콤팩트 연산자의 스펙트럼 이론

(I - C)x_n → y를 표준으로 한다.{x_n}이(가) 경계인 경우, C의 압축성은 C x가_nk 정규 수렴인 부분 x가_nk 존재함을 의미한다.따라서 x_nk = (I - C)x_nk + C x는_nk 일부 x에 대한 표준 수렴이다.이것은 (I - C)x_nk → (I - C)x = y를 준다.거리 d(x_n, Ker(I - C)가 경계인 경우에도 동일한 인수를 거친다.

그러나 d(x_n, Ker(I - C)는 경계해야 한다.이것이 사실이 아니라고 가정해 보자.X/Ker(I - C)에서 여전히 (I - C)로 표시된 (I - C)의 지수 지도로 지금 이동하십시오.X/Ker(I - C)의 지수 표준은 여전히 $\Vert {\displaystyle }$ ${\displaystyle \$${\displaystyle }$· $\$ {\$displaystyle \$}에 의해 나타내며$,$ {x_n}은(는) 현재 해당 지수 공간에서 동등성 클래스의 대표로 간주된다.$\Vert {\displaystyle }$ ${\displaystyle$\$\}$ $x$_nk x${\displaystyle }${$${\$displaystyle \$\}$$k와 같은 {x_nk}을(를) 선택하고 z = x_nk/ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \}$ $x$_nk ${\displaystyle }$ ${\displaystystyle \$\}을(를) 단위로 단위 벡터 순서를 정의하십시오_nk$.$ 다시 일부 z에 대해 (I - C)z를_nk 사용하십시오.Since ${\displaystyle \ }$(I − C)z_nk${\displaystyle \ }$ = ${\displaystyle \ }$(I − C)x_nk${\displaystyle \ }$/ ${\displaystyle \ }$x_nk${\displaystyle \ }$ → 0, we have (I − C)z = 0 i.e. z ∈ Ker(I − C).지수 지도에 합격한 이후부터 z = 0.이는 z가 단위 벡터 시퀀스의 표준 한계이기 때문에 불가능하다.그래서 보조정리법이 증명되었다.

i) 일반성을 상실하지 않고 λ = 1. λ σ(C)가 고유값 수단(I - C)이 아닌 주입식이지만 굴절성은 없다고 가정한다.Lemma 2에 의해 Y₁ = Ran(I - C)은 X의 닫힌 적절한 하위 공간이다.(I - C)는 주입형이기₂ 때문에 Y = (I - C)Y는₁ 다시 Y의₁ 닫힌 적절한 하위공간이다.Y_n = Ran(I - C)을 정의하십시오.ⁿ하위 공간의 감소 시퀀스 고려

${\displaystyle Y_{1}\supset \cdots \cdots \cdots \supset Y_{n}\cdots }$

모든 포함 사항이 적절한 경우.보조정리 1로 d(y_nn+1, Y) > ½과 같은 단위 벡터_n y ∈ Y를_n 선택할 수 있다. C meanes의 압축도는_n {C y}이(가) 정규 수렴성을 포함해야 한다.그러나 n < m에 대해서는

${\displaystyle \left\cy_{n}-Cy_{m}\right\=\\\reft\(C-I)y_{n}+y_{n}-{n}-(C-I)y_{m}-y_{m}\right\}}}$

을 알아차리다.

${\displaystyle (C-I)y_{n}-(C-I)y_{m}-y_{m}\in Y_{n+1},}$

즉 ‖${\displaystyle \}$Cy$$_n - Cy_m - Cy ${\displaystyle }${\$displaystyle$\} >$$½을 의미한다.이것은 모순이므로 so은 고유치임에 틀림없다.

ii) { Y_n = Ker(각각_i - A)}ⁿ 시퀀스는 닫힌 서브스페이스의 증가 시퀀스입니다.정리는 그것이 멈춘다고 주장한다.그것이 멈추지 않는다고 가정하자. 즉, 포함 Ker(제곱_i - A)ⁿ ⊂ Ker(제곱_i - A)ⁿ⁺¹가 모든 n에 적합하다.보조정리 1에 의해 y_n ∈ Y와_n d(y_n, Y_{n − 1}) > ½과 같은 단위 벡터의 시퀀스 {y_n}_{n ≥ 2}이(가) 존재한다. 전과 같이 C meanes {C_n y}의 콤팩트함에는 반드시 표준 수렴성 서열이 포함되어야 한다.그러나 n < m에 대해서는

${\displaystyle \ Cy_{n}-Cy_{m}\\\ (C-I)y_{n}+y_{n}-(C-I)y_{m}-y_{m}\}$

을 알아차리다.

${\displaystyle (C-I)y_{n}+y_{n}-{n}-(C-I)y_{m}\in Y_{m-1}}}$

즉 ‖${\displaystyle \}$Cy$$_n - Cy_m - Cy ${\displaystyle }${\$displaystyle$\} >$$½을 의미한다.이는 모순이므로, {Y_n = Ker(수치_i - A)}ⁿ 시퀀스는 어떤 유한한 m에서 종료되어야 한다.

커널의 정의를 이용하면 케르(Ker_ii)의 단위 구(區)가 콤팩트하여 케르(( - C)가 유한한 차원임을 보여줄 수 있다.Ker(각각_i - C)ⁿ는 같은 이유로 유한한 차원이다.

iii) 모든 n에 대해 $displaystyle$ ${\displaystyle }$$displaystyle$_n }{\$displaystyle }$ > $$ε과 같은 해당 고유 벡터 {x_nn}을(를) 가진 무한(적어도 셀 수 있는) 고유값 {val}이 존재한다고 가정한다.Y_n = span{x₁... 정의x_n}. 순서 {Y_n}은(는) 엄격히 증가하는 순서다.y_n ∈ Y와ⁿ d(y_n, Y^{n − 1}) > ½과 같은 단위 벡터를 선택한다. 그런 다음 n < m을 선택한다.

${\displaystyle \left\cy_{n}-Cy_{m}\right\\(C-\lambda _{n}y_{n}+\lambda _{n}-(C-\lambda _{m}y}-\lambda_{m}\오른쪽.$

그렇지만

${\displaystyle(C-\lambda _{n}y_{n}+\lambda _{n}-(C-\lambda _{m}y_{m}y}\in Y_{m-1},})$

따라서 $\Vert {\displaystyle }$ ${\displaystyle \}$Cy$$_n - Cy_m - ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \}$ $$> ε/2, 모순이다.

그래서 우리는 0을 중심으로 하는 어떤 공 바깥에는 유한한 구별되는 고유값만 존재한다는 것을 알고 있다.이는 즉시 0이 고유값의 유일한 한계점이며 최대 카운트 가능한 구별 고유값이 있음을 알려준다(iv 참조).

iv) 이는 iii)의 즉각적인 결과물이다.고유값 { {} 집합이 조합임

${\displaystyle \bigcup _{n}\left\{\lambda >{\tfrac {1}{n}\right\}=\bigcup _{n}S_{n}.}$

σ(C)는 경계 집합이고 고유값은 0에서만 누적될 수 있기 때문에 각 S는_n 유한하므로 원하는 결과를 제공한다.

v) 매트릭스 사례에서와 같이, 이것은 홀로모르픽 함수 미적분을 직접 응용한 것이다.