즈 확장 파르세발의 정체 리에즈 보조정리 리에즈 표현 로빈슨우르세스쿠 슈워더 고정점
분석	추상 위너 공간 바나흐 다지관 보따리를 싸다 보크너 공간 볼록 시리즈 프리셰트 공간의 차별화 파생상품(프레셰트) 가토 기능적 단형의 준) 통합(보치너) 던퍼드 겔판-페티스 규제의 팰리-위너 약한) 기능성 미적분(보렐) 연속의 홀로모픽) 측정(레베그) 투영 값 벡터) 약하게/강하게 측정할 수 있는 기능
세트 종류	절대 볼록스 흡수. 아핀 균형/순환 경계 볼록스 볼록콘(하위 세트) 볼록 시리즈 관련 (cs, lcs)-닫힘, (cs, bcs)-완전, (하위) 이상 볼록, (Hx), (Hx) 선형 원뿔(하위 세트) 방사상 방사형 볼록/별 모양 대칭 조노토프
하위 집합/작업 설정	아핀 선체 (상대) 대수 내부(핵심) 경계점 볼록 선체 극한점 실내 선형스팬 민코스키 덧셈 극지 (Quasi) 상대 인테리어
예	절대 연속성 AC $(\displaystyle ba(\Sigma )}$ c 스페이스 바나흐 좌표 BK Besov B $B_{p,q}^{s}(\mathbf {R} )$ , $B_{p,q}^{s}(\mathbf {R} )$ ( $B_{p,q}^{s}(\mathbf {R} )$ ) $B_{p,q}^{s}(\mathbf {R} )$ 비른바움-올리츠 경계변동 BV B스 스페이스페이스 K 콤팩트 하우스도르프가 있는 연속 C(K) 하디^p H 힐베르트 H Morrey-Campanato $L^{\lambda ,p}(\Omega )$ $L^{\lambda ,p}(\Omega )$ , $L^{\lambda ,p}(\Omega )$ ( $L^{\lambda ,p}(\Omega )$ ) ${\displaystyle$ L $^{\lambda ,p}(\Oomega )}$ ℓ^p (ℓ^{${\infty }$}) L^p( $∞{\$ L $^{\inflt })}$ 가중치 있는 슈워츠 $S\left(\mathbf {R} ^{n}\right)$ ( R $S\left(\mathbf {R} ^{n}\right)$ ) ${\$ 세갈-바르그만 F 소볼레프^k,p W (소볼레프 불평등) 트리벨-리조킨 Wiener amalgam $W(X,L^{p})$ ( $W(X,L^{p})$ , $W(X,L^{p})$ $W(X,L^{p})$ ) $W(X,L^{p}})$
적용들	미분 연산자 유한요소법 양자역학의 수학적 공식화 일반 미분 방정식(ODE) 유효숫자

권한통제
일반	통합 권한 파일(독일)
국립도서관	미국 일본.
기타	마이크로소프트 어학

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